第二章-一元函数微分学.docx
第2章 一元函数微分学
第 2 章 一元函数微分学一、学习要点l 掌握导数的概念及其几何意义，掌握可导性和连续性的关系． l 会求曲线上一点处的切线方程和法线方程．l 熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法． l 掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法． l 理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．l 理解函数微分的概念，掌握微分法则，掌握可微与可导的关系． l 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论及其几何意义．l知道柯西定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．l 熟练掌握用洛必达法则求未定型 0 0 、 ¥¥的极限．l 会用洛必达法则求未定型 00 0 0 1 ¥ ¥-¥×¥¥ ， ， ， ， 的极限．l 理解极值点、驻点的概念．l 了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别和联系． l 掌握用一阶导数判断函数的单调性及单调区间；会用单调性证明简单的不等式． l 掌握用一阶导数求函数的极值的方法．l 掌握求解一些简单实际问题中的最大值和最小值的方法． l 理解曲线凹凸性和拐点的概念；会用二阶导数判别曲线的凹凸性． l 掌握用二阶导数求曲线凹凸区间及拐点的方法． l会求曲线的水平渐近线、垂直渐近线．二、相关知识总结1．导数的定义：设函数 () y f x = 在点 0 x 的邻域内有定义，则0 000 0 00 0 ()()()() lim()lim lim () x x x x f x x f x f x f x y f x x x x x D ®D ®® +D -- D ¢ $=== D D - ． 2．导数的几何意义及其应用：函数 () y f x = 在 0 x 处的导数 0() f x ¢ 等于曲线 () y f x = 在点 00 (,()) x f x 处的切线的斜率．3．可导与连续的关系：如果函数 () y f x = 在 0 x 处可导，则 () y f x = 在 0 x 处连续（可导是连续 的充分条件，但不是必要条件）．第2章 一元函数微分学214．复合函数求导法则：设 ()() y f u u g x == 、 都关于自变量可导，则[(())]()() f g x f u g x ¢¢¢ = ． 5．牢记基本导数公式： （1） 0 c ¢ = （2） 1 () x x a a a - ¢= （3）()ln x x a a a¢= （4）(e )e x x¢= （5） 1 (log ||)ln a x x a¢= （6） 1(ln ||)x x¢= （7）(sin )cos x x ¢= （8）(cos )sin x x ¢=- （9） 2 (tan )sec x x ¢= （10） 2 (cot )csc x x ¢=- （11）(sec )sec tan x x x¢= （12）(csc )csc cot x x x¢=- （13） 21(arcsin )1 x x ¢= - （14） 21(arccos )1 x x ¢ =- - （15） 21 (arctan ) 1 x x¢= + （16） 21 (arc cot ) 1 x x ¢=- + ．6．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．7．微分的概念：（1）若函数 () y f x = 在 0 x 处可导，称 00 d ()()d y f x x f x x ¢¢ =D = 为函数 () f x 在 0 x 处关于 x D 的 微分．（2） 若函数 () y f x = 在点 0 x 处的改变量 00 ()() y f x x f x D =+D - 可表示为 () y A x x o D =D + D （A 与 x D 无关），则称函数 () y f x = 在点 0 x 处可微．8．罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论及其几何意义；知道柯西定理的条件和结论； 会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．9．洛必达法则的说明： （1）在定理中将 0 x x ® 改为x ®±¥，洛必达法则仍然成立．（2）将定理条件lim ()lim ()0 f x g x == 改为lim ()lim () f x g x ==¥ 结论仍然成立．（3）每次使用洛必达法则时必须检查所求的极限是否为 0 0 或 ¥¥型．（4）如果 0 () lim () x x f x g x ® ¢ ¢ 仍是 0 0 或 ¥¥型，则可以继续使用洛必达法则．（5）如果 0 () lim() x x f x g x ® ¢ ¢ 不存在且不是¥，并不表明 0 ()lim ()x x f x g x ® 不存在，只表明洛必达法则失效，这时应该用其他方法来求极限． （6）除了 0 0 或 ¥ ¥型外，还有另外5种未定型极限：¥-¥、0×¥ 、 0 ¥ 、 00 、1 ¥ ．10．单调性的判断定理： 设函数 () y f x = 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导．应用高等数学教程（能力提升篇）22在(,) a b 内 ()0()[,]. ()0()[,]. f x f x a b f x f x a b ¢ >Þ ì í¢ <Þ î如果 在 上单调增加 如果 在 上单调减少 11．极值点的充分条件，最值的求解.12．凹凸的判断定理：如果 () f x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内具有一阶和二阶导数，若在(,) a b 上 （1） ()0 f x ¢¢ > ，则 () f x 在[,] a b 上的图形是凹的． （2） ()0 f x ¢¢ < ，则 () f x 在[,] a b 上的图形是凸的． 13．拐点的求解步骤： （1）求出 () f x 的定义域和 () f x ¢ .（2）求出 () f x ¢¢ ，解出 ()0 f x ¢¢ = 的点以及二阶导数不存在的点.（3）由凹凸判定定理分区间讨论它的凹凸性． 14．检查上面两类点左右两侧的 () f x ¢¢ 是否异号，若异号且有定义的点即为拐点． 15．会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线． 三、重点例题剖析（一）基础题 1．如果 () f x 为偶函数，且 (0) f ¢ 存在，证明 (0)0 f ¢ = ． 证 因为 ()() f x f x -= ，且000 (0)(0)()(0)()(0)(0)limlim limh x x f h f f x f f x f f h x x ®®® +---- ¢ === 0 ()(0)lim (0) x f x f f x® -- ¢ =-=- - ，所以 (0)0 f ¢ = ．2．求曲线 cos y x = 上点 π 1,32 æöç÷ èø 处的切线方程和法线方程．解 因为切线 sin y x ¢=- ，切线斜率 1 k = π 3 sin 32 =- ，法线斜率 2 k = 0x x = ，所以切线为： 13 π 223 y x æö -=-- ç÷ èø ，即 332 π 1 3x y +=+ ． 法线为： 12 π 23 3 y x æö -=- ç÷èø ，即 4423 π 3 3 x y -=- ． 3．讨论下列函数在 0 x = 处的连续性与可导性： （1） |sin | y x = ；（2） 21 sin00x x y xx ì ¹ ï = í ï = î．解 用连续性的定义判断连续性；用左、右导数是否存在并相等判断函数在该点的可导性：（1）（2）第2章 一元函数微分学23（1）因为 0lim sin lim sin 0 x x x x ++ ®® == ，00lim sin lim (sin )0x x x x -- ®® =-= 所以 0lim sin (00)(00)0. x x f f ® =+=-= 故 |sin | y x = 在 0 x = 处连续，又00 |sin(0)||sin 0|sin (00)lim lim 1 x x x xf x x-- D ®D ® +D -- D ¢ -===- D D ，00 |sin(0)||sin 0|sin (00)lim lim 1 x x x xf x x+- D ®D ® +D - D ¢ +=== D D ，所以 |sin | y x = 在 0 x = 处不可导．（2）由无穷小与有界量之积仍为无穷小知2 0 1lim sin 0(0) x x f x® == 故 21 sin y x x æö = ç÷ èø在 0 x = 处连续，又2 00 1sin 01 (0)lim lim sin 0 x x x x f x x xD ®® D - D ¢ === D ，所以 21 sin y x x æö = ç÷ èø在 0 x = 处亦可导．