北京市燕山区2021-2021学年八年级(上)期末数学试卷(解析版)
2021-2022学年八上学期期末数学试题(含解析)
A. B.
C. D. 或
10.如图，在四边形 中，连接 、 ，已知 ， ， ， ，则四边形 的面积为（）
A. B.3C. D.4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是历届的冬奥会会徽设计的部分图形，其中不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
6.下列函数中，属于正比例函数的是（）
A. B. C. D.
7.已知 ， ， 分别是 的三边，根据下列条件能判定 为直角三角形的是（）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
8.等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）
A.5cmB.11cmC.8cm或5cmD.11cm或5cm
17.如图， 中， ， 为 中点， 在 上，且 ，若 ， ，则边 的长度为______．
18.如图，在边长为2的等边 中，射线 于点 ，将 沿射线 平移，得到 ，连接 、 ，则 的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】A
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形一条边长为5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
2019-2020学年北京市燕山区八年级上学期期末数学真题试卷 (学生版+解析版)
2019-2020学年北京市燕山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8个小题）．1．在以下绿色食品、节能、节水、回收四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．下列计算正确的是( ) A ．32x x -= B ．341a a a ÷= C ．22(1)1x x x -=--D ．236(2)8a a -=-3．能用平方差公式分解因式的多项式是( ) A ．221x x -+B ．29x +C ．ax ay -D ．24x -+4．太阳光照射到地球上需要的时间约是2510s ⨯，光的速度约是5310/km s ⨯，那么太阳到地球的距离用科学记数法表示约为( ) A ．71510⨯B ．71.510⨯C ．81.510⨯D ．101510⨯5．已知，ABC DEF ∆≅∆，且ABC ∆的周长为20，8AB =，3BC =，则DF 等于( ) A ．3B ．5C ．9D ．116．已知EF 是EBC ∆的角平分线，FD EB ⊥于D ，且3FD cm =，则点F 到EC 的距离是( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm7．如图，从边长为(4)a cm +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)a cm +的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(615)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(315)a cm +8．豆豆老师到学校距离是8千米，她开车上班的平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，已知豆豆老师自己开车上班比乘公交车上班所需的时间少用14小时，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为( ) A ．8815 2.5x x+=B ．8815 2.5x x=+C ．8184 2.5x x+=D ．8812.54x x =+ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式23x x +-的值为0，则x 的值为 ． 10．如图，根据图形，写出一个正方形ABCD 的面积的表达式 ．（一个即可）11．化简211x xx x+--的结果为 ． 12．有一个正多边形的外角是60︒，那么该正多边形是正 边形．13．如图，点E ，F 在AC 上，AD BC =，DF BE =，要使ADF CBE ∆≅∆，需添加一个条件是 ．（只需添加一个条件即可）14．若2249x kxy y ++是一个完全平方式，则k 的值为 ．15．下面一组按规律排列的数，2，4，8，16，32，⋯⋯则第2020个数是 ． 16．如图，在ABC ∆中，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于D ，交BC 于E ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点M ；③作射线BM 交AC 于N ．如果BN NC =，57A ∠=︒，那么ABN ∠的度数为 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分；第22题4分；第23题7分；第24-27题，每小题5分，第28，29题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：32(1263)3a a a a +-÷． 18．分解因式： （1）3x x -； （2）2363x y xy y -+． 19．解方程：11222x x x-=---． 20．已知：如图，12∠=∠，C D ∠=∠．求证：AC AD =．21．如图：在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE =．求证：BCD CAE ∠=∠．22．如图1为L 形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成．请以L 形的三格骨牌为基本图形，在图2，图3中各设计一个轴对称图形，要求如下：（1）每个图形由两个L 形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上． （2）设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种．23．阅读下列材料 分解因式：3416x x - 小云的做法： 原式3164x x =-①24(41)x x =-②4(21)(21)x x x =-+③小朵的做法： 原式4x = 2(14)x -① 4(14)x x =- (14)x +②小天的做法： 原式x = 2(416)x -①22[2(4)]x x =-②(24)x x =- (24)x +③请根据上述材料回答下列问题：（1）小云的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．小朵的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．小天的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．24．已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠的内部，点C 和点P 关于OA 对称，点P 关于OB 的对称点是D ，连接CD 交OA 于M ，交OB 于N ，15CD =． （1）补全图，并且保留作图痕迹．（2）写出COD ∠= ︒．PMN ∆的周长为 ．25．通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式22()()a b a b a b +-=-给予解释．图乙中的ABC ∆是一个直角三角形，90C ∠=︒，人们很早就发现直角三角形的三边a ，b ，c 满足222a b c +=的关系．图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，求出2()a b +的值．26．先化简，再求值：22112111t t tt t t t -+÷-+-+g ，其中2019t =．27．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ ASA ”“ AAS ”“ SSS ” )和直角三角形全等的判定方法（即“HL ” )后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠． 小聪的探究方法是对B ∠分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B ∠ 是直角时，如图1，ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt ABC Rt DEF ∆≅∆．第二种情况：当B ∠ 是锐角时，如图2，BC EF =，90B E ∠=∠<︒，在射线EM 上有点D ，使DF AC =，画出符合条件的点D ，则ABC ∆和DEF ∆的关系是 ； A ．全等 B ．不全等 C ．不一定全等第三种情况：当B ∠是钝角时，如图3，在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．过点C 作AB 边的垂线交AB 延长线于点M ；同理过点F 作DE 边的垂线交DE 延长线于N ，根据“ASA ”，可以知道CBM FEN ∆≅∆，请补全图形，进而证出ABC DEF ∆≅∆．28．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式中， 是和谐分式（填写序号即可）；①222()a b a b ++； ②2224t b t b --；③22x y x y +-；④2211m m -+（2）若a 为整数，且214y y ay -++为和谐分式，请写出a 的值；（3）在化简22344m m nmn n n -÷-时， 小冬和小奥分别进行了如下三步变形：小冬：原式22222323232232444444()()m m m m m n m mn n mn n n n mn n n mn n n --=-⨯=-=--- 小奥：原式22223222444444()()()m m m m m m m n mn n n n n m n n n m n --=-⨯=-=--- 显然，小奥利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小冬的结果简单，原因是： ，请你接着小奥的方法完成化简．29．在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，MDN ∠的两边分别与AB ，AC 相交于M ，N 两点，且DM DN =．（1）如图甲，若90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，9AC =，120MDN ∠=︒，//ND AB ． ①写出MDA ∠= ︒，AB 的长是 ．②求四边形AMDN的周长．（2）如图乙，过D作DF AC+=．⊥于F，先补全图乙再证明2AM AN AF参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在以下绿色食品、节能、节水、回收四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、是轴对称图形，故本选项正确； B 、不是轴对称图形，故本选项错误； C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A ．2．下列计算正确的是( ) A ．32x x -= B ．341a a a ÷= C ．22(1)1x x x -=--D ．236(2)8a a -=-解：.32A x x x -=，故本选项不合题意； B ．341a a a÷=，故本选项不合题意； C ．22(1)21x x x -=--，故本选项不合题意；D ．236(2)8a a -=-，正确，故本选项符合题意．故选：D ．3．能用平方差公式分解因式的多项式是( ) A ．221x x -+B ．29x +C ．ax ay -D ．24x -+解：A 、原式2(1)x =-，不符合题意； B 、原式不能分解，不符合题意； C 、原式()a x y =-，不符合题意；D 、原式(2)(2)x x =-++，符合题意，故选：D ．4．太阳光照射到地球上需要的时间约是2510s ⨯，光的速度约是5310/km s ⨯，那么太阳到地球的距离用科学记数法表示约为( ) A ．71510⨯B ．71.510⨯C ．81.510⨯D ．101510⨯解：528310510 1.510⨯⨯⨯=⨯． 故选：C ．5．已知，ABC DEF ∆≅∆，且ABC ∆的周长为20，8AB =，3BC =，则DF 等于( ) A ．3B ．5C ．9D ．11解：ABC ∆Q 的周长为20，8AB =，3BC =， 20389AC ∴=--=， ABC DEF ∆≅∆Q ， 9DF AC ∴==，故选：C ．6．已知EF 是EBC ∆的角平分线，FD EB ⊥于D ，且3FD cm =，则点F 到EC 的距离是( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm解：FD EB ⊥Q 于D ，且3FD cm =， ∴点F 到EB 的距离为3cm ，EF Q 是EBC ∆的角平分线， ∴点F 到EB 和EC 的距离相等， ∴点F 到EC 的距离是3cm ．故选：B ．7．如图，从边长为(4)a cm +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)a cm +的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(615)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(315)a cm +解：矩形的面积是：22(4)(1)a a +-+ (41)(41)a a a a =++++-- 3(25)a =+2615()a cm =+．故选：B ．8．豆豆老师到学校距离是8千米，她开车上班的平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，已知豆豆老师自己开车上班比乘公交车上班所需的时间少用14小时，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为( ) A ．8815 2.5x x+=B ．8815 2.5x x=+C ．8184 2.5x x+=D ．8812.54x x =+ 解：设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为：8812.54x x =+， 故选：D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式23x x +-的值为0，则x 的值为 2- ． 解：依题意得：20x +=且30x -≠， 解得2x =-． 故答案是：2-．10．如图，根据图形，写出一个正方形ABCD 的面积的表达式 2()x a + ．（一个即可）解：由题意可知：2()()()x a x a x a ++=+， 故答案为：2()x a +11．化简211x xx x +--的结果为 x ． 解：原式211x xx x =---(1)1xx x -=- x =．故答案为：x ．12．有一个正多边形的外角是60︒，那么该正多边形是正 六 边形．解：这个正多边形的边数：360606︒÷︒=．故答案为：六．13．如图，点E ，F 在AC 上，AD BC =，DF BE =，要使ADF CBE ∆≅∆，需添加一个条件是 D B ∠=∠ ．（只需添加一个条件即可）解：当D B ∠=∠时，在ADF ∆和CBE ∆中Q AD BC D B DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF CBE SAS ∴∆≅∆， 故答案为：D B ∠=∠．（答案不唯一）14．若2249x kxy y ++是一个完全平方式，则k 的值为 12± ．解：2249x kxy y ++Q 是一个完全平方式，12k ∴=±，故答案为：12±15．下面一组按规律排列的数，2，4，8，16，32，⋯⋯则第2020个数是 20202 ． 解：Q 一列数为：2，4，8，16，32，⋯⋯，∴这列数的第n 个数为2n ，∴第2020个数是20202，故答案为：20202．