第2章_一阶逻辑[离散数学]

因为若以x=4为例，“x>3”是正确 的，说明存在x，使得P(x)为真，所以 x P(x)的真值为1。
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 7
设Q(x)表示语句“x=x+1.”，个体域 为实数集合。则xQ(x)的真值是多少?
因为不存在这样的x，使得“x=x+1”
为真，所以xQ(x)的真值为0。
其中，C(x)：x去过加拿大。M(x)：x去 过墨西哥。x的个体域为班上的同学。
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 12
将下列命题符号化：
“每个人正好只有一个好朋友。” 解答：符号化为 xyz(F(x, y)∧((z≠y)→﹁F(x, z))) 其中，F(a, b)：a和b是好朋友。x, y和 z的个体域都为人。
Q(1,2) = 0
Q(3,0) = 1
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 3
设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，
则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?
R(1, 2, 3)= 1
R(0, 0, 1)= 0
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一阶逻辑基本概念
当 n>1 时，通常 P 给出了 xi(i=1,2,…,n) 之间的关系。 例如， P(x,y,z) 表示 x 位于 y 与 z 之间，是一个三元 谓词。当 x,y,z 分别用赤道、南半球、北半球代入 时，得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其 真值为 1 。再如，将杭州、南京、北京代入，则得 到：杭州位于南京和北京之间，真值为0。 当n=0时（即0元谓词），该谓词对应一个命题。
这里“电子商务”是主语，而“是„„”是谓语。当
主语改变为“电子政务”时就得到新的原子命题：电
子政务是计算机技术的一个应用系统。
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一阶逻辑基本概念
由此可知，主语是独立存在的个体，而谓语
用来描述该个体的性质或个体间的关系，这里我
们称其为谓词。用P表示谓词“是……”。则P
（电子商务）或P（电子政务）分别等值于前述
பைடு நூலகம்13
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 5
设P(x) 表示语句“x2<10.”，个体 域为不大于4的所有正整数。则x P(x)的真值是多少?
x P(x)=P(1)∧P(2)∧P(3)∧P(4) = 0
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一阶逻辑基本概念
DEFINITION 3.
谓 词 P(x) 的 存 在 量 化 (existential quantification) 是一个按如下规则确定真值的命题：如果
Table 2
Table2两个变量的量词
描述 xyP(x,y) yxP(x,y) xyP(x,y) xyP(x,y) 真 假 对于任意一组x和y， 存在一组x和y，使 P(x,y)为真 得P(x,y)为假 对于任意x，存在y， 存在x，对于任意y， 使得P(x,y)为真 P(x,y)为假 存在x，对于任意y， 对于任意x，存在y， P(x,y)为真 使得P(x,y)为假
x(C(x)∨y(C(y)∧F(x, y))) 其中，C(x)表示“x有一台计算机”，F(x,y)表示“x和y 是朋友”，x和y的个体域均为石化学院的所有学生集合。 解答：对于石化学院的任意一个学生x来说，x有一台 计算机，或者存在一个学生y，y有一台计算机而且x和 y是好朋友。换句话说，石化学院的所有学生要么有一 台计算机，要么有一个拥有一台计算机的朋友。
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一阶逻辑公式及解释
EXAMPLE 18
设Q(x, y, z)表示“x+y=z.”,请分别判断下列谓词
公式的真值：xyzQ(x,y,z)和zxyQ(x,y,z)。
“对于任意一个实数x和任意
“存在一个实数z，使得对
一个实数y，存在一个实数z， 于任意一个x和任意一个y， 使得x+y=z。” x + y = z成立。”
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一阶逻辑基本概念
在指定个体变量 x 的个体域后， 该个体域中的每个个体 a 代入到 P(x) 中
的所有 x ，就对应一个可以判定真假意
义的命题 P(a) 。不同的个体代入后所 对应的命题真值可能不同，也可能相 同。
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一阶逻辑基本概念
例如，P(x)表示为：x2–1=(x–1)(x+1)
（x指定的个体域为全体整数）
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一阶逻辑基本概念
为了进一步讨论命题函数P(x)的真值情况， 首先需要指定个体变量 x 的取值范围，即 个体 域 (universe of discourse, or domain) 。每 一个个体变量 x 都有自己的个体域。如果没有 特别指定的个体域，则缺省为一个 全个体域 (total universe of discourse) 即任意个体 均可以作为常量对x代入。
