利用几何知识求最值的几种方法
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
有关圆的最值问题几种类型及方法
有关圆的最值问题几种类型及方法圆形是初中数学中常见的图形，它有很多特殊的性质。
其中一项重要性质就是它具有最小和最大值。
在圆形的几何学中，有不同的最值问题类型，本文将介绍其中几种类型和解决方法。
问题类型1. 半周长最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一个周长为定值的最大圆。
解决方法：利用相似三角形比值和性质，通过求出最大圆的半径得出周长最大的圆。
2. 面积最大问题描述：在一个固定的圆中，找到面积最大的圆。
解决方法：通过对已知条件进行约束，运用微积分的极值问题求解最大面积圆的面积。
3. 离心率最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一点使得其到圆的距离与到圆心的距离之比最大。
解决方法：通过对于点到圆心的距离公式的推导，结合相关性质，使用数学分析方法解决问题。
4. 切线长度最短问题描述：如何从一个外圆割出一个内接圆的形状，且切线的长度最短。
解决方法：通过运用切线长度公式和勾股定理，推导出最短切线的长度公式，通过微积分求解最小值。
解决方法方法1：运用几何知识在解决这些最值问题时，通过几何知识、特殊性质、面积比和相似性质等直观的方法，可以解决一些简单的最值问题。
例如，第一类问题可以通过找到两个相似三角形的比值，解出最大圆的半径；第二类问题可以通过勾股定理求出直角三角形的面积比例。
方法2：微积分方法对于一些复杂的最值问题，采用微积分的方法计算可能更为简便。
通过设出方程，运用微积分的极值问题方法求出函数的最值点，并验证其确为最值点，就可以直接求解最大或最小值。
例如，第二类问题就是一个极大值问题，可以通过设定面积函数，求该函数的一阶和二阶导数，分析得出最大值点的位置和最大面积值。
方法3：从物理学的角度出发物理学的一些基本定理也可以用来解决圆的最值问题。
例如，第一类问题中，最大圆对应的角速度是圆心角的一半，这是由圆周运动的基本物理定律所得。
将圆周运动和相似三角形的比例性质联系起来，可以解出最大圆的半径。
圆是初中数学中比较基础的图形，但在解决圆的最值问题时，需要综合运用几何知识、微积分知识和物理学知识等多方面的知识。
初中数学几何最值问题综合题
知识板块几何最值问题专项考点一：几何图形中的最小值问题方法：1.找对称点求线段的最小值；步骤：①找点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴；②连接对称点与另一个点；③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边：3.转化成其他线段,间接求线段的最小值：例如：用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值;4.用二次函数中开口向上的函数有最小值：考点二：几何图形中的最大值问题方法：1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值:2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有最大值；3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；4.用二次函数中开口向下的函数有最大值：例题板块考点一：几何图形中的最小值问题例1.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2, AE=3BE, P是AC上一动点,那么PB+PE的最小值是 .例2.如图2,在锐角二ABC中,AB=4V2» LBAC=45°,匚BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD 和AB 上的动点,那么BM+MN的最小值是.例3.如图3,点P是RtiZABC斜边AB上的一点,PE二AC于E, PF二BC于F, BC=6, AC=8,那么线段EF 长的最小值为：例4,如图,在Rt/kABC 中,AB=BC=6,点E, F 分别在边AB, BC 上,AE=3, CF=1, P 是斜边AC 上的 一个动点,那么aPEF 周长的最小值为.例5,如图,在平面直角坐标系中,RtA OAB 的顶点A 的坐标为(9, 0),点C 的坐标为(2, 0) , tanZBOA= —,点P 为斜边OB 上的一个动点,那么PA+PC 的最小值为( ) 3C.6D. 3 + V19例6.