微分方程的基础知识及解析解

微分方程的基础知识与练习（一）微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。

解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy2=（1） 同时还满足以下条件：1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得⎰=xdx y 2即C x y +=2（3）其中C 是任意常数。

把条件（2）代入（3）式，得1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：12+=x y （4）（2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。

根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：4.022-=dt sd （5） 此外，还满足条件：0=t 时，20,0===dtdsv s （6）(5)式两端积分一次得：14.0C t dtds v +-== （7）再积分一次得2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。

把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得0 ,2021==C C把21,C C 的值代入（7）及（8）式得,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-=（10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：)(504.020s t ==。

再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程).(5005020502.02m s =⨯+⨯-=上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。

1．微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。

未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。

我们只研究常微分方程。

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。

又如，方程()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。

一般地，n 阶微分方程的形式是()(,,',...,)0,n F x y y y =（11）其中F 是个2+n 变量的函数。

这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而)1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。

例如n 阶微分方程01)(=+n y中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。

由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。

这个函数就叫做该微分方程的解。

例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。

又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。

为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。

例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。

设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是0x x =时，0y y =，或写成00|y y x x ==其中0x ，0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：0x x =时，0y y =，'1y y =或写成00|y y x x ==，0'|1x x y y ==其中0x ，0y 和1y 都是给定的值。

上述条件叫做初始条件。

确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。

例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。

求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作⎩⎨⎧===.|),,('00y y y x f y x x （13） 二阶微分方程的初值问题是00''(,,'),|,'|1x x x x y f x y y y y y y ===⎧⎪⎨==⎪⎩ 3、例题例1验证：函数kt C kt C x sin cos 21+=（14）是微分方程0222=+x k dtx d （15） 的解。

解求出所给函数（14）的导数,cos sin 21kt kC kt kC dtdx+-= )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dtx d +-=--= 把22dtxd 及x 的表达式代入方程（15）得 )sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。

用程序来实现： >> syms k t C1 C2;>> x=C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t); >> diff(x,t,2)+k^2*x ans =k^2*(C1*cos(k*t) + C2*sin(k*t)) - C1*k^2*cos(k*t) - C2*k^2*sin(k*t) >> simple(ans)（二）微分方程的解一、几个会用到的函数： 1、solve 函数：Matlab 中solve 函数主要是用来求解线性方程组的解析解或者精确解。

solve 函数的语法定义主要有以下四种：solve(‘eq ’)solve(‘eq ’, ‘var ’)solve(‘eq1’,’eq2’, …,’ eqn ’)g = solve(‘eq1’, ‘eq2’, …,’ eqn ’, ‘var1’, ‘var2’, …, ‘varn ’) eq 代表字符串形式的方程，var 代表的是变量。

例1：解方程02=++c bx ax程序是：syms a b c x;solve('a*x^2+b*x+c') （也可写成solve('a*x^2+b*x+c=0')）当没有指定变量的时候，matlab 默认求解的是关于x 的解，求解的结果为： ans =-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)d 当指定变量为b 的时候： solve('a*x^2+b*x+c','b')求解的结果为： ans =-(a*x^2 + c)/xs = -(a*x^2 + c)/x例2：对于方程组⎩⎨⎧=-=+5111y x y x 的情况S=solve('x+y=1','x-11*y=5'); S.x S.y>> S=[S.x,S.y](这里或者写成x=S.xy=S.y)如果解得是一个方程组，而且采用了形如[a,b]=solve(a+b=1, 2a-b=4ab) 的格式，那么，在MATLAB R2014a 中没问题，可以保证输出的a ，b 就等于相应的解，但是在R2012b 等早先版本中不能保证输出的顺序就是你声明变量时的顺序。

所以最好采用g=solve(a+b=1, 2a-b=4ab)这种单输出格式，这样输出的是一个结构体，g.a 和g.b 就是对应的解。

S =[ 4/3, -1/3]一、 微分方程的解析解格式：dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)记号: 在表达微分方程时，用字母D 表示求微分，D2y 、D3y 等表示求高阶微分. 任何D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省，默认自变量是t 例如，微分方程022=dxy d 应表达为：D2y=0.例1：求解微分方程22x xe xy dxdy-=+，并加以验证． 求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') %line2 diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2) %line3simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4 说明：(1) 行line1是用命令定义x,y 为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1) (4) 行line4 用 simplify() （simple()）函数对上式进行化简，结果为 0，表明)(x y y =的确是微分方程的解．例2：先求微分方程0'=-+x e y xy 的通解，再求在初始条件e y 2)1(=下的特解，并画出特解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x yy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0', 'x') 结果y =(exp(x)+C1)/x 求特解两个方法1.y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)', 'x') 结果y =(exp(x)+exp(1))/x2.C1= solve('2*exp(1)=exp(1)+C1','C1') 结果C1 =exp(1) y =(exp(x)+exp(-x^2) 结果(exp(x)+exp(1))/xezplot(y)例3：求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++035y x dt dy e y x dtdx t在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y ta=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t');x=a.x y=a.y simple(x); simple(y);ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto %坐标刻度选默认值例4先求微分方程的通解，再求微分方程的特解.⎪⎩⎪⎨⎧===++15)0(',0)0(029422y y y dxdydx y d 程序是：dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') ans =(3*sin(5*x))/exp(2*x)例5求微分方程组的通解.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=z y x dtdz zy x dtdyz y x dt dx244354332 程序是：A=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z','t'); >> x=A.x y=A.y z=A.z。