16．如图，在ABC ∆中，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于D ，交BC 于E ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点M ； ③作射线BM 交AC 于N ．如果BN NC =，57A ∠=︒，那么ABN ∠的度数为 41︒ ．解：根据作图方法可得BN 是ABC ∠的角平分线，ABN CBN ∴∠=∠，BN NC =Q ，C NBC ∴∠=∠，设ABN x ∠=︒，则CBN C x ∠=∠=︒，57180x x x +++=，解得：41x =，故答案为：41︒．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分；第22题4分；第23题7分；第24-27题，每小题5分，第28，29题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：32(1263)3a a a a +-÷．解：原式321236333a a a a a a =÷+÷-÷2421a a =+-18．分解因式：（1）3x x -；（2）2363x y xy y -+．解：（1）原式2(1)(1)(1)x x x x x =-=+-；（2）原式223(21)3(1)y x x y x =-+=-．19．解方程：11222x x x-=---．解：去分母得，12(2)1x x -=-+，去括号1241x x -=-+，移项合并同类项得，2411x x -=--，系数化1得，2x =，经检验：2x =是增根，分式方程无解．20．已知：如图，12∠=∠，C D ∠=∠．求证：AC AD =．【解答】证明：Q 在ACB ∆与ADB ∆中，12C D AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACB ADB AAS ∴∆≅∆，AC AD ∴=．21．如图：在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE =．求证：BCD CAE ∠=∠．【解答】证明：Q 等边三角形ABCAB BC AC ∴==，ABC ACB ∠=∠，DBC ACE ∴∠=∠，在ABC ∆和ABD ∆中，BC AC DBC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBC ECA ∴∆≅∆ ()SAS ，BCD CAE ∴∠=∠．22．如图1为L 形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成．请以L 形的三格骨牌为基本图形，在图2，图3中各设计一个轴对称图形，要求如下：（1）每个图形由两个L 形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上．（2）设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种．解：如图所示：．23．阅读下列材料分解因式：3416x x -小云的做法：原式3164x x =-①24(41)x x =-②4(21)(21)x x x =-+③小朵的做法：原式4x = 2(14)x -①4(14)x x =- (14)x +②小天的做法：原式x = 2(416)x -①22[2(4)]x x =-②(24)x x =- (24)x +③请根据上述材料回答下列问题：（1）小云的解题过程从 ① 步出现错误的，错误的原因是： ．小朵的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．小天的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．解：（1）小云的解题过程从①步出现错误的，错误的原因是：提取负号后，负号丢失，没弄清方程还是多项式；小朵的解题过程从②步出现错误的，错误的原因是平方差公式用错；小天的解题过程从③步出现错误的，错误的原因是：分解因式不完整还可以继续分解；（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．原式24(14)4(12)(12)x x x x x =-=-+．故答案为：（1）①，提取负号后，负号丢失，没弄清方程还是多项式；②，错误的原因是平方差公式用错；③，分解因式不完整还可以继续分解；24．已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠的内部，点C 和点P 关于OA 对称，点P 关于OB 的对称点是D ，连接CD 交OA 于M ，交OB 于N ，15CD =．（1）补全图，并且保留作图痕迹．（2）写出COD ∠= 60 ︒．PMN ∆的周长为 ．解：（1）如图所示：（2）如图，连接OC ，OD ，OP ，Q 点C 和点P 关于OA 对称，点P 关于OB 的对称点是D ，AOC AOP ∴∠=∠，BOD BOP ∠=∠，2COD AOB ∴∠=∠，又30AOB ∠=︒Q ，60COD ∴∠=︒；AO Q 垂直平分CP ，BO 垂直平分PD ，PM CM ∴=，PN DN =，PMN ∴∆的周长15PM MN PN CM MN DN CD =++=++==．故答案为：60；15．25．通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式22()()a b a b a b +-=-给予解释．图乙中的ABC ∆是一个直角三角形，90C ∠=︒，人们很早就发现直角三角形的三边a ，b ，c 满足222a b c +=的关系．图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，求出2()a b +的值．解：根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =， 则222()2131225a b a ab b +=++=+=．故2()a b +的值为25．26．先化简，再求值：22112111t t t t t t t -+÷-+-+g ，其中2019t =． 解：原式2(1)(1)1(1)11t t t t t t t -+-=-++g g ， 1t t =+， 当2019t =时，原式20192019201912020==+． 27．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ ASA ”“ AAS ”“ SSS ” )和直角三角形全等的判定方法（即“HL ” )后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠． 小聪的探究方法是对B ∠分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B ∠ 是直角时，如图1，ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt ABC Rt DEF ∆≅∆．第二种情况：当B ∠ 是锐角时，如图2，BC EF =，90B E ∠=∠<︒，在射线EM 上有点D ，使DF AC =，画出符合条件的点D ，则ABC ∆和DEF ∆的关系是 C ；A ．全等B ．不全等C ．不一定全等第三种情况：当B ∠是钝角时，如图3，在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．过点C 作AB 边的垂线交AB 延长线于点M ；同理过点F 作DE 边的垂线交DE 延长线于N ，根据“ASA ”，可以知道CBM FEN ∆≅∆，请补全图形，进而证出ABC DEF ∆≅∆．解：第二种情况选C ．理由：由题意满足条件的点D 有两个，故ABC ∆和DEF ∆不一定全等（如图所示）故选C ．第三种情况补全图．证明：由CBM FEN ∆≅∆得，CM FN =，BD EN =又在Rt CMA ∆和Rt FND ∆中AC DF CM FN =⎧⎨=⎩， CMA FND ∴∆≅∆，AM DN ∴=，AB DE ∴=，又在ABC ∆和DEF ∆中AC DF BC EF AB DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ABC DEF ∴∆≅∆．28．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式中， ④ 是和谐分式（填写序号即可）； ①222()a b a b ++； ②2224t b t b--；③22x y x y +-；④2211m m -+ （2）若a 为整数，且214y y ay -++为和谐分式，请写出a 的值； （3）在化简22344m m n mn n n -÷-时， 小冬和小奥分别进行了如下三步变形： 小冬：原式22222323232232444444()()m m m m m n m mn n mn n n n mn n n mn n n --=-⨯=-=--- 小奥：原式22223222444444()()()m m m m m m m n mn n n n n m n n n m n --=-⨯=-=--- 显然，小奥利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小冬的结果简单，原因是： ，请你接着小奥的方法完成化简．解：（1）下列分式中，④是和谐分式（填写序号即可）；（2）由214y y ay -++是和谐分式，可得24y ay ++能分解因式， a ∴的值是4或4-或5；（3）原因是：小奥利用和谐公式找的是最简公分母，所以通分后比小冬的简单， 接着小奥的方法完成化简，如下： 原式222232222444444()44()()()()m m m m m m m n mn m mn n n n n m n n n m n n m n n m n --=-⨯=-===-----． 29．在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，MDN ∠的两边分别与AB ，AC 相交于M ，N 两点，且DM DN =．（1）如图甲，若90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，9AC =，120MDN ∠=︒，//ND AB ． ①写出MDA ∠= 90 ︒，AB 的长是 ．②求四边形AMDN 的周长．（2）如图乙，过D 作DF AC ⊥于F ，先补全图乙再证明2AM AN AF +=．解：（1）①AD Q 平分BAC ∠，1302BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠=︒， //ND AB Q ，30NDA BAD ∴∠=∠=︒，1203090MDA MDN NDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 90C ∠=︒Q ，60BAC ∠=︒，30ABC ∴∠=︒， 12AC AB ∴=， 218AB AC ∴==，故答案为：90，18；②30ABC ∠=︒Q ，//ND AB ，30NDC ∴∠=︒，又120MDN ∠=︒Q ，30MDB ∴∠=︒，30MAD NAD ADN MBD ∴∠=∠=∠=∠=︒， BM MD ∴=，DN AN =，DM DN =Q ，BM MD DN AN ∴===，在Rt ADM ∆中，设MD x =，则2AM x =， BM MD DN AN x ====，18AB =Q ，318x ∴=，6x ∴=，12AM ∴=，6MD DN AN ===，∴四边形AMDN 的周长1266630AM MD DN AN =+++=+++=；（2）补全图如图乙所示：证明：过点D 作DE AB ⊥于E ，如图丙所示： DE AB ⊥Q ，DF AC ⊥，AD 平分BAC ∠， 90DEM DFN ∴∠=∠=︒，DE DF =，在Rt DEA ∆和Rt DFA ∆中，DE DF AD AD =⎧⎨=⎩， Rt DEA Rt DFA(HL)∴∆≅∆，AE AF ∴=，在Rt DEM ∆和Rt DFN ∆中，DE DF DM DN =⎧⎨=⎩， Rt DEM Rt DFN(HL)∴∆≅∆， EM FN ∴=，2AM AN AE EM AF NF AF ∴+=++-=．。
2020-2021学年北京市燕山区八年级(上)期末数学复习题及答案解析
2020-2021学年北京市燕山区八年级（上）期末数学复习题一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1. 下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.2. 目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00 000 004米，将0.00 000 004用科学记数法表示为( )．A. 4×108B. 4×10−8C. 0.4×108D. −4×1083. 若√x −6在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A. x >0B. x >6C. x ≥6D. x ≤64. 下列计算中，正确的是( )A. √121=11B. √(−1)2=−1C. √(136)2=16D. √1625=±455. 已知△ABC≌△DEF ，∠A =70°，∠E =50°，则∠F 的度数为( )A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若CD =4，则DE 的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE//AB ，交AC 于点E ，则下列结论不正确的是( )A. ∠CAD=∠BADB. BD=CDC. AE=EDD. DE=DB8.如图，有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片4张和长宽为a、b的长方形卡片4张，现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大的正方形边长为()A. a+3bB. 2a+bC. a+2bD. 4ab二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若分式2x−13x+5的值为0，则x的值为______．10.已知3x −2y=3，则4x−xy−6y5xy+9y−6x=______ ．11.计算：(√7+2)(√7−2)=______．12.△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为______．13.如图，线段AB，CD相交于点O，AO=BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件可以是______14.分解因式：16−x2=______．15.如果x+y=−4，x−y=8，那么代数式x2−y2的值是________．16.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程______．三、计算题（本大题共4小题，共22.0分）17. (−2)2×√12−4√3(4−√3)+2−318. 解方程：2−5x−2=x+32−x ．19. 先化简，再求值：(1−1a+1)÷2a a 2−1，其中a =−3．20. 把下列各式因式分解：(1)2x 2−4x ；(2)x 2(a −b)+4(b −a)；(3)2x 3−8x 2+8x ；(4)简算：20082−4016×2007+20072．四、解答题（本大题共8小题，共46.0分）21.分解因式(1)4a2−16(2)x2(x−2)+4(2−x)22.如图，CA=CB，AD=BD，E，F分别是AC，BC的中点．求证：DE=DF．23.如图，在△ABC中，∠C=90°．(1)尺规作图：作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；(2)在(1)的条件下，连接BD，当BC=5cm，AB=13cm时，求△BCD的周长．24.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=2√3，CD=2，BC=3，AB=5，求四边形ABCD的面积．25.