如图6,等腰RS ABC 中,NACB=90.,AC=BC=4, 0c 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切OO 于点Q,那么切线长PQ 长度的最小值为( )考点二：几何图形中的最大值问题例1,点A (1, 2)、B (4, 4) , P 为x 轴上一动点. (1)假设IPAI+IPBI 有最小值时,求点P 的坐标； (2)假设IPBUPAI 有最大值时,求点P 的坐标.例2 .如图8所示,A (!,yJ, B(2,yJ 为反比例函数y =,图像上的两点,动点P(x,O)在x 正半轴 2 ~ x上运动,当线段AP 与线段BP 之差到达最大时,点P 的坐标是 L A. V67 例7.如图7,矩形ABCD 中,AB=4, BC=8, E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 上两个动点,且PQ=3,当 CQ= 时,四边形APQE 的周长最小.例3,如图,在平面直角坐标系中,0M过原点O,与x轴交于A 〔4, 0〕,与y轴交于B 〔0, 3〕,点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.〔1〕求匚M的半径：〔2〕证实：BD为二M的切线：〔3〕在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.练习板块1.如图1,正方形ABCD的面积为18, △ ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P,那么PD+PE的最小值为 .2. 〔2021•徐州一模〕如图2,在矩形ABCD中,AB=2, AD=4. E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最小值为.3. 〔2021•萧山区模拟〕如图3,直角三角形ABC中,ZC=90% AC=h BC=2, P为斜边AB上一动点.PE1BC, PF±CA,那么线段EF长的最小值为.4. 〔2021•武汉〕如图4, NAOB=30.,点M、N 分别在边OA、OB 上,且OM=1, ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,那么MP+PQ+QN的最小值是:5.如下列图1,反比例函数y = ' (x>0)图象上的两点A、B的横坐标分别为1, 3,点P为x轴x正半轴上一点,假设PA-PB的最大值为2及,贝ijk=x图36.如图2,在△ ABC中,ZC=90°> AC=4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A.、疗+ 2B. 2屈C. 275D. 272 + 27.如图3,直线1与半径为4的二0相切于点A, P是二0上的一个动点(不与点A重合),过点P 作PB」垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y,那么(x-y)的最大值是.如图,四边形ABCD是正方形,△ ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60.得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：△ AMB^AENB：(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小；②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由：(3)当AM+BM+CM的最小值为6 + 1时,求正方形的边长.8.己知：如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,0C=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC, 把^MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到△ DAO.〔1〕试直接写出点D的坐标：〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ_Lx 轴干点Q,连接0P.①假设△ OQP S^DAO,试求出点P的坐标：②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得ITO-TBI的值最大？作业板块1.如图1,在△ ABC中,AB=1O, AC=8, BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB, CA分别相交于点E, F,那么线段EF长度的最小值是.2.