第三章 定解条件与定解问题的提法
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三类典型的数学物理方程
内容回顾
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案1-3章
1.3 考虑在正方形区域Ω = {(x, y )|0 < x < 1, 0 < y < 1}上的波动方程的边值
问题
uxx − uyy = 0, u(x, 0) = f1 (x), u(x, 1) = f2 (x), u(0, y ) = g (y ), u(1, y ) = g (y ), 1 2
物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 中u0 为周围介质的温度.
边
− u0 成正比, 其
·2·
第1章
绪
论
(4) 热量(质量)守恒定律.
物体内部温度升高所需要的热量(浓度增加所需要的质量)等于流入物体内部 的净流热量(质量)与物体内部的源所产生的热量(质量) 之和. (5) 费克(Fick)定律(即扩散定律). 一般地说, 由于浓度的不均匀,物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移.这种 现象叫扩散. 在气体、 液体、 固体中都有扩散现象. 粒子流强度q (即单位时间内流过单位面积的粒子数)与浓度的下降率成正比.即
sup
x∈R1 ,t>0
un (x, t) − 1 =
sup
x∈R1 ,t>0
1 → 0. 但是, 当n → ∞时 n 1 2 1 n2 1 n2 t e sin nx = sup en t e → ∞, n n t>0 n
所以原定解问题的解是不稳定的.
1.3 补充习题解答
1.5 由流体力学知,理想流体的完整方程组由Euler型运动方程
·7·
E tt = c2 ∆E , H tt = c2 ∆H ,
其中E 和H 分别为真空中的电场强度和磁场强度, c为光速. 解 对方程组(1.3.12)中第四个方程关于t求导, 得
热传导方程的导出及其定解问题的导出
热传导方程的导出及其定解问题的导出1. 热传导方程的导出考察空间某物体G 的热传导问题。
以函数u (x ,y ,z ,t )表示物体G 在位置(x ,y ,z )及时刻t 的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，物体在无穷小时段dt 内沿法线方向n 流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与物体温度沿曲面dS 法线方向的方向导数学成正比，即o n d udQ =-k (x ,y ,z )dSdt (1-1)o n 其中k (x ,y ,z )称为物体在点(x ,y ,z )处的热传导系数，它应取正值。
(1-1)式中负号的出 o u现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ 应和异号。
o n在物体G 内任取一闭曲面r ，它所包围的区域记为0，由(1-1)式，从时刻t 到t 流进12此闭曲面的全部热量为Q =f t 2仙k (x ,y ,z)—dS\dt (1-2)4I r O nJ这里表示u沿r 上单位外法线方向n 的方向导数。
o n流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t ,t )中物体温度从u (x ,y ,z ,t )121变化到u (x‘y ,z ,t2)，它所应该吸收的热量是JU c (x ,y ,z )P (x ,y ,z )[u (x ,y ,z ,t )一u (x ,y ,z ,t )]dxdydz其中c 为比热，P 为密度。
因此就成立 >dt=JfJ C (x ,y ,z )P (x，y ,z)[u (x,y ,z ,12)一U (x ,y ,z ,t i )]dxdydz(1-3)假设函数u 关于变量x ,y ,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为交换积分次序，就得到J t t 12仰(x ，y ,z )护t10O x{k 譽'O x 丿(一O u 、 +—k 二+—°y°y 丿 O z (O u 、k 一>dxdydzdt =c P JI o 丿J 「E O u dtdxdydztO t 丿dxdydzdt =0(1-4)训c P '0、由于t i,t2,0都是任意的，我们得到(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。
数学物理方程课后参考答案第三章
试求解之（提示：令 以引入新的未知函数 ,并选择适当的 值，使 满足调和方程，再用分离变量法求解。）
解：令
又 故取 则 满足调和方程
即
代入原定解问题，得 满足
用分离变量法零解 ，得
.
所以
再由另一对边值得
所以 .
得
最后得
8.举例与说明在二维调和方程的狄利克莱外问题，如对解 不加在无穷远处为有界的限制，那末定解问题的解以不是唯一的。
是区域 中的调和函数（无穷远点除外）.
