高考数学利用导数研究函数的零点
【高中数学】利用导数研究函数零点问题
高中数学学科
利用导数研究函数零点问题
考点一研究函数零点个数
[典例](2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝1
3x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
[解](1)当a＝3时，f(x)＝1
3x3－3x2－3x－3，
f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.
当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，
3＋23)．
(2)证明：因为x2＋x＋1>0，
所以f(x)＝0等价于x3
x2＋x＋1－3a＝0.
设g(x)＝x3
x2＋x＋1－3a，
则g′(x)＝x2x2＋2x＋3
x2＋x＋12≥0，
仅当x＝0时，g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－1
3＝－
6a－162－1
6<0，f(3a＋1)＝1
3>0，
故f(x)有一个零点．
综上，f(x)只有一个零点．
[对点训练]
设函数f(x)＝lnx＋m
x，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；高中数学学科
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x
3零点的个数．
解：(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝lnx＋e
x(x>0)，
则f′(x)＝x－e
x2，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋e
e＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题意知g(x)＝f′(x)－x
3＝1
x－m
x2－x
3(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－1
3x3＋x(x>0)．
利用导数研究函数的零点
第 1 页 共 3 页 2022年高考数学总复习：利用导数研究函数的零点
例1 (文)设函数f(x)＝x22－kln x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明若f(x)有零点，则f(x)在区间(1，e)上仅有一个零点．
[解析] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－kx＝x2－kx.
因为k>0，所以令f′(x)＝0得x＝k，列表如下：
x (0，k) k (k，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
减区间为(0，k)，增区间为(k，＋∞)．
当x＝k时，取得极小值f(k)＝k－kln k2.
(2)当k≤1，即0
f(1)＝12，f(e)＝e2－k2＝e－k2>0，所以f(x)在区间(1，e)上没有零点．
当1
f(1)＝12>0，f(e)＝e－k2>0，f(k)＝k－kln k2＝k1－ln k2>0，
此时函数没有零点．
当k≥e，即k≥e时，f(x)在(1，e)上单调递减，f(1)＝12>0，f(e)＝e－k2<0.所以f(x)在区间(1，e)上仅有一个零点．
综上，若f(x)有零点，则f(x)在区间(1，e)上仅有一个零点．
(理)(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定义域为[－2，t](t>－2)．
(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调函数；
(2)当1
[解析] (1)∵f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x·(x－1)ex，由f′(x)>0，得x>1或x<0；由f′(x)<0得0
∴f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
若使f(x)在[－2，t]上为单调函数，则需－2
即t的取值范围为(－2,0]．
(2)∵f′x0ex0＝x20－x0，f′x0ex0＝23(t－1)2，即x20－x0＝23(t－1)2，令g(x)＝x2－x－23(t－1)2， 第 2 页 共 3 页 则问题转化为当1
第6讲利用导数研究函数零点问题
第6讲利用导数研究函数零点问题
利用最值(极值)判断零点个数[典例引领] 已知函数f(x)＝－12ax2＋(1＋a)x－ln x(a∈R)．(1)当a＞0时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)当a＝0时，设函数g(x)＝xf(x)－k(x＋2)＋2.若函数g(x)在区间[12，＋∞)上有两个零点，求实数k的取值范围．【解】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数为f′（x)＝－ax＋1＋a－1x＝－(ax－1)(x－1)x(a＞0)，①当a∈(0，1)时，1a＞1.由f′（x)＜0，得x＞1a或a＜1.所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，1a，＋∞；②当a＝1时，恒有f′（x)≤0，所以f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；③当a∈(1，＋∞)时，1a＜1.由f′（x)＜0, 得x＞1或x＜1a.所以f(x)的单调递减区间为(0，1a)，(1，＋∞)．综上，当a∈(0，1)时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，1a，＋∞；当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a∈(1，＋∞)时，f(x)的单调递减区间为(0，1a)，(1，＋∞)．(2)g(x)＝x2－xln x－k(x＋2)＋2在x∈[12，＋∞)上有两个零点，即关于x的方程k＝
2020高考数学-导数与函数的零点
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第 2 讲导数与函数的零点
⑴
⑵
【知识点睛】
函数的零点等价于方程的根等价于函数的交点，转化一般如：
函数 y f x 图象的零点；（设 f x g x h x ）
等价于 方程 f x 0 的根；
等价于 方程 g x h x 的根；
等价于 函数 y g x 与 y h x 图象的交点．
1. 方程可以求解，但更多的时候，方程仅起到过渡作用．通过方程的变形，完成函数的变形．使得零点和交点得以相互转化．
2. 交点一般需要两个函数有清晰的变化关系，通过图象求解．大题中变形成交点问题来处理往往出于两种目的：
⑴通过分析图象间关系快速得到答案；
⑵常规手段极其困难时的“狗急跳墙”方法．