如图2,在RtA ABC 中,ZBAC=90% AB=3, AC=4,点P 为BC 边上一动点,PE1AB 于点E,PFLAC于点F,连结EF,点M为EF的中点,那么AM的最小值为A3.如图3,在△ ABC中,ZACB=90°, AC=8, BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x 轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为.4.如图4,在边长为2的菱形ABCD中,NA=60.,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点, 将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ ANIN,连接AC,那么AC长度的最小值是 .5..如图1,抛物线y=ax2+bx+c 〔a对〕的顶点为C 〔1, 4〕,交x轴于A、B两点,交y轴于点D, 其中点B的坐标为〔3, 0〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,假设直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,那么x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？假设存在,求出这个最小值及点G、H的坐标：假设不存在,请说明理由：。
几何中的最值问题
几何中的最值问题作为一门重要的数学学科，几何中有许多重要的概念和方法，其中最值问题是一个广泛研究的内容。
在几何中，最值问题是指在某些条件下，某个几何量（如长度、面积、体积等）的最大值或最小值问题。
本文将从不同角度介绍几何中的最值问题及其应用。
一、最值问题的基础概念在几何问题中，最值问题最常见的便是一些面积、长度和体积的最值问题。
最常见的方法是使用微积分的极值定理，通过计算导数为0的点来找到函数的最大值和最小值。
此外，还有最大和最小的边界问题。
这些问题需要考虑的是给定条件下的最大可行解或最小可行解。
例如，给定一个面积固定的矩形，我们需要求出其长度和宽度的最大或最小值。
这些问题与微积分密切相关，但在解决这些问题时需要更多的几何知识和直觉。
二、平面几何中的最值问题在平面几何中，最值问题通常涉及三角形、四边形和圆形等形状。
这些形状的特性可以用来求解最值问题，通常需要使用各种几何知识和技巧。
例如，对于一个给定面积的三角形，在其周长恒定的情况下，需要求出该三角形的最大或最小长度。
为解决这类问题，我们可以利用三角形的海涅定理或余弦定理，通过微积分的极值定理得到最优解。
对于圆形，最值问题可能涉及到面积和周长问题，这些需要用到圆相关的特点和公式，如半径、直径、周长和面积等，通常需要通过微积分的方法求解。
另一方面，对于四边形最值问题，我们需要利用它们的对角线和相邻边的关系来解决，这通常需要将四边形划分为三角形或矩形来计算。
三、空间几何中的最值问题在空间几何中，最值问题通常涉及立体体积，包括长方体、正方体、棱锥和棱柱等。
这些问题需要利用空间几何的特点和公式来求解，常用的方法包括微积分的极值定理和立体几何的体积计算公式。
例如，对于一个矩形长方体，在其表面积固定的情况下，需要求出其有最大或最小的体积。
如果我们设该矩形长方体的长、宽和高分别为x、y和z，那么该矩形长方体的体积可以表示为V(x,y,z)=xyz。
通过微积分的方法，可以证明只有当x=y=z时，该方体的体积最大。
利用几何知识求函数最值
利用几何知识求函数最值摘要：从初中阶段开始学生就已经开始学习几何知识，几何图形它拥有较多的数学符号和图形，能够将很多复杂的数学问题进行直观的展现，方便学生对各种数学问题进行简单明了的解决和分析。
而在近年来的高考试题中，频繁出现考察学生函数求最值的有关题型，对于这类题目的解答，学生们需要熟练的掌握将题目转化为图形，利用数形结合的方法，将较为抽象的函数问题快速的解决。
关键词：高中数学；几何知识；函数最值引言：在当前的高考题目设计过程中，试卷设计的老师越来越偏向于函数求最值问题的设计。
而结合学生掌握的几何知识来解决这类函数最值问题，学生们经常用到的都是数形结合以及向量法、数形结合的方法，能够使学生在函数求最值解题过程中，将较为抽象的题目转化为函数图像、将函数的最值转化为实际图像上的两点间的斜率，以及点的距离来进行解答，一、运用向量法求解在近几年来的高考试卷出题中，对向量等知识的考察频率越来越高，受到教育界越来越多的重视。
