同济大学2021-2022学年第一学期高等数学B期中考试试题及参考答案
同济大学课程考核试卷（期中试卷）
2021—2022学年第一学期
课号：122004课名；高等数学B（上）考试考查：考试
此卷选为：期中考试（√）、期终考试（），重修（）试卷
专业_______________学号____________姓名__________任课教师_________________
一、填空与选择题（每小题3分，共24分）
1．函数()(1)cossinfxxxx=−−在区间0,
2
的最大值是_________．
2．极限
011
lim
ln(1)
xxx
→
+=
−
_________．
3．若0x→
时，2
(1cos)arcsinxx−
是比ln(1)n
xx+
高阶的无穷小，()
ln1n
xx+
是比2
1x
e−
高阶
的无穷小，则正整数n=
_______．
4．设()yyx=
是由方程2()ln()yxxyxy+=−−
所确定的隐函数，则该函数的微分dy=
________．
5．函数2
()ex
fx=
的带有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式是________．
6．设()fx
在2x=处连续且满足
0(2)3
lim5
2sin
xfx
x
→−−
=
，则曲线()yfx=
在点(2,(2))f
的切线方程
为________．
7．设数列
na
，
nb
对任意的正整数n
满足
1nnnaba
+
，则
（A）数列
na
，
nb
均收敛，且limlim
nn
nnab
→→=
；
（B）数列
na
，
nb
均发散，且limlim
nn
nnab
→→==+
；
（C）数列
na
，
nb
具有相同的敛散性；
（D）数列
na
，
nb
具有不同的敛散性；
8．设函数()fx
在点
0x
的某邻域
0()Ux
内连续，在
0()U
x
内可导，则“极限
0lim()
xxfx
→
存在”是
“()fx
在
0x
处可导”的
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
二、计算下列各题（每小题7分，共35分） 1．求极限
3
0sinsin(sin)
lim
xxx
x
→−
．
2．设()
2
()ln23fxxx=+−
，求()
(2)n
f
．
3．证明：当0
2xy
时，tan
tanyy
xx
．
4．溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形简中，开始时漏
斗中盛满了溶液．已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min，问此时
圆柱形简中溶液表面上升的速率为多少？
5．求曲线()
2
ln1yx=+
的拐点以及凹凸区间．
三、（本题12分）设2
3
310xtt
yty
=−
++=
确定函数()yfx=
，求2
2
0d
d
ty
x
=．
四、（本题12分）讨论方程4
0xaxb++=
的实根个数，其中a
，b
是常数．
五、（本题10分）设
00x
，()
1
121
2n
n
nx
x
x−
−+
=
+，1,2,3,n
=
，证明
nx
极限存在并求此极限值．
六、（本题7分）设函数()fx
在
0,2021
上连续，在(0,2021)
内可导且()0fx
，(0)0f=
，
(2021)2f=
．证明：在开区间(0,2021)
内存在两个不同的点
和
，使得
()()()()2021()1fffff
+=−
．
参考答案
一、
1.sin1−
2.1
2 3.ln()
3ln()xy
dx
xy−
+− 4.()
2334
()1220
3fxxxxx=++++
5.1023yx=−+
6.C 7.A
二、 1.1
6 2.1
()1()(1)!
(2)(1)(1)!
