2014年江苏省高考压轴卷数学

2014年江苏省高考压轴卷数学1．设全集U=R ，A ={}1,2,3,4,5，B ={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为▲ . 2. 若,32121=+-xx 则3322x x-+= ▲ .3. 设函数2()ln f x x x =-，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y ax b =+，则=+b a ▲ .4．已知a =log 0.55，b =log 0.53，c =log 32，d =20.3，则a,b,c,d 依小到大排列为 ▲ .5．已知函数()()12321,2log 1,2x e x f x x x -⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f = ▲ .6．函数f (x )的定义域为 ▲ .7．设定义在R 上的函数()f x ，满足(2)()0f x f x +-=，若01x <<时()f x =2x ，则21(log )48f = ▲ . 8．函数2()xf x x e =在区间(),1a a +上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ .9．已知命题p ：{|||4}A x x a =-<，命题q :{|(2)(3)0}B x x x =-->,若p ⌝是q ⌝的充分条件，则a 的取值范围为 ▲ .10．已知函数3()f x x x x =+,若2(2)(3)0f x f x ++<，则实数x 的取值范围是 ▲ .11．若函数2()ln f x mx x =+在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 ▲ .12．对于R 上可导的非常数函数)(x f ，若满足0)(')1(≥-x f x ，则(0)(2)2(1)f f f +与的大小关系为 ▲ .13．下列四个命题中，所有真命题的序号是 ▲ . ①,()()m m m R f x m x-+∃∈=-243使1是幂函数；②若函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，则函数()f x 周期为2； ③如果10≠>a a 且，那么)(log )(log x g x f a a =的充要条件是)()(x g x f a a=；④命题“,x R x x ∀∈--≥2都有320”的否定是“,x R x x ∃∈--≤2使得320”.14．已知函数1()()2(),f x f x f x =满足当x ∈[1,3]，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设集合21|,0,11x A y y x x x +⎧⎫==≥≠⎨⎬-⎩⎭且，集合{}22|lg (21),B x y x a x a a a R ⎡⎤==-+++∈⎣⎦．（1）求集合,A B ； （2）若AB R =,求实数a 的取值范围16．（本小题满分14分）设命题p ：存在x ∈R ，使关于x 的不等式220x x m +-≤成立；命题q ：关于x 的方程(4)394x x m -⋅=+有解；若命题p 与q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分14分） 设21()log 1axf x x x -=--为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值；（2）判断并证明函数)(x f 在),1(+∞∈x 时的单调性；（3）若对于区间[]2,3上的每一个x 值，不等式()2x f x m >+恒成立，求实数m 取值范围．18. （本小题满分16分）某国庆纪念品，每件成本为30元，每卖出一件产品需向税务部门上缴a 元（a 为常数，4≤a ≤6)的税收.设每件产品的售价为x 元，根据市场调查，当35≤x ≤40时日销售量与1e x⎛⎫⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数）成正比.当40≤x ≤50时日销售量与2x 成反比，已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件.记该商品的日利润为L (x )元.（1）求L （x )关于x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价x 为多少元时，才能使L （x )最大，并求出L （x )的最大值.19. （本小题满分16分）已知命题p :“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.（1）试判断命题p 的真假？并说明理由；（2）设函数32()3g x x x =-，求函数()g x 图像对称中心的坐标;（3）试判断“存在实数a 和b ,使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”是“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”成立的什么条件？请说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()ln f x a x x1=+，a ∈R ．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求a 的取值范围； （3）当0a <时，设10x >，20x >，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由．数学加试试卷解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 求下列函数)32(sin 2π+=x y 的导数.22. 