结合向量解题的方法来将数学题型中，很多的代数式转化为直观形象的图形，可以帮助高中数学学科的学生，对代数式问题更好的理解，而针对高中数学求函数值最值的大量命题解题来说，向量法的求解方法是较为简便的一种，然而在实际的解题过程中，学生们一定要对向量的特点有一个较为充分全面的把握，也就是说需要对向量三角不等式以及、向量数量及性质这两个特点能够做到熟练的运用，通过大量的练习和思考来掌握向量的这两个特点，而在实际的运用向量来解题的过程中，能够实现较为合理的向量构造。
在学习《向量在几何中的运用》这一节知识点的时候，数学老师通常都会花更多的时间结合例题来为学生讲解，主要原因并不是因为这节知识点比较复杂困难，而是由于本节知识点的运用途径很广，在数学解题中很多时候都会用到。
对于某一个函数求最值的问题，学生通过对具体题目的分析，找出题目中函数形式所具有的特点，从而选择最适合的向量来展开解题步骤，从而实现对函数最值求解的更为快速高效的解题，能够在高考中用较为有限的时间实现函数值最值的最快求解，并且在解题过程中，通常情况下都会运用到很多的不等式，因此，高中学生一定要仔细的对各个不等式成立的条件充分的留心。
高中数学立体几何中的最值问题
高中数学立体几何中的最值问题在高中数学的学习中，立体几何一直是一个重点和难点，而其中的最值问题更是让许多同学感到头疼。
这类问题往往需要我们综合运用空间想象力、几何知识以及数学方法来求解。
接下来，让我们一起深入探讨立体几何中的最值问题。
一、常见类型及解法1、距离最值问题（1）两点间距离最值在立体几何中，求两点间距离的最值，常常需要我们将空间中的两点转化到同一平面内。
例如，在长方体中，求异面直线上两点的最短距离，就需要通过平移将其转化为共面直线，然后利用平面几何中的知识求解。
（2）点到直线距离最值求点到直线的距离最值时，通常要找到点在直线上的投影。
如果直线是某一平面的斜线，那么可以通过作垂线找到投影，再利用勾股定理计算距离。
（3）点到平面距离最值对于点到平面的距离最值，一般可以利用空间向量法。
先求出平面的法向量，然后通过向量的数量积来计算点到平面的距离。
2、面积最值问题（1）三角形面积最值在立体几何中，涉及三角形面积的最值问题，可能需要考虑三角形的边长关系或者角度大小。
例如，已知三角形的两边及其夹角，当夹角为直角时，面积最大。
（2）四边形面积最值对于四边形，如平行四边形，其面积可以表示为底边乘以高。
当底边长度固定时，高取得最大值时面积最大；或者当四边形的对角线相互垂直时，面积等于对角线乘积的一半。
3、体积最值问题（1）柱体体积最值对于柱体，如圆柱、棱柱，其体积等于底面积乘以高。
当底面积不变时，高最大则体积最大；反之，高最小时体积最小。
（2）锥体体积最值锥体体积为三分之一底面积乘以高。
在求解锥体体积最值时，需要关注底面积和高的变化。
二、例题分析例 1：在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱AB、BC 的中点，求点 A1 到直线 EF 的距离。
解：连接 A1C1、C1F、EF，因为 A1C1 平行于 EF，所以点 A1 到直线 EF 的距离等于点 A1 到直线 C1F 的距离。
代数题用几何求解的最值问题例子
代数题用几何求解的最值问题例子初中数学的最值问题一直都是大家学习当中公认的比较困难的一部分内容。
这部分内容的难度相对于其他知识点来说存在很多的不确定性，特别是其中出现做辅助线等方法来辅助解题时不知道从何入手，今天我们将针对几何代数的最值问题进行分类讲解，希望在这过程当中能帮大家理清楚这类题型的大致解题思路。
首先，几何最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
收到最大值或最小值，那么很多同学就会联想到线段和线段差或者是周长，面积等的最大值和最小值问题。
在中考中常以填空选择及解答题形式出现，可见其出现的形式还是比较多样化的，难易程度多为难题、压轴题。
同学们务必掌握以下几种求几何最值的基本方法：（1）特殊位置及极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情况下的推理证明。
这种特殊的位置。
一般都会通过题目的条件或者是初级的推论就可以得出。
同学们在读取条件的过程当中，一定要重点关注。
（2）几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理。
常见几何性质有：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；斜边大于直角边等，这类型的应用就相对来说比较简单。
只要根据已学的内容，那么就可以进行解决，其难度不大。
（3）数形结合法：分析问题变动元素的代数关系，构造二次函数等。
树形结合来解决二次函数的最值问题，那么通过图形和代数求解的方式相结合，可以很快的也就能得到。