所以，交点的处理一般起到辅助作用，并非主要方法，除非万不得已，不推荐使用图象间交点说明问题．
3. 零点是大题中解决问题的主要方法．通过图象配合零点存在定理解决问题．根据零点存在定理：“连续函数 f x 在a, b 上单调，且 f a f b 0 ，则a, b 上有且只有一个 x0 ，使得
f x0 0 ”，每个零点的判断都由两部分完成：
⑴完成单点区间的判断；
⑵在单调区间上找到两个异号的函数值． . 第 2 页
f
【例1】 x ln 1 x mx x 0, e2 1f m 第 3 页
f 【例2】 2018 x 1 a ln x a R x x , a f 1
e2 第 4 页
f 【例3】 x ex ax a R 0, a 第 5 页
f
f ex
2 【例4】 2014 x x2 k x ln x ⑵ x 0, 2 x ⑴ k ≤ 0 f
2022年高考数学总复习专题突破 利用导数研究函数的零点
第3课时 利用导数研究函数的零点
题型一 判断、证明或讨论函数的零点个数
[例1] [2021·山东青岛质检]已知函数f(x)＝ln x－x＋2sin x，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)求证：f′(x)在(0，π)上存在唯一零点；
(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点．
[听课记录]
类题通法
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
巩固训练1：已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论g(x)＝f(x)x－12在区间[0,1]上零点的个数．
题型二 根据零点个数确定参数
[例2] [2020·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
[听课记录]
类题通法
已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
巩固训练2：已知曲线f(x)＝ex(ax＋1)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.
(1)求a，b.
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．
2023届高考数学一轮复习讲义：第21讲 利用导数探究函数的零点问题
1 / 15
第21讲 利用导数探究函数的零点问题
➢ 考点1 数形结合研究函数的零点
[名师点睛]
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
[典例]
(2022·廊坊联考)已知函数f(x)＝12x2－a2ln x，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为16x＋2y－17＝0，求a的值；
(2)若a>0，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，求a的取值范围．
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[举一反三]
1.已知函数f(x)＝xex＋ex.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．
2.设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．
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➢ 考点2 利用函数性质研究函数零点
[名师点睛]
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
[典例]
(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．
①12＜a≤e22，b>2a；②0＜a＜12，b≤2a.
4 / 15
[举一反三]
1.已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
2.(2021·济南二模)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a＝2时，求函数g(x)＝f(x)－cos x在－π2，＋∞上的零点个数．
高考数学一轮复习第4讲 第3课时 利用导数研究函数的零点问题
第3课时 利用导数研究函数的零点问题
考向一 判断函数零点或方程的根个数问题
例1 已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828….
(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点；
(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．
解 (1)证明：由题意可得
h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x－x，
所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，
所以h(1)h(2)<0，
所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点．
(2)由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x－x.
由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)，
而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．
又h(x)在(1,2)内有零点，
因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．
h′(x)＝ex－12x－12－1，记φ(x)＝ex－12x－12－1，
则φ′(x)＝ex＋14x－32，
当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，
因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，
即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，
则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，
所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
1.(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.
高中数学-利用导数研究函数零点专题练习
1 高中数学-利用导数研究函数零点专题练习
1.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个互不相同的公共点,求a的取值范围.