将水注入锥形容器中，其速度为min /43m ，设锥形容器的高为m 8，顶口直径为m 6，求当水深为m 5时，水面上升的速度.23. 证明下列命题:（1）若函数f （x ）可导且为周期函数，则f'（x ）也为周期函数； （2）可导的奇函数的导函数是偶函数.24. 已知()()3211ln ,32f x xg x x x mx n ==+++，直线与函数()(),f x g x 的图象都相切于点()1,0 （1）求直线的方程及()g x 的解析式；（2）若()()()'h x f x g x =-（其中()'g x 是()g x 的导函数），求函数()h x 的值域.参考答案一.填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．{}2 2．18 3．1 4. a <b <c <d 5. 1 6. {}2x x > 7.438. (3,2)(1,0)--⋃- 9.16a -≤≤10.(2,1)-- 11. 0m ≥ 12. (0)(2)2(1)f f f +> （≥）13.① 14. ln 31[,)3e二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：（1）A ＝{}|12x x x ≤->或 …………………………………………………………5分B ＝{}|1x x a x a <>+或 …………………………………………………………8分（2）由AB R =得，11a +≤-或2a > …………………………………………12分即2a ≤-或 2a >,所以(](),22,a ∈-∞-+∞ ………………………………14分16.解：由命题p 为真：440m ∆=+≥，得1m ≥- ………………………………4分 由(4)394xxm -⋅=+得44303x xm ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭所以命题q 为真时，0m ≤ ………………………………8分若命题p 为真，命题q 为假，则1m ≥-且0m >得0m >若命题p 为假，命题q 为真，则1m <-且0m ≤得1m <- ………………………12分 所以实数m 的取值范围为(,1)(0,)-∞-+∞ ………………………………………14分17. 解：（1）由条件得：0)()(=+-x f x f ，2211log log 011ax axx x +-∴+=---， 化简得0)1(22=-x a ，因此1,012±==-a a ，但1=a 不符合题意，因此1-=a ． ………………4分 （也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）（2）判断函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数；证明如下：设121x x <<<+∞121212212222112121111()()log log log ()1111x x x x f x f x x x x x x x x x +++--=--+=⋅+----+ 121x x <<<+∞ 21120,10,10x x x x ∴->±>±> 12121212(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x +---+=-+-12122112()0x x x x x x --++=-> 又1212(1)(1)0,(1)(1)0x x x x +->-+>∴12121111x x x x +-⋅-+，1221211log 011x x x x +-⋅>-+，又210x x ->∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x > ∴函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数；（也可以利用导数证明，对照给分） ………………………………………………9分 （3）不等式为()2xm f x <-恒成立，min [()2]x m f x ∴<-)(x f 在[2,3]x ∈上单调递减，2x 在[2,3]x ∈上单调递增，()2x f x ∴-在[2,3]x ∈上单调递减，当3x =时取得最小值为10-，(,10)m ∴∈-∞-。

………………………………14分18. 解：（1）当35≤x ≤40时，由题意日销售量为1k 1e x⎛⎫⎪⎝⎭售价为40元时，日销售量为10件，故1k 401e ⎛⎫⎪⎝⎭=10，1k =4010e ………………3分当40≤x ≤50时，由题意日销售量为22k x售价为40元时，日销售量为10件，故21600k =10，216000k = ………………6分 所以该商品的日利润40210(30)3540()16000(30)4050x e x a x e L x x a x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪--≤≤⎪⎩………………8分（2）当35≤x ≤40时， 4010()(30)x e L x x a e=--4031()10xa xL x e e +-'=，4≤a ≤6，353137a ≤+≤，因为35≤x ≤40，令()0L x '=得31x a =+ 当3531x a ≤≤+时()0L x '> 当3140a x +≤≤时()0L x '<故max ()(31)L x L a =+910a e -= ………………………………………………………11分 当4050x ≤≤时，216000()(30)L x x a x =-- 显然()L x 在4050x ≤≤时2416000((30)2)()x x a x L x x ---'=2416000((602))x a x x -++=316000(602)0a x x +-=>所以()L x 在4050x ≤≤时为增函数故4050x ≤≤时max ()(50)L x L = ……………………………………………………13分 又93(31)1010a L a e e -+=≥323216(50)(20)55L a ⨯=-≤故(31)(50)L a L +> ……………………………………………………15分 于是每件产品的售价x 为31a +时才能使L （x )最大， L （x )的最大值为910a e - ………16分 19. 