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−1,1)，B(3,1)，C(2,3)(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；(2)在x轴上找一点E，使AE+BE最小；并直接写出点E的坐标．26.华联商场预测某品牌衬衫能畅销市场，先用了8万元购入这种衬衫，面市后果然供不应求，于是商场又用了17.6万元购入第二批这种衬衫，所购数量是第一批购入量的2倍，但单价贵了4元．商场销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按定价的八折销售，很快售完．试求：(1)第一次购买这种衬衫的单价是多少？(2)在这两笔生意中，华联商场共赢利多少元？27.如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且AB=7cm，BC=22cm，点P是线段BC(不与点B、C重合)上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．(1)如图1，当BP=______时，△ADP是等腰直角三角形．(2)如图2，若P是BC的中点，求证：DP平分∠ADC．(3)若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D=______cm．28.一般情况下a2+b3=a+b2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=b=0.我们称使得a2+b3=a+b2+3成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为(a,b)．(1)若(1,b)是“相伴数对”，求b的值；(2)写出一个“相伴数对”(a,b)，其中a≠0，且a≠1；(3)若(m,n)是“相伴数对”，求代数式m−223n−[4m−2(3n−1)]的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：A．根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：0.00000004=4×10−8，故选B．3.答案：C解析：解：√x−6在实数范围内有意义，则x−6≥0，故x的取值范围是：x≥6．故选：C．直接利用二次根式的定义分析得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．4.答案：A解析：解：A 、√121=11，正确； B 、√(−1)2=1，故此选项错误；C 、√(136)2=136，故此选项错误；D 、√1625=45，故此选项错误； 故选：A ．直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5.答案：B解析：解：∵△ABC≌△DEF ，∴∠D =∠A =70°，∵∠E =50°，∴∠F =180°−50°−70°=60°，故选：B ．根据全等三角形的性质可得∠D =∠A =70°，再根据三角形内角和定理可得答案．此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．6.答案：C解析：解：∵AD 是∠CAB 的平分线，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴DE =DC =4．故选：C ．根据角平分线的性质定理解答即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7.答案：D解析：本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的性质．根据等腰三角形的性质进行角相等和边相等的转化，以及直角三角形的性质解答．解：∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD =∠BAD ，A 正确，不符合题意；BD =CD ，B 正确，不符合题意；∵DE//AB ，∴∠EDA =∠BAD ，∵∠EAD =∠BAD ，∴∠EAD =∠EDA ，∴AE =ED ，C 正确，不符合题意；DE 与DB 的关系不确定，D 错误，符合题意；故选D ．8.答案：C解析：本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．可分别计算出这9张卡片的总面积，其和为一完全平方公式，可求得大正方形的边长． 解：设拼成后大正方形的边长为x ，则a 2+4ab +4b 2=x 2，则(a +2b)2=x 2，∴x =a +2b ，故选C ．9.答案：12解析：解：由题意可知：{2x −1=03x +5≠0， 解得：x =12，故答案为：12根据分式的值为零的条件即可求出答案．本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型． 10.答案：−12解析：解：∵3x−2y=3，∴3y−2x=3xy，∴原式=2(2x−3y)−xy5xy+3(3y−2x)=−6xy−xy 5xy+9xy=−12．故答案为：−12．由已知，可得3y−2x=3xy，根据对分式的分子分母变形，化成2x−3y或3y−2x的形式，等量代换，进而可求出答案．本题考查分式的化简求值，解题的关键是变形得到3y−2x=3xy，本题属于中档题．11.答案：3解析：解：原式=(√7)2−22=7−4=3，故答案为：3．根据平方差公式展开，再依次计算乘方和减法即可得．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则以及平方差公式．12.答案：9解析：解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA=3，∴△ABC的周长为：9．故答案为：9．依据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判定三角形是等边三角形，然后根据周长求法求得．本题考查了等边三角形的判定．13.答案：OC=OD或∠A=∠B或∠C=∠D解析：解：∵∠AOC=∠BOC，AO=BO，∴当OC=OD时，△AOC≌△BOD；当∠A=∠B时，△AOC≌△BOD；当∠C=∠D时，△AOC≌△BOD．故答案为OC=OD或∠A=∠B或∠C=∠D．利用对顶角相等得到∠AOC=∠BOC，加上AO=BO，当OC=OD时，根据“SAS“可判断△AOC≌△BOD；当∠A=∠B时，可根据“ASA”判断△AOC≌△BOD；当∠C=∠D时，根据“AAS”可判断△AOC≌△BOD．本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．14.答案：(4+x)(4−x)解析：本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可．解：16−x2=(4+x)(4−x)．故答案为：(4+x)(4−x)．15.答案：−32解析：本题主要考查的是代数式的值，平方差公式，运用了整体代入法的有关知识，先将给出的代数式进行变形，然后整体代入求值即可．解：原式=(x−y)(x+y)，把x+y=−4，x−y=8代入原式，原式=−4×8=−32．故答案为−32．16.答案：x2+42=(10−x)2解析：解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，根据勾股定理得：x2+42=(10−x)2．故答案为x2+42=(10−x)2．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．17.答案：解：原式=4×2√3−16√3+12+8(2+√3)=8√3−16√3+12+16+8√3=28．解析：本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则和运算顺序仔细运算即可．18.答案：解：去分母得：2(x−2)−5=−(x+3)，移项合并得：3x=6，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的增根，所以，原方程无解．解析：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．19.答案：解：原式=(a+1a+1−1a+1)÷2a(a+1)(a−1)=aa+1⋅(a+1)(a−1)2a=a−12，当a=−3时，=−2．原式=−3−12解析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．20.答案：解：(1)2x2−4x=2x(x−2).(2)x2(a−b)+4(b−a)=(a−b)(x2−4)=(a−b)(x+2)(x−2)；(3)2x3−8x2+8x=2x(x2−4x+4)=2x(x−2)2；(4)20082−4016×2007+20072=20082−2×2008×2007+20072=(2008−2007)2=12=1．解析：此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练利用公式法分解因式是解题关键．(1)首先提取公因式2x分解因式即可；(2)首先提取公因式(a−b)，再利用平方差公式分解因式即可；(3)首先提取公因式2x，再利用完全平方公式分解因式即可；(4)直接利用完全平方公式分解因式即可．21.答案：解：(1)4a2−16=4(a2−4)=4(a+2)(a−2)；(2)x2(x−2)+4(2−x)=x2(x−2)−4(x−2)=(x−2)(x2−4)=(x−2)2(x+2)．解析：(1)先提取公因式4a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；(2)先提取公因式(x−2)，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，理解因式分解与整式的乘法是互逆运算是解题的关键．22.答案：证明：连接CD．在△CAD和△CBD中，{CA=CB AD=BD CD=CD，∴△CAD≌△CBD(SSS)，∴∠A=∠B，又∵AC=CB，E，F分别为AC，BC的中点，∴AE=12AC，BF=12BC，即AE=BF，在△ADE和△BDF中，{AE=BF ∠A=∠B AD=BD,∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE=DF．解析：本题考查了全等三角形的性质和全等三角形的判定，分别利用SSS和SAS定理证出三角形全等，再利用全等三角形的性质即可证明此题．23.答案：解：(1)如图所示；(2)在Rt△ABC中，∵AB=13cm，BC=5cm，∴AC=√AB2−BC2=12cm，∵DE为AB的中垂线，∴DA=DB，∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=5+12=17cm．解析：本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．(1)作线段AB的垂直平分线即可；(2)先根据勾股定理计算出AC=12cm，再利用线段垂直平分线的性质得到DA=DB，则可把△BCD 的周长转为AC与BC的和，从而达到解决问题的目的．24.答案：解：∵连接AC，如图所示：∵∠D=90°，AD=√12，CD=2，∴AC=√AD2+CD2=4．∵BC=3，AB=5，32+42=52，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴S四边形ABCD =S△ACD+S△ABC=12×√12×2+12×4×3=2√3+6．解析：先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算．25.答案：解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图所示，点E即为所求，其坐标为(1,0).(1,0)解析：(1)分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；(2)连接A1B，与x轴的交点即为所求作的点E．本题主要考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点是解题的关键．26.答案：解：第一批第二批单价x x+4总价 80000 176000数量80000x 176000 x+4(1)设第一批购入的衬衫单价为x元/件，则有：80000x ×2=176000x+4.解得：x=40，经检验x=40是方程的解，此即为第一批购入衬衫的单价．(2)由(1)知，第一批购入了80000÷40=2000件．在这两笔生意中，华联商场共赢利为：2000×(58−40)+(2000×2−150)×(58−44)+150×(58×0.8−44)=90260元．答：第一批购入这种衬衫的单价为40元，两笔生意中华联商场共赢利90260元．解析：(1)两次进货的总成本已知，两次的价格差距为4，而量上是2倍关系，根据成本除以单价=数量，可列方程．(2)在(1)的基础上可求出两次进货的数量以及单价，又每件定价两次都是58元，最后剩下的150件按定价的八折销售，则可利用每件利润×件数=总利润来解答．本题考查分式方程的应用，关键是找等量关系列出方程，注意分式方程必须检验，属于中考常考题型．27.答案：15cm17解析：解：(1)当BP=15cm时，△ADP是等腰直角三角形，∵∠APD=90°，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠ABP=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠CPD，∵BP=15，∴PC=BC−BP=7，∴AB=PC，在△ABP和△PCD中，{∠ABP=∠PCD AB=CP∠BAP=∠CPD，∴△ABP≌△PCD(ASA)，∴PA=PD，又DP⊥AP，∴△ADP是等腰直角三角形，故答案为：15cm；(2)延长线段AP、DC交于点E，在△ABP和△ECP中，{∠ABP=∠ECP PA=PE∠APB=∠EPC，∴△DPA≌△DPE(ASA)，∴PA=PE，又DP⊥AP，∴DA=DE，∴∠ADP=∠EDP，即DP平分∠ADC；(3)连接B′A，B′P，延长AB′交CD于H，∵△PDC是等腰三角形，∴∠DPC=45°，∴∠APB=45°，∴BP=AB=7，∴CP=CD=15，∵△ABP为等腰直角三角形，B关于AP的对称点B′，∴四边形ABPB′为矩形，∴B′P=AB=7，AH⊥CD，∴四边形B′PCH为矩形，∴B′H=PC=15，DH=DC−CH=8，在Rt△DB′H中，√B′H2+DH2=17(cm)，故答案为：17．(1)证明△ABP≌△PCD，根据全等三角形的性质得到PA=PD，根据等腰直角三角形的概念证明；(2)延长线段AP、DC交于点E，证明△DPA≌△DPE，得到PA=PE，根据等腰三角形的性质证明；(3)连接B′A，B′P，延长AB′交CD于H，证明四边形ABPB′为矩形，得到B′P=AB=7，AH⊥CD，根据勾股定理计算．本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的概念，轴对称，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．28.答案：解：(1)∵(1,b)是“相伴数对”，∴12+b3=1+b2+3，解得：b=−94；(2)(2,−92)(答案不唯一)；(3)由(m,n)是“相伴数对”可得：m2+n3=m+n2+3，即3m+2n6=m+n5，即9m+4n=0，则原式=m−223n−4m+6n−2=−43n−3m−2=−9m+4n3−2=−2．解析：(1)利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；(2)写出一个“相伴数对”即可；(3)利用“相伴数对”定义得到9m+4n=0，原式去括号整理后代入计算即可求出值．此题考查了整式的加减，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．。
2021-2022年八上学期期末数学试题(含解析)
23.已知y与x+2成正比例，当x＝3时，y＝﹣10．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当﹣2＜x≤1时，求y的取值范围．
24.已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；
（2）试说明CD＝CE．
（3）若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下面调查中，最适合采用普查的是（ ）
