专升本 第二章 一元函数微分学
第二章讲义2007：36分2008：21分2009：32分2010：42分2011：29分一、导数的概念1、导数的概念左右导数的概念2、可导与连续的关系二、导数的计算导函数导函数基本结果求导法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法参数方程表示的函数的导数高阶导数三、导数的几何意义四、导数的应用1、中值定理1-1中值定理1-2中值定理推论2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用2-2极值2-3最值3、凹凸性、拐点4、洛必达法则5、渐近线一、导数的概念1、导数的概念1．讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性. 2．设函数()x f 可导，且()()011lim12x f f x x→--=-，则()1f '=（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-3．设()x f 在1=x 处可导，且()11='f ，则()()=+--→hh f h f h 121lim 0（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 4．设函数()f x 在0x =处满足，()()()03f x f x x α=-+，且()lim0x x xα→=，则()0f '=（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 5．函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000A ．32B ．32-C ．23- D ．236．设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim 0（ ） A ．4 B ．5 C ．2 D ．17．设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________．左右导数的概念2、可导与连续的关系1．函数在某点处连续是其在该点处可导的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件二、导数的计算导函数导函数基本结果 求导法则复合函数的导数1．设函数5sin 212π--=x y ，则='yA ．5cos 212π--x x B ．21xx--C ．212x x - D ． 5cos 52122π---x x2．已知lnsin(12)y x =-，求.dy dx隐函数的导数1．设由方程22e xy e y =- 确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy2．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y y x +=确定的隐函数，求dy dx. 3．由1=++xy y x ①所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________． 对数求导法1．已知y x =，求.dx dy2．若函数()()()ln 1xf x x x =>，则()f x '=（ ） A ． ()1ln x x - B ．()()1ln ln ln(ln )x xx x x -+C ．()ln ln(ln )xx x D ．()ln xx x参数方程表示的函数的导数1．曲线231,21,x t y t t =+⎧⎨=-+⎩则1|t dydx ==________．1． x y sin =的三阶导数是（ ）A ．x sinB ．x sin -C ．x cosD ．x cos -2．设函数()x f 具有四阶导数，且()f x ''=()()4f x =（ ）A ．B C ．1 D ．3214x --3．设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________． 4．已知()21x f x e -=，则()()20070f =_______．5．若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在 区间()0,∞-内A ．()()0,0<''<'x f x fB ．()()0,0>''>'x f x fC ．()()0,0<''>'x f x fD ．()()0,0>''<'x f x f6．设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______． 7．设函数()y y x =由参数方程33cos ,sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ）A ．2-B ．1-C ．D 三、导数的几何意义1．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 2．曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．()1+-=x y C ．1+-=x y D ．()()11ln -+=x x y 3．曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________．4．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为5．过曲线arctan x y x e =+上的点()0,1处的法线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．220x y -+= C ．210x y --= D ．220x y +-=6．曲线sin 2,cos ,x t y t =⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的切线方程为（ ）A ．