4．已知 sin 0 () 0 xx f x x x < ì = í î≥ ，求 () f x ¢ ．解 （需要讨论几种情形并分别求导，特别要注意在求这类分段函数衔接点处的导数时，不便 套用公式，还应采用定义去求导）．易知 0 x > 时， ()1 f x x¢¢ == ．当 0 x < 时， ()(sin )cos f x x x ¢¢ == ，当 0 x = 时，因为 00 ()(0)sin 0(0)lim lim 1 0 x x f x f x f x x-- - ®® -- ¢ === - ，又 00 ()(0)0(0)lim lim 1 00x x f x f x f x x +++ ®® -- ¢ === -- ， 由 (0)(0)1f f -+ ¢¢ == ，知 (1)1 f ¢ = ，综上所述，得 cos 0 '() 1 0 x x f x x < ì= í î≥ ．5．证明：双曲线 2 xy a = 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 22a ．证 设双曲线 2xy a = 上任一点 2 0 0(,) a x x ，因为 2ay x = 的导数为 22 a yx¢=-应用高等数学教程（能力提升篇）24 所以20 2()ay xx¢ =-切线方程：2220 0()a ay x xx x-=--分别令 0y = 与 0x = ，得它在两坐标轴上的截距依次为2x x= 与22ayx=于是所构成三角形的面积为22112||2222as xy x ax==××= ．6．以初速度v 竖直上抛的物体，其上升高度s与时间t的关系是 212s v t gt=- ，求： （1）该物体的速度；（2）该物体达到最高点的时刻．解（求速度v，即为求导数 ()s t¢ ，求达到最高点的时刻，只须令 0tv s¢== ，再解出t ）（1）()()v t s t v gt¢==- ．（2）令v gt-= ，得 0vtg= ，即达到最高点时间为 0vtg= （秒）．7．设函数 ()f x 和 ()g x 可导，且 22()()0f xg x+¹ ，试求函数 22()()y f x g x=+ 的导数．解22222()()2()()()()()()2()()()()f x f xg x g x f x f x g x g xyf xg x f x g x¢¢¢¢++¢==++．8．设 ()f x 可导，求下列函数 y 的导数ddyx：（1） 2()y f x= ； （2） 22(sin)(cos)y f x f x=+ ．解（1） 22()y xf x¢¢= ．（2） 222sin cos(sin)2cos sin(cos)y x xf x x xf x¢¢¢=-22sin2[(sin)(cos)]x f x f x¢¢=- ．9．若 ()f x¢¢ 存在，求下列函数 y 的二阶导数22ddyx：（1） 2()y f x= ； （2） ln[()]y f x= ．解（1） 22()y xf x¢¢= ， 2222()4()y f x x f x¢¢¢¢¢=+ ．（2）()()f xyf x¢¢ = ，22()()[()]()f x f x f xyf x¢¢¢-¢¢ = ．10．求由下列方程所确定的隐函数的导数ddyx：第2章 一元函数微分学25（1） 33 30 x y axy +-= ； （2） 1e y y x =- ．解 （1）在方程两端分别对x 求导，得22 33330 x y y ay axy¢¢ +--= 从而 22 ay x y y ax- ¢ = - ． （2）在方程两端分别对x 求导，得e e y y y x y¢¢ =-- 从而 e 1e yyy x ¢=- + ．11．求下列参数方程所确定的函数的导数：（1） 23x at y bt ì = í = î； （2） 222 313 1at x t at t ì= ï + ï í ï ï + î ． 解 （1） 2 d d 33 d d d 22 d yy bt b t t x x at a t=== ．（2） 2 22 2 22 2222 2 3 3[2(1)2] d 1 d 2 (1) d d d 3[(1)2]1 3d (1) 1 at a t t t t y t y t t t x x a t t t t at t t t ¢æö +-× ç÷ + + èø ==== +-×- ¢ æö ç÷ + + èø． 12．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 22 d dyx ：（1） cos sin x a ty b t = ì í = î ； （2） 3e 2ettx y - ì = í = î ． 解 （1） d cos cot d sin y b t b t x a t a - == - ， 2 2223 d d (csc ) d d d d sin dx sin d y bt y bt x a x a t a t tæö -- ç÷ - èø === - ．（2） 2 223 2 4 e d 2e 2d 4 3 e e d 39 3e d 3et t t t t t y y x x -- - ==-== -- ， ． 13．求下列函数的微分： （1） sin 2 y x x = ；（2） 2 ln (1) y x =- ．解 （1）d d (sin 2cos 22)d (sin 22cos 2)d y y x x x x x x x x x ¢ ==+×=+ ．应用高等数学教程（能力提升篇）26（2） (1)2d d 2ln(1)d ln(1)d 11y y x x x x x x x - ¢ ==-×=- -- ． 14．计算下列反三角函数值的近似值（1）arcsin 0.5002； （2）arccos 0.4995．解 （ 1 ） 由 0 00 arcsin arcsin (arcsin )|() x x x x x x x = ¢ »+×- 即取 0 0.5 x = 得 arcsin(0.5002)» 0 2 0.5 1 arcsin 0.50.000230471 x x=¢¢ +×»° - ． （2）由 0 00 arcsin arccos (arccos )|() x x x x x x x = ¢ »+×- 即取 00.5 x = 得arccos(0.4995)arcsin 0.5 »- 0 2 0.51 (0.50.0005)6021 x x= ¢ ×-»° - . 15．验证罗尔定理对函数 ln sin y x = 在区间 π 5π ,66 éùêú ëû上的正确性．证 函数 ()ln sin f x x = 在 π 5π ,66 éù êú ëû 上连续，在 π 5π ,66 æö ç÷ èø 内可导，又 π π 1 ln sin ln 662 f æö== ç÷ èø，5π 5π 1 ln sin ln 662 f æö == ç÷ èø 即 π 5π 66 f f æöæö = ç÷ç÷ èøèø ，故 () f x 在 π 5π ,66 éùêú ëû上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知至少存在一点 π 5π ,66 x æöÎ ç÷ èø，使 ()0 f x ¢ = ．又 cos ()cot sin x f x x x ¢ == ，令 ()0 f x ¢ = 得 π π 2 x n =+（ 0 1 2 n =±± L ， ， ， ）． 取 0 n = ，得 π π 5π , 266 x æö =Î ç÷ èø ．因此罗尔定理对函数 ln sin y x = 在区间 π 5π ,66 éùêú ëû上是正确的．16． 试证明对函数 2 y px qx r =++ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点x 总是位于区间的正中 间．证 任取数值 a ，b ，不妨设a b < ，函数 2 () f x px qx r =++ 在区间[,] a b 上连续，在(,) a b 内可 导，故由拉格朗日中值定理知至少存在一点 (,) a b x Î ，使 ()()()() f b f a f b a x ¢-=- ，即 22 (2)().pb qb r pa qa r p q b a x ++---=+- 经整理得 2a bx + =．即所求得的x 总是位于区间的正中间． 17．不用求出函数 ()(1)(2)(3)(4) f x x x x x =---- 的导数，说明方程 ()0 f x ¢ = 有几个实根，并指出它们所在的区间．解 函数 () f x 分别在 [1,2] [2,3] [3,4] ， ， 上连续，分别在 (1,2) (2,3) (3,4) ， ， 内可导，且 (1)(2)(3)(4)0 f f f f ==== ． 由罗尔定理知至少存在 123 (1,2) (2,3) (3,4) x x x ÎÎÎ ， ， ， 使 123 ()()()0 f f f x x x ¢¢¢ === ．即方程 ()0 f x ¢ = 至少有三个实根，又因为方程 ()0 f x ¢ = 为三次方程，故 它至多有三个实根，因此方程 ()0 f x ¢ = 有且仅有三个实根，它们分别位于区间(1,2) (2,3) (3,4) ， ， 内．