-多元线性回归模型
第三章 多元线性回归模型
即
Y Xb U
X 称为数据矩阵或设计矩阵。
6
二、古典假定
假定1：零均值假定 E(ui ) 0 (i 1,2,...,n)
1 E ( 1 ) E ( ) 2 2 E (μ) E 0 n E ( n )
写成矩阵形式：
Y1 1 X 21 Y 1 X 22 2 Yn 1 X 2 n X 31 X k 1 b 1 u1 X 32 X k 2 b 2 u 2 X 3 n X kn b k un
或
ei 1 X 21 X e 1 X 22 2i i X ki ei 1 X 2 n X 31 X k 1 e1 X 32 X k 2 e2 X e 0 X 3 n X kn en
9
当总体观测值难于得到时，回归系数向 量 b 是未知的，这时可以由样本观测值进行 估计，可表示为
ˆ ˆ Xb Y
但实际观测值与计算值有偏差，记为：
ˆ e Y Y
于是
ˆ e Y Xb
称为多元样本回归函数。
10
ˆ b 1 ˆ b2 ˆ b ˆ b k
同理
ˆ x x b ˆ x 2 x3 i yi b 2 2i 3i 3 3i
x2 i yi x x3 i yi x2 i x3 i ˆ b2 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
2 3i
x3 i yi x x2 i yi x2 i x3 i ˆ b3 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
多元线性回归模型的估计与解释
多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。
一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。
其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。
它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。
残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。
2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。
将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。
三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。
系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。
此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。
假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。
对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。
F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。
对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。
通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
多元线性回归——模型、估计、检验与预测
多元线性回归——模型、估计、检验与预测⼀、模型假设传统多元线性回归模型最重要的假设的原理为：1. ⾃变量和因变量之间存在多元线性关系，因变量y能够被x1,x2….x{k}完全地线性解释；2.不能被解释的部分则为纯粹的⽆法观测到的误差其它假设主要为：1.模型线性，设定正确；2.⽆多重共线性；3.⽆内⽣性；4.随机误差项具有条件零均值、同⽅差、以及⽆⾃相关；5.随机误差项正态分布具体见另⼀篇⽂章：回归模型的基本假设⼆、估计⽅法⽬标：估计出多元回归模型的参数注：下⽂皆为矩阵表述，X为⾃变量矩阵(n*k维)，y为因变量向量（n*1维）OLS（普通最⼩⼆乘估计）思想：多元回归模型的参数应当能够使得，因变量y的样本向量在由⾃变量X的样本所构成的线性空间G（x）的投影（即y’= xb）为向量y 在线性空间G(x)上的正交投影。
直⽩⼀点说，就是要使得(y-y’)’(y-y’)最⼩化，从⽽能够使y的预测值与y的真实值之间的差距最⼩。
使⽤凸优化⽅法，可以求得参数的估计值为：b = (x’x)^(-1)x’y最⼤似然估计既然已经在假设中假设了随机误差项的分布为正态分布，那么⾃变量y的分布也可以由线性模型推算出来（其分布的具体函数包括参数b在内）。
进⼀步的既然已经抽取到了y的样本，那么使得y的样本出现概率（联合概率密度）最⼤的参数即为所求最终结果与OLS估计的结果是⼀致的矩估计思想：通过寻找总体矩条件(模型设定时已经有的假设，即⽆内⽣性)，在总体矩条件中有参数的存在，然后⽤样本矩形条件来进⾏推导未知参数的解。
在多元回归中有外⽣性假设：对应的样本矩为：最终估计结果与OLS⽅法也是⼀样的。
三、模型检验1.拟合优度检验（1）因变量y是随机变量，⽽估计出来的y’却不是随机变量；（2）拟合优度表⽰的是模型的估计值y’能够在多⼤程度上解释因变量样本y的变动。
（3）y’的变动解释y的变动能⼒越强，则说明模型拟合的越好y-y’就越接近与假设的随机误差（4）⽽因变量的变动是由其⽅差来描述的。
多元线性回归模型
