微分方程模型1基础知识
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1 常微分方程的基本知识
定义: 联系自变量、 未知函数及未知函数导数 （ 或微 定义 : 联系自变量 、 未知函数及 未知函数导数（ 未知函数导数 的关系式称为微分方程. 分）的关系式称为微分方程 例1：下列关系式都是微分方程
dy (1) = 2x ; dx
2 3
(2) xdy − ydx = 0 ;
d 4x d 2x d x dx + 5 2 + 3 x = sin t ; (3) + tx + x = 0 ; (4) 4 dt dt dt 2 dt
一般要求解出最高阶导数： 一般要求解出最高阶导数：
dny dy dny = f x, y , , L , n n dx dx dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 19
通过引入n-1个新的未知变量，可以把n阶微分方程 个新的未知变量，可以把 阶微分方程 通过引入 个新的未知变量 化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组 个由一阶微分方程组成的微分方程组： 化为 个由一阶微分方程组成的微分方程组： dyn −1 d n y dy1 dy2 d 2 y y1 = y, y2 = , y3 = = 2 , L , yn = = n dx dx dx dx dx
u
u
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
7
例3 R-L-C电路 电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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南京航空航天大学 理学院 数学系
dy (1) = 2x ; dx
2 3
(2) xdy − ydx = 0 ;
d 4x d 2x d x dx + 5 2 + 3 x = sin t ; (3) + tx + x = 0 ; (4) 4 dt dt dt 2 dt
一般要求解出最高阶导数： 一般要求解出最高阶导数：
dny dy dny = f x, y , , L , n n dx dx dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 19
通过引入n-1个新的未知变量，可以把n阶微分方程 个新的未知变量，可以把 阶微分方程 通过引入 个新的未知变量 化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组 个由一阶微分方程组成的微分方程组： 化为 个由一阶微分方程组成的微分方程组： dyn −1 d n y dy1 dy2 d 2 y y1 = y, y2 = , y3 = = 2 , L , yn = = n dx dx dx dx dx
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7
例3 R-L-C电路 电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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南京航空航天大学 理学院 数学系
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程根本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道，n阶常微分方程y n fx,y',y'', ,y n1，〕在变换yy,yy',L,ynyn112〕之下，等价于下面的一阶微分方程组dy1f1x,y1,y2,L,yn,dxdy2f2x,y1,y2,L,y n,dxMMMMdy nf n x,y1,y2,L,y n.dx〔〕在第三章中，已经介绍过方程组〔〕通解的概念和求法。
但是除了常系数线性方程组外，求一般的〔〕的解是极其困难的。
然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合〞法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合〞法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分〞的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组〔〕的问题。
先看几个例子。
例1求解微分方程组--WORD格式--可编辑--dx yxx2y21,dy xyx2y2 1.dt dt〔〕解：将第一式的两端同乘x，第二式的两端同乘y，然后相加，得到x dx y dy x2y2x2y21，dt dt1dx2y2x2y2x2y21dt。
2这个微分方程关于变量t和x2y2是可以别离，因此不难求得其解为x2y21e2t C1，x2y2〔〕C1为积分常数。
〔〕叫做〔〕的首次积分。
注意首次积分〔〕的左端V x,y,t作为x，y，和t的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当xx(t),y y(t)时微分方程组〔〕的解时，Vx,y,t才等于常数C1，这里的常数C1应随解而异。
因为式〔〕是一个二阶方程组，一个首次积分〔〕缺乏以确定它的解。
为了确定〔〕的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y，第二式两端同乘x，然后用第一式减去第二式，得到y dx x dy x2y2，dt dt即x dy y dx x2y2，dt dt亦即d arctan yx。
1初识微分方程建模
三、举例
例3 将室内一支读数为60°的温度计放到室外，10min后 温度计的读数为70°，又过了10min，读数为76°，利用牛顿 冷却定律计算室外温度。 牛顿冷却定律:将温度为T的物体放入处于常温m的介质中 T的变化速率正比与T与周围介质的温度差。 解:由牛顿冷却定律可知：dT/dt与T-m成比例 即 方程的解为： 结合给定的三个条件 计算出A,K,m
y = 0.0624 y0
时的t
将y代入上式解得t=22400yr
三、举例
习题 结合例5，计算C14的半衰期是多少？ （数量衰减到一半的时间） 解 由例5可知
y0 / 2 = y0 e − t / 8000
ln 0.5 = −t / 8000, t ≈ 5600 yr
三、举例