5n
nn
nnn
fn−
−−
=−−+
3.构造函数tan
()x
fx
x=，证明其在区间0,
2
单调递增即可 4.16
cm/min
15
5.拐点(1,ln2)
和(1,ln2)−
，凹区间(1,1)−
；凸区间(,1)−−
和(1,)+
三、2
四、二个（()fx
极小值小于0）、一个（()fx
极小值等于0）、或无（()fx
极小值大于0）
五、证明{}
nx
单调递减且有下界2
nx
，极限为2
六、（1）连续性：存在
0x
使得
0()1fx=
（2）构造函数
0()()()gxxxfx=−
，对其在区间()
00,x
使用罗尔定理
（3）函数()fx
在()
0,2021x
使用拉格朗日定理
山西大学附中2021～2022学年高三第一学期期中考试试题及答案解析
语文试题
一、现代文阅读（37分）
（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）
阅读下面的文字，完成1~3题。
《古诗十九首》被刘勰誉为“五言之冠冕”。关于这组诗歌的主题，古人曾有许多议论。时至今日，就《古诗十九首》的主题来说，学界仍有不同见解。笔者认为，《古诗十九首》作为一组诗歌，文本内部应当具有一定的共通性，其中贯穿的精神主旨可视为主题所在。而贯穿于整组诗歌的就是对人生的感喟与思索，人生乃其根本的关心所在。笔者尝试从三个方面来阐述这一观点。
第一个层面，文士在诗中表达了他们对人生真相的洞察。《古诗十九首》实际上是在谈论人生的痛苦。整组诗的开篇就是“行行重行行，与君生别离”，汉代士人为了追求功名，经常要游学、仕宦，由此导致的与亲人的分别往往达数年甚至更久。因生死而造成的别离非人力所能及，但被迫与相爱的人分离则是人生莫大的无奈。这组诗对别离之情有生动的描绘和展现，充满了浓浓的感伤，感情基调低沉哀婉。《古诗十九首》的低沉哀婉基调实际上缘于汉末士人浓烈的生命意识，他们慨叹时光的仓促与生命的易逝，流露出对人生短暂的悲叹。这一点从很多汉乐府诗歌中也可见到。《古诗十九首》的作者对人生有诸多比喻，如“远行客”“飙尘”“朝露”等，他们还以“涧中石”“金石”来作比，突出人生短暂。这种浓郁的悲哀也影响了后世的诗歌，如“三曹”的诗歌中也有对这种心态的抒写和表现。 第二个层面，《古诗十九首》表现了文士认清人生真相后产生的幻灭感。正如诗中所写：“人生忽如寄，寿无金石固。万岁更相送，圣贤莫能度。服食求神仙，多为药所误。”人生短暂，如白驹过隙，圣贤亦不能例外。洞察了修仙长生为虚妄后，他们愈发想要去把握和享受现实人生。及时行乐是他们的一致选择。白昼短暂，尚有黑夜可以利用，故而要秉烛夜游。他们对生活充满了热望，对享受人生抱有极大热忱。这种幻灭感促使他们要求突破儒家名教的“清规戒律”。
第三个层面，文士在人生幻灭之后还要追寻朴素的人生。因为意识到了人生的有限和虚无，他们不再执着于遥不可及的不朽，转而去追求现实的人生。现实人生中安宁而平淡的日常，成为了他们向往的心灵归宿。他们反复歌咏“愿为双鸿鹊，奋翅起高飞”“愿得常巧笑，携手同车归”“思为双飞燕，衔泥巢君屋”。举案齐眉、长相厮守成为了文士最朴素、真挚的愿望。正因为这样，他们对别离尤为敏感，也对其进行了反复书写：“同心而离居，忧伤以终老”“上言长相思，下言久别离”。离别的相思令人倍感痛苦，甚至催人衰老。正如诗中所写的“思君令人老”。从《古诗十九首》开始，中国文学中的离别书写始终充斥着悲伤的情绪，同时，离别也成为古代文学中的一个重要主题。
同济大学2021-2022学年第一学期高等数学B期中考试试题及参考答案
同济大学课程考核试卷（期中试卷）
2021—2022学年第一学期
课号：122004课名；高等数学B（上）考试考查：考试
此卷选为：期中考试（√）、期终考试（），重修（）试卷
专业_______________学号____________姓名__________任课教师_________________
一、填空与选择题（每小题3分，共24分）
1．函数()(1)cossinfxxxx=−−在区间0,
2
的最大值是_________．
2．极限
011
lim
ln(1)
xxx
→
+=
−
_________．
3．若0x→
时，2
(1cos)arcsinxx−
是比ln(1)n
xx+
高阶的无穷小，()
ln1n
xx+
是比2
1x
e−
高阶
的无穷小，则正整数n=