第三章 多元线性回归模型基本概念(1)多元线性回归模型； (2)偏回归系数；(3)正规方程组； (4)调整的多元可决系数； (5)多重共线性； (6)假设检验； 练习题1. 多元线性回归模型的基本假设是什么?试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用?2．在多元线性回归分析中，t 检验与F 检验有何不同?在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用?3．为什么说对模型参数施加约束条件后，其回归的残差平方和一定不比未施加约束的残差平方和小?在什么样的条件下，受约束回归与无约束回归的结果相同?4．在一项调查大学生一学期平均成绩(Y )与每周在学习(1X )、睡觉(2X )、 娱乐(3X )与其他各种活动(4X )所用时间的关系的研究中，建立如下回归模型： 011223344Y X X X X u βββββ=+++++如果这些活动所用时间的总和为一周的总小时数168。
问：保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是否有意义?该模型是否有违背基本假设的情况? 如何修改此模型以使其更加合理?5.表3-1给出三变量模型的回归结果。
表 3-1(1)求样本容量n ，残差平方和RSS ，回归平方和ESS 及残差平方和RSS 的自由度。
(2)求拟合优度2R 及调整的拟合优度2R -。
(3)检验假设：2X 和3X 对Y 无影响。
应采用什么假设检验?为什么? (4)根据以上信息，你能否确定3X 和3X 各自对Y 的影响?6.某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为 12310.360.0940.1310.210Y X X X =-++20.214R =其中，Y 为劳动力受教育年数，1X 为该劳动力家庭中兄弟姐妹的人数，2X 与3X 分别为母亲与父亲受教育的年数。
问：(1) 1X 是否具有预期的影响?为什么?若2X 与3X 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要1X 增加多少?(2)请对2X 的系数给予适当的解释。
多元线性回归模型构建
多元线性回归模型构建多元线性回归模型是统计分析中一种常用的数据拟合方法，可用来对定量变量之间的关系进行建模，预测定量变量的变化，以及预测结果的置信水平等。
本文将针对多元线性回归模型的概念及其理论模型，结构介绍，应用说明以及优缺点等方面进行详细介绍。
二、概念多元线性回归模型（Multiple Linear Regression Model, MLRM）是统计分析中最常用的数据拟合方法，也是机器学习和数据挖掘的一种经典算法。
它可以用来在多个定量变量之间建立一个线性回归关系，从而预测定量变量的变化，以及预测结果的置信水平等。
多元线性回归模型以线性模型为基础，以求解最小二乘问题（Least Squares Problem）来寻找常数和系数，旨在找到最佳拟合模型。
三、结构多元线性回归模型以线性模型为基础，以求解最小二乘问题（Least Squares Problem）来寻找常数和系数，旨在找到最佳拟合模型，其结构如下：多元线性回归模型：Y=b0+b1*X1+b2*X2…+b n*XnY 为因变量，指被预测的定量变量；X1、X2…Xn是自变量，指可用来预测因变量变化的定量变量； b0、b1、b2…b n分别为关系中各个自变量的系数。
四、应用多元线性回归模型广泛应用于社会科学，包括经济学、管理学、法学等多个领域。
例如，探讨一个企业经济活动的盈利情况，就可采用多元线性回归模型计算出不同的投资因素对企业收益的影响程度。
因此，多元线性回归模型可以应用在预测和决策分析中，从而更好地支持决策。
五、优点(1)多元线性回归模型可涉及多个自变量，可模拟出复杂的系统关系，解决多头预测和决策分析问题，对决策提供可靠的数据和参考；(2)多元线性回归模型具有较高的精度和稳定性，可以准确地捕捉现实问题，更好地反映实际情况；(3)多元线性回归模型的数据处理上也相对较为简单，不需要花费大量的人力和时间资源，容易操作，易于理解；六、缺点(1)多元线性回归模型要求数据具有较高的完整性和多样性，并要求自变量的变量类型较少，局限性较大；(2)多元线性回归模型可能因数据中的噪音而影响模型的准确性，模型预测存在较大误差；(3)多元线性回归模型可能存在欠拟合或过拟合的情况，无法有效反映出实际系统中的复杂情况。
第三章多元线性回归模型
第三章 多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数2R ：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了2R 随解释变量的增加而增大的缺陷，与2R 的关系为2211(1)1n R R n k -=----。
3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组：采用OLS 方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为0后得到的方程组，其矩阵形式为ˆX X X Y β''=。
5、方程显著性检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出判断。