例6 一只装满水的圆柱型桶，底面半径为10ft，高为20ft 底部有一个直径为1ft的孔，问桶流空要多少时间？ 对孔的流速加一个假设：假设时刻t的流速依赖与此刻桶内 水的高度h(t),显然装满水时要比快流空时要快，进一步的假设 无能量损失，那么当少量水流出时，顶部减少的势能须等于 等量的水流出小孔时的动能。即 mgh=1/2mv2， 则可得： v=(2gh)1/2 这是物理中的托利拆里定律，模型这样假设看起来过于简单 但至少速度依赖与高度看来是合理的，接下来进行数学上的分析 解：随着水从小孔流出，桶内水的体积不断的减少， 设A为桶的水平面积，B为孔的水平面积。 则在任意时间间隔dt内，-Adh=Bds,ds为孔dt时间内水流的距离 问题是t=？时h=0。所以要求出h(t)。此时可通过上面的方程求出
四、习题
7、污染物质的含量为2g/L的水以500L/min的速度流过处理 箱。在箱内每分钟处理掉2%的污染物，且水被彻底摇匀。 处理箱可容纳10000L的水，在处理场开张时，箱内装满 纯净水，求流出的水中污染物浓度的函数？ 解 设p(t)=箱内污染物的数量 dp/dt=流入-流出=(2g/L)(500L/min) -(p(t)g/10000L)(500L/min) -0.02p(t)g/min 解得dp/dt=1000-0.07p及p=(10000/7)(1-ce-0.07t) 由t=0时，p=0，得c=1
一阶常微分方程-高阶常微分方程-方程组-差分方程-偏微分方程模型
计可以通过
dN / dt r sN , s r
N
进行线性拟合。其中
Nm
dN / dt N / t
。而
模型的检验也可以通过这两个参数的估计
量与一个实际的人口数量之间进行比较加
以检验。
（5） 阻滞增长模型不仅能够大体上描述人 口及许多物种的变化规律，而且在社会经
济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的 销售量也可以用此模型来描述。
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广,是 人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企 业采用了一项新技术,那么行业中的其他企 业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素 将影响到技术的推广？下面我们在适当的 条件下讨论此问题。
记p(t)为t 时刻采用该技术的企业数。并
设 p(t)连续可微。假设未采用该技术者之所 以决定采用该技术，是因为其已知有的企 业采用了该技术并具有成效。即是以“眼 见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应” 在起作用。
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N (t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
在式 (1) 中，设
A A0ert ( A0 , r 0)
即自发支出有一个常数增长率r ，则式 (2) 的
解为
Y (t)
(
A0
r)
e t
Y0
(
A0
r)
e
t
由此可见：
(1)当
r
一阶微分方程及其建模方法课件
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
3、一阶线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类2:
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
分类3: 线性与非线性微分方程.
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
例2
求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
. xy
解
dy dx
2y2 x2 xy
xy y2
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
03-1第三章-第1-8节-微分方程模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(5 13)
将(5-10)和( pr 2
ur
(5 14)
最终f 把 (54-1pA4r2)2m和r(05-6)代r0入(rr5-4)式得 (5 15) r 这里 0 是单位向径，指示向径方向。
(5-15)式表白： (1)行星运动时受旳力旳方向与它旳向径方向
相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹旳水平和 铅垂方向旳坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
mx(t) F cos
my(t) F sin mg
(2 3)
式中m为铅球旳质量，F是对铅球旳推力， 为力旳
方向既铅球旳出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
22
§4 追踪问题旳数学模型
问题：我辑私舰雷达发觉距d海里处有一艘走私船正
以匀速 a沿直线行驶，辑私舰立即以最大旳速度 （匀v速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰旳瞬时
速度方向一直指向走私船，试求辑私舰旳运动轨迹 及追上旳时间。
(留作自学)
23
§5 万有引力定律旳发觉
历史背景： 开普勒三定律： １、各颗行星分别在不同旳椭圆轨道上绕太 阳运营，太阳位于这些椭圆旳一种焦点上。 ２、每颗行星运营过程中单位时间内太 阳—行星向径扫过旳面积是常数。 ３、各颗行星运营周期旳平方与其椭圆轨道 长半轴旳3次方成正比。
14
x
v2 g
cos
sin
(
v2 g2
sin 2
2h
)
1 2
g
v
cos
v
(
F m
2 2
g2
2F m
g sin )t0
第十二章 微分方程一、二、三节
含有未知函数的导数（或微分）的关系式。
3
常微分方程的发展历史
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着 进一步发展的活力，其主要原因是它扎根于各种实 际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究天体问题，其中需 要求解的运动方程是常微分方程。他以非凡的积分 技巧解决了它，从而在理论上证实了地球绕太阳的 运动轨道是一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁 于太阳的一种悲观论点。另外，莱布尼兹也经常与 牛顿在通信中互相提出求解微分方程的挑战。
12
s 9.8 s(0) h, s(0) 0 2 (6) 的通解为 s( t ) 4.9t c1t c2 s( 0) h c 2 h ,
s(0) 0 9.8t c1 t 0 0 c1 0 .