第2章 一元函数微分学2718．证明恒等式： π arcsin arccos 11 2x x x +=- （ ≤ ≤ ） ． 证取函数 ()arcsin arccos (1,1) f x x x x =+Î- ， ． 因 2211() 11 f x xx ¢ =--- 0 º ， 故() f x C º ．取 0 x = ，得 π(0) 2 f C == ．从而当 (1,1) x Î- 时，有arcsin x + arccos x π 2 = ．又 1 x = 或 1 - 时，也有 π arcsin arccos 2 x x += ，因此 πarcsin arccos 2x x += ， [1,1] x Î- ．19 ． 若方程 1 011 0 n n n a x a x a x - - +++= L 有一个正根 0 x x = ， 证明方程 12 011 (1)0 n n n a nx a n x a x -- - +-++= L 必有一个小于 0 x 的正根．证 取函数 1 011 () n n n f x a x a x a x - - =+++ L ． () f x 在 0 [0,] x 上连续，在 0 (0,) x 内可导，且 0 (0)()0 f f x == ， 由罗尔定理知至少存在一点 0 (0,) x x Î ， 使 ()0 f x ¢ = ， 即方程12 011 (1)0 n n n a nx a n x a x -- - +-++= L 必有一个小于 0 x 的正根．20． 若函数 () f x 在( , a b )内具有二阶导数， 且 123 ()()() f x f x f x == ， 其中 123 a x x x b <<<< ． 证 明：在( 13 , x x )内至少有一点x ，使得 ()0 f x ¢¢ = ．证根据题意知函数 () f x 在 1223 [,] [,] x x x x ， 上连续 ， 在 1223 (,) (,) x x x x ， 内可导且 123 ()()() f x f x f x == ，故由罗尔定理知至少存在点 11222,3 (,) () x x x x x x ÎÎ ， ，使 12 ()()0 f f x x ¢¢ == . 又 () f x ¢ 在 12 [,] x x 上连续， 在 12 (,) x x 内可导， 故由罗尔定理知至少存在点 1212 (,)(,) x x x x x ÎÌ 使 ()0 f x ¢¢ = ．21．设 0 a b >> ， 1 n > ，证明：11 ()() n n n n nb a b a b na a b -- -<-<- ．证 取函数 () n f x x = ， () f x 在[,] b a 上连续，在(,) b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少 存在一点 (,) b a x Î ，使 ()()()() f a f b f a b x ¢ -=- ，即1 () n n n a b n a b x - -=- ．又01 b a n x <<<> ， ，故 1110 n n n b ax --- <<< ． 因此 111 ()()() n n n nb a b n a b na a b x --- -<-<- ，即11 ()() n n n n nb a b a b na a b -- -<-<- ．22．设 0 a b >> ，证明：ln a b a a ba b b-- << ． 证 取 ()ln f x x = ， () f x 在[,] b a 上连续，在[,] b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (,) b a x Î ，使 ()()()() f a f b f a b x ¢ -=- ，即1ln ln () a b a b x-=- ．应用高等数学教程（能力提升篇）28又0 b a x <<< ，故 111 0 a b x <<< ，因此 a b a b a b a bx --- << ，即 ln a b a a ba b b-- << ． 23．证明：当 1 x > 时，e e x x >× ．证 取函数 ()e tf t = ， () f t 在[1,] x 上连续，在(1,) x 内可导．由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (1,) x x Î ，使()(1)()(1) f x f f x x ¢ -=- ，即e e e (1) x x x -=- ．又1 x x << ，故e e x > ，因此e e e(1) x x -=- ， 即 e e x x >× ．24．设 () f x 、 () g x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，证明在(,) a b 内有一点x ，使()() ()()f a f bg a g b =()()()()()f a f b ag a g x x ¢ - ¢ ． 证 取 ()() () ()()f a f x F xg a g x = ，由 () f x 、 () g x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导知 () F x 在[,] a b上 连续，在 (,) a b 内可导，由拉格朗日中值定理知至少存在一点 (,) a b x Î ，使 ()() F b F a -= ()() F b a x ¢ - ．而()() () ()()f a f b F bg a g b = ， ()() ()0 ()()f a f a F ag a g a == 0() () 0()f x F xg x ¢ =＋()() ()() f a f g a g x x ¢ ¢ ＝ ()()()()f a fg a g x x ¢ ¢ 故()()()()() ()()()() f a f b f a f b a g a g b g a g x x ¢ =- ¢ 25．证明：若函数 () f x 在(,) -¥+¥ 内满足关系式 ()() f x f x ¢= ，且 (0)1 f = ，则 ()e x f x = ． 证 取 () () e x f x G x = ，则由 2 ()e e ()()()()0 e e x x x xf x f x f x f x G x ¢¢ -- ¢ === ，得 () G x C = ．又(0)()1 G C f x === ，因此 ()1 G x = ．即 ()1 ex f x = ．26．设函数 () y f x = 在 0 x = 的某邻域内具有n 阶导数，且 (0) f = (0) f ¢ == L (1) (0)0 n f - = ，试 用柯西中值定理证明： () ()() 01 ! n n f x f x n xq q =<< （ ） ．证 取 () n g t t = ，则由假设 () f t 及 () g t 的表达式知， () f t 及 () g t 在由0与x 组成的区间上满足第2章 一元函数微分学29柯西中值定理的条件，因此有1 11() ()()(0) 0 n n n n f f x f x f x x n x x - ¢ - == - ，其中 1 x 在0与1之间． 又 112 1112112()()(0)()0(1) n n n n f f f f n n n n n x x x x x x ---- ¢¢¢¢¢ - == -- ，其中 2 x 在0与 1 x 之间． 依此类推，得( ) 1)(1)(1) 11 11() ()()(0) !!!0! n n n n n n n f f f f n n n n x x x x x - -- -- - == - ，其中 n x 在0与 1 n x - 之间． 因此 () ()()01 ! n nf x f x n xq q =<< （ ） ． 27．设 ()() f x g x ， 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，且对(,) a b 内的一切 x 有 ()() f x g x ¢ -()()0 f x g x ¢ ¹ ．证明：若 () f x 在(,) a b 内有两个相邻的零点，则介于这两个零点之间 () g x 至少有一 个零点．证 采用反证法．若 () g x 在 12 (,) x x 之间没有零点，其中 1212 ,() x x x x < 为 () f x 在(,) a b 内有两个 相邻的零点．显然 12 ()0()0 g x g x ¹¹ ， ，否则由 11 ()()0 g x f x == 或 22 ()()0 g x f x == ，得 1111 ()()()()0 f x g x f x g x ¢¢ -¹ 或 2222 ()()()()0 f x g x f x g x ¢¢ -¹ ，这与假设矛盾．取 ()() ()f x F xg x = ，则 () F x 在 12 [,] x x 上连续，在 12 (,) x x 内可导，又1 1 1 () ()0 () f x F x g x == ， 2 22 () ()0 () f x F x g x == ． 