2x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =- 四、导数的应用 1、中值定理1-1中值定理1．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ． x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x =2．函数()22f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ= _______．3．判断：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b ≠，一定不存在(),a b ξ∈，使得()0.f ξ'=（ ）4．设()x f 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(),a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'= 5．设()f x '在[],a b 上连续，存在,m M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： ()()()()212121m x x f x f x M x x -≤-≤-.6．设函数()x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 )内可导，且()().21,00==f f 证明：在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点x ，使得().12+='ξξf1-2中值定理推论1．设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （ ） A ．2π B ．4πC ．0D ．1 2．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且()00f =，则()f x =（ ） A ．2x x e e + B ．2x x e e - C ．2x x e e -+ D ．2x x e e --2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用1．函数()f x x =_______. 2．方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32-2极值1．若函数()2f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =_______，b =_______．2．下列说法正确的是（ ）A ． 函数的极值点一定是函数的驻点B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对3．若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x x =处不可导，()b a x ,0∈ ，则 A ．0x 是()x f 的极大值点 B ．0x 是()x f 的极小值点 C ．0x 不是()x f 的极值点 D ．0x 可能是()x f 的极值点 4． 若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（ ）A ．0x 是()x f 的极大值点B ．0x 是()x f 的极小值点C ．0x 不是()x f 的极值点D ．无法确定0x 是否为()x f 的极值点 2-3最值1．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小2．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时 用料最省？3．求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.3、凹凸性、拐点1．设()x f 在区间()b a ,内有()()0,0<''>'x f x f ，则()x f 在区间()b a ,内（ ） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的 C ．单调减少且凸的 D ．单调增加且凹的2．曲线31x y +=的拐点为（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,0D ．()1,1 3．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ． 0x =B ．()0,2-C ．无拐点D ．0,2x y ==-4．函数sin y x x =-在区间()0,2π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．5．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．()2,2-B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),-∞+∞ 6．曲线x xe y -= 的拐点为A ．1=xB ．2=xC ． ⎪⎭⎫⎝⎛22,2e D ．⎪⎭⎫⎝⎛e 1,11,4、洛必达法则1．312cos limsin()3x x x ππ→-=-A ．1B ．0 CD．2．求011lim .1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭3．计算sin 0lim x x x +→4．sin lim sin x x x x x →∞+-（洛必达法则）1cos sin limlim 11cos sin x x x xx x→∞→∞+-===--.（）5、渐近线1．曲线2232xx y -=的水平渐近线为（ ） A ．32=y B ．32-=y C ．31=y D ．31-=y 2．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线；B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线；C ．只有垂直渐近线；D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线.3．曲线xe y x=（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线4．曲线35arctan 2+=xxy A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线5．方程xy 1arcsin = 所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线。