_______．
4．设()yyx=
是由方程2()ln()yxxyxy+=−−
所确定的隐函数，则该函数的微分dy=
________．
5．函数2
()ex
fx=
的带有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式是________．
6．设()fx
在2x=处连续且满足
0(2)3
lim5
2sin
xfx
x
→−−
=
，则曲线()yfx=
在点(2,(2))f
的切线方程
为________．
7．设数列
na
，
nb
对任意的正整数n
满足
1nnnaba
+
，则
（A）数列
na
，
nb
均收敛，且limlim
nn
nnab
→→=
；
（B）数列
na
，
nb
均发散，且limlim
nn
nnab
→→==+
；
（C）数列
na
，
nb
具有相同的敛散性；
（D）数列
na
，
nb
具有不同的敛散性；
8．设函数()fx
在点
0x
的某邻域
0()Ux
内连续，在
0()U
x
内可导，则“极限
0lim()
xxfx
→
存在”是
“()fx
在
0x
处可导”的
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
二、计算下列各题（每小题7分，共35分） 1．求极限
同济大学高等数学b教材答案解析
同济大学高等数学b教材答案解析
由于高等数学B教材涵盖广泛且涉及内容较多，因此本篇文章将着重为读者提供对该教材中习题的解析和答案，并按照章节对各个部分进行分类解析，以便读者更好地掌握相关知识。
第一章：多元函数微分学
本章主要介绍多元函数微分学的基本概念及其应用。在习题部分，涵盖了多元函数求导、隐函数求导和参数方程求导等题型。
第二章：多元函数积分学
本章主要介绍多元函数积分学的基本概念及其应用。习题部分主要包含了定积分、多元函数的积分、换元积分法等题型。
第三章：向量代数与空间解析几何
本章主要介绍向量代数和空间解析几何的基本概念及其应用。习题部分包含了向量的基本运算、空间解析几何等题型。
第四章：无穷级数
本章主要介绍无穷级数的基本概念及其求和方法。习题部分包含了级数求和、收敛判别法等题型。
第五章：常微分方程
本章主要介绍常微分方程的基本概念及其解法。习题部分主要包含了一阶、二阶常微分方程的求解等题型。 第六章：多元函数微分学的应用
本章主要介绍多元函数微分学在实际问题中的应用。习题部分包含了多元函数求极值、泰勒展开等题型。
第七章：多元函数积分学的应用
本章主要介绍多元函数积分学在实际问题中的应用。习题部分主要包含了二重积分、三重积分等题型。
第八章：场论初步
本章主要介绍向量场和标量场的基本概念及其性质。习题部分包含了向量场的散度、旋度等题型。
第九章：曲线积分与曲面积分
本章主要介绍曲线积分和曲面积分的基本概念及其计算方法。习题部分包含了曲线积分和曲面积分的计算等题型。
第十章：无穷级数的应用
本章主要介绍无穷级数在实际问题中的应用。习题部分包含了功率级数的展开和收敛域等题型。
通过以上对同济大学高等数学B教材各个章节的习题解析，读者可以更好地理解数学的相关概念和方法，并在学习过程中获得更多的实践机会。希望本文对同济大学高等数学B教材的学习有所帮助。
同济大学线性代数B期中试卷(A卷)11-12参考答案
一、填空题与选择题(每空3分，共24分,选择题为单选)
1、行列式101010111中21a的代数余子式21A 1 .
2、矩阵302101153049217C中的元素23c 75 .
3. 设A，B，C均为n阶矩阵(n>1)，下列命题正确的是 B .
(A). TTTAAAA (B). ,TABBA
(C). 22ABABAB (D).ABAC且0A则BC
4、设n阶方阵A,B,C满足等式 ABCE (E为单位矩阵)，则等式
A 成立.
(A). BCAE (B). BACE (C). ACBE
(D). CBAE
5、设矩阵
123123123aaaAbbbccc,123112233123333bbbBacacacccc,1010100001P,2100013001P 则有 C
(A). 21PAPB (B). 12PAPB (C). 21PPAB (D).
12APPB
6、设3阶矩阵A的伴随矩阵为*A, A=12，则1*(3)2AA=1627.
7、 已知方阵A满足3AAEO, 则1AE2AA.