即 12 ()() F x F x = ，从而 () F x 在 12 [,]x x 上满足罗尔定理条件，于是存在 12 (,)(,) x x a b x ÎÌ ，使得 2 ()()()()()0 ()f g f g F g x x x x x x ¢¢ - ¢ == ．即()()()()0 f g f g x x x x ¢¢ -= ．这与假设矛盾，故结论成立．28．用洛必达法则求下则极限：（1） 1 ln 1 lim arc cot x x x®+¥ æö + ç÷èø；（2） 212lim e x x x ® ；（3） sin 0 e elim sin x xx x x® - - ；（4） e 2arctan lim e π x x x x x x®¥ + - ；（5）lim 1 xx a x ®¥ æö + ç÷ èø ；（6） sin 0lim x x x + ® ；（7） tan 0 1 lim xx x + ® æö ç÷èø．应用高等数学教程（能力提升篇）30解 （1） 2 2 2 2 211 1 1 1 ln 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 11 arc cot 1 1 x x x x x x x x x x x x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥ æö - ç÷ æö èø + + + ç÷ + èø ==== + -+ + ． （2） 2 222 11112 2 0000 22 1 e e lim e lim lim lim e 1 1 xx xx x x x x x x x x ®®®® æö × ç÷ èø ====+¥ ¢ æöç÷ èø． （3） sin sin sin sin sin 0000 e e e 1e 1 lim lim e lim e limsin sin sin x x x xx x x xx x x x x x x x x x -- ®®®® --- ==× --- sin sin 00 e (1cos )lim lim e 1 1cos x x x x x x x x- - ®® - === - ． （4）因为当x ®+¥时，e x®+¥， π arctan 2 x ® ．当x ®-¥时，e 0 x ® ， π arctan 2x ®- ，所以碰到当x ®¥， 被求极限函数含有e x或arctan x 时， 应分别求x ®+¥及x ®-¥时的函数极限，并以此判断当x ®¥时函数是否有极限．2 2 e 2arctan e 2arctan 1 lim lime π e πx xx x x x xx x x x x ®+¥®+¥ ++ + + = -- 22e12arctan 1 lim 1 1 πe x x x x x x - - ®+¥ ++ + == - ． 2 2 e 2arctan e 2arctan 1 lim lim 1 e π e πx x x x x x xx x x x x ®-¥®-¥ ++ + + == -- ．故 e 2arctan lim 1 e π x x x x x x®¥ + = - ． （5） 2 21 1 ln 1ln 1 limlim lim lim1 11 lim ln 1 1 lim 1ee e e ee x x x x x a aa a x x a x x a xa x ax xxx x x a x ®¥®¥®¥®¥ ®¥ æö ×- ç÷æöæö èø + ++ ç÷ç÷èøèøæö- + +ç÷ èø®¥ æö+====== ç÷ èø ．（6） sin 0lim x x x + ® 0 0 21 sin ln lim lim 1 1lim sin ln lim 0 e eee e 1 x x x x x x x x x xxxx + + ® ® ++®® - - ====== ．（7） 0 02001 tan ln lim lim 11 tan 1 lim tan lnlim 0 0 1 lim eeee e 1 x x x x x xx xx x xxxx x x + + ® ® ++®® + - -× - ® æö====== ç÷èø．第2章 一元函数微分学3129．验证极限 20 1 sinlimsin x x x x® 存在，但不能用洛必达法则得出． 解 因为 2 1 11 sin 2sin cos lim lim(sin )cos x x x x x x x x x ®¥®¥ ¢ æö - ç÷èø = ¢ 不存在，所以只能说不能用洛必达法则来求极限 cos limx x xx®¥ + ，但不能说该极限不存在．事实上，此极限可用下面的方法来求：2 0000 1 sin11 lim lim sin lim lim sin 100 sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x ®®®® æö =×=×=×= ç÷ èø ． 30．讨论函数11 12(1) 0 () e ex x xx f x x - ì éù ï+ êú ï > = êú í ëûï ï î ≤ 在点 0 x = 处的连续性．解 因为 1 00 1 11(1)11 lim ln lim ln(1)1 e 00 (1) lim ()lim e e ex x x xx x xx x x x x xf x ++ ®® ++ éùêú + éùêú +- êú ëû ëû®® éù + êú === êú ëû 200011 ln(1)11 1limlimlim22(1) 2eeee x x x x xx xx x+++ ®®® - +-- + - + ==== ．11 2200lim ()lim ee x xf x -- -- ®® == ．所以 1 2lim ()lim ()e x x f x f x -+ - ®® == ，故函数 () f x 在点 0 x = 处连续．31．按所给条件解答下列各题：（1）求函数 ()ln f x x = 按(2) x - 的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式； （2）求函数 ()tan f x x = 的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式；（3）验证当 1 0 2 x < ≤ 时，按公式 23e 1 26x x x x »+++ 计算e x的近似值时，所产生的误差小于0.01，并求 e 的近似值，使误差小于0.01；（4）应用三阶泰勒公式求sin18°的近似值，并估计误差．解 （1） 2131 231112! ()(ln )()(1)()(1) f x x f x f x x x x x -- ¢¢ æö ¢¢¢¢¢¢¢ ====-=- ç÷ èø， ，应用高等数学教程（能力提升篇）32(4)4143!()(1)f x x - =- ，一般地有 ()1(1)!()(1)k k kk f x x - - =- 1 2 ) k n = L （ ，， ， ． 于是 ()1 (1)! (2)(1) 2k k k k f - - =- 1 2 k n = L （ ，， ，） ． 故 () 2(2)(2) ln (2)(2)(2)(2)(2)[(2)]2!!n n n f f x f f x x x x n o ¢¢ ¢ =+-+-++-+- L 2333 1111 ln 2(2)(2)(2)(2)[(2)] 2 2322n nx x x x x n o =+---+-++-+- ×× L ． （2）因为 22 ()(tan )sec ()2sec tan f x x x f x x x ¢¢¢¢ === ， ，224(4)234 ()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan , f x x x x f x x x x x ¢¢¢ =+=+ ， 224(4)234()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan ,f x x x x f x x x x x =+=+ ， 所以 (0)0(0)1(0)0(0)2 f f f f ¢¢¢¢¢¢ ==== ， ， ， ， 从而(4)2 234345(0)(0)()1(sin 2)sin tan (0)(0) 2!3!4!3 3cos f f f x f f x x x x x x x x x x x¢¢¢¢¢ + ¢ =++++=++ 其中x 介于0和x 之间．（3）设 ()e x f x = ，则 ()() ()e (0)1 n x n f x f == ， ，故数 () f x 的三阶麦克劳林公式为23 4e e 1 2!3!4! xx x x x x=++++ ，其中x 介于 0 和x 之间．按 23 e 1 26 xx x x »+++ 计算e x的近似值，其误差为 3 () R x = 4 e 4!x x．当1 02 x < ≤ 时， 1 0 2 x << ， 14 23 31 ()0.00450.01 4!2 R x æö »< ç÷ èø ≤ ， 2311111 e 1 1.645 22262 æöæö»+++» ç÷ç÷ èøèø．