第二章 一元函数微分学及其应用(2)
因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广． 在不需要余项的精确表达式时， n 阶泰勒公式也 可写成
1 1 (n) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 )( x − x0 ) + ⋯ + f ( x0 )( x − x0 )n + o(( x − 2! n!
拉格朗日中值定理的几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的 切线，那么在曲线弧上至少有一点(ξ, f (ξ )),使曲线在该点处的 切线平行于过曲线弧两端点的弦线. 弦线的方程为
作辅助函数
即可.
的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端
点连线对应的纵坐标之差.
推论 1 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则
1 ln x = lim x 解 原式 = lim+ 1 1 x →0+ x→0 − 2 x x
( 0⋅ ∞ )
= lim+ ( − x ) = 0
x→0
2 ∞−∞型 ）
例2 解
求 lim (sec x − tan x ) ( ∞ − ∞ ) π
x→ 2
1 − sin x lim(secx − tanx) = lim π π x→ cos x x→ 2 0 2 ( ), − cos x 0= lim = lim cot x = 0 π − sin x π x→ x→
定理3 第一充分条件） 定理3（第一充分条件）
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ′( x );
( 2) 求出 f ( x )的全部驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 的全部驻点，
专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(x)在x=0处可导，则= ( )A．f’(0)B．f’(0)C．2f’(0)D．f’(0)正确答案：C解析：知识模块：一元函数微分学2．设函数y=ex－2，则dy= ( )A．ex－3dxB．ex－2dxC．ex－1dxD．exdx正确答案：B解析：因为y=ex－2，y’=ex－2，所以dy=ex－2dx．知识模块：一元函数微分学3．下列函数中，在x=0处可导的是( )A．y=｜x｜B．y=C．y=x3D．y=lnx正确答案：C解析：选项A中，y=｜x｜，在x=0处左右导数不相同，则y=｜x｜在x=0处不可导；选项B中，在x=0处无定义，即y=在x=0处不可导；选项C中，y=x3，y’=3x2处处存在，即y=x3处处可导，也就在x=0处可导；选项D中，y=lnx在x=0点没定义，所以y=lnx在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学4．f(x)=(x+1)(x+2)…(x+100)，则f’(一1)= ( )A．100！B．99！C．∞D．一99！正确答案：B解析：由导数的定义可知f’(一1)==(x+2)…(x+100)=99！．知识模块：一元函数微分学5．曲线y=( )A．有一个拐点B．有两个拐点C．有三个拐点D．无拐点正确答案：D解析：因y’=，则y’’在定义域内恒不等于0，且无二阶不可导点，所以无拐点．知识模块：一元函数微分学6．函数y=ex+e－x的单调增加区间是( )A．(一∞，+∞)B．(一∞，0]C．(一1，1)D．[0，+∞)正确答案：D解析：y=ex+e－x，则y’=ex一e－x=，令y’＞0，则x＞0，所以y 在区间[0，+∞)上单调递增．知识模块：一元函数微分学7．函数f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理，则ξ= ( )A．2B．3C．0D．1正确答案：A解析：由f(x)=，得f(0)=f(3)=0．又因f’(x)=，故f’(ξ)=0，所以ξ=2．知识模块：一元函数微分学8．设y=f(x)在[0，1]上连续，且f(0)＞0，f(1)＜0，则下列正确的是( ) A．y=f(x)在[0，1]上可能无界B．y=f(x)在[0，1]上未必有最小值C．y=f(x)在[0，1]上未必有最大值D．方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根正确答案：D解析：函数在闭区间上连续，则在该区间必定有界，且存在最大、最小值，由零点定理可知选项D正确．知识模块：一元函数微分学填空题9．设函数y=(x一3)4，则dy=________．正确答案：4(x一3)3dx解析：因为y=(x一3)4，y’=4(x一3)3，则dy=4(x一3)3dx．知识模块：一元函数微分学10．设y=x2ex，则y(10)｜x=0=________．正确答案：90解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2一1]，y’’=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex[(x+2)2一2]，y’’’=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2一3]，…y(10)=ex[(x+10)2一10]，所以y(10)｜x=0=90．