解:先求函数f(x)的单调区间,
令f′(x)=3x2-3=0,
解得x=±1,
当x<-1或x>1时,f′(x)>0,
当-1
所以在(-∞,-1)和(1,+∞)上,f(x)=x3-3x单调递增,
在(-1,1)上,f(x)=x3-3x单调递减,
f(-1)=2, f(1)=-2,
由此可以作出f(x)=x3-3x的草图(如图).
由图可知,当且仅当-2
直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个互不相同的公共点.
所以,a的取值范围为(-2,2).
2.(2017·云南临沧)设函数f(x)=bx3- (2b+1)x2+6x+a(b>0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设b=1,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求a的取值范围.
解:(1)f′(x)=3bx2-3(2b+1)x+6=3(x-2)(bx-1),
令f′(x)=0得x=2或x=,
①当<2即b>时,f(x)在(-∞,)和(2,+∞)上递增,在(,2)上递减.
②当>2即0
③当=2即b=时,f′(x)= (x-2)2≥0,所以f(x)在R上递增.
(2)b=1时,f(x)=x3-x2+6x+a,
所以f′(x) =3x2-9x+6=3(x-2)(x-1),
所以f(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减,
所以f(x)在x=2处取得极小值,在x=1处取得极大值,
所以依题意只需f(2)>0或f(1)<0即可,f(2)=2+a>0或f(1)= +a<0,
所以a>-2或a<-.
所以a的取值范围为(-∞,-)∪(-2,+∞).
3.导学号 38486074已知函数f(x)=x-aex,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程;
(2)若曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.
利用导数研究函数的零点或方程的根学生版
利用导数研究函数的零点或方程的根
方 法
判断函数的零点个数
(1)根据题意构造函数f(x),其中f'(x)=0可解;；
(2利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；
(3)结合f(x)的图象(或草图)及零点存在性定理得f(x)=0的根的个数 典型例题(1)
根据函数的零点求解参数范围：根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题. 进而得到参数应满足的不等式(组),从而得解典型例题(2)
温馨提醒：在利用分离参数法的时候要特别注意参数前面的系数的符号问题，一般情况下在确保系数恒为正或者负的时候适宜分离，否则需要分类讨论.
典型例题精选与变式
设函数f(x)=ln x+mx,m∈R,讨论函数g(x)=f'(x)-x3零点的个数.
(1) 已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax(e＝2.718 28…
是自然对数的底数).若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2ln x＋a)在区间0，12内无零点，求实数a的最大值.
新题好题训练与提高
1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数e2xfxax．
（1）当1a时，讨论fx的单调性；
（2）若fx有两个零点，求a的取值范围．
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数20】已知函数32fxxkxk．
（1）讨论fx的单调性：
（2）若fx有三个零点，求k的取值范围．
3．（2020·浙江省杭州第二中学高三三模）设函数11,(,2)(){1(2),[2,)2xxfxfxx，则函数()()1Fxxfx的零点的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2020·辽宁丹东高三三模）已知函数21,0log,0xxfxxx，则1yffx的零点个数为（ ）
2025届高考数学一轮复习教案：导数-导数的函数零点问题
第2课时导数的函数零点问题
【命题分析】函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点
的个数或范围.高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题,以及
函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.【核心考点·分类突破】
题型一利用导数探究函数的零点个数[例1]设函数f(x)=lnx+,m∈R,讨论函数g(x)=f'(x)-3零点的个数.
【解析】由题意知g(x)=f'(x)-3=1-2-3(x>0),令g(x)=0,得m=-13x3+x(x>0).设φ(x)=-13x3+x(x>0),
则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.
所以x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,
所以x=1也是φ(x)的最大值点,所以φ(x)的最大值为φ(1)=23.
结合y=φ(x)的图象(如图)可知,
①当m>23时,函数g(x)无零点;
②当m=23时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>23时,函数g(x)无零点;
当m=23或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
当0
【解题技法】
利用导数确定函数零点或方程的根的个数的方法
(1)构造函数:构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号
(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.
(2)应用定理:利用零点存在定理,先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区
间上零点的个数.
【对点训练】
(2023·郑州质检)已知函数f(x)=ex-ax+2a,a∈R.