（4）sin x 的三阶泰勒公式为 35 5 sin π 2 sin 3!5! x x x x x æö + ç÷ èø =-+ ，其中x 介于 0 和 π 10 之间．故 3554 π π 1 π 1 π sin18sin 0.3090 2.5510 10103!105!10 R - æöæö °==-=»´ ç÷ç÷ èøèø， ≤ ．32．利用泰勒公式求下列极限： （1） ( )34 3243lim32 x x xx x ®+¥+-- ；（2） [ ]222 0 cos elimln(1) x x x x x x - ® - +- ；第2章 一元函数微分学33解 （1） ()34 3243 3 4 32 lim32lim 11 x x x x x x x x x ®+¥®+¥ æö+--=+-- ç÷ç÷ èø131121 lim 11 34 x x x x x x o o ®+¥ éù æöæö=+×+-+×+ ç÷ç÷ êú èøèø ëû1 33 lim 1 22x x x o ®+¥ éùæö ç÷ êú èø êú =+= êú êú ëû． （2） [ ] 22422424 22 2 00 22 1 1()1()()()cos e 24!222 lim limln(1) () 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x o o o - ®® -++-----+ - = +- éù æö +--+ êú ç÷ èø ëû 44 0 4411 () 4!8 lim 1 () 2x x x x x o o ® æö -+ ç÷ èø = -+ 44 4 0 41() 1 1 1212 lim 1 61() 2 2 x x x x xo o ® -+ -=== - -+ ． 33．确定下列函数的单调区间：（1） 32 10496 y x x x= -+ ；（2） 3 (2)() 0 y x a a x a =--> （ ） ；（3） sin 2 y x x =+ ．解 （1）所给函数除 0 x = 外在(,) -¥+¥ 内处处可导，且2222222 1120()(1) 10(12186) 2 (496)(496) x x x x y x x x x x x--- --+ ¢ == -+-+ ． 令 0 y ¢= ，得驻点 12 112x x == ， ． 由驻点 12 112x x == ， 及 0 x = 划分区间(,) -¥+¥ 列表如下： x (,0)-¥ 1 0, 2 æöç÷ èø1 ,12 æö ç÷ èø(1,)+¥ y ¢ – – + – y]]Z]应用高等数学教程（能力提升篇）34由上表可知该函数在 1 (,0) 0, [1,) 2 æù -¥+¥ ç ú èû ， ， 内单调减少，在 1 ,1 2 éùêú ëû 上单调增加．（2）所给函数在 , , 22 a a a æöæö -¥ ç÷ç÷ èøèø ， ， (,) a +¥ 内可导，当 12 2 a x x a == ， 时，函数不可导，2 3 2 6 3 3(2)()a x yx a a x æö -- ç÷èø ¢= -- ．令 0 y ¢= ，得驻点 3 2 3ax =． 由点 12 2 a x x a == ， ， 3 2 3ax = 划分区间(,) -¥+¥ 列表如下：x , 2 a æö -¥ ç÷ èø 2,23 a a æöç÷ èø2 ,3 a a æö ç÷ èø(,)a +¥ y ¢ + + – + yZZ]Z由上表可知该函数在 2, [,) 3 a a æö -¥+¥ ç÷ èø ， 内单调增加，在 2 , 3 a a éùêú ëû上单调减少．（3）所给函数的定义域为(,) -¥+¥ ，且π sin 2 π π 2 0 1 2 π sin 2 π (1)π2x x n x n y n x x n x n ì++ ï ï ==±± í ï -+<+ ï î L ≤ ≤ （ ， ， ， ）≤ π 12cos 2 π π 2 0 1 2 π 12cos 2 π (1)π2x n x n y n x n x n ì+<<+ ï ï ¢ ==±± í ï -+<<+ ï î L （ ， ， ， ）令 0 y ¢= ，得驻点 π π 3 x n =+ 及 5ππ 6x n =+ 0 1 2 n =±± L （ ， ， ， ），按照这些驻点划分区间(,) -¥+¥ 为π π π π 5π 5π π, π π , π π , π π ,(1)π 332266 n n n n n n n n æöæöæöæö+++++++ ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø， ， ， 其中 0 1 2 n =±± L ， ， ， ． 当 π π 5π π π π π 326 n x n n x n <<++<<+ ， 时， 0 y ¢> ，因此函数在 π π π , 223 k kéù + êú ëû上单调增加0 1 2 k =±± L （ ， ， ， ） ；当 π π 5π π π π (1)π 326 n x n n x n +<<++<<+ ， 时， 0 y ¢< ，因此函数在 π π π π , 2322 k kéù ++ êú ëû上单调减 少 0 1 2 k =±± L （ ， ， ， ） ．第2章 一元函数微分学3534．证明下列不等式：（1）当 π0 2 x << 时，sin tan 2 x x x +> ；（2）当 π 0 2 x << 时， 3 1tan 3x x x >+ ；（3）当 4 x > 时， 22 x x > ；（4）当01 x << 时， 22 (1)ln (1) x x x ++< ；（5）当 π 0 2 x << 时， 2sin πx x x << ．证 （1）当 π0 2x << 时，令 () f x = sin tan 2 x x x +- ，则2 22111()cos sec 2cos 22cos 2220 cos cos cos f x x x x x x x x¢ =+-=+-×-=-> ≥ ． 因此当 π 0 2 x << 时 ， () f x 单调增加 ， 从而 ()(0)0 f x f >= ， 即当 π0 2x << 时 ，sin tan 2 x x x +- 0 > ，也就是sin tan 2 x x x +> ．（2）当 π 0 2 x << 时，令 () f x = 3 1tan 3x x x -- ，则2222 ()sec 1tan f x x x x x ¢ =--=- ． 取 ()tan g x x x =- ．当 π0 2 x << 时，由 22 ()sec 1tan 0 g x x x ¢ =-=> 知 () g x 单调增加，因此()tan 0 g x x x =-> ，即当 π 0 2 x << 时，tan x x > ，从而 22tan x x > ．于是 ()0 f x ¢ > ，故当 π 0 2x <<时， () f x 单调增加，从而 ()(0)0 f x f >= ，即当 π 0 2 x << 时， 3 1tan 0 3x x x --> ，也就是31 tan 3x x x >+ ．（3）当 4 x > 时，令 () f x = 22 x x - ，则()2ln 22 x f x x ¢ =- ， 222 ()2ln 222(ln 4)2 x x f x - ¢¢ =-=- ．当 4 x > 时， ()0 f x ¢¢ > ， () f x ¢ 单调增加， 从而 3 ()(4)2ln 480 f x f ¢¢ >=-> ， 故当 4 x > 时， ()f x 单调增加，从而 ()(4)0 f x f >= ．即当 4 x > 时，即 22 x x > ．（4）当01 x << 时，令 () f x = 22 (1)ln(1) x x x ++- ，则 (0)0 f = ．2 ()ln (1)2ln(1)2(0)0 f x x x x f ¢¢ =+++-= ， ， 1()[ln(1)]0 ln(1)f x x x x ¢¢ =+-< + ．所以当01 x << 时， () f x ¢ 单调减少，从而 ()(0)0 f x f ¢¢ <= ，故当01 x << 时， () f x 单调减少， 从而 ()(0)0 f x f <= ．即当01 x << 时，即 22 (1)ln (1) x x x ++< ．应用高等数学教程（能力提升篇）36（5）先证当 π0 2x << 时，sin x x < ．令 () f x = sin x x - ，则当 π 0 2 x << 时，有 ()1cos 0 f x x ¢ =-> ．因此当 π0 2x << 时， () f x 单调增加，从而 ()(0)0 f x f >= ，即当 π0 2x << 时，sin x x > 0 > ．再证当 π 0 2 x << 时， 2 sin π x x < ，即证 sin 2π x x > ．令 sin 2 () π x g x x =- ，则当 π0 2x << 时，有22 cos sin cos ()(tan )0 x x x xg x x x x x- ¢ ==-< ．