第三章 假设检验(二).
第3章假设检验
One-Sample T Test （单样本t检验）
Independent（独立样本t检验）
Paired（配对样本t检验）
二、方差的检验---2-检验，F检验
方差齐性的检验：Levene检验（基于单因素 方差分析，较不强求正态条件）----当显著水平值 小于0.05时，拒绝方差齐性原假设。
20
19
20
59
18
7
11
36
56
53
41
150
试问学生家长对新学制的态度与家长职业是否有关？[P86/15]
解：态度与职业无关----态度与职业互相独立。 （1） 建立数据文件，注意分别将职业（行变量）与态
度（列变量) 作为两分类变量。 （2） 统计分析。Analyze /Descriptive statistics
有无显著差异。 (P92/16)
解 使用命令
Analyze /Compare Mean /Independent Sample T Test
注：1）在使用SPSS作独立样本的t检验时，程序会自动给出方差 齐性的Levene检验，当p>0.05时可认为方差齐性成立； 2）程序每次都分别给出方差齐与不齐情形下的t检验结果供选 用。
78 76 82 90 96 59 80 80 65 67 92 85 83 86 68
75 85 87 79 78 82 89 94 88 77 68 98 50 76 78 问该成绩是否服从正态分布？(P83/14)
解：H0:F(x)N(,) 建立数据文件； 进行数据分析
Analyze /Descriptive Statistics /Explore
3[1].1假设检验初述,二类错误
![3[1].1假设检验初述,二类错误](https://img.taocdn.com/s3/m/259a1b59be23482fb4da4c43.png)
第三章 假设检验3.1 假设检验 两类错误（1）假设检验（hypothesis test ） 假设检验是统计推断的另一类重要问题，是概率意义下的一种反证法。
一般，当母体X 的分布完全未知，或只知其形式而不知其参数时，为推断母体的有关特性，提出针对母体的某项假设；再对母体进行抽样，依据子样值对所提假设做出接受或拒绝的决策。
（2）决策依据——实际推断原理 小概率事件在一次试验中几乎不发生。
若抽样结果是小概率事件在这一次试验中发生了，就有理由怀疑假设的正确性，从而做出拒绝原假设的决策；否则接受原假设。
例 3.1.1 某饮料厂在自动流水线上装饮料，每瓶的重量（单位：克）)10,(~2μN X ，正常生产情况下500=μ，一段时间后，为检查机器工作是否正常，抽取9个样品，称重后算得494=x ，试问：此时自动流水线的工作是否正常？解：①提出假设母体)10,(~2μN X ，其中μ未知，在母体上作原假设0H 和备择假设（或称对立假设）1H 如下：↔==500:00μμH 500:01=≠μμH ②构造检验统计量X ∴的值应与μ很接近，想到用X 的值来检验原假设0H .当原假设成立时，10),,(~0200=σσμN X ，故),(~200n N X σμ，从而)1,0(~/10500/000N n X n X U H -=-=σμ（3-1）③给定小概率，找出拒绝域取小概率02.0=α，则有2αu 使}{2αα=≥u U P （3-2）}{2αu U ≥是一个小概率事件，如果一次抽样的结果是这一小概率事件发生了，则认为原假设不合理，应予拒绝。
即应取拒绝域}),,,{(221αu U x x x W n ≥= }),,,{(221ασμu n X x x x n ≥-= （3-3）④做出决策 这时，494=x ，5000=μ，9,100==n σ，8.1=∴U ；02.0=α，33.201.02==u u α，故2αu U <，∴应接受0H ，即认为机器工作正常.注：①假设检验又称为差异显著性检验；②假设检验是具有概率性质的反证法；③拒绝H的说服力强，接受0H的说服力不强；④α越小，拒绝H的说服力越强。
第三章假设检验例子
试问，在显著性水平
25%下，能否认为每匹布上的疵点数服从泊松分布。
例：一位环保工程师要考察某条河流的污染情况。 他收集了河流与某个居民点的距离 X （单位：公里） 及河流该处的生化需氧量 Y （单位： 104 mL / L ）的 15 对数据如下表：
xi yi 65 2 9 18 20 25 28 50
显著性水平 =0.1 下，对总体 X 是否服从二项分 布 B 2, 0.5 作 2 拟合优度检验，其中 X 表示两 个孩子的家庭中男孩个数，并对结论作直观解释。
例：某厂在全面质量管理工作中，抽查了 50 匹布， 记录下它们的疵点数：
疵点数 频数 0 1 2 3 4
21 18 7 3 1
更新设备后，从新生产的产品中随机抽取 100 个，
测得平均重量 x 12.5 克 , 如果方差不变，问更新 设备后，产品的平均重量是否有显著变化 X ~ N , 2 ， 今从一批产品中抽查 10 根测其折断力，算得
均未知，试问在显著性水平 5%下，能否认为距离与 生化需氧量无关？
例：为了考察某地区 50 岁以上的成年人吸烟 习惯与患肺癌之间的关系，调查了 112 名对象， 得列联表如下：
人数 吸烟 不吸烟 n j
患肺癌 未患肺癌 18 12 4 78
ni
，试问在
n 112