二、单项选择题1、C ：F 统计量的意义2、A ：F 统计量的定义3、B ：随机误差项方差的估计值1ˆ22--=∑k n e iσ4、A ：书上P92和P93公式5、C ：A 参看导论部分内容；B 在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D 在相同解释变量情况下可以衡量6、C ：书上P99，比较F 统计量和可决系数的公式即可7、A ：书P818、D ：A 截距项可以不管它；B 不考虑beta0；C 相关关系与因果关系的辨析 9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布10、D ：AB 不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；三、多项选择题1、ACDE ：概念性2、BD ：概念性3、BCD ：总体显著，则至少一个参数不为04、BC ：参考可决系数和F 统计量的公式5、AD ：考虑极端情况，ESS=0，可发现CE 错四、判断题、 1、√2、√3、×4、×：调整的可决系数5、√五、简答题 1、 答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。
多元线性回归模型
多元线性回归模型多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。
在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。
【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。
它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。
多元线性回归模型的数学表达式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。
【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。
2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。
3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。
4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。
【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和离群点，保证数据的可靠性和一致性。
3. 特征选择：根据自变量与因变量之间的相关性，选择最相关的自变量作为模型的输入特征。
4. 模型训练：使用收集到的数据，利用最小二乘法等统计方法估计回归系数。
5. 模型评估：使用误差指标（如均方误差、决定系数等）评估模型的拟合程度和预测性能。
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(2) 相对误差 PE (Percentage Error)
PE = yˆt yt , t = 1, 2, …, T yt
(6-59)
PE 属于单期（单点）评价。PE 没有测量单位，测量的是预测误差的相对值。
(3) 误差均方根 rms error (Root Mean Squared Error)
其中 s( yˆT 1) = s C(X ' X )1C'
(6-48) (6-49) (6-53)
(6-57)
6.9.4 预测的评价指标
(1) 预测误差
预测误差定义为（注意：这里的 et 表示的是预测误差，不是残差）。
et = yˆ t - yt, t = 1, 2, …, T
(6-58)
et 属于单期（单点）评价。et 有测量单位，测量的是预测误差的绝对量。
MAPE = 1 T yˆt yt , t = 1, 2, …, T 值平均属于多期（多点）预测的综合评价。相对误差绝对值平均没 有测量单位，考查的是相对误差。之所以取绝对值运算是防止正、负预测相对误 差值的相互抵消。 (6) 泽尔系数(Theil Coefficent)
TSS /(T 1)
T k
TSS
T k
(6-43)
6.7 F 检验 对于多元线性回归模型，在对每个回归系数进行显著性检验之前，应该对回归 模型的整体做显著性检验。这个检验要用到 F 统计量。
当检验被解释变量 yt 与一组解释变量 x1, x2 , ... , xk -1 是否存在回归关系时， 给出的零假设与备择假设分别是
Theil =
1
T
T
( yˆ t
t 1
yt )2
,
1
T
T
( yˆ t ) 2
t 1
1 T
T
(yt )2
t 1
t = 1, 2, …, T
(6-63)
Theil 的取值范围是 [0,1]。显然在预测区间内，当 yˆ t 与 yt 完全相等时，Theil = 0； 当预测结果最差时，Theil = 1。 以上 6 个式子中， yˆ t 表示预测值，yt 表示实际值。公式中的累加范围是用 1 至 T 表示的，当然也可以指样本外的预测评价。
H0：1 = 2 = ... = k-1 = 0 , H1：i, i = 1, ..., k -1，不全为零。 注意，H1 定义的是“i 不全为零”，而不是“i 全不为零”。而且i 中不包括0。 定义 F 统计量为
F = ESS /(k 1) RSS /(T k)
(6-45)
在
H0
成立条件下，有
F
0.8
X2
0.4
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
图 6-3 xt 1 与 yt 的关系
图 6-4 xt 2 与 yt 的关系