最后的结果，这是我们在初中学习二次函数时就重点学习的对象。
其次，代数最值问题一般以应用题形式出现，常见题型为求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案。
这类型的最值问题作为各地中考必考题之一，难度以中档为主，是所有学生必拿之分。
他主要考察的是二次函数或一次函数的实际应用，结合真实生活中的应用场景来解决实际问题。
解这类题目的关键点在于合理建立函数模型，理解题意的基础上，合理设出未知量，分析题中等量关系，列出函数解析式或方程，求解、讨论结果意义并以“答：……”做结尾。
直线和圆中的最值求解方法
直线和圆中的最值求解方法作者：赵建勋来源：《中学生理科应试》2014年第04期直线和圆是解析几何的重要内容，而最值问题是其重要题型，解这类题不仅要灵活用到直线和圆的有关知识，而且还要用到求最值的各种方法，解法相当灵活，现举例方法说明，供同学们复习时参考.一、建立二次函数用顶点法例1在直线L∶y=2x上求一点P，使P点到两定点A（3，0）、B（0，4）的距离的平方和为最小.解设P（x,2x)，则有|PA|2+|PB|2=(x-3)2+(2x)2+x2+(2x-4)2=10x2-22x+25∵a=10>0,∴抛物线开口向上，∴函数在顶点处取得最小值.∴当x=-b2a=--222×10=1110时，|PA|2+|PB|2取最小值，故P点坐标为（1110，115）.点评二次函数求最值一般用配方法，本题只求x的值，所以用顶点法要简单.二、设角为自变量用三角法例2过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正向于A、B两点，求|PA|·|PB|最小时的直线l 的方程.分析此直线过已知点，求出斜率即可，若直接设斜率为k，求|PA|·|PB|的最小值很繁.设角为自变量即可转化为三角函数求最值，易求斜率.图1解如图1，过P做PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，设∠BAO=θ，则∠BPD=θ,则|PA|=1sinθ,|PB|=2cosθ,于是|PA|·|PB|=1sinθ·2cosθ=2sinθcosθ=42sinθcosθ=4sin2θ.要使|PA|·|PB|最小，只需sin2θ最大，即sin2θ=1,2θ=90°,∠BAO=θ=45°，∴kAB=kl=tan135°=-1.故直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.三、建立一元二次方程用判别式法例3已知直线l1∶y=4x，和点P（6，4），在直线l1上求一点Q，使过P、Q的直线与l1以及x轴在第一象限内所围成的三角形面积最小.图2解如图2，设Q（x1,4x1)，则直线PQ的方程y-44x1-4=x-6x1-6.令y=0，得x=5x1x1-1,故点A的坐标为（5x1x1-1,0).∴S=12·4x1·5x1x1-1=10x21x1-1.即10x21-Sx1+S=0(1)∵x1为实数，∴Δ=S2-40S≥0,∵S>0,∴S≥40，将S=40代入（1）得x21-4x1+4=0.解方程得x1=2,y1=4x1=4×2=8.故点Q（2，8）.点评问题转化为函数后为分式函数，可考虑用判别式法求最值.四、注意变元为正，用均值不等式法例4过已知点P（1，4）引一条直线，要使它在两坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求这条直线的方程.解设在两个坐标轴上的截距分别为a、b，则所求直线方程为xa+yb=1.(1)将P（1，4）代入方程（1）得1a+4b=1，解得a=bb-4,∵a>0,b>0,∴b>4.设截距之和为L，则L=a+b=bb-4+b=b-4+4b-4+b-4+4=1+4b-4+(b-4)+4=5+(b-4)+4b-4≥5+2(b-4)·4b-4=5+24=5+4=9.当且仅当b-4=4b-4时取等号，即b=6或b=2.此时a=3或a=-1.又a>0,b>0,∴a=-1舍去.故所求直线方程是x3+y6=1，即2x+y-6=0.点评构造变元积为定值，求和的最小值.关键是作b=b-4+4的技巧性的变形.五、注意转化，巧用函数的单调性图3例5如图3，在平面直角坐标系中，在y轴正半轴上（坐标原点除外）给定两点A、B，C点在x轴正半轴上移动，问C点在何处时∠ACB最大，并求最大值.分析要求角的最值，先取一个函数，求函数的最值，关键是用函数的单调性.解设A（0，a)、B（0，b),00.令∠ACB=α，于是tanα=kBC-kAC1+kBCkAC=-bx+ax1+abx2=a-bx+abx=a-bab(xab+abx)记y=xab+abx≥2,当且仅当x=ab时，y取最小值2.