A.对全国中学生视力状况的调查
A.40°B.55°
C.70°D.40°或55°或70°
【答案】D
【解析】
【分析】分三种情况，根据等腰三角形的性质分别计算，即可分别求得．
【详解】解：当∠A是顶角时， ，
当∠A与∠B都是底角时，∠A=∠B=70°,
当∠B是顶角时， ，
故∠B的度数是40°或55°或70°，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
6.若式子 有意义，则一次函数 的图象可能是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出k的取值范围，再判断出 及 的符号，进而可得出结论．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴
解得：k＞2，
∴ ＞0, ＜0，
∴一次函数 的图象过一、三、四象限．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
14.202101燕山地区八上数学期末试卷参考答案
八年级数学试卷参考答案及评分标准 2021.01一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分）9． a =－1 10．略（0.8—1.1 ）答案不唯一 11．BF=CE 答案不唯一 12．②③（2分） 22a b a -（1分）13．mn m 352+（2分），0.26（1分） 14． 2a+2b 15．32 16．①③④三、解答题(本题共52分，第17题6分，第18-22题，每小题5分，第23-25题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解：(1)原式＝2342122b a b a ÷⋅）（＝ a b b a b a 312422342=÷⋅………………………………3分 (2) 332333333332)3127(32-=+-=+-=-- ………………………………6分18． 解：(1))3(392+-=-x x x ）（ ………………………………2分 (2)222)1(2)12(2242-=+-=+-x y x x y y xy y x ………… ………………5分19．解:13122-=+-y y y去分母得, 2(y+1) (y-1)-2y(y-1)=3(y+1) ， ………………………………1分 去括号 2233222222+-+=+--y y y y y ， ………………………………2分移项合并同类项得，y=-5， ………………………………4分 检验：y=-5，是原方程的解． ………………………………5分20．234933mm m m m m -⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭=分）（分分（4........................................................533..........................................9)9(1531 (9))3)(3()3()3(42322232m m mm m m m m m m m m m m m +=-⋅-+=-⋅+---+522+=m m 时，原式=6 ………………………………5分21. (1) 依题意补全图；(画图，并且标注) …………………………2分(2)证明：如图，AB =AC ，MB =MC∴在△ABM 和△ACM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=AM AM MC =MB AC =AB∴△AB M ≌△ACM ……………………………3分 ∴∠1＝∠2∴∠3＝∠4 ，∠BMN ＝∠CMN在△BMN 和△CMN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=NM NM CMN BMN 43＝∠∠＝∠∠∴△B M N ≌△CMN , ………………………………4分∠BM N ＝∠CMN=90°∴AM ⊥BC ． ………………………………5分22. 设聪聪每消耗1千卡能量需要行走x 步，则明明每消耗1千卡能量需要行走（x-10）步，依题意，得10900012000-=x x …………………………3 分解分式方程得，x=40,40-10=30 ……………………………4分检验：x=40是方程的根答：聪聪每消耗1千卡能量需要行走40步 ………………………………5分23. (1) 图略， …………………………2分B 1(1,-4) …………………………3分（2）图略， …………………………5分求面积过程略△A 2B 2C 2的面积是25…………………………7分 24.（1）分解因式：)4)(()(4)(4422++-=-+-+=-+-b a b a b a b a b a b a b a ）（；…………………………3 分（2）已知等腰三角形的三边a 、b 、c 均为整数，且12=+++ca b bc a ，则满足该条件的等腰三角形共有 2 个， ……………………4分∵12=+++ca b bc a∴12)1)((12)=++=+++c b a ca bc b a （）（ ……………………… …………5分∵三边a 、b 、c 均为整数∴a+b=1 1+c=12 ; a+b= 2 1+c=6 ; a+b= 3 1+c=4; a+b= 4 1+c=3; a+b=6 1+c=2; a+b=12 1+c=1 共六种情况， 根据三边关系，只有a+b= 4 1+c=3 ；a+b=6 1+c=2成立，即a=b=c=2， a=b=3,c=1两个等腰三角形 ……… …………………………7分25. （1）解： 在等边三角形△ACD 中，∠CAD =∠ADC=∠A CD =60°，AD ＝AC=CD ． ∵ E 为AC 的中点， ∴∠ADE =12∠ADC ＝30°．………. 1分∵ AB ＝AC ，∴ AD ＝AB ．∵ ∠BAD =∠BAC +∠CAD ＝160°． ∴ ∠ABD=∠ADB ＝10°．∴ ∠BDF =∠ADF -∠ADB ＝20°． ····································································· 3分（2）①补全图形，如图所示． ··································································································· 4分②证明：连接AN．∵CM平分∠ACB，∴设∠ACM=∠BCM=α．∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB=2α．在等边三角形△ACD中，∵E为AC的中点，∴DN⊥AC．∴NA=NC．∴∠NAC=∠NCA=α．∴∠DAN=60°+ α．在△ABN和△ADN中，∵,,, AB AD BN DN AN AN=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABN≌△ADN．…………………………………………………5分∴∠ABN=∠ADN＝30°，∠BAN=∠DAN＝60°+ α．∴∠BAC＝60°+ 2α．在△ABC中，∠BAC+∠ACB +∠ABC＝180°，∴60°+ 2α+ 2α+2α=180°．∴α=20°．∴∠NBC=∠ABC-∠ABN= 10°．∴∠MNB=∠NBC+ ∠NCB=30°．∴∠MNB=∠MBN．∴MB=MN．··········································································································· 7分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．。
2023北京燕山区八上初二期末数学试卷及答案
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泌忆）苟斗燕山地区2022—2023学年第一学期八年级期末质量监测数学试卷2022年12月考生须知1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间100分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共30分，每题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．．．1.在数学活动课中，同学们利用儿何画板绘制出了下列曲线，其中不悲轴对称图形的是0//｀等角螺旋线A.A. 0.64X 10-5心形线B.B. 6.4X10-5四叶玫瑰线C.C. 6.4X10-6蝴蝶曲线D.2.随着人类基因组（测序）计划的逐步实施以及分子生物学相关学科的迅猛发展，越来越多的动植物、微生物基因组序列得以测定．已知某种基因芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2,将0.0000064用科学记数法表示应为D. 64Xl0-73.下列各组线段能组成三角形的是A. 1cm, 2cm, 3cmC. 3cm, 3cm, 6cmA.(x + 3)(x -3) = x2 -9C. (x-3)(x + 5) = x2 + 2x -156.下列各式中，运算结果为a6的是B. 3cm, 4cm, 5cmD. 3cm, 4cm, 9cm4.已知一个多边形的内角和是540°'则这个多边形的边数是A. 4B. 5C. 6D. 75.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是B. (x+ 2)2 = x2 + 4x + 4D. 4x2 -6x y + 9y2 = (2x -3y)20 A.a4 +a2 B. a2·a3 C. (a2)3 12. 2D. a'L7a八年级数学试卷第1页（共6页）7.某方舱朕院采购A,B两种型号的机器人进行院内物资配送．已知A型机器人比B型每小时多配送200件物资，且A型机器人配送1000件物资所用的时间与B型机器人配送750件物资所用的时间相同若设B型机器人每小时配送x件物资，根据题意可列方程为1000 750 A.—=X X-2001000 750 C.＝—x-200 X1000 750 B.—=X x+2001000 750 D.＝—x+200 X8.如图，6-ABC中，AB=AC,AD为BC边的中线，LEAD=28°,则LC=A.31 °B.56°C.62°D.76°丁1 a｀丿』： B D C B C 巨——a-----j图1图2（第8题）（第9题）（第10题）9.如图，L,.ABC中，BD是AC边的高线，CE平分乙ACE,DE =1cm, BC =4cm,则L,.BEC的面积是A.lcm2B.2cm2C.3cm2D.4cm210.某学校要举行科技文化艺术节活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛，学生会提出两个方案（舞台平面图与具体数据如图所示）：方案一：如图1,绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为S1;方案二：如图2,在花坛的四周用四个相同的长方形搭建“十”字形舞台（阴影部分），面积为S2.则S1与岛的大小关系是A.S1 >S2B.S1 = S2C.S1 < S2二、填空题（共16分，每题2分）x+411.若分式——的值为O,则x的值为12.分解因式：3a2—27=.13.化简x l＋ 的结果是x-1 1 -x八年级数学试卷第2页（共6页）D.无法确定14.已知5m 2+ 4m -1 = 0,则代数式(2m+ 1)2+ (m + 3)(m -3)的值为．15.已知Rt L.ABC中，乙C= 90 °, LA = 60 °, AB = 8,则AC=.16.数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径＂的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测最的物体｀移＇到可以直接测最的位置测量”．千是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC,E D 的中点0固定，只要测得C ,D 之间的距离，就可知道内径AB 的长度．此方案中，判定L.AOB竺L.C OD 的依据是E』－－ll r l l r l lB（第16题）（第17题）D（第18题）c17.如图，正方形网格中，点A,B,C 都在格点上，则LCAB +LACB=0.18.如图，等腰LABC 中，AB=AC, L BAC= 120°, AD..lBC千点D,点E在BA 的延长线上，点F在线段AD上，且EF =F C.有下面四个结论：(DAB= 2AD; @l:::.EF C是等边三角形；其中所有正确结论的序号是三、解答题（共54分，第19题－第23题，每题5分；第24题－第25题，每题6分；第26题5分；@6.A EF 竺6.A CF ;@FA +A E = E C.第27题－第28题，每题6分）19.计算：（冗－2023)0+ 2-2 + 1-4 I.1 320.解方程：＝－ x-2X .21.如图，点D,E分别在线段AB,AC 上，AB=AC.现给出下列条件：＠LB =LC; ®BE= C D; @A E = A D,请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得LABE竺LAC D,并证明．ADB八年级数学试卷第3页（共6页）22.下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线P Q,使得P Q II l. 作法：如图，CD在直线l 上取点A,连接PA;＠作线段PA 的垂直平分线MN ,分别交直线l,直线PA千点B ,O ;＠以点0为圆心，OB 长为半径画弧，交直线MN千另一点Q ;＠作直线P Q .所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小青设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接PQ,.：线段PA的垂直平分线交PA千点o,:. OA = OP , (）（填推理的依据）又·:L A OB=L P O Q,OB =,:.L A OB 竺L P O Q,(:. L P Q O = L A BO ,:. P Q II I ..PlI'O二pI1°lI 10A）（填推理的依据）23.如图，在平面直角坐标系x Oy中，已知点A (-2, 4), B (4, 2),L. A OB与L.A P B 1关千x 轴对称．(1)画出L.A ,OB 心(2)直接写出点A ,,趴的坐标；(3)在x轴找一点P ,使得L.PA 1B 1的周长最短，请在图中画出点P 的位置．（不写画法，保留作图痕迹）`B x ,4寸，T I l J,'T -－－-4'1+，+，斗-－－令'1+,+，斗-－－T _1-__ L __ L __ L -－－--－－-O l 234」L ＼」，＇」，＇，＇「－－－-－－但'_L __ L __L -－－--－－-l a L ,'L __ L __ L－－－－－ -－－,4L__ L__ L__ L 。
北京市燕山区八年级(上)期末数学试卷