如果区域 为球面K以外的无界区域，则函数u 在 中除去原点O外是调和的，函数 称为函数 的凯尔文（Kelvin）变换。
证明：只需证明 满足 。
=
=
代入 的表达式，有
=
=
若u在包含原点O的有界区域内处处式调和的即 ,则除无穷远点（O的反演点）外， 即除 点外v是调和的。若u在无界域 上是调和的，则除去O点外，v也是调和的。证毕。
且矩阵( )是正定的，即
由于矩阵( )是非正定的，故 可以写成 的线性齐次式的平方和，即
=
所以
于是
因此在 点
与 在 点满足方程是矛盾的，故 不能在 内部达到正的最大值。
7．证明第6题中讨论的椭圆形方程第一边值问题的唯一性与稳定性。
证：唯一性。只须证明方程在齐次边值条件只的零解。
设 在 内满足方程，在 边界 上 。因 在 上连续，故 是有界的，
第三章调和方程
§1建立方程定解条件
1．设 是n维调和函数（即满足方程
），试证明
其中 为常数。
证： ,
即方程 化为
所以
若 ，积分得
即 ，则
若 ，则 故
即 ，则
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标 下，可以写成
解：令
又 故取 则 满足调和方程
即
代入原定解问题，得 满足
用分离变量法零解 ，得
.
所以
再由另一对边值得
所以 .
得
最后得
8.举例与说明在二维调和方程的狄利克莱外问题，如对解 不加在无穷远处为有界的限制，那末定解问题的解以不是唯一的。
是区域 中的调和函数（无穷远点除外）.
如果区域 为球面K以外的无界区域，则函数u 在 中除去原点O外是调和的，函数 称为函数 的凯尔文（Kelvin）变换。
证明：只需证明 满足 。
=
=
代入 的表达式，有
=
=
若u在包含原点O的有界区域内处处式调和的即 ,则除无穷远点（O的反演点）外， 即除 点外v是调和的。若u在无界域 上是调和的，则除去O点外，v也是调和的。证毕。
且矩阵( )是正定的，即
由于矩阵( )是非正定的，故 可以写成 的线性齐次式的平方和，即
=
所以
于是
因此在 点
与 在 点满足方程是矛盾的，故 不能在 内部达到正的最大值。
7．证明第6题中讨论的椭圆形方程第一边值问题的唯一性与稳定性。
证：唯一性。只须证明方程在齐次边值条件只的零解。
设 在 内满足方程，在 边界 上 。因 在 上连续，故 是有界的，
第三章调和方程
§1建立方程定解条件
1．设 是n维调和函数（即满足方程
），试证明
其中 为常数。
证： ,
即方程 化为
所以
若 ，积分得
即 ，则
若 ，则 故
即 ，则
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标 下，可以写成
数学常微分方程的定解问题求解
数学常微分方程的定解问题求解数学常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它涉及到许多实际问题的建模与求解。
在解常微分方程的过程中，我们常常遇到定解问题，即在给定初始条件和边界条件下，求解出满足条件的函数解。
本文将探讨常微分方程的定解问题求解方法及其应用。
一、常微分方程的定义和分类常微分方程是指未知函数的导数与它本身之间的关系式。
一般形式为：其中 x 是自变量， y 是未知函数， f 是已知函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程涉及到未知函数 y 的一阶导数，高阶常微分方程涉及到多阶导数。
二、常微分方程的定解问题常微分方程的定解问题是指在给定初始条件和边界条件下，求解出函数 y 满足方程，并满足给定条件。
常微分方程的初值问题是其中一种常见的定解问题，给定初始条件 y(x0) = y0 和导数条件 y'(x0) = y'0，求解出满足条件的函数 y。
三、常微分方程的求解方法常微分方程的求解方法有很多种，常见的方法有分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法、常数变易法等。
1. 分离变量法对于可分离变量的一阶常微分方程，变量可以通过代数方法分离，然后分别求解。
例如对于方程 dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将 f(x) 和 g(y) 分别移到方程的两边，然后对两边分别积分得到解。
2. 齐次方程法对于一阶齐次方程 dy/dx = f(y/x)，我们可以通过变量替换得到一个新的常微分方程 u' = f(u)-1/u，并且可以通过变量分离法等方法进一步求解。
3. 一阶线性方程法对于一阶线性方程 dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以通过积分因子的方法将其转化为可解的形式。
通过选择适当的积分因子，可以将原方程变换为(e^∫P(x)dx)y' + (e^∫P(x)dx)P(x)y = (e^∫P(x)dx)Q(x)，然后可以通过变量分离法等方法求解。
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案 章
第1章 绪 论
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
第三章-调和方程
数学物理方程
第三章 调和方程
第三章 调和方程
§1 建立方程、定解条件 §2 格林公式及其应用
数学物理方程
第三章 调和方程
§1 建立方程、定解条件
§1.1 方程的导出 §1.2 定解条件和定解问题 §1.3 变分原理
数学物理方程
第三章 调和方程
➢ 物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。
§1 方程的建立及其定解条件
1
1 1 u ( M )
u ( M 0 ) 4 ( u ( M ) n (r M 0 M ) r M 0 M n) d M S 3 .11
0
(u(M ) n(rM 1 0M)rM 1 0Mu (n M ))dM S 4 2 u u((M M 0 0))
M0在Ω外 M0在Г上 M0在Ω内
对于泊松方程Δu=F ，也有类似公式
就可以运用公式(3.7)了。
( u 1 1 u ) d ( u (1 ) 1 u ) ds 3 .9
\K rr
nr r n
在区域Ω\ K ε内Δu=0，Δ(1/r)=0，在球面Гε上由于
( 1 ) ( 1 ) 1 /r 2 1 / 2 u ( 1 ) d 1 Su d 4 u * S
球，u在球心处的值等于u在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表示 可以写为
1
u(M0)4a2 a udS
证：把公式(3.11)运用到球心在M0点，半径为a的球面Гa上，得到
u(M 0)4 1 a(u n(1 r)1 r u n)dS
这里，在球面上
1 ra1 a; n(1 r)aa 1 2
和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有引力定律，位于(x0， y0，z0)处质量为M的质点对位于(x，y，z)处具有单位质量的质点的引力,其 大小等于M/r2，而作用方向沿着这两点的连线，指向(x0，y0，z0)点，其中r