8、设A是mnmn.矩阵，C是n阶可逆矩阵，秩()RAr，秩1()RACr , 则 C .
(A).1nrr, (B).1rrn, (C). 1rr, (D). 1rn
二、(12分)行列式1357246813301111D 求211A +412A－213A+14A.
解: 211A +412A－213A+14A=24212468'13301111D
(2021年整理)同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)
（完整）同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)
课程名称：《高等数学》
试卷类别:A卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟
适用层次：
适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示,不得分则在小题
大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷,流水作业。
课程名称：高等数学A（考试性质:期末统考(A卷）
一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数(,)fxy在00(,)Pxy的两个偏导00(,)xfxy，00(,)yfxy 都存在，则
( ）
A．(,)fxy在P连续 B．(,)fxy在P可微
C．
00lim(,)xxfxy及
00lim(,)yyfxy都存在 D．00(,)(,)lim(,)xyxyfxy存在
2．若xyzln，则dz等于( ）．
lnlnlnln.xxyyyyAxy lnln.xyyBx
lnlnln.lnxxyyCyydxdyx lnlnlnln.xxyyyxDdxdyxy
3．设是圆柱面222xyx及平面01,zz所围成的区域，则(),,(dxdydzzyxf ）．
212000cos.(cos,sin,)Addrfrrzdz
212000cos.(cos,sin,)Bdrdrfrrzdz
212002cos.(cos,sin,)Cdrdrfrrzdz 21000cos.(cos,sin,)xDdrdrfrrzdz
4． 4．若1(1)nnnax在1x处收敛，则此级数在2x处( ）．
A． 条件收敛 B． 绝对收敛 C． 发散 D． 敛散性不能确定
2024学年同济大学二附中高二数学第一学期期中考试卷附答案解析
2024学年同济大学二附中高二数学第一学期期中考试卷
满分：150分，完成时间：120分钟
一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.
2.半径为2的球的表面积为________.
3.已知长方体
1111ABCDABCD
的
棱11ADAA
，2AB
，则异面直线BD
与
11BC
所成角的余弦值
为______．
4.在四面体PABC
中，若底面ABC
的一个法向量为
1,1,0n
，且
2,2,1CP
，则顶点P
到底
面ABC
的距离为_____________．
5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.
6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OABC
，且//OABC
，
24OABC
，2AB
，则该平面图形的面积为_________.
7.三棱锥PABC
中，三条侧棱PAPBPC
，则顶点P
在平面ABC
内的
射影O
是ABCV
的
______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）
8.在空间四边形ABCD中，E，
F，
G，
H分别是边AB，
BC，
CD，
DA的中点，若四边形对角线2ACBD
，
对角线AC与BD
所成的角为π
3
，则FH=______．
9.如图，在圆柱O
1O
2内有一个球O
，该球与圆柱的
上、下底面及母线均相切．记圆柱O
1O
2的体积为
V
1,球O
的体积为V
2
，则1
2V
V
的值是_____10.已知二面角AB
为30°，P是半平面
内一点，点P到平面
的距离是1，则点P在平面
内
的投影到AB
的距离是_________．
11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆
锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____
12.如图，正方体
(选择性必修第一册第一章、第二章、第三章)2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．若双曲线122myx的一个焦点为)03(，，则m( )。
A、22 B、8 C、9 D、12
【答案】B
【解析】由双曲线性质：12a，mb2，∴912mc，8m，故选B。
2．在三棱锥ABCS中，平面SAC平面ABC，ACSA，ACBC，6SA，21AC，8BC，则SB的长为( )。
A、8 B、9 C、11 D、12
【答案】C
【解析】建立以A为原点的空间直角坐标系，
则)000(，，A，)0218(，，B，)600(，，C，
∴11)06()210()80(||222SBSB，故选C。
3．若点00yxP，是直线l：0CByAx外一点，则方程0)(00CByAxCByAx表示( )。
A、过点P且与l垂直的直线 B、过点P且与l平行的直线
C、不过点P且与l垂直的直线 D、不过点P且与l平行的直线
【答案】D
