微分方程解的概念和定解条件
微分方程的基本概念
解 将 y 1( x2 4) 4
y 1 x 2
代入方程 y' ( x 2 4 ) 2xy
恒等式成立 且满足 y( 0 ) 1 所以 y 1 ( x 2 4 ) 是该初值问题的解
4
微分方程 微分方程的解 微分方程的阶 初始条件 积分曲线
通解 特解
1．试说出下列各微分方程的阶数： （1） x( y ')2 3 yy ' x2 0
（2） xy y xe x 0
（3） y 2xyy x 0 （4） ( x y)dx ( x y)dy 0
2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
（1） y '' y 0
（2） y y2 x2 （3） y' 2 y 0
y 3sin x 4cos x
y 1 x
（1）阻力的大小与下落速度成正比
（2）阻力的大小与下落速度的平方成正比
解 y表示冰雹的速度， y 表示冰雹的下落速度 则
（1）设阻力 f ky(k 0)根据牛顿第二定律建立方程
my mg ky
（2）设阻力 f k( y)2 (k 0) ( y 0)
根据牛顿第二定律建立方程
my mg ky2
而 y ex是特解。
【注】 通解满足两个条件：1) 是解；2) 含有任意常数。
定义9.5 用来确定微分方程通解中任意常数的条件 称为微分方程的初始条件。
一 阶方程的初始条件(或初值条件): y( x0 ) y0 二阶方程的初始条件 y( x0 ) y0 y( x0 ) y0
求微分方程满足某个初始条件的解的问题称为
(2) ( y 3 5xy)dx ( x y)dy 0
(3) xy''' xy'2 y sin x (4) y'''2 y''3 y'4 y e x
微分方程的定解问题与解的存在唯一性
微分方程的定解问题与解的存在唯一性微分方程是数学中一个重要的分支，它研究的是描述变化的规律。
在微分方程中，我们常常遇到的一个问题是定解问题，即给定一个微分方程和一些初始条件，我们需要找到满足这些条件的解，并且确定这个解的存在性和唯一性。
本文将围绕这个问题展开讨论。
一、微分方程的基本概念在开始讨论定解问题之前，我们先来回顾一下微分方程的基本概念。
微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常表示为$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$$其中，$x$ 是自变量，$y$ 是未知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$ 分别表示 $y$ 的一阶、二阶、$\ldots$、$n$ 阶导数。
微分方程的解是满足方程的函数。
二、定解问题的形式化描述定解问题是指给定一个微分方程和一些边界条件或者初始条件，要求找到满足这些条件的解。
一般来说，定解问题可以分为两类：初值问题和边值问题。
1. 初值问题初值问题是指给定微分方程在某一点的函数值和导数值，要求找到满足这些条件的解。
数学上，初值问题可以表示为：$$\begin{cases} F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0 \\ y(x_0) = y_0 \\ y'(x_0) = y_0' \\ \ldots \\ y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)} \end{cases}$$其中，$x_0$ 是给定的初始点，$y_0, y_0', \ldots, y_0^{(n-1)}$ 是给定的初始条件。
初值问题的解是满足方程和初始条件的函数。
2. 边值问题边值问题是指给定微分方程在一段区间的函数值，要求找到满足这些条件的解。
数学上，边值问题可以表示为：$$\begin{cases} F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0 \\ y(a) = y_a \\ y(b) = y_b\end{cases}$$其中，$a$ 和 $b$ 是给定的区间端点，$y_a$ 和 $y_b$ 是给定的边界条件。
微分方程的解概念
微分方程的解概念
微分方程的解是指能够使方程成立的函数或函数族。
具体来说，对于一个微分方程，存在着一类函数（或函数族），当这些函数（或函数族）被代入方程时，方程的等式成立。
这些函数（或函数族）就被称为微分方程的解。
微分方程的解可以分为通解和特解两种情况：
1. 通解：通解是指包含了所有特解的解。
对于一阶线性常微分方程，通解通常含有一个任意常数；对于二阶线性常微分方程，通解通常含有两个任意常数。
通解可以用来表示该微分方程的所有解。
2. 特解：特解是指微分方程的一个特定解。
对于某些特殊情况或给定的初值条件，可以通过求解微分方程来得到特解。
特解是通解中的一种特殊形式，可以通过添加特定的条件来得到。
在一些特殊情况下，微分方程的解可能不是函数，而是一个等式或一个曲线。
这种情况下，解可以用来描述方程对应的关系式或曲线。
总之，微分方程的解是指能够满足方程的函数或函数族，通解包含了所有的特解，而特解是一种特定的解。
4-1微分方程的基本概念
.