第三章 调和方程
第三章 调和方程
§1 建立方程、定解条件 §2 格林公式及其应用
数学物理方程
第三章 调和方程
§1 建立方程、定解条件
§1.1 方程的导出 §1.2 定解条件和定解问题 §1.3 变分原理
数学物理方程
第三章 调和方程
➢ 物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。
§1 方程的建立及其定解条件
1
1 1 u ( M )
u ( M 0 ) 4 ( u ( M ) n (r M 0 M ) r M 0 M n) d M S 3 .11
0
(u(M ) n(rM 1 0M)rM 1 0Mu (n M ))dM S 4 2 u u((M M 0 0))
M0在Ω外 M0在Г上 M0在Ω内
对于泊松方程Δu=F ，也有类似公式
就可以运用公式(3.7)了。
( u 1 1 u ) d ( u (1 ) 1 u ) ds 3 .9
\K rr
nr r n
在区域Ω\ K ε内Δu=0，Δ(1/r)=0，在球面Гε上由于
( 1 ) ( 1 ) 1 /r 2 1 / 2 u ( 1 ) d 1 Su d 4 u * S
球，u在球心处的值等于u在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表示 可以写为
1
u(M0)4a2 a udS
证：把公式(3.11)运用到球心在M0点，半径为a的球面Гa上，得到
u(M 0)4 1 a(u n(1 r)1 r u n)dS
这里，在球面上
1 ra1 a; n(1 r)aa 1 2
和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有引力定律，位于(x0， y0，z0)处质量为M的质点对位于(x，y，z)处具有单位质量的质点的引力,其 大小等于M/r2，而作用方向沿着这两点的连线，指向(x0，y0，z0)点，其中r
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取弦的水平位置为 x 轴，x 0 为原点，
弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程
utt a2uxx 0
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 确定边界条件
对于弦的固定端，显然有 u(0,t) 0 另一端自由，意味着其张力为零，则
u 0 x xl
③ 确定初始条件 根据题意，当 t 0 时，弦处于水平状态，即初始位移为零
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 扩散方程的定解条件 初始条件
定解条件： 边界条件
① 初始条件——描述系统的初始状态
T (x, y, z, 0) (x, y, z)
式中φ( x, y, z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：介质表面温度已知
T ( p,t) S 0
式中，p为边界面上的点。
第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知
T
T
qn K n const,
f ( p,t) n S
第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知
qn (T T0 )
(为热交换系数)
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量
泛定方程
波动方程 热传导方程 稳态方程
定解问题
第一类边界条件 边界条件 第二类边界条件
第三类边界条件
初始条件 初始状态 初始速度
第三章 定解条件与定解问题的提法
要想完全确定一个物理过程除了控 制方程（一般指偏微分方程）外，还需要 给定初始和边界条件。
表征和控制物理现象的方程，称为控制 方程或泛定方程。由前面有关三种典型方程 的推导过程得出，不同的物理现象具有不同 的物理规律，其控制方程也是不同的。
第三章 定解条件与定解问题的提法
第三章 定解条件与定解问题的提法
定解条件与 定解问题的提法
第三章 定解条件与定解问题的提法
3.1 定解条件
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数， 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
☆ 拉普拉斯和泊松方程的定解条件
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。定解条件不 含初始条件，只有边界条件。
第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
f ( p) S
第二边值问题，牛曼问题
f ( p) n S
第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
h f ( p)
n
S
第三章 定解条件与定解问题的提法
0 xl
系统各点的初位移 系统各点的初速度
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况 第一类边界条件：对于两端固定的弦的振动，其为：
u(0,t) 0, u(l,t) 0 或： u(0,t) f (t), u(l,t) g(t)
第二类边界条件：一 端既不固定，又不受位移方向力的作用
非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。 稳态问题：定解条件为边界条件。 定解问题=控制方程+定解条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
根据分析问题的不同出发点，把数学物理问 题分为正向问题和逆向问题。
正向问题，即 为已知源求场
逆向问题，即 为已知场求源.
不同出发点 ?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容。 后者是高等数 学物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容
第三章 定解条件与定解问题的提法
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场 和产生这种场的源之间的关系。
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松方程表示的是电势 （或电场）和电荷分布之 间的关系
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解条件