( 6) (7)
5
尤其是地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、 弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控 制的设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预 测等等, 微分方程为之提供了关键技术支撑。反 过来这些高新技术也推动了微分方程理论走向纵 深, 从过去对平衡点、周期轨道等的定性研究到 今天对非局部分岔、高余维分岔的分析判定, 微 分方程在理论和方法上正经历着一个新的跨越。
x2ddxy?应满足条件应满足条件此外函数此外函数xxyyy?y1微分方程1721??xxy积分得x式两边关于1将cxxxy????32d223得代入将21?c故所求的曲线方程为12??xy初始条件通解特解积分曲线解的几何意义常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线
第十二章 微分方程
已知 y f ( x ) , 求 y — 积分问题
的切线的斜率为 2 x，求此曲线 L 的方程.
设曲线的方程为 y y( x)，则有 dy (1) 2 x. dx 此外，函数y y(x) 应满足条件
1 常微分方程的基本知识
常微分方程
常微分方程的基本知识 线性微分方程组理论 高阶线性微分方程
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 1
一. 什么是微分方程？
方 程： 含有未知量的等式. 未知量是数. 代数方程 超越方程： 函数方程： 微分方程:
含有自变量,未知函数及其导数的等式。
未知量是函数.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
dy dny 则称y (x) 为方程 F(x, y, , , n ) 0 dx dx 在I上的一个(显式)解.
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 13
例： 验证y sinx, y cosx都是微分方程
y y 0在(,)上的一个解.
2
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程。
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
3
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
20
定解条件
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件. 求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件,相应的定解问题称 为初值问题。
过定点且在定点的切线 y f ( x, y, y) 二阶: ( x x y01) 的斜率为定值的积分曲线. y x x0 y0 , y 0
常微分方程的基本知识 线性微分方程组理论 高阶线性微分方程
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 1
一. 什么是微分方程？
方 程： 含有未知量的等式. 未知量是数. 代数方程 超越方程： 函数方程： 微分方程:
含有自变量,未知函数及其导数的等式。
未知量是函数.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
dy dny 则称y (x) 为方程 F(x, y, , , n ) 0 dx dx 在I上的一个(显式)解.
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 13
例： 验证y sinx, y cosx都是微分方程
y y 0在(,)上的一个解.
2
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程。
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
3
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
2007年8月
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20
定解条件
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件. 求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件,相应的定解问题称 为初值问题。
过定点且在定点的切线 y f ( x, y, y) 二阶: ( x x y01) 的斜率为定值的积分曲线. y x x0 y0 , y 0
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解：当电路中电流为 时，在R上的电压降为 在电感上的电压降为 由Kirchhoff回路电压定律知： 沿着任一闭合回路的电压降的代数和为零。 我们得到电流 所满足的微分方程为：
取开关闭合时刻为0，则 故当开关闭合后，电路中的电流强度为：
(2) 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。
x(0) 38.37 / s x(t) 29.78/ s
代入
t T ln x(0) ln 2 x(t)
得
t 5568 ln 38.37 2036 年
ln 2 29.78
这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前的西汉时代。
任何生物体内都含有一定量的碳14。当生物活着的时候， 它不断和外界进行物质交换，所以生物体内碳14的含量和自然 界中碳14的含量是相平衡的。可是，一旦生物死亡，就不再与 外界进行物质交换，他们体内的碳14就不断减少，并且得不到 任何补充。由于碳14是放射性碳，它的半衰期为5730年，所以 每过5730年放射性碳原子数目就减少一半。自然界没有任何力 量可以使这个过程减慢或加快，于是测定它在有机体残骸中的 含量，就可以准确地确定生物体死亡的年龄。美国化学家李比， 根据碳14的这一特性，创立了一种崭新的化学分析法——放射 性碳14断代法。由于这种方法应用广泛，准确无误，具有重大 的科学价值，因此，他于1960年获得了诺贝尔化学奖。
1
ln
N0 N
T 1 ln 2
T 5568 年 镭-226
T 1600 年
铀-238 T 45亿年 铅-210 T 22年
, N (t) 能测出或算出，只要知道 N0 就可算出
断代。 这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法。
--理学院--
油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应 用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更 少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金 属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处 于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝 大多数来源被切断，因而要迅速衰变，直到Pb210 与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的衰变 正好等于镭衰变所补足的为止。
建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理 或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系