6.10 多元线性回归计算举例 考虑建立二元线性回归模型如下，
yt = 0 + 1 xt 1 + 2 xt 2 + ut 用矩阵表示为
Y=X+u 其中
Y = y1 y2 y15 = 1.62 1.20 2.12
T
T
T
= + plim ( -X 'X)-1 plim - X ' E(u) =
T
T
6.3.5 一致性 下面证明 OLS 估计量的一致性。由式（6-13）有
Var( ˆ ) = 2 (X 'X )-1 = - 2 ( - X 'X )-1
(6-18) (6-19)
取极限，则有
plim Var( ˆ ) = plim T -1 plim ( - X ' X )-1
第 6 章 多元线性回归模型
6.10 多元线性回归计算举例 例 6-1 被解释变量是年销售量 yt (万瓶)，解释变量分别是地区人口数(xt1，万人) 和 人均年收入(xt2，千元)。试建立二元线性回归销售模型。
2.8 Y
2.4
2.8 Y
2.4
2.0
2.0
1.6
1.6
1.2
1.2
0.8
0.4 4
X1 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44
ˆ 具有线性特性。 6.3.2 无偏特性 利用假定 (1)，E(u) = 0，由式 ˆ = (X 'X )-1 X 'Y，
E( ˆ ) = + (X 'X)-1X ' E(u) =
(6-12)
ˆ 是的线性无偏估计量，具有无偏性。 6.3.3 最小方差性 下面求 ˆ 的方差协方差矩阵。当假定 (1)、(3)、(4) 成立时，利用上式得
若用样本计算的 t t / 2(T- k)，则接受 H0， 若用样本计算的 t > t / 2(T- k)，则拒绝 H0。 其中表示检验水平，t / 2(T- k)表示临界值。t 检验示意图见图 6-2。 注意：对于模型 (6-1)，上述 t 检验应做 k - 1 次。t 检验是双侧（双端、双边）检验。
1 T
T t 1
yˆ t
yt
,
t = 1, 2, …, T
(6-61)
绝对误差平均属于多期（多点）预测的综合评价。绝对误差平均有测量单位，与 yt 的测量单位相同。之所以取绝对值运算是防止正、负预测误差值的相互抵消。 (5) 相对误差绝对值平均 MAPE (Mean Absolute Percentage Error)
6.9 预测 6.9.1 点预测 设 T+1 期解释变量向量用 C 表示，
C = (1 xT+1,1 xT+1,2 … xT+1,k-1 ) ˆ 已知。则 T+1 期被解释变量 yT+1 的点预测式是，
yˆT 1 = C ˆ = ˆ 0 + ˆ 1 xT+1 1 + … + ˆ k-1 xT+1 k-1 yT+1 的 95%置信度的置信区间是
Var( ˆ ) = E[( ˆ –) ( ˆ –)'] = E[(X 'X)-1X ' u u' X (X 'X)-1]
= E[(X 'X)-1X ' 2I X (X 'X)-1] = 2 (X 'X)-1
(6-13)
ˆ 具有最小方差特性。
6.3.4 渐近无偏性
plim E( ˆ ) = plim E[(X 'X)-1 X 'Y ] = plim E[(X 'X)-1X ' (X + u)]
6.10 多元线性回归计算举例 ˆ = (X 'X )-1 X 'Y
1.2464 = 2.1279103
minS = uˆ ' uˆ = (Y -Yˆ )' (Y -Yˆ ) = (Y - X ˆ )' (Y - X ˆ )
= Y 'Y - ˆ 'X 'Y - Y ' X ˆ + ˆ 'X 'X ˆ = Y 'Y - 2 ˆ 'X 'Y + ˆ 'X 'X ˆ
因为 Y 'X ˆ 是一个标量，所以有 Y 'X ˆ = ˆ 'X 'Y。求 S 对 ˆ ' 的一阶偏
6.5 Y 与最小二乘估计量 ˆ 的分布
若假定 u N(0, I ), 则每个 ut 都服从正态分布。于是有 Y N(X , I )
ˆ N(, (X 'X )-1 )
(6-34)
通常未知。可用 的无偏估计量 s 构造 Var( ˆ ) 的估计式，
Var
(
ˆ
)
=
s(2βˆ )
=
本点的拟合优度越好，即解释变量对被解释变量的解释作用越强。
6.6.3 调整的多重确定系数 R 2 对于给定的样本值 yt，TSS 是不变的。随着模型中解释变量个数的增加，RSS 趋向于变小，即确定系数 R 2 变大。为考虑模型中解释变量个数的变化对 R2
的影响，调整的多重可决系数 R 2 定义如下，
s
(X
'
X
)-1
(6-35)
Var
(
ˆ
)也用
s2ˆ
表示。因为
s是
的无偏估计量，所以
s2ˆ
=s(X
'X
)-1
也是
Var( ˆ )= (X 'X )-1 的无偏估计量。
6.6.2 多重确定系数 R2
R2 = ESS Yˆ' Yˆ Ty 2
TSS Y Y - Ty 2
(6-41)
多重可决系数 R2 的取值范围在[0, 1]之间。R2 越接近 1，估计的回归函数对样
-多元线性回归模型
6.1.2 模型的假定条件 假定 ⑴ 随机误差项向量 u 是非自相关的，同方差的。其中每一项
都满足均值为零，方差为 2，相同且为有限值，即
1 0 0
E(u) = 0 = 0
0
0
(T 1)
，Var
(u)
=
2I
=
2
0
0
0
0
1
(T
T
)
假定⑵ 解释变量与误差项相互独立，即
E(X 'u) = 0 假定⑶ 解释变量之间线性无关。
1 x11 x12 1 27.4 2.450
X=
1 ...
1
x 21 ... x15 1
x 22 ...
=
x15 2
1 .1..
18.0 ...