因此当 π 0 2 x << 时， () g x 单调减少，从而 π ()0 2 g x g æö<= ç÷ èø，即当 π 0 2 x << 时， sin 2 π x x > ，亦2sin πx x < ． 35．讨论方程ln x ax = （ 0 a > ）有几个实根．解 取 ()ln (0,) f x x ax x =-Î+¥ ， ，则 1 () f x a x ¢ =- ．令 ()0 f x ¢ = ，得驻点 1x a= ．当 1 0 x a << 时， ()0 f x ¢ > ，因此函数 () f x 在 1 0, a æöç÷ èø 内单调增加，当 1 x a <<+¥时， ()0 f x ¢ < ，因此函数 () f x 在 1 ,a æö +¥ ç÷ èø 内单调减少．从而 1 f a æöç÷ èø为最大值，由 0 lim () lim () x x f x f x + ®+¥ ® =-¥=-¥ ， ，知①在 11 ln 10 f a a æö=-= ç÷ èø即 1 e a = 时，曲线 ()ln f x x ax =- 与 x 轴仅有一个交点，这时方程ln x ax = 有唯一实根． ②在 11 ln 10 f a a æö=-> ç÷ èø 即 1 0 e a << 时，曲线 ()ln f x x ax =- 与 x 轴有两个交点，这时方程ln x ax = 有两个实根． ③在 11 ln 10 f a a æö=-< ç÷ èø即 1 e a > 时， 曲线 ()ln f x x ax =- 与x 轴没有交点， 这时方程ln x ax = 没有实根．36．求下列函数图形的拐点及凹或凸区间．（1） 2 ln(1) y x =+ ； （2） arctan e x y = ． 解 由 22222(1)(1)1(1)x x x y y x x -+ ¢¢¢ == ++ ， ，令 0 y ¢¢= 得 12 11 x x =-= ， ． 当 1 x -¥<<- 时， 0 y ¢¢< ，因此曲线在(,1] -¥-内是凸的；。
第2章--一元函数微分学
即 y lim f ( x x) f ( x)
x0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
12
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函 数.
播放 13
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f (x x) f (x);
,
解得
x01
1,
x02
1,
从而知过点(0,-1)可作两条直线与 y x2 相切，
其斜率分别为 k1 2, k2 2,
二直线方程分别为 y 1 2x, y 1 2x.
19
四、可导与连续的关系
定理 若函数y=f(x)在点x0 处可导 则它在点x0 处必定连续 .
证明 设函数 f ( x)在点 x0可导,
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
57
三、复合函数和隐函数的求导法
1、复合函数的求导法则
定理 如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u)
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
★ 若函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导，且在左端 点处右可导和右端点处左可导，则称函数f(x)在闭 区间[a,b]内可导。
11
★对于任一x∈ I,都对应着 f (x) 的一个确定的 导数值， 这个函数叫做原来函数f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
一元函数微分学
α、β、γ等表示。
注: (1)无穷小量是一个特殊的变量
(2)无穷小量与有极限变量的关系是：变量y以A为极限的 充分必要条件是y可以表示为A与与一个无穷小量的和
即 lim y A y A (lim 0)
定义2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。
如：lim kx 0(其中k为常数)
x0
1
x0
x
x0
x x0
1
f
(0 )
lim (1
x0
x
)
1 x
2
lim
x0
(1
x 2
)
2 x
2
1
e2
e
f(x)在x=0处有极限存在，必须
得 b e
三、函数的连续性
1、函数的连续与连续函数
定义6 设函数f(x)在点x0及其邻域内有定义并满
足
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y
x0
0
(△x为x0点处自变量的改变量，△y为相应的函数 改变量)
分母的最高次幂系数之比。如
lim
x
2x3 5x3
x2 2x
1 3
2 5
②当分子的最高次幂小于分母的最高次幂时，其极限值
=0
③当分子的最高次幂大于分母的最高次幂时，其极限值
=∞
2、两个重要极限
(1) lim sin x 1
x0 x
注：①该极限呈 " 0 "型
0
②一般形式为： lim
sin (x) 1
(6)对于连续函数(基本初等函数在其定义区间上都是连续
函数)，极限符号与函数符号可以互相交换。
专升本第二章_一元函数的微分学
( x0 ) , 即 同理右导数为f f ( x0 x) f ( x0 ) y ( x0 ) lim f lim x0 x x0 x
定理：函数 y f ( x) 在 x0 点处可导的充要条件是函数 ( x0 ) f ( x0 ) 。 在 x0 点处的左、右导数均存在，且 f
例13. 求由方程 x 2 y 2 r 2 所确定的隐函数 y y ( x) 的导数。
解1：由方程可以解出 y r x ， 所以 1 1 x y (2 x) 2 2 2 r 2 y 看成 x的函数)： x 2 x 2 y y 0 ， y y
y nxn1a x cos x x n a x (ln a) cos x x n a x sin x
3. 复合函数和反函数的导数
定理4.设函数u ( x) 在点 x 可导，又函数y f (u ) 在 对应点u 处可导，则复合函数 y f ( ( x)) 在点 x 处可导， dy dy du 且 f ( ( x)) f (u ) ( x) 或 dx du dx
曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 )
3. 可导与连续的关系
例2. 讨论函数 f ( x) sin x 在 x 0 处的连续性和可导性。
解：y sin x 0 x ,当 x 0时，y 0
e2x , x0 例1. 考虑函数 f ( x) sin 2 x 1, x 0 在点 x 0 处是否可导。
f ( x) f (0) e2 x 1 解：f (0) lim lim 2 x0 x0 x0 x
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一元函数微分学第2章一元函数微分学教学耍求1・知道极限概念数列极限、函数极限、左右极限知道极限存在的充分必耍条件2•了解无穷小量概念了解无穷小量与无穷大量的关系知道无穷小量的性质如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量3•掌握极限的四则运算法则掌握两个重要极限掌握求极限的一般方法4•了解函数在一点连续的概念知道左连续和右连续的概念知道函数在一点间断的概念会求函数的间断点5•理解导数定义会求曲线的切线知道可导与连续的关系6•熟练掌握导数基木公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则掌握求简单隐函数的导数7 •了解微分概念会求函数的微分&知道高阶导数概念会求函数的二阶导数本章重点极限的计算导数的概念导数、微分的计算木章难点极限的概念复合函数导数的计算内容结构课堂教学-经济数学基础教学设计一、极限的概念 附课件演示极限一教师主页—电大在线3、函数极限二 xfxx 01im=A 1 当x Ox 吋有Axf )(记作xf )(记作xfxx Olim=A3 当xOx吋有Axf )(记作xfxxOlim 二A注意 1 当xOx时极限存在的充要条件是左、右极限相等即xfxxOlim 二 A xfxx 01im= xfxx Olim二A这充要条件常用于讨论分段函数在分段点处的极限是否存在例题3 另见导学17页跟我练习2 极限存在的两个前提条件①确定自变量的变化过程②在这一变化过程中函数值f(x)无限地逼近于一确定的常数A4、常用的一些基本极限详见导学16页附0二、无穷小量详见导学17页1、定义极限为零的量必须注明自变量的变化过程跟我练习2、性质①有限个无穷小量的代数和、乘积仍是无穷小量②无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量3、无穷小量的倒数——无穷大量内容讲解*无穷小量三、函数的连续与间断1、定义内容讲解*函数的连续性设函数xf在点Ox的邻域内有定义若满足001 imxfxfxx则称函数xf在点Ox处连续.点Ox是xf的连续点.