山东省滨州市2018年7月中考数学试卷含答案解析
2018年山东省中考数学试题及详细解析滨州市
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.(3分)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为()
A.5
B.6
C.7
D.8
【试题解析】直接根据勾股定理求解即可.
【试题解答】解：∵在直角三角形中,勾为3,股为4,
∴弦为＝5.
故参考答案为：A.
【试题评价】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
2.(3分)若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2,则A、B两点之间的距离可表示为()
A.2＋(﹣2)
B.2﹣(﹣2)
C.(﹣2)＋2
D.(﹣2)﹣2
【试题解析】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可.
【试题解答】解：A、B两点之间的距离可表示为：2﹣(﹣2).
故参考答案为：B.
【试题评价】本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识,熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.
3.(3分)如图,直线AB∥CD,则下列结论正确的是()
A.∠1＝∠2
B.∠3＝∠4
C.∠1＋∠3＝180°
D.∠3＋∠4＝180°
【试题解析】依据AB∥CD,可得∠3＋∠5＝180°,再根据∠5＝∠4,即可得出∠3＋∠4＝180°.
【试题解答】解：如图,∵AB∥CD,
∴∠3＋∠5＝180°,
又∵∠5＝∠4,
∴∠3＋∠4＝180°,
故参考答案为：D.
【试题评价】本题考查了平行线的性质,解题时注意：两直线平行,同旁内角互补.
4.(3分)下列运算：①a2?a3＝a6,②(a3)2＝a6,③a5÷a5＝a,④(ab)3＝a3b3,其中结果正确的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
【试题解析】根据同底数幂的除法法则：底数不变,指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相加；幂的乘方法则：底数不变,指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘进行计算即可.
【试题解答】解：①a2?a3＝a5,故原题计算错误；
②(a3)2＝a6,故原题计算正确；
③a5÷a5＝1,故原题计算错误；
④(ab)3＝a3b3,故原题计算正确；
正确的共2个,
故参考答案为：B.
【试题评价】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方、积的乘方,关键是熟练掌握各计算法则.
5.(3分)把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,正确的为()
A. B. C. D.
【试题解析】先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴确定不等式组的解集.
【试题解答】解：解不等式x＋1≥3,得：x≥2,
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4,得：x＜﹣1,
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故参考答案为：B.
【试题评价】本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大,同小取小,大小小大取中间,大大小小无解了.
6.(3分)在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2),若以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为()
A.(5,1)
B.(4,3)
C.(3,4)
D.(1,5)
【试题解析】利用位似图形的性质,结合两图形的位似比进而得出C点坐标.【试题解答】解：∵以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半,
又∵A(6,8),
∴端点C的坐标为(3,4).
故参考答案为：C.
【试题评价】此题主要考查了位似图形的性质,利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键.
7.(3分)下列命题,其中是真命题的为()
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
【试题解析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
【试题解答】解：A、例如等腰梯形,故本选项错误；
B、根据菱形的判定,应是对角线互相垂直的平行四边形,故本选项错误；
C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形,故本选项错误；
D、一组邻边相等的矩形是正方形,故本选项正确.
故参考答案为：D.
【试题评价】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别.正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理,难度适中.
8.(3分)已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC＝25°,则劣弧的长为()
A. B. C. D.
【试题解析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可.
【试题解答】解：如图：连接AO,CO,
∵∠ABC＝25°,
∴∠AOC＝50°,
∴劣弧的长＝,
故参考答案为：C.
【试题评价】此题考查三角形的外接圆与外心,关键是根据圆周角定理和弧长公式解答.
9.(3分)如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x,那么这组数据的方差为()
A.4
B.3
C.2
D.1
【试题解析】先根据平均数的定义确定出x的值,再根据方差公式进行计算即可求出答案.
【试题解答】解：根据题意,得：＝2x,
解得：x＝3,
则这组数据为6、7、3、9、5,其平均数是6,
所以这组数据的方差为×[(6﹣6)2＋(7﹣6)2＋(3﹣6)2＋(9﹣6)2＋(5﹣6)2]＝4,
故参考答案为：A.
【试题评价】此题考查了平均数和方差的定义.平均数是所有数据的和除以数据的个数.方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.
10.(3分)如图,若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则
①二次函数的最大值为a＋b＋c；
②a﹣b＋c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时,﹣1＜x＜3,其中正确的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
【试题解析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点,进而分别分析得出答案.