解法：1）换元 令 u （
y x
, 则 y xu ,
对 x 求导 , 有 y u x u
（2）代入方程，得 u u x ( u )
（3）分离变量，按1解之。
返回
微积分
第四章
微分方程
例3、解方程：
( 1 ) x y y (ln y ln x ) ( 2 ) xy dy dx x
线性 : 指关于 y , y 是一次的 .
若 Q ( x ) 0 , 则称方程为齐次的 否则 , 称它为非齐次的 .
;
返回
微积分
解法： （1）常数变易法
第四章
微分方程
先解齐次方程： y P ( x ) y 0
dy y
P ( x ) dx
ln y
P ( x ) dx ln C P ( x ) dx
,则
1
dz dx
(1 n ) y dz
n
dy dx
dy dx
1 n dx
1 dz P ( x )z Q ( x )
（3）代入方程，得
1 n dx
（4）按2的情形解之。
返回
微积分
例4、解方程：
y y 2 x y.
第四章
微分方程
5、其它方程 指通过变换或换元可化为前面四种情形的方程。 例5、解方程：
例1、解方程：
( 1 ) y 2 xy
第四章
微分方程
xydx ( x 2 1 ) dy 0 (2) y(0) 1
注意：
( 1 )中 dy y ln y不加常数 , 且 2 xdx 积出后加 ln C ,
微分方程的定解条件与特殊解法
定义：在定解区 间的闭区间端点 上，微分方程的 解必须满足一定 的连续性条件。
类型：对于一阶 微分方程，连续 性条件包括自然 边界条件、周期 边界条件等。
作用：连续性条 件是保证微分方 程解的连续性和 物理意义的重要 条件。
应用：在解决实 际问题时，需要 根据具体问题的 性质和要求，选 择适当的连续性 条件。
PART THREE
定义：欧拉方法是微分方程数值解法的一种，通过离散化微分方程，用差分代替微分，得到离 散化的数值解。
原理：利用已知的初值条件，逐步推算出微分方程的解在各个离散点上的近似值。
步骤：先确定初始值，然后按照一定的步长逐步计算出各个离散点上的近似解。
优缺点：欧拉方法简单易懂，易于实现，但精度较低，稳定性较差。
描述生物系统的动态行为
生理学和病理学中的数学模型
添加标题
添加标题
药物设计和药物动力学
添加标题
添加标题
医学影像和信号处理
汇报人：XX
优点：计算简单、易于编程实现、精度可控等。
PART FOUR
力学：描述物体运动规律，如万有引力定律、牛顿第二定律等。 电磁学：解释电磁场的变化规律，如麦克斯韦方程组等。 热学：研究热量传递规律，如热传导方程等。 波动：描述波动现象，如波动方程等。
航空航天：飞行器设计和优化中的气动动力学方程求解 机械工程：机器人运动轨迹规划和控制算法的微分方程求解 化学工程：化学反应动力学模型和传递过程的动力学方程求解 交通工程：交通流理论和车辆动力学的微分方程求解
注意事项：需要满 足一定的条件才能 使用分离变量法
定义：通过引入新的变量来简化微分方程的形式，从而求解微分方程的方法。 适用范围：适用于形式较为复杂的微分方程，特别是难以直接求解的方程。 常用方法：常见的变量代换法包括三角代换、指数代换等。 实例：通过变量代换法，可以将一些复杂的微分方程转化为容易求解的形式。
微分方程基本概念
differential equation).