函数f (x)在Ox处连续等价于f (x)在Ox处左、右都连续2、初等函数在其定义域内都连续其极限值等于函数值即OOlimxfxfxx跟我练习3、分段函数的连续性的判断根据分段点处是否左右都连续例题1例题2跟我练习四、求极限的方法1、极限的四则运算内容讲解*极限的四则运算法则例题12、利用连续性求极限)(limOxfx = f(Ox)例题 33、0型或型极限的计算详见导学19页10型极限的计算方法用分解因式或分式有理化等方法消去极限为零的因子再取极限例题2例题4型极限的计算方法分子、分母同吋除以分母的最高次项不包括系数例题3 导学练习4、利用两个重要的极限求极限详见导学20页⑴XxxsinlimO二 1 （00型）可推广成中心sinlimO0二1 “即三个括号填的代数式必须一致”例题12xlim 1+x1 x二 e 或Olim1二e 都是1型可推广成e中心11 lim 或 elllim 屮心例题235、课后练习连接网页五、导数与微分的概念1、导数的定义 内容讲解*引例2内容讲解*引例3解*引例1内容讲解*导数定义函数y 二f (x)在点Ox 处的导数 是函数在点Ox 处的变化率 数的改变量 y与自变量改变量 x 的比值的极限x 0 跟我练习例题内容讲①用定义计算函数导数的步骤是第一步自变量改变量Ox+ x -Ox时计算函数的改变量y二"0x+ x)-f (Ox)它是x的函数第二步计算比值Xy第三步求极限OlimXXy当极限存在时其极限就是导数值0 /Xf 当极限②左、右导数左导数00值不存在吋函数f(x)在点Ox处不可导。
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第二章一元函数微分学§2.1导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量(x f y =∆0x x dxdy=，)(x x dxx df =)x 在点0x 右导数：左导数：则有(x f 2)(x f 在点（(,0f x 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数)(x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。
例如，||)(x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。
4．微分的定义设函数)(x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式0()()y A x x o x ∆=∆+∆（0→∆x ）其中)(0x A 为为无关，()o x ∆是时比高阶的无穷小，则称在x 处可微，并把y ∆中5y =∆x ∆点,(00f x M 6)(x f 且所以导数 7处仍是可导的，则把()y f x ''=在点)(x f y =，或022x x dxyd =等，也称f 0x 处二阶可导。
如果)(x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为)(x f y =的n 阶导数，记以)(n y ，)()(x yn ，n n dxyd 等，这时也称)(x f y =是n 阶可导。
02一元函数微分学练习试题.docx
第二部分一元函数微分学[ 选择题 ]1. 若f x点 x x0处可导，则下列各式中结果等于f x0的是 [].f x0 f x0x（ B）lim f x0x f x0（ A）limx0x x0xf x0 2 x f x0（ D）lim f x0 2 x f x0x（ C）limx xx0x02.下列结论错误的是 [ ]（ A）如果函数f x 在点 x x0处连续，则f x 在点 x x0处可导（ B）如果函数f x 在点 x x0处不连续，则 f x 在点 x x0处不可导（ C）如果函数f x 在点 x x0处可导，则f x 在点 x x0处连续（ D）如果函数f x 在点 x x0处不可导，则 f x 在点 x x0处也可能连续x 2x 0x 在点x0 处[ ]3. 设f x1，则 fx3x＞0（A）左导数不存在，右导数存在（B）右导数不存在，左导数存在（C）左、右导数都存在（D）左、右导数都不存在4.若曲线 y x2ax b 和 y x3x 在点（1，2）处相切（其中a, b是常数），则a, b之值为 [ ].（ A）a2, b1（ B）a 1, b3（ C）a0, b2（ D）a3, b 15.设 f x cosx,则 lim f a f ax[]x0x（ A）sin a（B）sin a（ C）cosa（ D）cosa6. 设f x二阶可导，y f 1nx , 则y[]（ A ） f ' ' 1nx（ B ） f '' 1nx 1x 2（ C ）1f ' ' nxf ' nx1f ''1nx f'1nxx 211（D ）x 27. 若 f u可导 , 且 yf (e x ) 有 dy []（ A ） f 'e xdx（B ） f ' e x de x （ C ） f e xde x（ D ） f e x ' e x dx8．设函数 yf (x)在点 x 0 处可导， y f ( x 0 h) f ( x 0 ) ，则当 h 0 时，必有 [ ].(A) dy 是 h 的同价无穷小量 . (B)y - dy 是 h 的同阶无穷小量。
一元函数微分学
第二章一元函数微分学（30学时）微积分学包括微分学与积分学两大组成部分。
微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。
导数，从本质上看，它是一类特殊形式的极限，它是函数变化率的度量，它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。
微分，它是函数增量的线性主部，它是函数增量的近似表示。
微分与导数密切相关，这两个函数之间存在着等价关系。
导数与微分都有实际背景，都可以给出几何解释，因而它们都会有广泛的实际应用。
它们在解决几何问题，寻求函数的极值与最值，以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。
本章分两部分，第一部分在深入研究导数概念的基础上，讨论函数求导的基本公式，以及函数求导的运算法则。
相应地，将推出函数微分的基本公式与运算法则，同时，还将介绍可导与连续的关系，高阶导数、隐函数、由参数方程决定的函数的导数的概念及计算方法。
第二部分首先建立导数应用的理论基础――微分中值定理，然后相继讨论导数的一些重要应用：函数的多项式逼近（泰勒公式）、求未定式的极限的一种方法（洛必达法则）、函数单调性和凹凸性的研究、函数图形的描绘、函数的极值和最值的求法、某些函数恒等式或不等式的证明以及曲率的计算等等。
具体的要求如下：1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
2．会用导数描述一些物理量。
3．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。
了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
4．了解高阶导数的概念。
5．掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。
6．会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。
会求反函数的导数。
7．理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日（Lagrange）定理。
8．了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。
9．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
10. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描述函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。
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第二章一元函数微分学导数的概念定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。
处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)・f(xo),若果极限点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。
处不可导.下面是两种等价形式：f'(Xo)= __________________ = ___________________ •当 Xo =0,W: r (0)= _____________ ,如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—.f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= • 注意：f'(xo)工［f(x°)y■.・ /(兀0 +山)一/(旺)如果y=f(x)在点X 。