【试题解答】解：①∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1,且开口向下,
∴x＝1时,y＝a＋b＋c,即二次函数的最大值为a＋b＋c,故①正确；
②当x＝﹣1时,a﹣b＋c＝0,故②错误；
③图象与x轴有2个交点,故b2﹣4ac＞0,故③错误；
④∵图象的对称轴为x＝1,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),
∴A(3,0),
故当y＞0时,﹣1＜x＜3,故④正确.
故参考答案为：B.
【试题评价】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识,正确得出A点坐标是解题关键.
11.(3分)如图,∠AOB＝60°,点P是∠AOB内的定点且OP＝,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()
A. B. C.6 D.3
【试题解析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB 于M、N,如图,利用轴对称的性质得MP＝MC,NP＝ND,OP＝OD＝OC＝,∠BOP ＝∠BOD,∠AOP＝∠AOC,所以∠COD＝2∠AOB＝120°,利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH＝DH,然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可.
【试题解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,
则MP＝MC,NP＝ND,OP＝OD＝OC＝,∠BOP＝∠BOD,∠AOP＝∠AOC,
∴PN＋PM＋MN＝ND＋MN＋NC＝DC,∠COD＝∠BOP＋∠BOD＋∠AOP＋∠AOC ＝2∠AOB＝120°,
∴此时△PMN周长最小,
作OH⊥CD于H,则CH＝DH,
∵∠OCH＝30°,
∴OH＝OC＝,
CH＝OH＝,
∴CD＝2CH＝3.
故参考答案为：D.
【试题评价】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质,会利用两点之间线段最短解决路径最短问题.
12.(3分)如果规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[2.3]＝2,那么函数y＝x﹣[x]的图象为()
A. B.
C. D.
【试题解析】根据定义可将函数进行化简.
【试题解答】解：当﹣1≤x＜0,[x]＝﹣1,y＝x＋1
当0≤x＜1时,[x]＝0,y＝x
当1≤x＜2时,[x]＝1,y＝x﹣1
……
故参考答案为：A.
【试题评价】本题考查函数的图象,解题的关键是正确理解[x]的定义,然后对函数进行化简,本题属于中等题型.
二、填空题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分)
13.(5分)在△ABC中,若∠A＝30°,∠B＝50°,则∠C＝100°.
【试题解析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案.
【试题解答】解：∵在△ABC中,∠A＝30°,∠B＝50°,
∴∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°.
故答案为：100°
【试题评价】此题主要考查了三角形内角和定理,正确把握定义是解题关键.
14.(5分)若分式的值为0,则x的值为﹣3.
【试题解析】分式的值为0的条件是：(1)分子＝0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
【试题解答】解：因为分式的值为0,所以＝0,
化简得x2﹣9＝0,即x2＝9.
解得x＝±3
因为x﹣3≠0,即x≠3
所以x＝﹣3.
故答案为﹣3.
【试题评价】本题主要考查分式的值为0的条件,注意分母不为0.
15.(5分)在△ABC中,∠C＝90°,若tanA＝,则sinB＝.
【试题解析】直接根据题意表示出三角形的各边,进而利用锐角三角函数关系得出答案.
【试题解答】解：如图所示：
∵∠C＝90°,tanA＝,
∴设BC＝x,则AC＝2x,故AB＝x,
则sinB＝＝＝.
故答案为：.
【试题评价】此题主要考查了锐角三角函数关系,正确表示各边长是解题关键.
16.(5分)若从﹣1,1,2这三个数中,任取两个分别作为点M的横、纵坐标,则点M在第二象限的概率是.
【试题解析】列表得出所有等可能结果,从中找到点M在第二象限的结果数,再根据概率公式计算可得.
【试题解答】解：列表如下：
由表可知,共有6种等可能结果,其中点M在第二象限的有2种结果,
所以点M在第二象限的概率是＝,
故答案为：.
【试题评价】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n,再找出某事件发生的结果数m,然后根据概率的定义计算出这个事件的概率＝.
17.(5分)若关于x、y的二元一次方程组,的解是,则关于a、b的二元一次方程组的解是.
【试题解析】利用关于x、y的二元一次方程组,的解是可得m、n 的数值,代入关于a、b的方程组即可求解,利用整体的思想整理找到两个方程组的
联系求解的方法更好.
【试题解答】解：方法一：
∵关于x、y的二元一次方程组,的解是,
∴将解代入方程组
可得m＝﹣1,n＝2
∴关于a、b的二元一次方程组可整理为：
解得：
方法二：
关于x、y的二元一次方程组,的解是,
由关于a、b的二元一次方程组可知
解得：
故答案为：
【试题评价】本题考查二元一次方程组的求解,重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显.
