巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题
多个绝对值相加求最小值的方法
多个绝对值相加求最小值的方法标题：如何求多个绝对值相加的最小值？在日常生活或数学问题中，我们经常会遇到需要求多个绝对值相加的最小值的情况。
当我们需要确定一组数中距离零点最近的数时，或者需要在一组数中找到和最接近某个特定值的数时。
本文将介绍一些方法和技巧，帮助你轻松求解多个绝对值相加的最小值。
1. 定义问题让我们从最基本的开始，明确问题的定义。
我们要求解的是如何求多个数的绝对值相加的最小值。
具体来说，就是给定n个数a1, a2, ..., an，我们要找到一组数x1, x2, ..., xn，使得表达式|x1-a1| + |x2-a2| + ... + |xn-an|的值最小。
这个问题其实可以抽象为一个优化问题，在一定约束条件下找到使目标函数最小化的解。
2. 穷举法一种直观的方法是利用穷举法，列举出所有可能的情况，然后逐一计算出最小值。
但是当n较大时，这个方法的时间复杂度会呈指数级增长，不太适用于大规模问题求解。
3. 贪心算法贪心算法是一种高效的方法，它通常适用于求解最优化问题。
在本问题中，我们可以利用贪心算法来求解多个绝对值相加的最小值。
具体来说，我们可以按照一定规则依次确定每个xi，使得每一步都是对整体最优的选择。
对于求解两个数a和b的绝对值相加的最小值，我们可以根据a和b的大小关系来确定x，使得|x-a|+|x-b|的值最小。
4. 动态规划动态规划是另一种常用的优化算法，它可以帮助我们高效地求解多个数的绝对值相加的最小值。
在本问题中，我们可以借助动态规划的思想，利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
具体来说，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个数中选取j个数，使得其绝对值相加的和最小。
然后根据动态规划的状态转移方程逐步求解dp数组的值，最终得到最小值。
5. 个人观点和总结在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解多个绝对值相加的最小值。
贪心算法适用于一些特殊情况，而动态规划则更适用于一般情况下的求解。
利用用绝对值的几何意义解最小值问题
妙用绝对值的几何意义解最小值问题∣m-n ∣的几何意义是：数轴上表示数m,n,的两点之间的距离。
利用绝对值的几何意义思考有关绝对值的问题，可使某些利用绝对值的代数定义难以解决的问题，简明直观地获得妙解。
例1 求∣x-1∣+∣x-2∣的最小值。
析解：由绝对值的几何意义知∣x-1∣表示x 到1的距离，∣x-2∣表示x 到2的距离。
例2 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣的最小值。
例3 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣的最小值。
已知a,b,c 都是有理数，且满足a a ||+b b ||+c c ||=1，求||abc abc 的值已知a<b<0<c ，化简式子：|a-b|+|a+b|-|c-a|+|b-c|得已知│x │=2003，│y │=2002,且x ＞0，y ＜0，求x+y 的值。
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绝对值的几何意义(知识点)含答案
绝对值的几何意义(知识点)绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容，它伴随着我们学习代数知识的全过程。
我们知道：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。
这是绝对值的代数意义。
绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如|a|表示数轴上表示数a的点到原点的距离，推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b两点的距离之和。
对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。
下面通过几个例题谈谈绝对值的几何意义的妙用。
例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。
例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。
例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么？例4：如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？1 / 3绝对值的几何意义(知识点)参考答案例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。
解：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示x到4的距离为3，结合数轴不难发现到4这个点的距离为3的点共有二个，分别是1和7，故x=1或7.例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。
分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。
解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到1的距离，∣x+2∣=∣x-（-2）∣表示数轴上点x到-2的距离。
实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为3。