及其左侧邻域内有定义，当hm —T —存在时，则称该极值为f(x)在点X 。
处的 ______ 记为—.同理，定义右导数性质 函数y=f(x)在点x 0处可导<・・> ________左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。
处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_•可导函数与连续性的关系函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式).导数的运算3.1基本初等函数的导数公式c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________(e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________(sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________(cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________存在,则称此极限值为函数沪f(x)在2.(arctan x\ = _________ {arc cot xY = ______________________________3.2导数的四则运算法则设u二u(x),v=v(x)都在X处可导侧(cuf= ___ (c 为常数) (u±vf= ___________ (uvf= ________________(；)z= _______ (vHO) (^= ___________ ( vHO ,c 为常数)3.3反函数的求导法则设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对应区间内也可导，且有f(x)= ____ •3.4复合函数的求导法则设y = f(u)z u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u = g(x)可导,则复合函数y =f[g(x)]在点x可导,且有链式法则旷 -------- = ---------3.5隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y) = 0确定的.求V只须直接由方程F(x’y) = 0关于x求导，将y看做是______ 依复合函数链式法则求之.3.6由参数方稈确定的函数的求导法则设y二y(x)是由{ 所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴H O,则空_ 一一------ 一--------3.7对数求导法对于幕函数y = 或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.如y = u：两端取对数：___________ ,化幕指函数为隐函数，如y =N),两端取对数：化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.3.8高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的________ .常见n阶导数公式：(a x)(n) = _______ (e x)(n) = ______________ (x n)(n) = ______________（x w ）（fl ） = ____ （正整数 m<n ）（sin 工）（"）= _____ _______（cos x ）（n ） = ________ _______4. 洛必达法则 4.1未定型〃訂的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。
的某一邻域内(点X 。
可除外)有定义，且XT% limFB"；兀fo② f'(x)与F(x)在该邻域内存在，且F'(x)H0;lim 晋弓存在(或为^),则lim A->X 0 厂 I 兀丿 X->X 0⑵设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 当 |x|>N>0 时,f(x)与 F(x)有定义，且]jm /(x) = O,]j m F(x) = 0；・Y T 8 X T 8② 当|x|>N>0时f (x)与F(x)都存在，且F'(x)HO;4.2未定型〃：〃的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。
的某一邻域内(点X 。
可除外)有定义，且lim/G)=°°，入f0 limF (x )=°°；牙TXo② f'(x)与F(x)在该邻域内存在，且F'(x)HO;③lim 晋吕存在(或为8),则lim#^ =A —>X 0 十 \^) "TXo 匸 I 兀丿⑵设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 当 |x|>N>0 时,f(x)与 F(x)有定义，且 Hm /(兀)= 00,]im F(x) = oo ；XT8② 当|x|>N>0时f (x)与F(x)都存在，且F(x)HO;③lim 件]存在减为°°），则limTT^ = x —>oo r \X ） x ^a r （入丿4.3可化为〃即型或〃生〃型的极限Q DC _________ (或为8).®lim F\x ） f(x)存在减为f 则ijjp 耳r _________ （或为8）・ _________ （或为g ）・(1)若lim〔/(x)• F(X)］为“ o-oe 〃型极限,可以做limt/W •尸⑴］= _____(X—><») (XT8)或limg)®)］= ___________________XT"(XT8)的变形，前者化为〃三〃型，后者化为普〃型.⑵ 若limMW—F⑴］为“00-00 〃型极限，则根据情况对函数进行变形,(XT8)将其化为〃辭型或上〃型.U K5. 导数的应用5.1求曲线的切线方程与法线方程如果函数y二f(x)在点X。
处可导，，由导数的几何意义可知，曲线y二f(x)在点(Xo, f(x())) 的切线方程为____________________ .如果f'(Xo)HO,此时曲线冃(x)在点(X。
, f(x。
))处的法线方程为_______________ .如果f(x o)=O,则_________ 即为曲线y=f(x)在点(xo,f(x。
))处的水平切线.5.2函数的增减(单调)性与极值5.2.1用导数符号判断函数增减(单调)性若在(a,b)内总有f，(x)>0,则f(x)在(a,b)内______ ;若在(a,b)内总有f,(x)<0/则f(x)在(a,b)内_______ .5.2.2函数的极值设y二f(x)在点X。
的某个邻域内有定义：如果对于任何该邻域内任何异于Xo的点x,恒有f(x)_f(x°),则称X。
为f(x)的一个极大值点，称f(Xo)为f(x)的 _____ .如果对于任何该邻域内任何异于X。
的点X,恒有f(x)_f(xo),则称Xo为f(x)的一个极小值点，称f(Xo)为f(x)的 _____ .定理1 (极值的必要条件)设y=f(x)在点Xo处可导，且Xo为f(x)的极值点，则f(Xo)=_.使函数导数值为零的点，称为函数的—・定理2 (极值的第一充分条件)设尸f(x)在点Xo的某个邻域内可导，且f(Xo)=O,M：(1) 当XVXo时f (x)_0;当X>Xo时f (x)_0,则Xo为f(x)的极大值点;(2) 当XVXo时f(x)_O;当x>Xo时f(x)_O,则Xo为f(x)的极小值点；(3) 若F(x)在Xo的两侧同号，则Xo不是f(x)的极值点.定理3 (极值的第二充分条件)设y=f(x)在点Xo处二阶可导，且f(x o)=ojij:(1) 若f〃(Xo)_O,则xo为f(x)的极大值点；(2) 若f〃(x°)_O,则xo为f(x)的极小值点；(3) 若f/(x o)=O/则此方法不能判定.5.3函数的最大值与最小值(1) 求出f(x)在(a,b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点:xi,...,x k .(2) 求出上述各点及区间两个端点x=a,x=b 处的函数值:f(xi)/...f(x k )/f(a)/f(b)/进行 比较，则 f(x)max = _{f(x 1)/...f(x k ),f(a),f(b)}, f(x)min = _{f(Xi),.・・f(Xk),f(a),f(b)}・5.4函数的凹凸性5.4.1用导数判断函数的凹凸性 性质设函数尸f(x)在点(a,b)处二阶可导.(1) 若在(a,b)内有f 〃(x)_O,则y 二f(x)为(a,b)内为凹函数.(2) 若在(a,b)内有f 〃(x)_O,则y=f(x)为(a,b)内为凸函数5.4.2曲线的拐点连续曲线弧y=f(x),ffi(a,b)内有二阶连续导数f 〃(x),xoe (a,b).(1)当f 〃(x)在xo 的左、右两侧为 ___ 时,那么点(x 0, f(x 0))为曲线 尸f(x)的拐点，此时 f ,z (xO)=_.⑵ 当f 〃(x)在X 。