【解析】∵点00yxP，不在直线l：0CByAx上，∴000CByAx，
∴直线0)(00CByAxCByAx不过点P，
又直线0)(00CByAxCByAx与直线l：0CByAx平行，故选D。
2021-2022学年上海市同济大学第一附属中学高一数学理上学期期末试题含解析
2021-2022学年上海市同济大学第一附属中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知角终边经过点，则的值分别为
A． B． C．
D．
参考答案：
C
2. 若角600°的终边上有一点（－4，a），则a的值是
A． B．－ C． D．
参考答案：
B
3. 关于函数f（x）=2x的图象变换正确的是( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】指数函数的图像变换；函数的图象与图象变化．
【专题】应用题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】分别判断各函数是由y=f（x）如何变化得到的，再判断图象的正误．
【解答】解：函数f（x）=2x的横过点（0，1），且为增函数， 对于A，y=f（x﹣1）是由y=f（x）的图象向右平移一个单位得到，即y=2x﹣1，当x=0时，y=，故A错误，
对于B，y=f（x）﹣1是由y=f（x）的图象向下平移一个单位得到，即y=2x﹣1，当x=0时，y=0，故B错误，
对于C，y=﹣f（x）是由y=f（x）的图象关于x轴对称得到，即y=﹣2x当x=0时，y=﹣1，故C正确，
对于D，y=f（|x|）是由y=f（x）的图象右边的不变，左边的是由右边的沿y轴对折形成的，故D错误，
故选：C．
【点评】本题考查了图象的变换，关键是掌握变化的性质，属于基础题．
4. 在△ABC中.B = 60那么角A等于：( )
A.135B.90
C.45D.30
参考答案：
C
略
5. 已知，则f(x)（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数
参考答案：
A
略
6. 已知△ABC的面积S=，则角C的大小是（ ）
同济大学线性代数B期末试卷-含参考答案
2009-2010学年第一学期《线性代数B》期末考试试卷（B卷）--1
同济大学课程考核试卷（B卷）
2009—2010学年第一学期
命题教师签名： 审核教师签名：
课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试
此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( √ )试卷
年级 专业 学号 姓名 任课教师
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分
得分
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）
一、填空题（每空3分，共24分）
1．已知4阶方阵为2131,,,A, 1232,2,,B, 且 4A，2B，则行列式 BA 6 。
2. 设行列式1131100021034512D，jiA是D中元素jia的代数余子式，则2414AA -9 .
3. 已知矩阵222222aAaa，伴随矩阵0A，且0xA有非零解，则 C .
(A) 2a； （B） 2a或4a；
(C) 4a； (D) 2a且4a.
4. 向量组s，，，21)2(s线性无关，且可由向量组s，，，21线性表示，
则以下结论中不能成立的是 B
(A) 向量组s，，，21线性无关；
(B) 对任一个j(1)js，向量组sj，，，2线性相关；
(C) 向量组s，，，21与向量组s，，，21等价. 5. 已知3阶矩阵A与B相似且010100001A, 则201222BA=300030001.
2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
1 / 8 第I卷（选择题，共60分）
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．平面向量a与b的夹角为45°，a=（1，1），|b|=2，则|3a+b|等于( )
A．1362
B．25 C．30 D．34
2．已知平面向量a，b满足|a|=1，|ba|=2，且ab=2，则a与（ba）的夹角为( )
A．π3 B．π4 C．π6 D．2π3
3．设向量a=（2，3），a+b=（x，5），c=（–1，–1），若b∥c，则实数x的值为( )
A．0 B．4 C．5 D．6
4．如图所示，已知AC=3BC，OAa，OBb，OCc，则下列等式中成立的是( )
A．31–22cba B．c=2–ba
C．c=2–ab D．31–22cab
5．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bac，30A，则sinbBc( ) 2 / 8 A．12 B．22 C．32 D．34
6．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3A，3a，1b，则c( )
A．1 B．2 C．31 D．3
7．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为，b，c，若60A，1b，ABC△的面积为3，则a( )
A．2 B．10 C．23 D．13
8．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA∶sinB∶sin3C∶5∶7，那么这个三角形最大角的度数是( )
A．135 B．90 C．120 D．150