八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动．西河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城．已知每粒稻谷重约0.000035千克，将0.000035用科学记数法表示应为（）A. 35×10−6B. 3.5×10−6C. 3.5×10−5D. 0.35×10−43.如果x−7在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A. x≠7B. x<7C. x>7D. x≥74.下列运算正确的是（）A. 4=±2B. (4)2=4C. (−4)2=−4D. (−4)2=−45.如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠E=55°，则∠A的度数为（）A. 25∘B. 35∘C. 45∘D. 55∘6.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD=3，则DE的长为（）A. 2B. 3C. 3D. 237.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A. ∠CAD=∠BADB. BD=CDC. AE=EDD. DE=DB8.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A. 2a+bB. 4a+bC. a+2bD. a+3b二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若分式x−4x的值为0，则x的值是______．10.计算2aa−1−2a−1的结果是______．11.计算（3+2）（3-2）的结果是______．12.在△ABC中，AB=AC，BC=5，∠B=60°，则△ABC的周长是______．13.如图，线段AB与CD相交于点O，且OA=OD，连接AC，BD，要说明△AOC≌△DOB，还需添加的一个条件是______．（只需填一个条件即可）14.写出一个能用平方差公式分解因式的多项式：______．15.已知x2+2x=3，则代数式（x+1）2-（x+2）（x-2）+x2的值为______．16.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC=x尺，则可列方程为______．三、计算题（本大题共3小题，共16.0分）17.计算：（8×3-12）÷6．18.解方程：xx+1=1-2x3(x+1)．19.先化简，再求值：（1-2m−2）÷m2−16m2−2m，其中m=2019．四、解答题（本大题共9小题，共52.0分）20.分解因式：4ma2-mb2．21.如图，AB=AC，点D，E分别是线段AB，AC的中点，连接BE，CD．求证：∠B=∠C．22.下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：△ABC的边BC上的高AD．作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．根据小芸设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵AM=______，MP=______，∴AP是线段MN的垂直平分线．（______）（填推理的依据）∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．23.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，CD=3，AD=5．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（-1，2），B（2，1）．（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）（2）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为______，PA+PB 的最小值为______．25.下面是两位同学的一段对话：聪聪：周末我们去国家博物馆参观“伟大的变革--庆祝改革开放40周年大型展览”吧．明明：好啊，我家离国家博物馆约30km，我坐地铁先走，地铁的平均行驶速度是公交车的1.5倍呢．聪聪：嗯，我周末住奶奶家，离国家博物馆只有5km，坐公交车，你出发40分钟后我再出发就能和你同时到达．根据对话内容，请你求出公交车和地铁的平均行驶速度．26.阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2-4x=y原式=（y+1）（y+7）+9（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2-4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．27.已知BC=5，AB=1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．（1）如图1，若BP=4，判断△ADP的形状，并加以证明．（2）如图2，若BP=1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．①依题意补全图2；②请直接写出线段AC′的长度．28.一般情况下，ba+1b=3ab+1不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=1，b=2．我们称使得ba+1b=3ab+1成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．（1）判断数对（-2，1），（3，3）是否是“相伴数对”；（2）若（k，-1）是“相伴数对”，求k的值；（3）若（4，m）是“相伴数对”，求代数式4m−[3m2−2(4m−1)]3m(m−4)的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：A．根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：0.000035=3.5×10-5，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：∵在实数范围内有意义，∴x-7≥0，解得：x≥7．故选：D．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．4.【答案】B【解析】解：A．=2，此选项错误；B．（）2=4，此选项正确；C．=4，此选项错误；D．（-）2=4，此选项错误；故选：B．根据算式平方根的定义和二次根式的性质逐一化简可得．本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．5.【答案】B【解析】解：∵∠EFD=90°，∠E=55°，∴∠EDF=90°-55°=35°，∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∠A=∠EDF=35°，故选：B．根据三角形内角和定理求出∠EDF，根据全等三角形的性质解答．本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=，故选：C．根据角平分线的性质即可求出答案．本题考查角平分线的性质，解题的关键是正确理解角平分线的性质定理，本题属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD，A正确，不符合题意；BD=CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA=∠BAD，∵∠EAD=∠BAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选：D．根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答．本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2=（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．先计算出这9张卡片的总面积，其和为一完全平方式，因式分解即可求得大正方形的边长．本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式分解因式即可得出大正方形的边长．9.【答案】4【解析】解：由题意可知：解得：x=4，故答案为：4根据分式的值为零的条件即可求出答案．本题考查分式的值为零，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．10.【答案】2【解析】解：原式==2，故答案为：2根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．11.【答案】-1【解析】解：原式=（）2-22=3-4=-1，故答案为：-1．利用平方差公式计算，再根据二次根式的性质计算可得．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．12.【答案】15【解析】解：∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC=5，∴△ABC的周长为15，故答案为15．根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】OC=OB或AB=CD或∠A=∠D或∠B=∠C【解析】解：∵OA=OD，且∠AOC=∠DOB，∴添加OC=OB或AB=CD时，依据SAS即可判定△AOC≌△DOB；添加∠A=∠D或∠B=∠C，依据ASA或AAS即可判定△AOC≌△DOB；故答案为：OC=OB或AB=CD或∠A=∠D或∠B=∠C．（答案不唯一）已知条件中OA=OD，且∠AOC=∠DOB为对顶角相等，则还需添加这一对角的另一对对应边相等或另一组对应角相等即可．本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．14.【答案】a2-4【解析】解：∵（a+2）（a-2），=a2-2a+2a-4，=a2-4，∴满足条件的多项式是：a2-4．故答案可以是：a2-4．这是一道自由发挥问题，根据能用平方差公式因式分解的多项式的特点，只要是两个平方项，且符号相反即可．本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，是开放型题目，答案不唯一．15.【答案】8【解析】解：（x+1）2-（x+2）（x-2）+x2，=x2+2x+1-（x2-4）+x2，=x2+2x+5，∵x2+2x=3∴原式=3+5=8．故答案为：8．根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据x2+2x=3整体代入即可解答本题．本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．16.【答案】x2+62=（20-x）2【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20-x）尺，根据勾股定理得：x2+62=（20-x）2．故答案为x2+62=（20-x）2．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20-x）尺，利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．17.【答案】解：原式=（24-12）÷6=24÷6-12÷6=4-2=2-2．【解析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．18.【答案】解：去分母得，3x=3x+3-2x，移项合并同类项得，2x=3，系数化1得，x=32，检验：x=32是原方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：原式=（m−2m−2-2m−2）•m(m−2)(m+4)(m−4)=m−4m−2•m(m−2)(m+4)(m−4)=mm+4，当m=2019时，原式=20192019+4=20192023．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】解：4ma2-mb2，=m（4a2-b2），=m（2a+b）（2a-b）．【解析】应先提取公因式4m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．21.【答案】证明：∵点D，E分别是线段AB，AC的中点，∴AD=12AB，AE=12AC，∵AB=AC，∴AD=AE，在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．【解析】证明△ABE≌△ACD（SAS），即可求解．本题考查的是三角形全等的判定与性质，用边角边定理判定三角形全等时，一定要注意的是“两边夹一角”．22.【答案】解：（1）补全的图形如图所示；（2）AN NP到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上【解析】【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）利用几何语言画出对应的几何图形；（2）通过作图得到AM=AN，MP=NP，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AP是线段MN的垂直平分线，从而得到AD⊥BC．【解答】解：（1）见答案；（2）证明：∵AM=AN，MP=NP，∴AP是线段MN的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．故答案为AN，NP，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．23.【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=4，在△ACD中，AC=4，CD=3，AD=5，∵42+32=52，即AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴AC⊥CD；（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，AC=4，∴BC=42−22=23，∴Rt△ABC的面积为12AB•BC=12×2×23=23，又∵Rt△ACD的面积为12AC•CD=12×4×3=6，∴四边形ABCD的面积为：23+6．【解析】（1）根据直角三角形的性质得到AC=2AB=4，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到BC==2，根据三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．24.【答案】（1，0）32【解析】解：（1）如图所示，△A1OB1即为所求；由图知A1（1，2），B1（-2，1）；（2）由图知，点P即为所求，点P的坐标P（1，0），PA+PB的最小值为=3，故答案为：（1，0），3．（1）分别作出点A和点B关于y轴的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交点即为所求点P，AB′的长即为PA+PB的最小值，利用勾股定理计算可得答案．本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并根据轴对称变换的定义和性质得出变换后的对应点位置．25.【答案】解：设公交车平均行驶速度为xkm/h，则地铁的平均行驶速度为1.5xkm/h，根据题意，得301.5x-5x=4060，解得，x=22.5，经检验：x=22.5是所列方程的解，且符合题意，5x=1.5×22.5=33.75km/h．答：公交车和地铁的平均行驶速度分别为22.5 km/h和33.75km/h．【解析】根据题意列出分式方程，解方程得到答案．本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．26.【答案】（1）C；（2）（x-2）4；（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1，=y2+2y+1，=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4【解析】解：（1）故选：C；（2）（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9，设x2-4x=y，原式=（y+1）（y+7）+9，=y2+8y+16，=（y+4）2，=（x2-4x+4）2，=（x-2）4；故答案为：（x-2）4；（3）见答案．（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．27.【答案】（1）△ADP是等腰直角三角形．证明：∵BC=5，BP=4，∴PC=1，∵AB=1，∴PC=AB．∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°，∠PDC+∠DPC=90°，∴∠APB=∠PDC，在△ABP和△PCD中，∠B=∠C∠APB=∠PDCAB=PC∴△ABP≌△PCD（AAS）∴AP=PD，∵∠APD=90°，∴△ADP是等腰直角三角形．（2）①依题意补全图2；②∵BP=1，AB=1，BC=5，∴CP=4，AB=AP，∵∠ABP=90°，∴∠APB=45°，∵∠APD=90°，∴∠CPD=45°，连接C'P，∵点C与C'关于DP对称，∴C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，∴∠CPC'=90°，∴∠BPC'=90°，过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q，∴∠Q=90°=∠ABP=∠BPC'，∴四边形BQC'P是矩形，∴C'Q=BP=1，BQ=C'P=4，∴AQ=BQ-AB=3，在Rt△AC'Q中，AC′=10【解析】（1）先判断出PC=AB，再用同角的余角相等判断出∠APB=∠PDC，得出△ABP≌△PCD（AAS），即可得出结论；（2）①利用对称的性质画出图形；②先求出CP=4，AB=AP，∠CPD=45°，进而得出C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，再判断出四边形BQC'P是矩形，进而求出AQ=BQ-AB=3，最后用勾股定理即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．28.【答案】解：（1）∵1−2+11≠3−2×1+1，∴（-2，1）不是“相伴数对”；∵33+13=33×3+1，∴（3，3）是“相伴数对”；（2）∵（k，-1）是“相伴数对”，∴−1k+1−1=3−k+1，解得k=1；（3）∵（4，m）是“相伴数对”，∴m4+1m=34m+1，∴m2-4m=-1，∴4m−[3m2−2(4m−1)]3m(m−4)=4m−(3m2−8m+2)3(m2−4m)=−3m2+12m−23(m2−4m)=−3(m2−4m)−23(m2−4m)=−3×(−1)−23×(−1)=-13．【解析】（1）利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；（2）根据“相伴数对”的定义解答即可；（3）利用“相伴数对”定义得到m2-4m=-1，原式去括号整理后代入计算即可求出值．此题考查了整式的加减，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．。