例如：
dy 1, dx y xy ( y ),
(1.1) (1.2) (1.3)
( x y)dx ( x y)dy 0,
dx dt f 1 (t , x, y ) , dy f 2 (t , x, y ) dt
注1：判别一个微分方程是否线性，只要看其未知函数及 其各阶导数是否一次的即可，不需要考虑自变量的影响
5. 微分方程的解：
如果把已知函数
或函数矢量
及其导函数代
入相应的微分方程, 使得该微分方程在函数 的定义区间 I 上成为恒等式, 则称这种函数 为微分方程在区间 I 上的(显式)解. 这个区间 I 称为微分方程的解的定义区间.
I 上有恒等式 ( x) f ( x, ( x))
, 在它上面任一点
反之, 如果对于 D 中的任一条光滑曲线
处的切线斜率
刚好就是函数f (x, y) 在该点处的值
则此曲线就是方程的积分曲线.
2. 方向场
在 D 中每一点 ( x, y ) 处画上斜率为 f ( x, y) 的一个“小直线段”,
为该微分方程的阶数;
一般 阶常微分方程可写成如下隐方程形式
( n) F ( x, y, y ,, y ) 0
其中 F 是其变元的已知函数. 但在实际中常常讨论最高阶导数已解出的标准形式
y ( n) f ( x, y, y ,, y ( n1) ).
即方程的左边是未知函数的最高阶导数 (n 阶导数), 而方程的右边 为自变量、未知函数和未知函数低于 n 阶的导数的已知函数.
初值条件是指当自变量在某一给定点时, 未知函数以及它的
微分方程的基本概念
微积分Calculus微分方程的基本概念一问题的提出一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这条曲线的方程.(,) x y)2,1(x2例一解2y =其中1x =时，设所求曲线为()y y x =x y 2='2y xdx =⎰即2,y x C =+求得1,C =所得曲线方程为2 1.y x =+这里是从所建立的含有未知函数导数的关系式x y 2='来解出未知函数的，这种含有未知函数导数的关系式称为微分方程，求解未知函数的过程称为解微分方程．二微分方程的定义1定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程;未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程;23x y y y e '''+−=2()0t x dt xdx ++=z x y x ∂=+∂22220u ux y ∂∂+=∂∂常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程,简称微分方程.例如偏微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式．在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但必须含有未知函数的导数(或微分)．实质三微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
例二是_________阶微分方程；3是______阶微分方程；2是______阶微分方程；1阶微分方程的一般形式：n ()(,,,,)0n F x y y y '=或()(1)(,,,,).n n y f x y y y −'=四微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解．()(,(),(),,())0n F x x x x ϕϕϕ=且n 设有阶导数，()y x ϕ=()y x ϕ=则为该微分方程的解.例如22,(y x y x C C ==+为任意常数)xy 2='是该微分方程的解. 可见一个微分方程有无穷多个解．微分方程解的分类(1)通解:微分方程的解中含有独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同.阶微分方程n ()(,,,,)0n F x y y y '=通解的一般形式1(,,,,)0n x y c c Φ=或1(,,,)n y y x c c =通解并不一定包含微分方程的所有解.注意:微分方程：23dy y dx =通解为：27)(3C x y +=2()9x C y +'=223332()[]27()9x C y x C +=+=0y =显然也是解，但通解中由于找不到一个常数C ，0y =使得，所以通解中不包含。
微分方程的定解条件与特解求解
微分方程的定解条件与特解求解微分方程是数学中的重要概念，它研究函数与其导数（或者高阶导数）之间的关系。
在解微分方程时，我们需要确定定解条件，并寻找满足特定条件的特解。