(2) 一些狮子不喝咖啡。
(3) 一些凶猛的动物不喝咖啡。 设P(x)表示“x是狮子”， Q(x)表示“x是凶猛 的”，R(x)表示“x喝咖啡”。x的个体域为全体 动物。 特性谓词
x(P(x)→Q(x)) P(x) x(P(x) P(x)∧﹁R(x))
x(Q(x) Q(x) ∧﹁R(x))
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该谓词公式的真值为1。
该谓词公式的真值为0。
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一阶逻辑公式及解释
Table 1
Table1 量词
描述 真 P(x)都为真。 假
xP(x) 对于所有的x，
至少存在一个x，
使得P(x)为假。
xP(x) 至少存在一个x， 对于所有的x， 使得P(x)为真。 P(x)都为假。
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一阶逻辑公式及解释
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一阶逻辑公式及解释
EXAMPLE 17
设Q(x, y)表示“x+y=0.”,请分别判断下列谓 词公式的真值：yxQ(x, y)和xyQ(x, y)。
“存在一个实数y，对于任意一 个实数x，Q(x, y)为1。” 不管y取什么值，总是只有唯 一的x，使得x + y = 0。由于不 存在实数y，使得对于任意一 个x，x+y=0都成立，因此，该 谓词公式的真值就为0。 “对于任意一个实数x，总存 在一个实数y，使得Q(x, y) 为1。” 任取一个实数x，总能找到 一个实数y，使得x + y = 0。 即y = -x。 因此，该谓词公 式的真值为1。
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 10 在一阶逻辑中将下列命题符号化：
(1) 所有蜂鸟的羽毛都是鲜艳的。
(2) 没有大鸟以蜂蜜为食。 (3) 不以蜂蜜为食的鸟类的羽毛都是灰暗的。
(4) 蜂鸟是小鸟。
设P(x)表示“x是蜂鸟”， Q(x)表示“x是大鸟”， R(x)表示“x以蜂蜜为食”。S(x)表示“x的羽毛是鲜 艳的”。x的个体域为全体鸟类。 特性谓词 (1) x(P(x)→S(x)) P(x) (3) x(﹁R(x)→ R(x) ﹁S(x))
第二章 一阶逻辑
（Predicate Logic）
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离散数学
授课教师：仝允战
一阶逻辑基本概念 一阶逻辑公式及解释
3
一阶逻辑等值式
一阶逻辑
1
一阶逻辑基本概念
前两节介绍的命题与命题演算是命题逻辑的内
容，其基本组成单位是原子命题。一般地，原子命题
作为具有真假意义的句子至少由主语和谓语两部分组
成。
例如，电子商务是计算机技术的一个应用系统，
EXAMPLE 14
将下列命题符号化：
“有一位女士乘坐过世界上所有航线的班
机。”用P(w, f)表示“w乘坐过f班机”，Q(f,
a)表示“f是a航线的班机”。
解答：符号化为
waf(P(w, f)∧Q(f, a))
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一阶逻辑
2
DEFINITION 4.
一阶逻辑公式及解释
谓词公式定义为：
(1)n元谓词是一个谓词公式；
个体域中存在一个个体a代入得到的P(a)为1，则该
命题为1，否则为0。记为xP(x)。这里称为存在
量词 (existential quantifier) 。表示为“有一个”、
“某些”、“某个”、“至少有一个”等等。
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 6
设P(x) 表示语句“x > 3.”，个体域 为实数集合。则x P(x)的真值是多少?
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 8
设P(x) 表示语句“x2>10.”，个体域 为不大于4的所有正整数。则xP(x)的 真值是多少?
xP(x) =P(1)∨P(2)∨P(3)∨P(4) =1
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 9
在一阶逻辑中将下列命题符号化： (1) 所有的狮子都是凶猛的。
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一阶逻辑公式及解释
EXAMPLE 19
指出下列谓词公式中的指导变项、量词的 辖域、个体变项的自由出现和约束出现： x(F(x)→yH(x, y))
解答：yH(x,y)中，y为指导变项，的辖域为H(x,y)， 其中y是约束出现的，x是自由出现的。整个公式中，x
两个命题的表达。将个体用变量（称为个体变量）
x推广，则P(x)表示：x是计算机技术的一个新的
应用系统。这时该语句就不是一个命题，而是一 个命题函数。
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一阶逻辑基本概念
DEFINITION 1.
一个谓词P连同相关的n(n≥0)个 个体变量组成的表达式称为n元谓词(npredicate)，记P(x1, x2, „, xn)，其
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 13
将下列命题符号化：
“如果某人是女性而且是母亲，那么这个
人必是某一个人的母亲。”
解答：符号化为
x((F(x)∧P(x))→yM(x, y))