北京市房山区燕山地区2022-2023学年八年级数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
2022-2023学年八上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图是作ABC ∆的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）A ．已知两边及夹角B ．已知三边C ．已知两角及夹边D ．已知两边及一边对角2．如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB AC =，70C ∠=︒，折叠该纸片，使点A 落在点B 处，折痕为DE ，则CBE ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．30C ．40︒D ．70︒31x -x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1B ．x ≥0C ．x ≥﹣1D ．x ≤04．关于x 的分式方程15mx =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数D ．无法确定5．练习中，小亮同学做了如下4道因式分解题，你认为小亮做得正确的有 ①3(1)(1)x x x x x +=+- ②2222()x xy y x y -+=- ③21(1)1a a a a -+=-+ ④2216(4)(4)x y x y x y -=+- A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列计算正确的是（ ） A ．a 3•a 2=a 6B ．（﹣2a 2）3=﹣8a 6C ．（a+b ）2=a 2+b 2D ．2a+3a=5a 27．如图，在△ABC 中，点D 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，∠A ＝80°，∠ABD ＝30°，则∠DCB 为（ ）A ．25°B ．20°C ．15°D ．10°8．校舞蹈队10名队员的年龄情况统计如下表，则校舞蹈队队员年龄的众数是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．159．已知△ABC 的一个外角为70°，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，若满足2(6)8|10|0a b c -+--=，则这个三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形11．一个长方形的面积是22xy x y -，且长为xy ，则这个长方形的宽为( ) A ．y x -B ．x y -C ．x y +D ．x y --12．一个直角三角形的两条边长分别为3cm ,4cm ，则该三角形的第三条边长为（ ） A ．7cmB ．5cmC ．7cm 或5cmD ．5cm 7cm二、填空题（每题4分，共24分）13．已知：点A （a-3，2b-1）在y 轴上，点B （3a+2，b+5）在x 轴上，则点C （a ，b ）向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标为________．14．如图所示，直线1l 、2l 的交点坐标是___________，它可以看作方程组____________的解．15．如图，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，CE 是AB 边上的中线，若55B ∠=︒，则ECD ∠的度数为____________．16．若不等式（m-2）x ＞1的解集是x ＜12m -，则m 的取值范围是______． 17．如图，AD 平分BAC ∠，其中35,82B ADC ︒︒∠=∠=，则C ∠=______度．18．计算：（a-b ）（a 2+ab+b 2）=_______． 三、解答题（共78分）19．（8分）端午节来临之前，某大型超市对去年端午节这天销售,,A B C 三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制了如图1和图2所示的统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）去年端午节这天共销售了______个粽子．（2）试求去年端午节销售B 品牌粽子多少个，并补全图1中的条形统计图． （3）求出A 品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数．（4）根据上述统计信息，今年端午节期间该商场对,,A B C 三种品牌的粽子应如何进货？请你提一条合理化的建议．20．（8分）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于-1吗？请说明理由. 21．（8分）计算 （1）21183(2)43--+-- （2）2(32)(32)(12)+-++ （3）()35223x x -<+ （4）121132x x+++≥ 22．（10分）在△ABC 中，BC=AC ，∠C=90°，直角顶点C 在x 轴上，一锐角顶点B 在y 轴上．（1）如图①若AD 于垂直x 轴，垂足为点D ．点C 坐标是（-1，0），点A 的坐标是（-3，1），求点B 的坐标．（2）如图②，直角边BC 在两坐标轴上滑动，若y 轴恰好平分∠ABC ，AC 与y 轴交于点D ，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，请猜想BD 与AE 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y 轴于F，在滑动的过程中，请猜想OC，AF，OB之间有怎样的关系?并证明你的猜想．23．（10分）如图，已知AD=BC，AC=BD．（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．24．（10分）甲、乙两人在净月大街上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线OA﹣AB﹣BC﹣CD所示．（1）甲的速度为米/分，乙的速度为米/分；乙用分钟追上甲；乙走完全程用了分钟．（2）请结合图象再写出一条信息．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，（1）尺规作图：作△ABC的角平分线AE，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：△CEF为等腰三角形．26．鼎丰超市以固定进价一次性购进保温杯若干个，11月份按一定售价销售，销售额为1800元，为扩大销量，减少库存，12月份在11月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加50个，销售额增加630元．（1）求鼎丰超市11月份这种保温杯的售价是多少元？（2）如果鼎丰超市11月份销售这种保温杯的利润为600元，那么该鼎丰超市12月份销售这种保温杯的利润是多少元？参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、C【分析】观察ABC ∆的作图痕迹，可得此作图的条件.【详解】解：观察ABC ∆的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,故已知条件为：两角及夹边， 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识. 2、B【分析】根据折叠的性质得到ADE BDE ∆≅∆，求得A ABE ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到40A ∠=︒，于是得到结论． 【详解】解：∵AB AC =，70C ∠=︒， ∴70ABC C ∠=∠=︒， ∴180A ABC C ∠=︒-∠-∠1807070︒︒=--︒ 40=︒.由题意得：AE BE =，∴40A ABE ∠=∠=︒∴704030CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故选B. 【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点．3、A【分析】二次根式要有意义，被开方数必须是非负数.x-1≥0,解得x≥1故选A【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，解题的关键是被开方数大于等于0.4、C【解析】方程两边都乘以x-5，去分母得：m=x-5，解得：x=m+5，∴当x-5≠0，把x=m+5代入得：m+5-5≠0，即m≠0，方程有解，故选项A错误；当x＞0且x≠5，即m+5＞0，解得：m＞-5，则当m＞-5且m≠0时，方程的解为正数，故选项B错误；当x＜0，即m+5＜0，解得：m＜-5，则m＜-5时，方程的解为负数，故选项C正确；显然选项D错误．故选C．5、B【解析】试题解析：①x3+x=x（x2+1），不符合题意；②x2-2xy+y2=（x-y）2，符合题意；③a2-a+1不能分解，不符合题意；④x2-16y2=（x+4y）（x-4y），符合题意，故选B6、B【解析】A选项错误，a3·a2=a5；B选项正确；C选项错误，（a+b）2=a2+2ab+b2；D选项错误，2a+3a=5a.故选B.点睛：熟记公式：（1）（a n）m=a mn，（2）a m·a n=a m+n，（3）（a±b）2=a2±2ab+b2.7、B【分析】由BD是∠ABC的角平分线，可得∠ABC＝2∠ABD＝60°；再根据三角形的内角和求得∠ACB＝40°；再由角平分线的定义确定∠DCB的大小即可.【详解】解：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD＝2×30°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝12∠ACB＝12×40°＝20°，故选B．【点睛】本题考查了三角形的内角和和三角形角平分线的相关知识，解答本题的关键在于所学知识的活学活用.8、C【分析】根据众数的定义可直接得出答案.【详解】解：∵年龄是14岁的有4名队员，人数最多，∴校舞蹈队队员年龄的众数是14，故选：C.【点睛】本题考查了众数的定义，牢记众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键.9、C【分析】利用三角形外角与内角的关系计算即可．【详解】∵△ABC的一个外角为70°，∴与它相邻的内角的度数为110°，∴该三角形一定是钝角三角形，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类，熟练掌握分类标准是解题的关键．10、D【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．【详解】∵（a-6）2≥0，|c-10|≥0，∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，解得：a=6，b=8，c=10，∵62+82=36+64=100=102，∴是直角三角形．故选D ． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点． 11、A【分析】根据长方形的宽=长方形的面积÷长方形的长即可列出算式，再根据多项式除以单项式的法则计算即可．【详解】解：这个长方形的宽=()22y x x y x y xy ÷=--． 故选：A ． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式的实际应用，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握运算法则是解题的关键． 12、D【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】设第三边为x ，（1）若4是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理得：22234x +=，∴5x =；（2）若4是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理得：22234x +=，∴x =综上：第三边的长为5． 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．二、填空题（每题4分，共24分） 13、（0，-3）．【分析】根据横轴上的点，纵坐标为零，纵轴上的点，横坐标为零可得a 、b 的值，然后再根据点的平移方法可得C 平移后的坐标． 【详解】∵A （a-3，2b-1）在y 轴上， ∴a-3=0， 解得：a=3，∵B （3a+2，b+5）在x 轴上， ∴b+5=0， 解得：b=-5，∴C 点坐标为（3，-5），∵C 向左平移3个单位长度再向上平移2个单位长度， ∴所的对应点坐标为（3-3，-5+2）， 即（0，-3）， 故答案为：（0，-3）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，以及坐标轴上点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．14、 (2，2) 11222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 【分析】根据一次函数的图象与待定系数法，即可求解． 【详解】有函数图象，可知：直线1l 、2l 的交点坐标是(2，2)； 设直线1l 的解析式：y=kx+b ，把点(2，2)，(0，1)代入y=kx+b ，得221k b b =+⎧⎨=⎩，解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线1l 的解析式：112y x =+， 同理：直线2l 的解析式：22y x =-，∴直线1l 、2l 的交点坐标可以看作11222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩的解．故答案是：(2，2)；11222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，掌握待定系数法，是解题的关键．