此题实际上也说明了这么一个结论：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为∣a-b∣。
通过分析我们亦不难理解，∣∣x-a ∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值∣a-b∣，即-3≤∣x-a∣-∣x-b∣≤3。
多个绝对值和的最小值问题
多个绝对值和的最小值问题
上期我们谈到含有绝对值函数的图象的画法问题，今天我们再来谈谈一类函数的最小值问题，这类函数的特点是含有多个绝对值，且绝对值的系数为正，显然这类函数存在最小值，无最大值，接下来我们逐步分析。
一、含一个绝对值且系数为1的问题
二、含两个连续自然数绝对值且系数为1的问题
三、含多个连续自然数绝对值且系数为1的问题
推广到一般形式，
四、含多个绝对值且系数为1的问题
对于以上结论，如果出现系数不为1，怎么办？我们先来研究系数为正整数的情况：
五、含多个绝对值且系数为正整数的问题
【注】：实际上，我们在解决问题中，如果可以写成奇数个绝对值的和，我们只需看中间数是什么，如果可以写成偶数个绝对值的和，我们只需找中间两个数之间的数就可以，减少我们的运算。
六、含多个绝对值且系数为正有理数的问题
七、含多个绝对值且系数为正实数的问题
这一终极理论使用于上述各个形式，当然，有简单我们还是要简单地处理。
巧解多个绝对值之和的最小值
--------------------------------------------------------“培养核心素养，渗透数学美育”系列研究案例（十)•研•课題2020年第12期 中学数学教学参考（中旬）巧解多个绝对值之和的最小值％ A谢祥（四川省成都市金牛区教育科学研究院）摘要：利用绝对值的几何意义，将H个绝对值之和的问题转化为“在数轴上有《个已知点，动点到这7J 个已知点的距离之和的问题”，有利于培养学生逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养，渗透数学规律的 简单美、统一美。
关键词：多个绝对值之和的最小值问题；数形结合；数学美文章编号：1002-2171 (2020) 12-005 卜 031知识背景本案例涉及绝对值、正负数运算及不等式相关知识，涉及的数学思想方法有“由特殊到一般”“分类讨 论”“数形结合”“化归与转化思想”，适合七年级学生 学习相关知识之后使用。
2 问题初探，感受数学方法美问题1 : 1 = _______时，代数式I X — 1丨+| x —2 | + | x —3 | -f ---h|>r —2019| 取最小值？最小值为多少？分析：如果按零点分段讨论，则要分2020段讨论，太复杂。
将复杂问题退回到初始的元问题.常常 是解决问题的有效方法。
到表达。
在解题教学时，教师总是让个别优秀的学生 上台展示解答过程，用极个别优秀学生的思考代替其 他学生的思考。
其实，在这种情形之下，教师应该做 的是:等一等，多聆听学生不同的声音！学生一味按照教师铺设的思路去想，总是按教师 的“套路”出牌，这原本就不是一件好事情。
很多学生 在这个过程中失去了自主选择、自主参与的机会和途 径，只是“听教师讲”“听其他同学讲”，长期下去，必然 形成思维的惰性。
是的，学生完全可能“答非所问”，也完全可以与 教师期望的回答相差很远，甚至有时还会让教学横生(1) j ： =_____时，丨j ：—11取最小值？最小值为多少？巧解:x =l 时，丨:C —1|取最小值，最小值为0。
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数或者负数。
绝对值通常用来表示距离的绝对量，它的定义如下：如果 x 是一个实数，那么 x 的绝对值表示为 |x|，它的计算公式如下：当x ≥ 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。
举例来说，-5 的绝对值是 |-5| = 5；而 5 的绝对值还是 5。
在实际问题中，经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况，特别是在优化问题中，这个方法非常有用。
二、求最大值和最小值的例题接下来，我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。
例题1：已知函数 f(x) = |2x - 3|，求 f(x) 的最大值和最小值。
解析：我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。
要求最大值和最小值，可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。
由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的，因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。
当 2x - 3 ≥ 0 时，有 |2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。
我们可以得到两个函数：f1(x) = 2x - 3，x ≥ 0；f2(x) = 3 - 2x，x ≥ 0。
接下来，我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导，找到导数为 0 的点，并判断极值的情况。
f1'(x) = 2；f2'(x) = -2。
由此我们可以知道，f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的，而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。
f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处，最大值是 x 趋向无穷时的极限值。
经过计算和分析，我们可以得出最小值为 3，最大值为正无穷。
技巧巧用绝对值的几何意义解决代数式最值问题