式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对 函数及其导数应用规律。
理学院
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现 象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的 现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后 从数学上求解或分析所建方程及其解的性质， 再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、 模拟某些实际现象。
--理学院--
设在时刻t（年），生物体中C14的存量为x(t),
生物体的死亡时间记为t0=0,此时C14含量为x0, 由假设，初值问题的数学模型为：
dx x
dt x(0) x0
解为
规律： 裂变速率与剩余量成正比。 已知：λc14=1/8000
x(t) x0et
--理学院--
t
x x0 e 8000
--理学院--
T 45亿年 铀238
镭226
（无放射性）
铅206 钋210
T 1600 年 铅210
T 138天 T 22年
--理学院--
解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x(t)
考虑
内湖泊中盐酸的变化。
因此有 该方程有积分因子
两边同乘以
后,整理得
积分得 利用初始条件得
（3） （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的
微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。
从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，
根据牛顿第二定律可得： mx'' (t) F, x(t) l , ml&& mg sin
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到 直接关系，就得求解微分方程。
微分方程的实质： 实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过
程，是一个动态模型。 作用：
1、分析它的变化规律； 2、预测它的未来形态； 3、研究它的控制手段。 与统计方法的区别： 机理；事件发生的数量统计规律
近似方程
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
其中
g l
当 t T 时,θ(t)=0
4
故有 g T
l4 2
由此即可得出
T 2 g
l
l
M P
Q
mg
图3-1
例1 流水问题
一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，
由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从
小孔流出的速度为
v 2，g求h 在任一时
当x 0.0624 x0时
求得 t 8000 ln 0.0624 22400 yr 此即所求死亡年数。
1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主 要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量约为大气中的 0.7757倍，采用该方法计算得该墓距离今天有2130年左右。 通过历史文献考证，该古墓的年代为西汉早期，约在2100年 前，两者符合得很好。
＝ 1 ln2
T
可得：
ln 2t
x(t) x0e T
即：
t T ln x0 ln 2 x(t)
由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把上式作如下修改.
x(t) x0et x(t) x(0) x(0) x0
--理学院--
x(0) x0 x(t) x(t)
将上式代入，可得：
t T ln x(0) ln 2 x(t)
这样由上式可知，只要知道生物体在死亡时体 内C14的衰变速度 x(0)和现在时刻t的衰变速度 x(t),就 可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都 假定现代生物体中C14的衰变常数与生物体死亡时代 生物体中C14的衰变常数相同。
--理学院--
马王堆一号墓年代确定的第二种方法
马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的 木炭标本的C14平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木 头烧成的木炭中C14平均原子蜕变数为38.37/s,又知C14 的半衰期为5568年，这样，我们可以把
h H B 2gt
2A
h H B
2
2gt
2A
水面高度与时间的函数关系
h H B
2
2gt
2A
水流空所需时间为（令 h=0 ）
t A 2H Bg
-理学院--
例2：古尸年代鉴定问题 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德
特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳
14年代测定，分析表明， c14 与 c12 的比例仅仅是活
从而得出两阶微分方程：
这是理想单摆应 满足的运动方程
&&
g l
sin
0
&(0) 0, (0) 0
（3.1）
（3.1）是一个两阶非线性方程，不
易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可
考察（3.1）的近似线性方程：
l
M P
Q
mg
图3-1
&&
g l
0
（3.2）
（3.1）的 &(0) 0, (0) 0
思考：如何求半衰期？ 1 ln 2
x(t) x0e kt
由λc14=1/8000 可得碳14的半衰期为 5568年
--理学院--
思考：假设已知C14的半衰期，不知道物质中C14的数量，可 以测出单位时间衰变放射出的C14分子数，如何确定生物体 的年龄？
由：x(t ) x0et
刻的水面高度和将水放空所需的时间。
第一步列方程
设时刻 t 的水面高度为 h t t 时的水面高度为 h h h
等量关系：
A
水面1 水面2
h h B
t 时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从 小孔流出的水量。
Ah Bs
s是水在 t 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。
Ah Bs
裂变速率与剩余量成正比。 λc14=1/8000
• C14是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大 气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有 放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧 化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作 为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动 植物体内。
• C14是放射性的，无论在空气中还是在生物体 内他都在不断衰变，这种衰变规律我们可以 求出来。通常假定其衰变速度与该时刻的存 余量成正比。
这样，伪造罪成立， Van meegren被判一年徒刑。 1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。