一、定解条件的意义定解条件是指在解微分方程时给出的附加条件，它起到确定特解的作用。
通常，微分方程本身并不能唯一确定解，而是存在无穷多个解，因此我们需要定解条件来锁定解的形式。
定解条件的设置可以包括初始条件和边界条件两种情况。
1. 初始条件：当我们需要求解一阶微分方程时，通常需要给出一个初始条件。
初始条件是指在某一点或某一区间内给出函数与导数的初值。
通过这个初值，我们可以确定特解在指定区间内的形式。
举例来说，假设我们要求解一阶线性微分方程dy/dx = 2x，可以通过给出一个初始条件y(0) = 1来确定特解。
在这种情况下，我们可以通过积分得到特解y = x^2 + 1。
2. 边界条件：边界条件常在求解偏微分方程时使用。
它是指在某一边界上给出函数的值或导数的值。
通过边界条件，我们可以确定满足这些条件的特解。
边界条件也可以分为两类：第一类边界条件和第二类边界条件。
举例来说，假设我们要求解二阶波恩-奥伽尔德方程∂^2u/∂x^2 +∂^2u/∂y^2 = 0，在一个矩形区域上给定边界条件u(x,0) = f(x)，u(x,b) = g(x)，u(0,y) = h(y)，u(a,y) = k(y)。
通过这些边界条件，我们可以确定在指定矩形区域内满足边界条件的特解。
二、特解的求解在确定了定解条件后，我们可以根据微分方程的类型和求解方法来寻找特解。
1. 可分离变量法：对于一些可分离变量的微分方程，我们可以通过将变量分离，分别对两边进行积分，最后得到特解。
举例来说，对于可分离变量的一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx，然后对两边积分求解。
2. 线性微分方程：对于一阶线性微分方程和高阶线性常系数微分方程，我们可以使用特殊的求解方法，如常数变易法、Laplace 变换等，来得到特解。
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微分方程解的概念和定解条件
(),
y x I n ϕ=设函数在区间上有阶连微分方程的解续导数I 如果在区间上，()
()(,,,,)0n x F x y y y I ϕ'= 则称函数是微分方程在区间上的解.0'≡()(,(),(),,()) n F x x x x ϕϕϕ，
()
(,,,,)0n F x y y y '= 将其代入微分方程中，
这样的解称作微分方程若微分方程的解中含有任意微分常数方程的通解，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，的通解.
6.
y x ''=二阶微分方程例13
1y x C =+显然是方程的解,但是不是（1）通解呢？
312y x C C =++那是不（2）是通解呢？
312y x C C =++3123y x C x C =++（）312.
x C C C C =+=+，其中是方程的通解.
微分方程的通解不一定是该方程注：的全部解.
2.
yy xy '=例一阶微分方程20y y ≠方程等式两边解时，同除以当得
2
y x C =+同时不定积分得 ，是原方程的通解.
2y x '=，
0y =但显然 也是原方程的解.
确定微分方程通解中任意常数值的定解条件或初条件称为始条件.
不含有任何任意常数的解称为微分微方分方程的特解程的特解.000,.a t s v v ===设质点以匀加速度作直线运动，且时，例3().
s t s s t =求质点的运动位移与时间的关系由二阶导数的解物理意义知
2
02(0)0,(0).d s a s s v dt '=== ，且
2121()2
s t at C t C =++解得通解为 将定解条件带入：
2(0)00
s C =⇒=1010()(0).
s t at C s v C v ''=+=⇒= ，201().2
s t at v t =+故特解为
2(60()4)y x y x x y x x ''=→函数是方程的解，且当时 ，是例的通过两次不定积分解可得方程通解为
3
12
y x C x C =++().
y x 高阶无穷小量，求的表达式31220lim 0.x x C x C x
→++=由题意，20,C =故3211200lim lim 0.x x x C x x C x x →→++==故10,C =故3.y x =从而
21220(0,53)x x y y y y C e C e -'''+-==+方程的通解为，若例是解由题意
(0)3(0)0
y y ''==，()().
y x y x 的拐点 ，求的表达式123,
C C +=即 124, 1.C C ==-解得 24.
x x y e e -=-从而1240.
C C +=
总结
本讲主要介绍了微分方程通解的概念和常见的定解条件的形式
.。