18.(5分)若点A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数y＝(k为常数)的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为y2＜y1＜y3.
【试题解析】设t＝k2﹣2k＋3,配方后可得出t＞0,利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值,比较后即可得出结论.
【试题解答】解：设t＝k2﹣2k＋3,
∵k2﹣2k＋3＝(k﹣1)2＋2＞0,
∴t＞0.
∵点A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数y＝(k为常数)的图象上,
∴y1＝﹣,y2＝﹣t,y3＝t,
又∵﹣t＜﹣＜t,
∴y2＜y1＜y3.
故答案为：y2＜y1＜y3.
【试题评价】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键.
19.(5分)如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,点E、F分别在BC、CD上,若AE＝,∠EAF＝45°,则AF的长为.
【试题解析】取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND＝DF,设DF＝DN＝x,则NF ＝x,再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA,利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值,在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长.
【试题解答】解：取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND＝DF,设DF＝DN＝x,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°,AD＝BC＝4,
∴NF＝x,AN＝4﹣x,
∵AB＝2,
∴AM＝BM＝1,
∵AE＝,AB＝2,
∴BE＝1,
∴ME＝＝,
∵∠EAF＝45°,
∴∠MAE＋∠NAF＝45°,
∵∠MAE＋∠AEM＝45°,
∴∠MEA＝∠NAF,
∴△AME∽△FNA,
∴,
∴,
解得：x＝,
∴AF＝＝.
故答案为：.
【试题评价】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用,正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键,
20.(5分)观察下列各式：
＝1＋,
＝1＋,
＝1＋,
……
请利用你所发现的规律,
计算＋＋＋…＋,其结果为9.
【试题解析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案.
【试题解答】解：由题意可得：
＋＋＋…＋
＝1＋＋1＋＋1＋＋ (1)
＝9＋(1﹣＋﹣＋﹣＋…＋﹣)
＝9＋
＝9.
故答案为：9.
【试题评价】此题主要考查了数字变化规律,正确将原式变形是解题关键.
三、解答题(本大题共6小题,满分74分)
21.(10分)先化简,再求值：(xy2＋x2y)×÷,其中x＝π0﹣()﹣1,y
＝2sin45°﹣.
【试题解析】原式利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x与y的值代入计算即可求出值.
【试题解答】解：原式＝xy(x＋y)??＝x﹣y,
当x＝1﹣2＝﹣1,y＝﹣2＝﹣时,原式＝﹣1.
【试题评价】此题考查了分式的化简求值,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
22.(12分)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB,求证：
(1)直线DC是⊙O的切线；
(2)AC2＝2AD?AO.
【试题解析】(1)连接OC,由OA＝OC、AC平分∠DAB知∠OAC＝∠OCA＝∠DAC,据此知OC∥AD,根据AD⊥DC即可得证；
(2)连接BC,证△DAC∽△CAB即可得.
【试题解答】解：(1)如图,连接OC,
∵OA＝OC,
∴∠OAC＝∠OCA,
∵AC平分∠DAB,
∴∠OAC＝∠DAC,
∴∠DAC＝∠OCA,
∴OC∥AD,
又∵AD⊥CD,
∴OC⊥DC,
∴DC是⊙O的切线；
(2)连接BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴AB＝2AO,∠ACB＝90°,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC＝∠ACB＝90°,
又∵∠DAC＝∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴＝,即AC2＝AB?AD,
∵AB＝2AO,
∴AC2＝2AD?AO.
【试题评价】本题主要考查圆的切线,解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质.
23.(12分)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5x2＋20x,请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【试题解析】(1)根据题目中的函数解析式,令y＝15即可解答本题；
(2)令y＝0,代入题目中的函数解析式即可解答本题；
(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题.
【试题解答】解：(1)当y＝15时,
15＝﹣5x2＋20x,
解得,x1＝1,x2＝3,
答：在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是1s或3s；
(2)当y＝0时,
0═﹣5x2＋20x,
解得,x3＝0,x2＝4,
∵4﹣0＝4,
∴在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是4s；
(3)y＝﹣5x2＋20x＝﹣5(x﹣2)2＋20,
∴当x＝2时,y取得最大值,此时,y＝20,
答：在飞行过程中,小球飞行高度第2s时最大,最大高度是20m.
【试题评价】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
24.(13分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为(1,).
(1)求图象过点B的反比例函数的解析式；
(2)求图象过点A,B的一次函数的解析式；
(3)在第一象限内,当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时,请直接写出自变量x的取值范围.