技巧巧用绝对值的几何意义解决代数式最值问题
来源：初中数学培优课堂（ID：qiaoxueshuxue）
大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．
一、绝对值之和求最小值
题型一两个绝对值相加求最小值【方法分析】
【总结归纳】
绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义
的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值．
题型二多个绝对值相加求最小值
二、绝对值之差求最值
【方法分析】
至于当x满足什么条件时分别取最大、最小值．则可以画数轴分析或把绝对值展开计算．。
利用绝对值的几何意义求距离之和的最小值
利用绝对值的几何意义求距离和的最小值NO1.【绝对值的求和的最小值】背景介绍一个代数式是含多个绝对值相加而成，求这个代数式的最小值的过程我们称为绝对值求和的最小值问题。
形如()x a x b a b −+−≤通常我们会利用零点分段法进行计算，即根据绝对值的性质考虑去掉绝对值符号，去掉绝对值符号就需要对绝对值里的代数式进行正负讨论，讨论时先令绝对值内部的代数式为0，分别求出,x a x b ==，再根据a b 、的大小关系，把数轴上的点分成三部分，分别为,,x a a x b x b ≤≤≤≥，在每一段范围内进行去绝对值符号化简，进而求最小值。
可以看出，这个计算量还是很大的，那么有没有简单一些的办法呢？NO2.【绝对值的几何意义求和最小值】原理我们知道：数轴上表示数a 与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a而数轴上表示数3与数1的距离为2，等于31−；数轴上表示数3与数1−的距离为4，等于3(1)−−；那么数轴上表示数a 与数b 的距离为a b − 那么对于()x a x b a b −+−≤，我们可以从几何意义上进行理解：x a −可以看作是数轴上表示数x 与数a 的距离x b −可以看作是数轴上表示数x 与数b 的距离 而x a x b −+−就可以看作数轴上表示数x 与数a 、数b 的距离之和而数轴上表示数a 、数b 、数c 的点把数轴分成了四部分，如下图当x 在a 的左边，距离之和可以表示为下图的两条线段之和当x 在ab 之间时，距离之和可以表示为下图的两条线段之和当x 在b 的右边时，距离之和可以表示为下图的两条线段之和通过对比，我们不难发现当x 在ab 之间时，距离之和最小，等于b a − 对于()x a x b a b +++≤可以看作数轴上表示数x 与数a −、数b −的距离之和，当x 在b a −与-之间时，距离之和最小，等于a b−+同理可得()x a x b x c a b c −+−+−≤≤可以看作数轴上表示数x 与数a 、数b 、数c 的距离之和：观察可知当x b =之间时，距离之和最小，等于c a −NO3.【绝对值的几何意义求和最小值】识记技巧识别技巧：所求式子为几个含有绝对值的代数式相加的性质【敲重点】（1）把每一个绝对值换成距离（2）距离之和在数轴上表示出来（3）分段看距离之和找最小值NO4. 【绝对值的几何意义求和最小值】典型题型例1数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点A ，B 在数轴上对应的数分别为a ，b ，则A ，B 两点间的距离表示为AB a b =−．根据以上知识解题：（1）点A 在数轴上表示3，点B 在数轴上表示2，那么AB =；（2）在数轴上表示数a 的点与2−的距离是3，那么a = ； （3）如果数轴上表示a 的点位于4−和2之间，那么42a a ++−=；（4）对于任何有理数x ，36x x −+−是否有最小值？如果有，直接写出最小值，如果没有，请说明理由．【解答】（1）321AB a b =−=−=故答案为：1（2）3AB =()32a ∴=−−即1a =或5−故答案为：1或5−（3）当42a −<<时()()42426a a a a ++−=+−−=故答案为：6（4）有，最小值为3例2. 数学实验室：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离||AB a b =−．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和4−的两点之间的距离是 ．（2）数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为 ．（3）若x 表示一个有理数，则14x x −++的最小值= ．（4）若x 表示一个有理数，且|1||3|4x x ++−=，则满足条件的所有整数x 是．（5）若x 表示一个有理数，当x 为，式子|2||3||4|x x x ++−+−有最小值为．【解答】（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|62|4−=数轴上表示1和4−的两点之间的距离是()|14|5−−=故答案为：4，5（2）数轴上表示x 和3−的两点之间的距离表示为()|3||3|x x −−=+数轴上表示x 和6的两点之间的距离表示为|6|x −故答案为：|3|x +，|6|x −（3）根据绝对值的定义有：|1||4|x x −++可表示为点x 到1与4−两点距离之和，根据几何意义分析可知当x 在4−与1之间时，|1||4|x x −++有最小值5故答案为：5（4）当1x <−时，|1||3|13224x x x x x ++−=−−+−=−+=解得：1x =−此时不符合1x <−，舍当13x −时，|1||3|134x x x x ++−=++−=此时1x =−，0x =，1x =，2x =，3x =当3x >时，|1||3|13224x x x x x ++−=++−=−=解得：3x =此时不符合3x >，舍去故答案为：1−或0或1或2或3（5）可看作是数轴上表示x 的点到2−，3，4三点的距离之和∴当3x =时，|2||3||4|x x x ++−+−有最小值|2||3||4|x x x ∴++−+−的最小值|32||33||34|6=++−+−=故答案为：3，6例3：如图，数轴上有点a ，b ，c 三点（1）用“<”将a ，b ，c 连接起来；（2）b a −1（填“<”“>”，“=”）；（3）化简11c b c a a −−−++−；（4）用含a ，b 的式子表示下列的最小值：①x a x b −+−的最小值为； ②1x a x b x −+−++的最小值为； ③x a x b x c −+−+−的最小值为． 