15、20?【分析】本题可利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求证边等，并结合直角互余性质求解对应角度解题即可．【详解】∵∠ACB=90?，CE 是AB 边上的中线，∴EA=EC=EB ，又∵∠B=55?，∴∠ACE=∠A=35?，∵CD AB ⊥，∴∠DCB=35?．故ECD ACB ACE DCB ∠=∠-∠-∠=90?35?35?20?--=．故填：20?．【点睛】本题考查直角三角形性质，考查“斜中半”定理，角度关系则主要通过直角互余性质求解即可．16、m ＜1【解析】根据不等式的性质和解集得出m-1＜0，求出即可．【详解】∵不等式（m-1）x ＞1的解集是x ＜12m -， ∴m-1＜0，即m ＜1．故答案是：m ＜1．【点睛】考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质和解集得出m-1＜0是解此题的关键．17、51°【分析】先根据三角形外角的性质求得∠BAD ，再根据角平分线求得∠BAC ，最后根【详解】解：∵∠ADC=82°，∠B=35°，∴∠BAD=∠ADB -∠B=47°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC=2∠BAD=2×46°=94°，∴∠C=180°-35°-94°=51°．故答案为：51°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．能正确识图完成角度之间的计算是解题关键．18、a 3-b 3【分析】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可求解．【详解】3222322233()()=a a b ab a b ab b a b a b a ab b ++---=--++故答案为：33a b -【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．三、解答题（共78分）19、（1）1；（2）800个，图形见解析；（3）60︒；（4）见解析．【分析】（1）用C 品牌的销售量除以它所占的百分比即可得销售这三种品牌粽子总个数；（2）B 品牌的销售量＝总销售量−1200−400＝800个，补全图形即可；（3）A 品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数＝360°×（400÷1）＝60°；（4）由于C 品牌的销售量最大，所以建议多进C 种．【详解】（1）去年端午节销售粽子总数为：1200240050%=个． 故答案为：1．（2）去年端午节销售B 品牌粽子个数为24001200400800--=（个）；补全图1中的条形统计图如下：（3）A 品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数为400360602400⨯︒=︒； （4）建议今年端午节期间该商场应多进C 品牌的粽子，或者少进A 品牌的粽子等．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20、（1）211x x +-；（2）原代数式的值不能等于-1，理由见详解 【分析】(1) 设被手遮住部分的代数式为A ，根据题意得出A 的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；(2)令原代数式的值为−1，求出x 的值，代入代数式中的式子进行验证即可．【详解】解：(1)设被手遮住部分的代数式为A ，则A=22111121x x x x x x x -⨯++--++ =111x x x x ++-- =211x x +-； (2) 原代数式的值不能等于-1.若原代数式的值为−1，则11x x +-=-1，即x+1=−x+1，解得x=0， 当x=0时，除式1x x +=0， 故原代数式的值不能等于−1．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x 的取值要保证每一个分式有意义．【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类项，即可得到答案.（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并同类项即可；（3）先去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；（4）先去分母，去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；【详解】解：（1）2(=22--=-（2）2(3(1+++=9212-+++=10+（3）()35223x x -<+，∴3546x x -<+，∴39x -<，∴3x >-；（4）121132x x +++≥， ∴2(12)63(1)x x ++≥+，∴24633x x ++≥+，∴5x ≥-.【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算.22、（1）点B 的坐标是（0，2）；（2）BD=2AE ，证明见解析；（3）OC=OB+AF ，证明见解析．【分析】（1）先证△ADC ≌△COB ，得出OB=CD ，从而得出点B 的坐标；（2）如下图，可证明△BDC ≌△AFC ，BD=AE ，然后根据BE ⊥AE ，y 轴恰好平分∠ABC ，可推导得出结论；（3）如下图，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质，可证△BOC ≌△CEO ，从而【详解】（1）∵点C 坐标是(-1，0)，点A 的坐标是(-3，1)∴AD=OC ，在Rt △ADC 和Rt △COB 中AD=OC ，AC=BC∴Rt △ADC ≌Rt △COB(HL)，∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是(0，2)；（2）BD=2AE ，理由：作AE 的延长线交BC 的延长线于点F ，如下图2所示，∵△ABC 是等腰直角三角形，BC=AC ，直角顶点C 在x 轴上，AE ⊥y 轴于E ， ∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AED=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∵∠BDC=∠ADE ，∴∠DBC=∠FAC ，在△BDC 和△AFC 中，BCD ACF BC ACDBC FAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BDC ≌△AFC(ASA)∴BD=AF ，∵BE ⊥AE ，y 轴恰好平分∠ABC ，∴AF=2AE ，∴BD=2AE ；证明：作AE ⊥OC 于点E ，如下图3所示，∵AE ⊥OC ，AF ⊥y 轴，∴四边形OFAE 是矩形，∠AEC=90°，∴AF=OE ，∵△ABC 是等腰直角三角形，BC=AC ，直角顶点C 在x 轴上，∠BOC=90°，∴∠BCA=90°，∴∠BCO+∠CBO=90°，∠BCO+∠ACE=90°，∴∠CBO=∠ACE ，在△BOC 和△CEO 中，BOC CEA CBO ACE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOC ≌△CEO(AAS)∴OB=CE ，∵OC=OE+EC ，OE=AF ，OB=EC ，∴OC=OB+AF ．【点睛】本题考查三角形全等的综合，解题关键是通过辅助线，构造出全等三角形，然后利用全等三角形的性质转化求解．23、（1）详见解析；（2）OA=OB ，理由详见解析.【解析】试题分析：（1）根据SSS 定理推出全等即可；（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA ，根据等角对等边即可得出OA =OB ．试题解析：（1）证明：∵在△ADB 和△BCA 中，AD=BC,AB=BA,BD=AC ， ∴△ADB ≌△BCA （SSS ）；理由是：∵△ADB≌△BCA，∴∠ABD=∠BAC，∴OA=OB．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定24、（1）60，80，12，30；（2）见解析（答案不唯一）．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，乙用多少分钟追上甲，乙走完全程需要多少时间；（2）答案不唯一，只要符合实际即可．【详解】（1）由图可得，甲的速度为：240÷4=60（米/分钟），乙的速度为：16×60÷(16﹣4)=16×60÷12=80（米/分钟），乙用16﹣4=12（分钟）追上甲，乙走完全程用了：2400÷80=30（分钟），故答案为：60，80，12，30；（2）甲走完全程需要2400÷60=40（分钟）．【点睛】本题考查了函数图象的应用，解题的关键是正确理解图象并求出甲乙两人的速度，利用数形结合的思想解答．25、（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧交AC、AB于M、N，分别以M、N为圆心大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，直线射线AP交BC于E，线段AE即为所求；4（2）只要证明∠CEF=∠CFE，即可推出CE=CF；【详解】（1）如图线段AE即为所求；（2）证明：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB＝90°，∵∠CFE ＝∠ACF +∠CAF ，∠CEF ＝∠B +∠EAB ，∠CAF ＝∠EAB ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ，∴△CEF 是等腰三角形．【点睛】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题．26、（1）18；（2）630【分析】（1）由题意设11月份这种保温杯的售价是x 元，依题意列出方程并解出方程即可；（2）根据题意设这种保温杯的售价为y 元，并列方程求解进而求出鼎丰超市12月份销售这种保温杯的利润.【详解】解：（1）设11月份这种保温杯的售价是x 元，依题意可列方程18001800630500.9x x+=- 解得：x=18经检验，x=18是原方程的解，且符合题意答：一鼎丰超市11月份这种保温杯的售价是18元．（2）设这种保温杯的售价为y 元，依题意可列方程()180********y -⨯= 解得：y=12(18×0.9﹣12)×(100+50)=630（元）答：12月份销售这种保温杯的利润是630元．【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和正确列出一元一次方程求解．。
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2021-2021学年北京市燕山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动．西河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城．已知每粒稻谷重约0.000035千克，将0.000035用科学记数法表示应为（）A．35×10﹣6B．3.5×10﹣6C．3.5×10﹣5D．0.35×10﹣43．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠7B．x＜7C．x＞7D．x≥74．下列运算正确的是（）A．＝±2B．（）2＝4C．＝﹣4D．（﹣）2＝﹣45．如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠E＝55°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．55°6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝，则DE的长为（）A．2B．3C．D．27．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式的值为0，则x的值是．10．计算的结果是．11．计算（+2）（﹣2）的结果是．12．在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，则△ABC的周长是．13．如图，线段AB与CD相交于点O，且OA＝OD，连接AC，BD，要说明△AOC≌△DOB，还需添加的一个条件是．（只需填一个条件即可）14．写出一个能用平方差公式分解因式的多项式：．15．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为．16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC＝x尺，则可列方程为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：（×﹣）÷．18．分解因式：4ma2﹣mb2．19．解方程：＝1﹣．20．如图，AB＝AC，点D，E分别是线段AB，AC的中点，连接BE，CD．求证：∠B＝∠C．21．下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：△ABC的边BC上的高AD．作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．根据小芸设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵AM＝，MP＝，∴AP是线段MN的垂直平分线．（）（填推理的依据）∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．22．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，CD＝3，AD＝5．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）（2）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为，PA+PB的最小值为．24．先化简，再求值：（1﹣），其中m＝2019．25．下面是两位同学的一段对话：聪聪：周末我们去国家博物馆参观“伟大的变革﹣﹣庆祝改革开放40周年大型展览”吧．明明：好啊，我家离国家博物馆约30km，我坐地铁先走，地铁的平均行驶速度是公交车的1.5倍呢．聪聪：嗯，我周末住奶奶家，离国家博物馆只有5km，坐公交车，你出发40分钟后我再出发就能和你同时到达．根据对话内容，请你求出公交车和地铁的平均行驶速度．26．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．27．已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．①依题意补全图2；②请直接写出线段AC′的长度．28．一般情况下，＝+1不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝1，b＝2．我们称使得＝+1成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．（1）判断数对（﹣2，1），（3，3）是否是“相伴数对”；（2）若（k，﹣1）是“相伴数对”，求k的值；（3）若（4，m）是“相伴数对”，求代数式的值．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动．西河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城．已知每粒稻谷重约0.000035千克，将0.000035用科学记数法表示应为（）A．35×10﹣6B．3.5×10﹣6C．3.5×10﹣5D．0.35×10﹣4【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0.000035＝3.5×10﹣5，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠7B．x＜7C．x＞7D．