显著性水平 1%下，能否认为吸烟习惯与患肺癌无关？
例：为了检查一颗骰子是否均匀，把这颗骰子掷了 100 次，得结果如下表：
出现点数 频数 1 2 3 4 5 6
14 15 13 20 18 20
试在显著性水平
=0.05 下作 2 拟合优度检验。
例：为了检验某厂生产的灯泡的使用寿命是否服从 指数分布，随机地抽查了 150 只灯泡，测得它们的 平均使用寿命 x 200 小时 ，把这 150 个数据 分组整理后如下表：
数值分析答案第三章习题
u=
x1 − x2 s1 s2 − n1 n2
2 2
~ N (0,1)
(3)给定显著水平α = 0.01，查得u α = 2.575, 使 p u ≥ uα ≈ α
2
{
2
}
2
ˆ ˆ (4)由样本计算, p1 = 0.53, p2 = 0.87 ˆ ˆ ˆ ˆ s1 = p1q1 = 0.53 × 0.47, s2 = p2 q2 = 0.87 × 0.13
( x − µ1 ) 2
3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为 x(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布。问在下α = 0.01 能 否接受假设：这批矿砂的(平均)镍含量为3.25。 解：设 ， 未知，计算 2 x ~ N (µ ,σ ) σ 2 x ＝３.252， =0.013。 （1）建立假设
∴
323 / 24
142 × 24 = = 2.1537 > t0.025 (23) = 2.069) 323
试问：从这组数据能否说明新安眠药的睡眠时 间已达到新的疗效（假定睡眠时间服从正态分 布，取 α = 0.05 ）？ 2 x1 ~ (20.8,1.6 2 ) 解： x2 ~ ( µ , σ 2 ) 1、（1）建立假设 H 0 ：σ = σ = 1.6
∴ 接受
6 × 2.296 2 2 χ2 = = 12.355 < χ α (6) = 14.49 2 1.6 2
H0
x − µ0 t= * ~ t (n − 1) s / n
（3）给定 α = 0.05，查得 t (6) = 2.4469 （4）由样本计算，= 24.2 − 23.8 = 0.4 × 7 = 0.46 < t t
应用数理统计作业题及参考答案(第三章)
第三章 假设检验P1313.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。
现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。
已知该种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。
解：本题需检验0H ：0μμ≥，1H ：0μμ<.元件寿命服从正态分布，0σ已知，∴当0H成立时，选取统计量X u μ-=，其拒绝域为{}V u u α=<.其中950X =，01000μ=，25n =，0100σ=.则 2.5u ==-.查表得0.05 1.645u =-，得0.05u u <，落在拒绝域中，拒绝0H ，即认为这批元件不合格。
3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2N μσ，，其中40σ=（kg / cm 2）。
现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20（kg / cm 2）。
设总体方差不变，问在0.01α=下能否认为这批钢索质量有显著提高？解：本题需检验0H ：0μμ=，1H ：0μμ>.钢索的断裂强度服从正态分布，0σ已知，∴当0H成立时，选取统计量u =，其拒绝域为{}1V u u α-=>.其中040σ=，9n =，020X μ-=，0.01α=.则 1.5u ==.查表得10.990.01 2.33u u u u αα-==-=-=，得0.99u u <，未落在拒绝域中，接受0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高。
3.5 测定某种溶液中的水分。
它的10个测定值给出0.452%X =，0.035%S =。
设总体为正态分布()2N μσ，，试在水平5%检验假设：（i ）0H ：0.5%μ>； 1H ：0.5%μ<. （ii ）0H ：0.04%σ≥； 1H ：0.04%σ<. 解：（i ）总体服从正态分布，0σ未知，当0H成立时，选取统计量t =(){}1V t t n α=<-.查表得()()0.050.9599 1.8331t t =-=-.而()4.114 1.83311t t n α==-<-=-.落在拒绝域中，拒绝0H .（ii ）总体服从正态分布，μ未知， 当0H 成立时，选取统计量222nSχσ=，其拒绝域为(){}221V n αχχ=<-.查表得()20.059 3.325χ=.而()()()2222100.035%7.65610.04%n αχχ⨯==>-.未落在拒绝域中，接受0H .3.6 使用A （电学法）与B （混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是－0.72℃的冰块，下列数据是每克冰从－0.72℃变成0℃水的过程中的吸热量（卡 / 克）：方法A ：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03，80.02，80.00，80.02方法B ：80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，且它们的方差相等。