因此，当x=ab时，tanα取最大值a-b2ab.∵在(0,π2)内y=tanα是增函数，∴C点在（ab,0)时，α取最大值arctana-b2ab.即C点在（ab,0）时，∠ACB取最大值，这个最大值为arctana-b2ab.点评此题是求角的最大值，形式新颖，解法灵活、技巧性强，值得一学.六、注意数形结合，巧用对称法例6已知圆C：（x-3)2+(y-1)2=4和直线l:x-y-5=0，在C上求两点，使它们和l的距离分别是最近和最远.解已知圆的圆心为C（3，1），过C点作直线l′⊥l于D，且l′交圆C于A1、A2，又圆是中心对称图形，所以A1、A2是与l的距离分别是最近和最远的点.离垂足近者为最近距离点，离垂足远者为最远距离点.∵直线l的方程为y=x-5,∴kl=1,则kl′=-1.故直线l′的方程为y-1=-(x-3),即y=-x+3+1,解方程组y=-x+3+1(x-3)2+(y-1)2=4①②把①代入②后，化简整理，得2（x-3)2=4,即(x-3)2=2,∴x-3=±2,x=3±2，代入①得y1=1-2,y2=1+2.故所求两点是（3+2,1-2),(3-2,1+2).七、注意转化，巧用公式a2+b2≥2ab法例7设满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.解设圆的圆心为P（a,b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧的圆心角为90°，知圆截x轴所得弦长为2r，故r2=2b2.又圆P截y轴所得长为2,所以有r2=a2+1.从而2b2-a2=1.又点P（a,b)到直线x-2y=0的距离为d=|a-2b|5.所以5d2=|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=a2+4b2-2a2-2b2=2b2-a2=1.当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，从而d有最小值.此时a=b2b2-a2=1,解方程组得a=1b=1,或a=-1b=-1.由于r2=2b2=2,∴r=2.于是所求圆的方程是（x-1)2+(y-1)2=2,或（x+1)2+(y+1)2=2.八、巧变形，用一次函数的单调性法例8在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分 别为a、b、c，且c=10,cosAcosB=ba=43,P 为△ABC内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值.解由cosAcosB=ba，根据正弦定理，有cosAcosB=sinBsinA,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B.∵A≠B,2A≠2B,∴A+B=π2,故△ABC是直角三角形.由c=10，ba=43,a2+b2=102及a>0,b>0,得a=6,b=8.图4如图4，设△ABC内切圆的圆心为O′，切点为D、E、F，内切圆半径为r，则2r=a+b-c=6+8-10=4,∴r=2.建立如图4的直角坐标系，则内切圆方程为（x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为（x,y),则P点到A、B、C的距离的平方和为W=|PA|2+|PB|2+|PC|2=（x-8)2+y2+x2+(6-y)2+x2+y2=3［(x-2)2+(y-2)2］-4x+76=88-4x∵P点在内切圆上，故必有0≤x≤4.∴W最大值=88；W最小值=72.点评解此题的关键是证明△ABC为直角三角形，写出内切圆方程（x-2)2+(y-2)2=4,在建立函数式中凑出（x-2)2+(y-2)2=4，整体代入4，为用一次函数单调性创造条件，方法灵活、技巧性强，值得一学.(收稿日期：2013-06-15)。
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利用几何知识求最值的几种方法
最值问题在中学数学教材中占有相当重要的地位，而与“不等式”“函数值域”都有着密切联系。
中学中我们学习了不少关于求最值的方法。
本文利用我们学过的知识把复数,几何等知识融合在一起给出了求最值的几种巧妙方法，诣在归纳总结，给以后学习最值问题提供参考。
1.用比较半径法求最值。
此方法主要是从代换的角度出发，巧妙应用圆的半径来探索求最值。
这类题目的特点是所求函数和限制条件一般由一个是二次曲线形式的。
利用坐标变换把二次曲线变成圆，再把目标函数变为直线，因在同一个坐标系内直线过圆，所以圆上的点到直线的距离小于等于半径。
根据公式.