知识模块：一元函数微分学11．x=，y=t3，则=________．正确答案：一3t2(1+t)2解析：=一3t2(1+t)2．知识模块：一元函数微分学12．曲线y=的水平渐近线方程为_________．正确答案：y=解析：的水平渐近线．知识模块：一元函数微分学13．f(x)=xex，则f(n)(x)的极小值点为_________．正确答案：x=一(n+1)解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f’’(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f’’’(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，故(f(n)(x))’=f(n＋1)(x)=(x+n+1)ex=0，则x=一(n+1)，显然当x＞一(n+1)时，f(n＋1)(x)＞0；当x＜一(n+1)时，f(n＋1)(x)＜0，因此f(n)(x)的极小值点为x=一(n+1)．知识模块：一元函数微分学解答题14．讨论f(x)=在x=0处的可导性．正确答案：f－’(0)==0，f＋’(0)==0．故函数在x=0处可导且f’(0)=0．涉及知识点：一元函数微分学15．求曲线y=e－x上通过原点的切线方程及和直线x+y=2垂直的法线方程．正确答案：曲线y=e－x上任一点(x0，e－x0)处的切线方程为y=e－x0=一(e －x)｜x=x0(x—x0)，即y—e－x0=一e－x0(x—x0)．因切线过原点，则将x=0，y=0代入得x0=一1，则切点为(一1，e)，故过原点的切线方程为y=一ex．又曲线y=e－x上任意点的法线方程为y—e－x0=ex0(x—x0)，因法线与x+y=2垂直，故有ex0．(一1)=一1，得x0=0，从而所求法线方程为y=x+1．涉及知识点：一元函数微分学16．函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy．正确答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导，有ey．y’=cos(x＋y)(1+y’)，所以y’=dx．涉及知识点：一元函数微分学17．求函数y=的导数[已知f(μ)可微]．正确答案：设y=f(μ)，μ=ν2，ν=sint，t=，则涉及知识点：一元函数微分学18．设f(x)在x0点可导，求．正确答案：=2f’( x0)．涉及知识点：一元函数微分学19．已知g(x)=af2(x)且f’(x)=，证明：g’(x)=2g(x)．正确答案：g’(x)=(af2(x))’=lna．af2(x)．[f2(x)]’=lna．af2(x)．2f(x)．f’(x)，又f’(x)=，所以g’(x)=lna．af2(x)．2f(x)．=2af2(x)=2g(x)．涉及知识点：一元函数微分学20．已知曲线y=ax4+bx2+x2＋3在点(1，6)处与直线y=11x一5相切，求a，b．正确答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①再y’=4ax2+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x一5相切，所以y’｜x=1=4a+3b+2=11，②联立①②解得a=3，b=一1．涉及知识点：一元函数微分学21．设f(x)在[0，+∞)上连续，f(0)=0，f’’(x)在(0，+∞)内恒大于零，证明g(x)=在(0，+∞)内单调增加．正确答案：方法一因为f’’(x)＞0，所以f’(x)在(0，+∞)单调增加，故f’(x)＞f’(ξ)，即g’(x)＞0，从而g(x)在(0，+∞)单调增加．方法二g’(x)=，欲证分子φ(x)=f’(x)x－f(x)大于零，因为φ’(x)=f’’(x)x+f’(x)一f’(x)=f’’(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0时φ(x)单调增加，即φ(x)＞φ(0)=0，故当x＞0，g(x)在(0，+∞)内单调增加．涉及知识点：一元函数微分学22．设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)2f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F’’(ζ)=0．正确答案：显然，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，故存在η∈(a，b)，使F’(η)=0，又由F’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)2f’(x)，知F’(a)=0．因此，F’(x)在[a，η]上满足罗尔定理条件，故存在ζ∈(a，η)(a，b)，使得F’’(ζ)=0．涉及知识点：一元函数微分学23．当0＜x＜π时，证明．正确答案：令F(x)=，则F(0)=F(π)=0．又F’(x)=＜F’(0)＞F’(x)＞F’(π)．而F’(0)=＜0，判别不出F’(x)的正负．注意到F’’(x)＜0，则F(x)在0＜x＜π时是凸曲线，由于F(0)=F(π)=0，故F(x)＞0，即，得证．涉及知识点：一元函数微分学24．设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．正确答案：xf’(x)+kf(x)=f’(x)，整理得，(x一1)f’(x)=一kf(x)，分离变量得，两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1，整理得lnf(x)(1一x)k=C1，即f(x)(1一x)k=C，所以设F(x)=f(x)(1一x)k，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．涉及知识点：一元函数微分学25．证明当x＞0时，有．