x≥7【分析】直接利用二次函数有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣7≥0，解得：x≥7．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．4．下列运算正确的是（）A．＝±2B．（）2＝4C．＝﹣4D．（﹣）2＝﹣4【分析】根据算式平方根的定义和二次根式的性质逐一化简可得．【解答】解：A．＝2，此选项错误；B．（）2＝4，此选项正确；C．＝4，此选项错误；D．（﹣）2＝4，此选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．5．如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠E＝55°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．55°【分析】根据三角形内角和定理求出∠EDF，根据全等三角形的性质解答．【解答】解：∵∠EFD＝90°，∠E＝55°，∴∠EDF＝90°﹣55°＝35°，∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∠A＝∠EDF＝35°，故选：B．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝，则DE的长为（）A．2B．3C．D．2【分析】根据角平分线的性质即可求出答案．【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝，故选：C．【点评】本题考查角平分线的性质，解题的关键是正确理解角平分线的性质定理，本题属于基础题型．7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，A正确，不符合题意；BD＝CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∵∠EAD＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b【分析】先计算出这9张卡片的总面积，其和为一完全平方式，因式分解即可求得大正方形的边长．【解答】解：由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式分解因式即可得出大正方形的边长．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式的值为0，则x的值是4．【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：解得：x＝4，故答案为：4【点评】本题考查分式的值为零，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．10．计算的结果是2．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝2，故答案为：2【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．11．计算（+2）（﹣2）的结果是﹣1．【分析】利用平方差公式计算，再根据二次根式的性质计算可得．【解答】解：原式＝（）2﹣22＝3﹣4＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．12．在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，则△ABC的周长是15．【分析】根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC＝5，∴△ABC的周长为15，故答案为15．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，线段AB与CD相交于点O，且OA＝OD，连接AC，BD，要说明△AOC≌△DOB，还需添加的一个条件是OC＝OB或AB＝CD或∠A＝∠D或∠B＝∠C．（只需填一个条件即可）【分析】已知条件中OA＝OD，且∠AOC＝∠DOB为对顶角相等，则还需添加这一对角的另一对对应边相等或另一组对应角相等即可．【解答】解：∵OA＝OD，且∠AOC＝∠DOB，∴添加OC＝OB或AB＝CD时，依据SAS即可判定△AOC≌△DOB；添加∠A＝∠D或∠B＝∠C，依据ASA或AAS即可判定△AOC≌△DOB；故答案为：OC＝OB或AB＝CD或∠A＝∠D或∠B＝∠C．（答案不唯一）【点评】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．14．写出一个能用平方差公式分解因式的多项式：a2﹣4．【分析】这是一道自由发挥问题，根据能用平方差公式因式分解的多项式的特点，只要是两个平方项，且符号相反即可．【解答】解：∵（a+2）（a﹣2），＝a2﹣2a+2a﹣4，＝a2﹣4，∴满足条件的多项式是：a2﹣4．故答案可以是：a2﹣4．【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，是开放型题目，答案不唯一．15．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为8．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据x2+2x＝3整体代入即可解答本题．【解答】解：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2，＝x2+2x+1﹣（x2﹣4）+x2，＝x2+2x+5，∵x2+2x＝3∴原式＝3+5＝8．故答案为：8．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC＝x尺，则可列方程为x2+62＝（20﹣x）2．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+62＝（20﹣x）2．故答案为x2+62＝（20﹣x）2．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：（×﹣）÷．【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝÷﹣÷＝﹣＝2﹣．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．18．分解因式：4ma2﹣mb2．【分析】应先提取公因式4m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：4ma2﹣mb2，＝m（4a2﹣b2），＝m（2a+b）（2a﹣b）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．19．解方程：＝1﹣．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得，3x＝3x+3﹣2x，移项合并同类项得，2x＝3，系数化1得，x＝，检验：x＝是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．如图，AB＝AC，点D，E分别是线段AB，AC的中点，连接BE，CD．求证：∠B＝∠C．【分析】证明△ABE≌△ACD（SAS），即可求解．【解答】证明：∵点D，E分别是线段AB，AC的中点，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，在△ABE和△ACD中，AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．【点评】本题考查的是三角形全等的判定与性质，用边角边定理判定三角形全等时，一定要注意的是“两边夹一角”．21．下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：△ABC的边BC上的高AD．作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．根据小芸设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵AM＝AN，MP＝NP，∴AP是线段MN的垂直平分线．（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；（2）通过作图得到AM＝AN，MP＝NP，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AP是线段MN的垂直平分线，从而得到AD⊥BC．【解答】解：（1）补全的图形如图所示；（2）证明：∵AM＝AN，MP＝NP，∴AP是线段MN的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．故答案为AN，NP，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，CD＝3，AD＝5．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC＝2AB＝4，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到BC＝＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝4，在△ACD中，AC＝4，CD＝3，AD＝5，∵42+32＝52，即AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥CD；（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝2，∴Rt△ABC的面积为AB•BC＝×2×2＝2，又∵Rt△ACD的面积为AC•CD＝×4×3＝6，∴四边形ABCD的面积为：2+6．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）（2）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为（1，0），PA+PB的最小值为3．【分析】（1）分别作出点A和点B关于y轴的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交点即为所求点P，AB′的长即为PA+PB 的最小值，利用勾股定理计算可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A1OB1即为所求；由图知A1（1，2），B1（﹣2，1）；（2）由图知，点P即为所求，点P的坐标P（1，0），PA+PB的最小值为＝3，故答案为：（1，0），3．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并根据轴对称变换的定义和性质得出变换后的对应点位置．24．先化简，再求值：（1﹣），其中m＝2019．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当m＝2019时，原式＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．25．下面是两位同学的一段对话：聪聪：周末我们去国家博物馆参观“伟大的变革﹣﹣庆祝改革开放40周年大型展览”吧．明明：好啊，我家离国家博物馆约30km，我坐地铁先走，地铁的平均行驶速度是公交车的1.5倍呢．聪聪：嗯，我周末住奶奶家，离国家博物馆只有5km，坐公交车，你出发40分钟后我再出发就能和你同时到达．根据对话内容，请你求出公交车和地铁的平均行驶速度．【分析】根据题意列出分式方程，解方程得到答案．【解答】解：设公交车平均行驶速度为xkm/h，则地铁的平均行驶速度为1.5xkm/h，根据题意，得﹣＝，解得，x＝22.5，经检验：x＝22.5是所列方程的解，且符合题意，5x＝1.5×22.5＝33.75km/h．答：公交车和地铁的平均行驶速度分别为22.5 km/h和33.75km/h．【点评】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．26．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的C；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：（x﹣2）4；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【解答】解：（1）故选：C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x＝y，原式＝（y+1）（y+7）+9，＝y2+8y+16，＝（y+4）2，＝（x2﹣4x+4）2，＝（x﹣2）4；故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x＝y，原式＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2+2x+1）2，＝（x+1）4．【点评】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．27．已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．①依题意补全图2；②请直接写出线段AC′的长度．【分析】（1）先判断出PC＝AB，再用同角的余角相等判断出∠APB＝∠PDC，得出△ABP≌△PCD （AAS），即可得出结论；（2）①利用对称的性质画出图形；②先求出CP＝4，AB＝AP，∠CPD＝45°，进而得出C'P＝CP＝4，∠C'PD＝∠CPD＝45°，再判断出四边形BQC'P是矩形，进而求出AQ＝BQ﹣AB＝3，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】（1）△ADP是等腰直角三角形．证明：∵BC＝5，BP＝4，∴PC＝1，∵AB＝1，∴PC＝AB．∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B＝∠C＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠APB＝∠PDC，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（AAS）∴AP＝PD，∵∠APD＝90°，∴△ADP是等腰直角三角形．（2）①依题意补全图2；②∵BP＝1，AB＝1，BC＝5，∴CP＝4，AB＝AP，∵∠ABP＝90°，∴∠APB＝45°，∵∠APD＝90°，∴∠CPD＝45°，连接C'P，∵点C与C'关于DP对称，∴C'P＝CP＝4，∠C'PD＝∠CPD＝45°，∴∠CPC'＝90°，∴∠BPC'＝90°，过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q，∴∠Q＝90°＝∠ABP＝∠BPC'，∴四边形BQC'P是矩形，∴C'Q＝BP＝1，BQ＝C'P＝4，∴AQ＝BQ﹣AB＝3，在Rt△AC'Q中，AC′＝【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．28．一般情况下，＝+1不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝1，b＝2．我们称使得＝+1成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．（1）判断数对（﹣2，1），（3，3）是否是“相伴数对”；（2）若（k，﹣1）是“相伴数对”，求k的值；（3）若（4，m）是“相伴数对”，求代数式的值．【分析】（1）利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；（2）根据“相伴数对”的定义解答即可；（3）利用“相伴数对”定义得到m2﹣4m＝﹣1，原式去括号整理后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵+≠+1，∴（﹣2，1）不是“相伴数对”；∵+＝+1，∴（3，3）是“相伴数对”；（2）∵（k，﹣1）是“相伴数对”，∴+＝+1，解得k＝1；（3）∵（4，m）是“相伴数对”，∴+＝+1，∴m2﹣4m＝﹣1，∴＝＝＝＝＝﹣．【点评】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．。