《应用数理统计》吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案
《应用数理统计》吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第三章 假设检验课后作业参考答案3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。
假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。
已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响( 01.0=α)解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36/06.064.261.2/u 00-=-=-=nX σμ(3)否定域⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=--21212αααu u u u u u V(4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.2212=-=-ααuu ，(5) 2αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。
3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。
已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。
解：{}01001:1000, H :1000X 950 100 n=25 10002.5V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得：拒绝域：本题中：0.950.950u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2,σμN ，其中()2/40cm kg =σ。
现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2/cm kg )。
数理统计教程课后重要答案习题
第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以 统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα， 得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
第三章假设检验
在假设检验中，检验的目的就是通过实测资料来 判断是接受还是拒绝这个原假设，这种假设检验也称 为显著性测验。如果检验的结果否定了原假设，就说 （假设与实际）差异显著，就接受备择建设；如果检 验的结果不能否定原假设，就说（假设与实际）无差 异显著。
第三章 假设检验
第一节 假设检验基本概念
例如有甲、乙两个气象站，甲站由15年实测资 料计算得的累年平均气温为25.4℃，乙站由10年实 测资料计算得的累年平均气温为24.5℃，要问如果 画25℃的年平均气温的等温线，通过甲、乙两个气 象站哪个合理？类似这样的问题，需要通过统计假 设检验来解决。
所谓统计假设检验是对总体的特征值作出某种假 设，然后根据适当的方法检验这种假设的合理性，这 种统计推断方法就称为统计假设检验。
第三节 方差的假设检验 一、单个正态总体方差检验
二、两个正态总体方差检验
第四节 总体成数的假设检验 许多试验结果用成数或百分数表示，如各格率、 达标率、发芽率、成活率等。如果样本容量较大， 百分数的分布可作正态分布，也可用U检验。 一、单一验
（一）单个正态总体均值检验
二、用小样本作总体平均值假设检验
(一) 单个正态总体均值检验
(二) 两个小样本正态总体均值检验
（三）配对数据均值检验
试验条件很接近的条件下，可采用配对数据的 均值比较。
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• 第一类错误：H0本身正确，但是通过假设
检验却否定了它,也就是将非真实差异错判 为真实差异.又叫α错误。
• 第二类错误：H0本身错误，但是通过假设
检验却接受了它,也就是将真实差异错判为 非真实差异.又叫β错误。
两类错误示意图
• 减小第一类错误：缩小α。
• 减小第二类错误：减小均数标准误 x
食品试验设计 Experiment Design of
Food Research
主讲: 曹文红 Speeches: Cao Wenhong 广东海洋大学食品科技学院 College of Food Science &
Technology,GDOU
统计假设检验