☆ 波动方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 +边界条件
初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件
特解 定解条件=初始条件+边界条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
例： 长为 l 的弦在 x 0 端固定，另一端 x l
自由，且在初始时刻 t 0 时处于水平状态，初始速度为 x(l x) ，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题. 【解】 ① 确定泛定方程：
u u
0
x x0 x xl
或：
u x
x0
f
(t),
u g(t) x xl
第三类边界条件： 在x=l 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承
T u k u
或
x xl
xl
u x
u
xl
0
第三章 定解条件与定解问题的提法
例 ： 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和 x l ，
在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离 h ，
3.2 定解条件的形式和定解问题
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史， 即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的 条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约 束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u
h
o
b
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
x l
ut (x, t) |t0 ut (x, 0) 0
初始位移如图所示
u(
x,
0)
h b
x
h l b
(l
x)
(0 x b) (b x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法
K
T n
(T
T0 ),
T n
hT
S
f
( p,t)
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 扩散方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 +边界条件
初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件
特解 定解条件=初始条件+边界条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 定解条件与定解问题的提法
例： 长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直， 下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。 试写出杆振动的定解问题。
2u t2
a2
2u x2
,
u(x, 0) 0, ut (x, 0) v0,
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x (0,l) t0
一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应 满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察 弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态以及边界 条件所处的状况有关。
① 初始条件——描述系统的初始状态
设弦在初始时刻t 0时的位置和速度为：
u(x, 0) (x)
u( x, t
0)
(x)
u(x, 0) 0
初始速度
u t
|t 0
x(l
x)
第三章 定解条件与定解问题的提法
综上讨论，故定解问题为
utt a2uxx 0 u(0,t) 0, ux
|xl
0
u(x, 0) 0,ut (x, 0) x(l x)
(0 x l,t 0) (t 0)
(0 x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法
弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程
utt a2uxx 0
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 确定边界条件
对于弦的固定端，显然有 u(0,t) 0 另一端自由，意味着其张力为零，则
u 0 x xl
③ 确定初始条件 根据题意，当 t 0 时，弦处于水平状态，即初始位移为零
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 扩散方程的定解条件 初始条件
定解条件： 边界条件
① 初始条件——描述系统的初始状态
T (x, y, z, 0) (x, y, z)
式中φ( x, y, z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：介质表面温度已知
T ( p,t) S 0
式中，p为边界面上的点。
第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知
T
T
qn K n const,
f ( p,t) n S
第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知
qn (T T0 )
(为热交换系数)
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量
泛定方程
波动方程 热传导方程 稳态方程
定解问题
第一类边界条件 边界条件 第二类边界条件
第三类边界条件
初始条件 初始状态 初始速度
第三章 定解条件与定解问题的提法
要想完全确定一个物理过程除了控 制方程（一般指偏微分方程）外，还需要 给定初始和边界条件。
表征和控制物理现象的方程，称为控制 方程或泛定方程。由前面有关三种典型方程 的推导过程得出，不同的物理现象具有不同 的物理规律，其控制方程也是不同的。
第三章 定解条件与定解问题的提法
第三章 定解条件与定解问题的提法
定解条件与 定解问题的提法
第三章 定解条件与定解问题的提法
3.1 定解条件
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 方程 u(x) 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