【试题解析】(1)由C的坐标求出菱形的边长,利用平移规律确定出B的坐标,利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
(2)由菱形的边长确定出A坐标,利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
(3)联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标,由图象确定出满足题意x的范围即可.
【试题解答】解：(1)由C的坐标为(1,),得到OC＝2,
∵菱形OABC,
∴BC＝OC＝OA＝2,BC∥x轴,
∴B(3,),
设反比例函数解析式为y＝,
把B坐标代入得：k＝3,
则反比例解析式为y＝；
(2)设直线AB解析式为y＝mx＋n,
把A(2,0),B(3,)代入得：,
解得：,
则直线AB解析式为y＝x﹣2；
(3)联立得：,
解得：或,即一次函数与反比例函数交点坐标为(3,)或(﹣1,﹣3),
则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时,自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3.
【试题评价】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式,一次函数、反比例函数的性质,以及一次函数与反比例函数的交点,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
25.(13分)已知,在△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证：BE＝AF；
(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE＝AF吗？请利用图
②说明理由.
【试题解析】(1)连接AD,根据等腰三角形的性质可得出AD＝BD、∠EBD＝∠FAD,根据同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF,由此即可证出△BDE≌△ADF(ASA),再根据全等三角形的性质即可证出BE＝AF；
(2)连接AD,根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD＝∠FAD、BD ＝AD,根据同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF,由此即可证出△EDB≌△FDA(ASA),再根据全等三角形的性质即可得出BE＝AF.
【试题解答】(1)证明：连接AD,如图①所示.
∵∠A＝90°,AB＝AC,
∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD＝45°.
∵点D为BC的中点,
∴AD＝BC＝BD,∠FAD＝45°.
∵∠BDE＋∠EDA＝90°,∠EDA＋∠ADF＝90°,∴∠BDE＝∠ADF.
在△BDE和△ADF中,,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE＝AF；
(2)BE＝AF,证明如下：
连接AD,如图②所示.
∵∠ABD＝∠BAD＝45°,
∴∠EBD＝∠FAD＝135°.
∵∠EDB＋∠BDF＝90°,∠BDF＋∠FDA＝90°,∴∠EDB＝∠FDA.
在△EDB和△FDA中,,
∴△EDB≌△FDA(ASA),
∴BE＝AF.
【试题评价】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角,解题的关键是：(1)根据全等三角形的判定定理ASA证出△BDE≌△ADF；(2)根据全等三角形的判定定理ASA证出△EDB≌△FDA.
26.(14分)如图①,在平面直角坐标系中,圆心为P(x,y)的动圆经过点A(1,2)且与x轴相切于点B.
(1)当x＝2时,求⊙P的半径；
(2)求y关于x的函数解析式,请判断此函数图象的形状,并在图②中画出此函数的图象；
(3)请类比圆的定义(图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合),给(2)中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x 轴的距离的所有点的集合.
(4)当⊙P的半径为1时,若⊙P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D(m,n)在点C的右侧,请利用图②,求cos∠APD的大小.
【试题解析】(1)由题意得到AP＝PB,求出y的值,即为圆P的半径；
(2)利用两点间的距离公式,根据AP＝PB,确定出y关于x的函数解析式,画出函数图象即可；
(3)类比圆的定义描述此函数定义即可；
(4)画出相应图形,求出m的值,进而确定出所求角的余弦值即可.
【试题解答】解：(1)由x＝2,得到P(2,y),
连接AP,PB,
∵圆P与x轴相切,
∴PB⊥x轴,即PB＝y,
由AP＝PB,得到＝y,
解得：y＝,
则圆P的半径为；
(2)同(1),由AP＝PB,得到(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝y2,
整理得：y＝(x﹣1)2＋1,即图象为开口向上的抛物线,
画出函数图象,如图②所示；
(3)给(2)中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x 轴的距离的所有点的集合；
故答案为：点A；x轴；
(4)连接CD,连接AP并延长,交x轴于点F,
设PE＝a,则有EF＝a＋1,ED＝,
∴D坐标为(1＋,a＋1),
代入抛物线解析式得：a＋1＝(1﹣a2)＋1,
解得：a＝﹣2＋或a＝﹣2﹣(舍去),即PE＝﹣2＋,
在Rt△PED中,PE＝﹣2,PD＝1,
则cos∠APD＝＝﹣2.
【试题评价】此题属于圆的综合题,涉及的知识有：两点间的距离公式,二次函数的图象与性质,圆的性质,勾股定理,弄清题意是解本题的关键.