正确答案：分析可得＞0，又可构造辅助函数，用单调性证明．令F(x)=(0＜x＜+∞)，因为F’(x)=＜0，所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又=0，所以，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即．涉及知识点：一元函数微分学26．某企业计划生产一批服装a件，分若干批进行生产，设生产每批服装需要固定支出1000元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知当每批服装生产数量是40件时，直接消耗的生产费用是800元，问每批服装生产多少件时，才能使总费用最少?正确答案：设每批生产x件，则一年内生产批，每批生产直接消耗费用为p，则p=kx2，又因为根据条件，每批产品40件时，直接消耗的生产费用为800，所以，800=k402，即k=x2，该产品的总费用y为y=．0＜x≤a，又因为在实际问题中唯一的极值点就是最值点，所以当x=≈45时，总费用最小．涉及知识点：一元函数微分学。
河北高等数学2专升本教材
河北高等数学2专升本教材在河北地区进行高等教育的学生们，无论是本科生还是专升本学员，都需要学习高等数学2课程。
本文将对河北高等数学2专升本教材的内容进行介绍，帮助学生们更好地了解和学习该课程。
第一章：极限与连续极限与连续是高等数学2课程的基础，也是专升本考试中常见的考点。
本章主要包括数列极限、函数极限、无穷小量与无穷大量、数列的敛散性、函数的连续性等内容。
学生们需要掌握极限的定义、性质以及计算方法，能够准确判断函数的极限和连续性。
第二章：一元函数微分学一元函数微分学是高等数学2课程的重要内容，也是专升本考试中的重点难点。
本章主要包括导数与微分的概念、性质和计算方法，函数的凹凸性与拐点，函数的极值以及应用问题等内容。
学生们需要熟练掌握导数的定义、性质和计算方法，理解函数的凹凸性和极值的判定方法，并能够灵活运用微分学知识解决实际问题。
第三章：一元函数积分学一元函数积分学是高等数学2课程的重要组成部分，也是专升本考试中的重要内容。
本章主要包括不定积分、定积分和变限积分的概念、性质和计算方法，含参变量的积分，定积分的应用等内容。
学生们需要掌握积分的基本性质和计算方法，能够准确计算各类积分，理解积分的几何和物理意义，并能够将积分应用于实际问题的解决中。
第四章：多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2课程的扩展内容，为学生们了解多元函数的性质和变化提供了基础。
本章主要包括多元函数的偏导数、全微分与全微分近似计算，多元函数的极值与条件极值，隐函数的导数与高阶导数等内容。
学生们需要熟练掌握多元函数的偏导数计算和极值判定方法，能够灵活运用多元函数微分学知识解决实际问题。
第五章：常微分方程常微分方程是高等数学2课程的综合应用内容，也是专升本考试中的考察点之一。
本章主要包括常微分方程的基本概念、解法和应用，一阶线性微分方程，高阶线性微分方程，欧拉—拉格朗日方程等内容。
学生们需要掌握常微分方程的求解方法，理解微分方程在各个学科中的应用，并能够运用常微分方程解决实际问题。
2023年河北专升本数学考试大纲
2023年河北专升本数学考试大纲2023年河北专升本数学考试大纲主要包括以下内容：一、考试性质河北专升本数学考试大纲是普通高等学校专升本招生全国统一考试的必考内容，考查知识点的要求会根据各专业的培养目标和要求有所不同。
通过考试，考查考生对高等数学的基本概念、基本理论和基本方法的理解、掌握及熟练运用的程度，以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试内容【第一章】函数、极限和连续要求考生理解函数的概念和性质，掌握极限的定义及计算方法，理解连续函数的概念和性质。
【第二章】一元函数微分学要求考生掌握导数和微分的定义及计算方法，理解函数单调性、极值和最值的计算方法，并能够应用它们解决实际问题。
【第三章】一元函数积分学要求考生掌握不定积分和定积分的定义及计算方法，理解积分的应用。
【第四章】向量代数与空间解析几何要求考生掌握空间向量的基本概念和运算，了解空间直角坐标系和空间直线与平面的方程。
【第五章】多元函数微分学要求考生掌握多元函数的极限和连续的概念，理解偏导数和全微分及其应用，能够解决一些多元函数的切线问题。
【第六章】无穷级数要求考生掌握常数项级数和幂级数的性质及计算方法。
【第七章】常微分方程要求考生掌握一阶微分方程、二阶线性常微分方程的解法。
三、考试形式与试卷结构1. 考试形式：闭卷，笔试。
2. 考试时间：120分钟。
3. 试卷满分数：150分。
4. 考试题型：选择题、填空题、解答题。
5. 试卷内容比例：函数、极限和连续占25%；一元函数微分学占45%；一元函数积分学占20%；向量代数与空间解析几何、多元函数微分学占5%；无穷级数、常微分方程占5%。
6. 题目难易比例：容易题约占40%，中等难度题约占40%，较难题约占20%。
7. 试卷结构：试题应包括各种数学题型的题目，以综合题为主。
此外，应该有一些考察理解和运用数学知识能力的主观题。
试卷的题型应丰富多样，能够适应不同学生的需要。
总之，试卷应能够全面地考查学生的数学能力，包括理解、分析、解决问题等方面的能力。
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分：94.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：4，分数：8.00)1.已知函数y=x5+3x4，则y'|x=2=______。
∙ A.8∙ B.176∙ C.7∙ D.186（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：2.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D （分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。
选项A中，[*]，原等式成立。
选项B中，[*]，原等式成立。