☆ 由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数， 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
☆ 拉普拉斯和泊松方程的定解条件
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。定解条件不 含初始条件，只有边界条件。
第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
f ( p) S
第二边值问题，牛曼问题
f ( p) n S
第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
h f ( p)
n
S
第三章 定解条件与定解问题的提法
0 xl
系统各点的初位移 系统各点的初速度
第三章 定解条件与定解问题的提法
② 边界条件——描述系统在边界上的状况 第一类边界条件：对于两端固定的弦的振动，其为：
u(0,t) 0, u(l,t) 0 或： u(0,t) f (t), u(l,t) g(t)
第二类边界条件：一 端既不固定，又不受位移方向力的作用
非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。 稳态问题：定解条件为边界条件。 定解问题=控制方程+定解条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
根据分析问题的不同出发点，把数学物理问 题分为正向问题和逆向问题。
正向问题，即 为已知源求场
逆向问题，即 为已知场求源.
不同出发点 ?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容。 后者是高等数 学物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容
第三章 定解条件与定解问题的提法
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场 和产生这种场的源之间的关系。
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松方程表示的是电势 （或电场）和电荷分布之 间的关系
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解条件
☆ 波动方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 +边界条件
初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件
特解 定解条件=初始条件+边界条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
例： 长为 l 的弦在 x 0 端固定，另一端 x l
自由，且在初始时刻 t 0 时处于水平状态，初始速度为 x(l x) ，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题. 【解】 ① 确定泛定方程：
u u
0
x x0 x xl
或：
u x
x0
f
(t),
u g(t) x xl
第三类边界条件： 在x=l 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承
T u k u
或
x xl
xl
u x
u
xl
0
第三章 定解条件与定解问题的提法
例 ： 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和 x l ，
在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离 h ，
3.2 定解条件的形式和定解问题
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史， 即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的 条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约 束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u
h
o
b
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
x l
ut (x, t) |t0 ut (x, 0) 0
初始位移如图所示
u(
x,
0)
h b
x
h l b
(l
x)
(0 x b) (b x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法
K
T n
(T
T0 ),
T n
hT
S
f
( p,t)
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 扩散方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 +边界条件
初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件
特解 定解条件=初始条件+边界条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 定解条件与定解问题的提法
例： 长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直， 下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。 试写出杆振动的定解问题。
2u t2
a2
2u x2
,
u(x, 0) 0, ut (x, 0) v0,
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x (0,l) t0
一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应 满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察 弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态以及边界 条件所处的状况有关。
① 初始条件——描述系统的初始状态
设弦在初始时刻t 0时的位置和速度为：
u(x, 0) (x)
u( x, t
0)
(x)
u(x, 0) 0
初始速度
u t
|t 0
x(l
x)
第三章 定解条件与定解问题的提法
综上讨论，故定解问题为
utt a2uxx 0 u(0,t) 0, ux
|xl
0
u(x, 0) 0,ut (x, 0) x(l x)
(0 x l,t 0) (t 0)
(0 x l)
第三章 定解条件与定解问题的提法