【解答】（1）根据数轴上的点得：c a b <<（2）由题意得：1b a −<（3）11c b c a a −−−++−()11b c a c a =−−−−+−11b c a c a =−−+++−b=（4）①当x 在a 和b 之间时，x a x b −+−有最小值x a x b ∴−+−的最小值为：x a b x b a −+−=−②当x a =时()1011x a x b x b x x b −+−++=+−+−−=+为最小值③当x a =时0x a x b x c b a a c b c −+−+−=+−+−=−为最小值。
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巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题
【例1】求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？
初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。
绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。
绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。
绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。
众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。
设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜，
由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；
同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜，
由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。
一般说来，设f(x)=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜，
其中a₁≤a₂≤…≤a n，那么：
当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1；
且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+(a n/2+1-a n/2)
=(a n+a n-1+••• a n/2+1)-(a1+a2+•••+a n/2)
当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)；
且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】
=【a n+a n-1+••• a(n+1）/2+1】-【a1+a2+•••+ a(n+1）/2-1】
也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。
利用这个原理来解决【例1】的问题将非常容易地得到结论：y=｜x-（-3）｜+｜x-（-2）｜+｜x-（-1）｜+｜x-0｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜，所以x=0时y最小，最小值为12。
下面我们利用这一原理解决更多的问题。
【例2】已知y=⅔｜x+1｜+2｜x-1｜+｜x-2｜，求y的最小值。
【解】y=⅓(2｜x+1｜+6｜x-1｜+3｜x-2｜)=⅓（｜x-（-1）｜+｜x-（-1）｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-2｜+｜x-2｜）
∵有11个绝对值相加，11为奇数，∴当x=a5，即x=1时，y最小为：⅓(2｜1+1｜+3｜1-2｜)=⅓（4+3）=7/3
【例3】已知｜a+3｜+｜a-5｜=8，求a的取值范围。
【解】∵当-3≤a≤5时，｜a+3｜+｜a-5｜的最小值为8，∴a的取值范围是
-3≤a≤5
【例4】已知2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜=9，求a b的值。
【解】∵2｜a+1｜+｜a-2｜=｜a+1｜+｜a+1｜+｜a-2｜，当a=-1时，最小值为3；｜b+1｜+4｜b-5｜=｜b+1｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜，当b=5时，最小值为6，∴2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜≥9，只有当a=-1，b=5时，原式=9，
∴a b=（-1）5=-1
【例5】如图4，一条公路旁有6个村庄，分别为A，B，C，D，E，F，现在政府要在公路边建一个公交站，请问建在哪一段比较合理？
【分析】所建公交站应该到各村的距离之和最小，以公路为数轴，设A，B，C，D，E，F在数轴上表示的数分别为：a,a,c,d,e,f，则a≤a≤c≤d≤e≤f，故当所建公交站到各村的距离之和最小时，公交站应该处于C村和D村之间。