选项C中，[*]，原等式不成立。
选项D中，[*]，原等式成立。
3.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]。
4.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．必存在 D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。
二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：8，分数：24.00)5.(2，3)处的切线方程是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]，1）解析：7.f'(0)=______。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*] 依题意，有[*]，于是有[*]。
8.曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：[解析] y'=(e-x)'=-e-x，根据导数的几何意义有，k=y'|x=0=-e0=-1。
一元函数微分专升本
一元函数微分专升本
一元函数微分是专升本考试的重要知识点之一，主要涉及导数、微分、可导性、连续性、可积性等方面的概念和应用。
导数表示函数在某一点处的瞬时变化率，可以通过极限来定义，并可以利用导数的性质和运算法则进行计算。
微分则是导数的几何意义，表示函数在某一点处的切线的斜率。
一元函数微分的应用非常广泛，包括函数的单调性、极值、拐点、曲线的弯曲方向等方面的研究，还可以应用于最大值、最小值问题的求解。
在专升本考试中，一元函数微分通常会以选择题、填空题、计算题等形式出现，要求考生掌握基本概念和性质，能够熟练运用导数和微分的运算法则进行计算和应用。
为了更好地备考一元函数微分，建议考生认真学习相关课程，掌握基本概念和性质，多做练习题，提高计算能力和应用能力。
同时，还要注意理解导数和微分的几何意义，以便更好地理解其应用。
成考专起点升本数学(二)第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学第一节导数与微分一、导数的概念二、导数的四则运算法则和基本求导公式三、隐函数的导数四、对数求导法五、高阶导数高阶导数的概念六、微分典型例题例一、选择题1．答：A2．答：B3．答：B答：B5．答：B6．A．-4 B．-2 C．2 D．4答：B7．A．0 B．1D．3所以应该选C．答：C8．若下列各极限都存在，其中不成立的是( )答：C9．答：CA．必要条件 B．充分条件C．必要充分条件 D．既非必要又非充分条件答：C11．A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分条件也非必要条件分析：由函数连续与可导的关系定理，函数在一点可导必连续，而连续不一定可导，故应选择B．这里注意连续不一定可导，例如：答：A例二、填空题1．答：-12．答：答：1 4．答：5．答：答：8．答：1；-3 9．答：sin11O．答：4!例三、解答题1．2．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．21．22．23．25．26．27．28．29．同步练习一、选择题1．下列函数中，在x=0处不可导的是( ) A.B.C.D.2．A.B.C.D.3．A.B.C.D.4．A.B.C.D.5．下列函数中，在x=0处不可导的是( ) A.B.C.D.6．下列函数中，x=0处可导的是( )A.B.C.D.7．A.B.C.D. 8．A.B.1C.D. 9．A.B.C.0D.1 10．A.B.C.D. 11．A.B.C.D.12．A．无定义B．不连续C．可导D．连续但不可导 13．A．(1，1) B．(-1，1) C．(0，-1) D．(0，1)14．A.0B.-1C.D.15．A.B.C.D.16．A．导数为0B．导数为1C．导数为2D．导数不存在17．A．a=2，b=-2B．a=-2，b=2C．a=2，b=2D．a=-2．b=-218．A.B.C.D.19．A．必要条件B．充分条件C．必要充分条件D．既非必要又非充分条件二、填空题1．2．3．4．5．6．1.求下列函数的导数2．3.求下列函数的二阶导数4．求下列函数的一阶导数5．求下列函数的微分6．7．8．一、选择题1．B 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B7．C 8．B 9．C 10．A 11．B 12．D ．13．C 14．C 15．D 16．B 17．A 18．A 19．B二、填空题1．4 2．1/23．4．5．6．12 三、解答题1．2．3．4．5．6．7．8．第二节导数的应用一、洛必达法则二、导数的几何应用7．函数的最大值和最小值如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则它在此区间上必定存在最大值M和最小值m．这里要注意，最值和极值是有区别的．极值的概念是局部概念，是对函数的某个领域的函数值而言，极值只在函数定义区间的内点处达到，而且有可能极小值大于极大值．但是最大值和最小值分别是函数在[a，b]上的最大值和最小值，它有可能在区间中的驻点或一阶导数不存在的点达到，也可能在区间端点达到．设函数f(x)为定义在[a，b]上的连续函数，则最大值和最小值的求法可按如下步骤进行：(1)求出f(x)的导数f'(x)；(2)求出驻点及一阶导数不存在的点；(3)计算出对应于上一步中各点及区间端点的函数值；(4)比较各函数值的大小，最大者为函数的最大值，最小者为函数的最小值．注意有以下两种特殊情况：(1)如果函数在[a，b]上单调，那么f(a)和f(b)中之一是f(x)在[a，b]上的最大值，另一(2)如果连续函数f(x)在区间(a，b)内仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值就是函数在区间[a，b]上的最大值．典型例题例一、选择题1．