求得最值。
例1.已知求函数的最值。
分析:此题限制条件是一个二次曲线—椭圆。
目标函数为一直线，若令：
则恰能得到一个圆的方程，而目标函数12X-5Y是一过圆心的直线,这些恰好符合我们给出的条件,所以我们不妨用此方法去解.
解：令圆: 。
如图：显然圆上任一点P(X,Y)到直
线：12X-5Y=0的距离
即
例2.已知x+3y-10=0,求函数的最小值。
解：设则
直线方程：
如图：圆：
从而本题变为求圆半径的最小值。
当直线与圆相切时圆的半径取得最小值。
即：故.
1.切线法求最值。
①利用“直线关系法”求最值。
这类题目的特点是点在平面上的二次曲线域（包括边界）上运动，求目标函数的最值。
此解法关键是把约束条件恒等变形，化成二次曲线上或形内的适合条件，再令（为非零实数），转化成求的最值，则可求出的最值。
这种思路主要应用了斜率不变的直线系来解决问题。
例1. 若点的坐标适合求。
分析:由题我们可以看出所适合的条件是在这个圆形区域内,所求函数恰好为一直线,故我们可以用此方法去解.
解：变形为，适合条件的点为圆周上和圆内的点。
设目标函数，这是斜率为的平行直线系，如图：
此题转化为求斜率为的直线与圆相切的方程。
又因为我们有
代入则得
即：，解之得
所以的最大值是5，最小值是。
②斜率法求最值。
这类题的特点是所求目标函数一般为分式,如根据的关系我们把它写成是二次曲线上点,从而这个式子可以看做是点(a,b)到曲线上任一点的斜率的最值,在根据二次曲线的切线求得最值.此法能形象地说明该式最值的几何意义。
解法关键是先把目标函数化成二次曲线上任意一点与曲线外一点（定点）连线的斜率k，再根据题意画出图形，构造切线，从而求得最值。
例1.若x为实数，求的最值。
解：目标函数可看作椭圆上任一点，与定点（4，3）连线的斜率。
如图：
设切线为，则，
解得
所以
备注：１.直线与圆相切充要条件：
２.直线与椭圆相切的充要条件：。
３.直线双曲线相切的充要条件：。
４.直线与抛物线相切的充要条件：
3.用“动点求导法”求最值
这类题一般是以定线段为底某一曲线上的动点为顶点的三角形面积的最值问题.解此类提的一般步骤如下:
(1) 用导数法求出曲线到定线段距离的极值.
(2) 计算极值点和曲线端点到定线段的距离,并加以比较得出距离的最大值或最小值.
(3) 用三角形面积公式计算出三角形面积的最值.
例１.椭圆上有两点
及动点C，求椭圆内接的最大面积。
解：设椭圆上点到AB的距离取极值，
则过点C的切线AB平行，将方程
两边对y求导得：，
所以切线斜率
以此代入椭圆方程，求得C点的坐标和。
直线AB的方程为：,点和
到AB的距离：
所以，。
所以最大面积为。
4.令“坐标法”求最值
这类题目的特点是目标函数为若干个二次根式之和.解法关键是精心设计各点的坐标,使以原点为起点相邻两点的距离之和恰好构成目标函数,从而起点与终点间的距离正好是其最小值.
例1.若为非负实数，求的最小值。
解：设点，点，点则
，由图可看出从O 到C的线段中，
OC 为最短的，即：
所以
所以得：的最小值是。
5.利用“参数法”求最值。
此方法主要是利用圆锥曲线的参数方程把所求问题转化为三角函数,最后再利用三角函数的最值来求出所要求的问题.
这类题一般为求一个闭合的圆锥曲线的内接矩形的面积最值问题.如椭圆,圆等.
例1:求椭圆的内接矩形的最大面积
解:如图:令
则椭圆方程变为
将此方程转化为参数方程:
那么第一象限内椭圆上一点C的坐标
为则内接矩形的面积
是:
当时
又图一边为图二相当于对椭圆进行了平移变换,故椭圆的大小,形状完全没有变化,所以其内接矩形的面积也不变.
椭圆内界矩形的最大面积是
参考文献：
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