解：（1）命题p 为真命题；充分性：若()y f x a b =+-为奇函数，则()()f a x b f a x b --=-++ 即()()2f a x f a x b -++=设(,)M x y 为()f x 图像上任一点，则M 关于(,)a b 的对称点为(2,2)N a x b y -- (2)(())2(())f a x f a a x b f a a x -=+-=--- N ∴在()y f x =图像上，即()f x 的图像上，即()f x 的图像关于(,)a b 对称 必要性：若()y f x =的图像关于(,)a b设(,)M x y 为()f x 图像上任一点，则由上知：(2)2()f a x b f x -=-令x 取x a +，则()()2f a x f a x b -++= 即()()f x a b f a x b -+-=-++ ()y f x a b ∴=+-为奇函数综上命题为真 …………………………………………5分（2）设函数()()f x g x a b =+-为奇函数， 则32()()3()f x x a x a b =+-+-32232(33)(36)3x a x a a x a a b =+-+-+--∵()()f x g x a b =+-为奇函数，则3233030a a ab -=⎧⎨--=⎩，即12a b =⎧⎨=-⎩由命题p 为真命题，则函数32()3g x x x =-的图像对称中心为(1,2)- ……………10分（3）ⅰ.当:l x a =时“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+-是偶函数”是“函数()y f x =的图像关于直线成轴对称图形”的充要条件；（证明方法参考（1））ⅱ. 当不为x a =时“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+-是偶函数”是“函数()y f x =的图像关于直线成轴对称图形”的充分不必要条件 …………………………………16分20. 函数()f x 的定义域为(0.)+∞ Ⅰ）由题意0x >，21()a f x x x'=- ………………………………………………2分 （1）当0a >时，由()0f x '<得1x a< 所以()f x 的递减区间1(0,)a由()0f x '>得1x a>()f x ∴的递增区间为1(,)a+∞ ………………………………………………4分（2）当0a ≤时由于0x >，21()0a f x x x '∴=-<恒成立 ()f x ∴的递减区间为(0,)+∞ ………………………………………………6分Ⅱ）对任意正实数x ，成立即12ln a a x x≤+恒成立 …………………………………7分 因为0a >由Ⅰ可知 当1x a =时，函数1()ln f x a x x=+有最小值 11()ln ln f a a a a a a a=+=- ………………………………………………9分所以min 2()ln a f x a a a ≤=-解之得：10a e<≤故所求实数a 的取值范围是10,e ⎛⎤⎥⎝⎦………………………………………………11分Ⅲ）1212122()ln 22x x x x f a x x ++=++121212()()22f x f x x x a x x ++=+21212121212()()()()222()x x f x f x x x f a x x x x ++-∴-=-+ ………………………12分 （1）显然当12x x =时，12()2x x f +=12()()2f x f x + ………………………13分 （2）当12x x ≠时，因为120,0x x >>且0a <12x x +>1> 0a ∴<又2121212()02()x x x x x x --<+ 1212()()()022x x f x f x f ++∴-< 1212()()()22x x f x f x f ++∴<………………………15分 综上：当12x x =时12()2x x f +=12()()2f x f x + 当12x x ≠时1212()()()22x x f x f x f ++<………………………………16分数学（加试）参考答案21． 解：法一：'2sin(2)[sin(2)]'2sin(2)cos(2)(2)'33333y x x x x x πππππ=+⋅+=++⋅+22sin(4)3x π=+ ………………………………………………10分法二：221cos(4)3sin (2)32x y x ππ-+=+= ……………………………………5分2'2sin(4)3y x π∴=+………………………………………………10分 22．解：设注入水min t 后，水深为hm ，由相似三角形对应边成比例可 得水面直径为hm 43， 这时水的体积为 32643)83(31h h h V ππ=⋅= ………………………………4分 由于水面高度h 随时间而变化，因而h 是的函数)(t h h = 由此可得水的体积关于时间的导数为t t t h t h h h h h V V '⋅='⋅'='⋅'='23649)643(ππ 由假设，注水速度为min /43m ，33464t h π= 294'64t h h π∴=⋅ 所以当5h =时，'t h =256/min 225m π， 当水深为5m 时，水面上升的速度256/min 225m π。