下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是( )答：A2．以下结论正确的是( )答：C3．下列函数中在区间[-2，2]上满足罗尔定理条件的是( )答：B4．下列求极限的问题中，能用洛必达法则的是( )答：B5．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，a＜x1＜x2＜b，则下式中不一定成立的是( )答：C6．f'(x0)=0是函数f(x)在点x0取得极值的( )A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件分析：导数为零的点x= x0，不一定是极值点，注意到另一方面，函数的极值点的导数不一定为零，也可能是导数不存在的点．可见，函数在一点导数为零，既不是该点为函数极值的点的充分条件，也不是必要条件，故选择D．注意如果假设f(x)的导数一定存在，f'(x0)=0是x=x0为极值点的必要条件．答：D7．A．增加且凹(上凹)的B．增加且凸(下凹)的C．减少且凹(上凹)的D．减少且凸(下凹)的答：C8．A．上升且向下凹的B．上升且向上凹的C．下降且向下凹的D．下降且向上凹的答：B9．下列函数在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是( )答：C10．答：C11．答：A答：A13．答：D14．答：B例二、填空题1．答：02．答：13．答：(0，+∞)4．答：例三、解答题1．平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距均大于零，且它们的和为最小，求这直线的方程．2．3．试求内接于半径为R的半圆的周长为最大的矩形的边长．4．6．7．8．9．1O．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．例四、求证1．2．3．4．一、选择题1．A．a=1，b=-3，C=1B．a为任意值，b=0，c=1 C．a=1，b=0，c为任意值D．a、b为任意值，c=1 2.A．单调减少，曲线为凸B．单调增加，曲线为凸C．单调减少，曲线为凹D．单调增加，曲线为凹3.A．有一个拐点B．有两个拐点C．有三个拐点D．没有拐点4．A.B.C.D.5．A．0B．1C．2D．36．A．0B．1C．2D．不存在7．A．(0，1)B．(0，2)C．(2，O)D．(2，1)8．函数y=f(x)在点x=x0处取得极大值，则必有( )A.B.C.D.9．下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是( )A.B.C.D.10．下列函数中在区间[0，3]上不满足拉格朗日定理条件的是( ) A.B.C.D.二、填空题1．2．3．4．5．6．7．8．三、解答题1．求下列极限2．3．4．一、选择题1．B 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D 9．C l0．C二、填空题1．ε=22．3．ε=24．1 5．1/3 6．∞7．-2 8．(1，e-1)三、解答题1．(1)2 (2)-1 (3)O(4)1/n (5)-1/2 (6)1(7) ∞ (8)e-12．9/23．4．。
第二章一元函数微分学例题练习
第二章、一元函数微分学题型一、导数与微分的计算【例题2.2】设函数f (x )在(0,+∞)内有定义，且对任意的x >0,y >0，都有f (xy )=f (x )+f (y ),又f (1)存在且等于a ,求f ′(x )和f (x )【例题2.4】设函数f (x )=g (x )−cos x x,x =00,x =0其中，g (x )具有二阶连续导数,且g (0)=1,确定a 的值，使得f (x )在点x 0=0处连续，并求出f ′(x ),同时讨论f ′(x )在点x =0处的连续性【例题2.11】(利用Taylor 公式求高阶导数)设函数f (x )=sin 6x +cos 6x ,求f (n )(x )【例题2.13】设函数f (x )=11−x −x2求f (n )(0)题型二、微分中值定理的应用【例题2.21】求极限lim n →∞n n √n +1−n +1√n n √2−1 ln n 【例题2.22】求极限I =limx →0+e (1+x )1x−(1+x )exx 2【例题2.23】设函数f (x ),g (x )均为(0,+∞)上的非常数可导函数,且对任意的x,y ∈(−∞,+∞),恒有f (x +y )=f (x )f (y )−g (x )g (y ),g (x +y )=f (x )g (y )+g (x )f (y )已知f ′(0)=0,证明：对一切x ∈(−∞,+∞),恒有f 2(x )+g 2(x )=1【例题2.25】设n 为正整数，证明：对任意实数λ≥1,有nk =11(1+k )k√λ<λ【例题2.28】设f (x )在区间[−a,a ]上具有二阶连续导数，f (0)=0，(1)写出f (x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明：在区间[a,a ]上至少存在一点η，使得a 3f ′′(η)=3a−a f(x )dx【例题2.29】设函数y =f (x )((−1,1)内具有二阶连续导数，且f ′′(x )=0，证明：(1)对于(−1,1)内任意x =0，存在唯一的θ(x )，使得f (x )=f (0)+xf ′(θ(x )x )(2)lim x →0θ(x )=12题型三、导数的应用【例题2.30】设在(−∞,+∞)上f ′′(x )>0,f (0)<0，证明：f (x )x分别在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增【例题2.31】设函数f (x )=(1+x )1x ,x >0确定常数A,B,C ，使得当x →0+时，f (x )=Ax 2+Bx +C +o x 2【例题2.43】设函数f (x )在区间(−π,π)内连续可导，且满足f ′′(x )=sin 2x −[f ′(x )]2=13xg (x )，其中g (x )为连续函数，满足当x =0，g (x )x >0且lim x →0g (x )x =34，证明：(1)点x =0是f (x )在区间(−π,π)内唯一的极值点，且是极小值点；(2)曲线g =f (x )在区间(−π,π)内是向上凹的题型四、介值定理的论证方法【例题2.54】设函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)可导，并且f (0)=f (1)=0，已知对任意的x ∈(0,1)，都有f ′′(x )>0，且f (x )在[0,1]上的最小值m <0，求证：(1)对任意正整数n 都存在唯一的x n ∈(0,1)，使得f ′(x n )=m n；(2)数列{x n }收敛，且flim n →∞x n=m【例题2.58】设0<a <b,f (x )在[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，求证：存在ξ,ηϵ(a,b )，使得f ′(ξ)=a +b 2ηf ′(η)【例题2.60】设函数f (x )在[a,b ]上连续， ba f (x )dx =b a f (x )e x dx =0，求证：f (x )在(a,b )内至少存在两个零点【例题2.61】f (x )在区间[a,b ]上连续，在(0,1)内可导，f ′(x )>0，f (0)=0,f (1)=1，证明：对任意给定的正数λ1,λ2,λ3···λn ，在(0,1)内存在不同的数，x 1,x 2,x 3···x n 使得ni =1λif ′(x i )=ni =1λi【例题2.62】设函数f (x )=x n +x −1，其中n 为正整数，证明：(1)若n 为奇数，则存在唯一的正实数x n ，使得f (x n )=0(2)若n 为奇数，则存在两个实数根x n ,y n ，且x n <0,y n >0(3)极限lim n →∞x n ,lim n →∞y 2n 都存在，并求出它们的值【例题2.63】设实数a,b ，满足b −a >π，函数f (x )在开区间(a,b )内可导，证明：至少存在一点ξ∈(a,b )，使得f 2(ξ)+1>f ′(ξ)。
(专升本)一元函数微分学复习
求曲线上一点处的切线方程与 法线方程
掌 握
导数公式及四则运算法则
复合函数的求导方法 隐函数的求导方法
参数方程的一阶导数求导法
初等函数的二阶导数求法 微分的运算法则
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知识回顾
1．回忆函数的基本导数公式 公式1 公式2
C 0（C 为常数）
n n1 ( x ) n x ( n Q)
2
1 3
ln( x 1 ),
y
1 2
1 x 1
2
2x
1 x
1 3( x 1)
x x 1
2
1 3( x 1)
例12 求函数 y e 解
y e
sin 1 x
sin
的导数.
sin 1 x
(sin
sin
1 x
1 x
) e
cos
cos
1
1 ( ) x x
2
1 ln x
2
1 2 1 ln x
2
2 ln x ln x
ln x x 1 ln x
2
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例题讲解
例6 求 y ( x 1) 3 (3 x 1) ( x 2 ) 的导数．
2
解：
ln y ln x 1
1 y y 1 x 1 2
法则
dy d t y t . dx dx x t dy tx
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知识回顾
8．回顾微分的概念．
d y f ( x ) d x
9．回顾微分的运算法则．
河南高数专升本知识点汇总
河南高数专升本知识点汇总高等数学是一门专业课程，对于河南高数专升本考试来说，掌握相关的知识点是非常重要的。
本文将对河南高数专升本考试涉及的知识点进行汇总和总结，以帮助考生更好地备考和复习。
第一章：极限与连续 1. 极限的概念：数列极限、函数极限的定义和性质； 2.极限的运算法则：函数极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数极限存在的条件； 3. 无穷小量与无穷大量：无穷小量的概念、无穷小量的性质、无穷大量的概念、无穷大量的性质； 4. 函数的连续性：连续函数的定义、连续函数的性质、间断点与间断函数。
第二章：一元函数微分学 1. 导数的概念：导数的定义、导数的几何意义、可导与导函数的关系； 2. 导数的运算法则：和差、积、商的求导法则、复合函数的求导法则、参数方程求导； 3. 高阶导数与隐函数求导：高阶导数的概念、隐函数求导的方法； 4. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理。
第三章：一元函数积分学 1. 不定积分：不定积分的定义、不定积分的运算法则、换元积分法、分部积分法； 2. 定积分：定积分的定义、定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式； 3. 反常积分：反常积分的概念、无穷限的反常积分、无界函数的反常积分。
第四章：多元函数微分学 1. 偏导数：偏导数的定义、偏导数的计算、高阶偏导数； 2. 全微分：全微分的定义、全微分的性质、全微分的计算； 3. 隐函数的偏导数：隐函数求偏导的方法； 4. 多元函数的极值：局部极值的判定、全局极值的判定。
第五章：多元函数积分学 1. 二重积分：二重积分的概念、二重积分的计算、二重积分的性质； 2. 三重积分：三重积分的概念、三重积分的计算、三重积分的性质； 3. 曲线积分：曲线积分的概念、第一类曲线积分、第二类曲线积分； 4. 曲面积分：曲面积分的概念、第一类曲面积分、第二类曲面积分。
第六章：常微分方程 1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、解、通解、特解； 2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性微分方程、一阶线性齐次微分方程； 3. 高阶微分方程：常系数线性齐次微分方程、常系数线性非齐次微分方程。