• 主要讲授内容： • 1、统计假设检验的意义及基本原理 • 2、统计假设检验的方法与步骤 • 3、统计假设检验的几何意义与两类错误 • 4、样本平均数的假设检验 • 5、二项百分率的假设检验 • 6、统计假设检验应注意的问题 • 7、参数的区间估计
理效应不存在。
x 可以看成是从 0 总体中随机抽取的一个样本平均数
x 服从
N
(0
,
2
n
)
对其标准化，使之服从标准正态分布
u x 0 : N(0,1) / n
• III、根据估计出的统计量的概率的大小，
作出接受或者否定无效假设的判断。
• 根据统计量的概率与显著性水平大小的
关系作出接受或者否定无效假设的判断。
• 统计假设检验从逻辑过程看也是一种反证法。统计检
验人员常常希望证明备择假设是正确的，但他却不直接证 明备择假设的正确性，而是从与备择假设对立的虚无假设 出发，以虚无假设为条件，采集样本数据，确定抽样分布， 计算检验统计量,考察检验计量取值的概率，如果最终发 现这是一个小概率事件，那就要根据小概率事件原理推翻 原虚无假设。当然，研究者必须保证在整个过程中除所作 虚无假设之外的一切工作都是严密、科学的。虚无假设与 备择假设是一对互否命题，也就是我们前面所说的他们是 非此即彼的，推翻了虚无假设，备择假设就自然成立了。 这就是统计假设检验应用反证法的 “反证”过程。
概括起来说，统计假设检验就是一种带有概率值 保证的反证法。
反证法是大家熟悉的一种逻辑推理证明方法。有 些命题从正面进行推论难以证明，但证明它的否命题 却往往事半功倍，这就是反证法的思想方法。这样做 的理由是从逻辑上说，否命题不成立，则其原命题就 自然成立。反证法在数学证明中应用比较多。反证法 的逻辑就是：证明了作为否命题的假设的错误，那么 原命题就自然正确了。
序言
• 许多科学研究都是从建立假说开始的。 天文学史
上的日心说、宇宙发生史上的大爆炸说、地球形 成史上的冷凝说、大陆形成史上的板块漂移说等， 都是一些假说。假说是人们依据已获得的部分信 息对客观世界的某种性状作出的推断性描述。假 说既可能属真，也可以有误。假说在被提出之后， 人们又进一步搜集信息，对假说的正确性进行验 证。经过验证，或推翻假说或支持假说，真理就 在这一过程中不断地被揭示、被发展，谬误也在 这一过程中不断地被推翻、被纠正。统计假设检 验的过程类似于这一证实或推翻假说、从而获取 真理的过程。
•
所谓带有概率值保证是指上述的用反证的方法作的统计
假设检验，最终推翻虚无假设也即由于所求检验统计量的取
值为一小概率事件，而根据小概率事件原理推翻虚无假设。
我们知道，根据小概率事件原理作决策判断是一种科学的正
确的决策思想方法，但并不保证每次的决策都是正确。换句
话说，这一推翻虚无假设的决策也是可能犯错误的，只是犯
x1 x2 (1 2 ) (1 2 )
处理效应
试验误差
1.2 统计假设检验的基本原理
• I、对研究的总体提出假设：
H0：μ=μ0 （无效假设） HA： μ≠μ0 （备择假设）
II、在H0成立的条件下，构造合适的统计量，并由该统
计量的抽样分布计算样本统计量的概率。
μ=μ0 ，所以表面效应 | x 0仅| 由误差造成，处ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
必须|u|≥uα，亦即u≤-uα， u≥uα。也就是
x u x 0 ux
H0 : 0 H A : 0
0 x
H0：μ= μ0 被否定 ，这个区域叫否定域。
0 u x x 0 u x
H0： μ= μ0 被肯定 ，这个区域叫肯定域。
II、统计假设检验的两类错误
• 统计假设检验是根据小概率事件的不可能
• α=0.05、α=0.01
1.3 统计假设检验的步骤
• （1）建立假设。 • （2）确定显著性水平α。 • （3）检验计算统计量。构造一个统计量使
它服从标准正态分布或者是t分布。
• （4）统计推断。
1.4 统计假设检验的几何意义与两类错误
• I、几何意义
• 在统计假设检验中，要在显著水平α否定H0，
两尾检验与一尾检验
• 科学研究的目的是获得总体的信息。而我
们只能以来自总体的样本作为试验对象， 在试验研究中，所获得的资料通常都是样 本的结果，而我们希望了解的却是样本所 在总体的情况。因此，还须从由样本到总 体的方向来研究样本与总体的关系，即进 行统计推断。
• 所谓统计推断，就是根据抽样分布规律与
概率理论，由样本结果去推论总体特征。 主要包括假设检验和参数估计。
错误的概率比较小而决策正确的概率比较大，而且这个决策
正确的概率是由我们控制，是可以计算的。这就是统计假设
检验“带有概率值保证”的含义。
一、统计假设检验概述
• 1、统计假设检验的意义与基本原理
1.1、统计假设检验的意义
例：老工艺μ0= 48.2%
新工艺 x =52.5%
x 0 4.3%
这个差异到底是由什么造成的？ 采用新工艺？ Or由抽样误差造成的？ Or由这两个部分共同造成的？
| x 0 | 叫做表面效应
统计学认为，仅由表面效应下结论是不正 确的。因为我们不知道采用新工艺之后的总 体平均数μ是否高于原总体平均数μ0。
x xi ( i )
n
n
x 0 0 ( 0)
处理效应
试验误差
• 统计假设检验正是这样一种运用抽样分布
规律和概率理论，由从试验样本获得的表 面效应去推断试验的处理效应是否真实存 在的统计方法。