高三数学(理)一轮复习(课件)第七章 立体几何7-6
2013届高考数学一轮复习课时检测 第七章 第七节 立体几何中的向量方法 理
1 第七章 第七节 立体几何中的向量方法
一、选择题
1．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为
( )
A．10 B．－10
C.12 D．－12
解析：∵α⊥β，∴a²b＝0
∴x＝－10.
答案：B
2．已知AB＝(1,5，－2)， BC＝(3,1，z)，若 AB⊥ BC， BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为 ( )
A.337，－157，4 B.407，－157，4
C.407，－2,4 D．4，407，－15
解析： AB⊥ BC⇒ AB² BC＝3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又BP⊥平面ABC，
∴BP²AB＝x－1＋5y＋6＝0，①
BP²BC＝3x－3＋y－3z＝0，②
由①②得x＝407，y＝－157.
答案：B
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：以D点为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则相关点的坐标为C(0,1,0)，E(12，12，1)，
2 B(1,1,0)，D(0,0,0)，∴ CE＝(12，－12，1)， BD＝(－1，－1,0)．
∴ CE² BD＝－12＋12＋0＝0.
∴ CE⊥ BD，即CE⊥BD.
答案：D
4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 . 空间向量及运算练习 理-课件
1 第七章 立体几何 7.6 空间向量及运算练习 理
[A组²基础达标练]
1．[2016²潍坊月考]
如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为( )
A．(1,1,1) B.1，1，12
C.1，1，32 D．(1,1,2)
答案 A
解析 设P(0,0，z)，
依题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，
则E1，1z2，
于是DP→＝(0,0，z)，AE→＝－1，1，z2，
cos〈DP→，AE→〉＝DP→²AE→|DP→||AE→|＝z22|z|²z24＋2＝33.
解得z＝±2，
由题图知z＝2，故E(1,1,1)．
2．[2015²青岛一模]已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
答案 C
解析 ∵c＝2a，∴a∥c
又a²b＝(－2，－3,1)²(2,0,4)＝0，故a⊥b，故选C.
3．[2016²银川质检]已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ 2 的值可以是( )
A．2，12 B．－13，12
C．－3,2 D．2,2
答案 A
解析 ∵a∥b可得 λ＋16＝22λ2μ－1＝0
解得 λ＝2，μ＝12或 λ＝－3，μ＝12.
4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( )
A.627 B.637
C.647 D.657
答案 D
解析 由题意存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)，
2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量3空间点直线平面之间的位置关系练习含解析
1 空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要求 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 知识梳理
1．平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
共面直线 相交直线，平行直线，异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点.
4．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
5．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
6．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
7．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2 (2)范围：0，π2．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( √ )
(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．( × )
(4)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )
2015年高三数学(理)一轮复习讲义：7.7立体几何中的向量方法(一)--证明平行与垂直(人教A版)
第7讲 立体几何中的向量方法(一)--证明平行与垂直
[最新考纲]
1．理解直线的方向向量及平面的法向量．
2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
知 识 梳 理
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，与AB→平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 n·a＝0，n·b＝0.
2．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2. l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0
l⊥α n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m. α∥β n∥m⇔n＝λm
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
辨 析 感 悟
1．平行关系
(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)
(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1
与l2的位置关系是平行．(√)
2．垂直关系
(3)已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±13，－23，23.(√)
(4)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．(√)
[感悟·提升]
1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨．
2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.
2023届高三数学一轮复习专题 立体几何垂直系统 讲义 (解析版)
第 1 页 共 9 页 高三数学第一轮复习专题 垂直系统专题
第一部分 直线与平面垂直的判定及性质
一。线面垂直的定义：
ll若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称直线与平面垂直.记作：l。
l直线叫做平面的垂线，平面叫做l直线的垂面。
（★★★）线面垂直的定义可以作为线面垂直的性质定理使用：
若l直线与平面垂直，则l直线与平面内任意一条直线都垂直。
,lala 线面垂直线线垂直
二。线面垂直的判定定理：
1。判定定理1：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直。 （★★★）
线线垂直线面垂直
,,,,ababPlalbl
两个核心条件：,lalb
2。判定定理2：若两平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。（★★）
a∥b，ab
三。线面垂直的性质定理：
1。性质定理1：垂直于同一平面的两直线平行。
a，ba∥b 第 2 页 共 9 页
2。性质定理2：垂直于同一直线的两平面平行。
l，l∥
题型一：线线垂直与线面垂直的互相证明 ★★★★★
判定定义线线垂直线面垂直
这两个定理（定义）构成了一个很重要的小循环：
线线垂直线面垂直线线垂直线面垂直
例1。P为ABC所在平面外一点，PAABC平面，090ABC，AEPBE于，AFPCF于。求证：PCAEF平面。（★★）
规律：常用线面垂直来证明
两直线“异面垂直”。
已知的是相交垂直，要证的是异面垂直。
分析：从后往前分析。
要证PCAFPCAEFPCAEAEPBC已知平面平面
第 3 页 共 9 页 090AEPBBCABABCAEBCBCPABBCPAPAABC已知平面平面
2014届高考数学一轮复习 第7章《立体几何》(第3课时)知识过关检测 理 新人教A版
1 2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第7章《立体几何》（第3课时）（新人教A版）
一、选择题
1．若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是( )
A．异面直线 B．平行直线
C．相交直线 D．以上三种情况都有可能
解析：选D.把直线放在正方体内可知a与c可以异面、平行或相交．
2．(2013·石家庄调研)若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( )
A．与直线a，b都相交
B．至少与a，b中的一条相交
C．至多与a，b中的一条相交
D．与a，b中的一条相交，另一条平行
解析：选B.若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.
3.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.有2条：A1B和A1C1，故选B.
4．(2013·大连质检)以下几个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得四边形的四条边可以不在一个平面上．
5．(2013·聊城质检)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
A．①② B．②③