但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Van meegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都 不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆 大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。
--理学院--
例3 范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕 纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Van.Meegren曾 将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德 寇，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了此人。
取开关闭合时刻为0，则 故当开关闭合后，电路中的电流强度为：
(2) 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。
x(0) 38.37 / s x(t) 29.78/ s
代入
t T ln x(0) ln 2 x(t)
得
t 5568 ln 38.37 2036 年
ln 2 29.78
这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前的西汉时代。
任何生物体内都含有一定量的碳14。当生物活着的时候， 它不断和外界进行物质交换，所以生物体内碳14的含量和自然 界中碳14的含量是相平衡的。可是，一旦生物死亡，就不再与 外界进行物质交换，他们体内的碳14就不断减少，并且得不到 任何补充。由于碳14是放射性碳，它的半衰期为5730年，所以 每过5730年放射性碳原子数目就减少一半。自然界没有任何力 量可以使这个过程减慢或加快，于是测定它在有机体残骸中的 含量，就可以准确地确定生物体死亡的年龄。美国化学家李比， 根据碳14的这一特性，创立了一种崭新的化学分析法——放射 性碳14断代法。由于这种方法应用广泛，准确无误，具有重大 的科学价值，因此，他于1960年获得了诺贝尔化学奖。
1
ln
N0 N
T 1 ln 2
T 5568 年 镭-226
T 1600 年
铀-238 T 45亿年 铅-210 T 22年
, N (t) 能测出或算出，只要知道 N0 就可算出
断代。 这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法。
--理学院--
油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应 用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更 少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金 属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处 于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝 大多数来源被切断，因而要迅速衰变，直到Pb210 与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的衰变 正好等于镭衰变所补足的为止。
建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理 或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系
式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对 函数及其导数应用规律。
理学院
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现 象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的 现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后 从数学上求解或分析所建方程及其解的性质， 再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、 模拟某些实际现象。
--理学院--
设在时刻t（年），生物体中C14的存量为x(t),
生物体的死亡时间记为t0=0,此时C14含量为x0, 由假设，初值问题的数学模型为：
dx x
dt x(0) x0
解为
规律： 裂变速率与剩余量成正比。 已知：λc14=1/8000
x(t) x0et
--理学院--
t
x x0 e 8000
--理学院--
T 45亿年 铀238
镭226
（无放射性）
铅206 钋210
T 1600 年 铅210
T 138天 T 22年
--理学院--
解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x(t)
考虑
内湖泊中盐酸的变化。
因此有 该方程有积分因子
两边同乘以
后,整理得
积分得 利用初始条件得
（3） （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的
微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。
从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，
根据牛顿第二定律可得： mx'' (t) F, x(t) l , ml&& mg sin
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到 直接关系，就得求解微分方程。
微分方程的实质： 实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过
程，是一个动态模型。 作用：
1、分析它的变化规律； 2、预测它的未来形态； 3、研究它的控制手段。 与统计方法的区别： 机理；事件发生的数量统计规律
近似方程
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
其中
g l
当 t T 时,θ(t)=0
4
故有 g T
l4 2
由此即可得出
T 2 g
l
l
M P
Q
mg
图3-1
例1 流水问题
一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，
由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从
小孔流出的速度为
v 2，g求h 在任一时
当x 0.0624 x0时
求得 t 8000 ln 0.0624 22400 yr 此即所求死亡年数。
1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主 要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量约为大气中的 0.7757倍，采用该方法计算得该墓距离今天有2130年左右。 通过历史文献考证，该古墓的年代为西汉早期，约在2100年 前，两者符合得很好。
＝ 1 ln2
T
可得：
ln 2t
x(t) x0e T
即：
t T ln x0 ln 2 x(t)
由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把上式作如下修改.
x(t) x0et x(t) x(0) x(0) x0
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x(0) x0 x(t) x(t)
将上式代入，可得：
t T ln x(0) ln 2 x(t)
这样由上式可知，只要知道生物体在死亡时体 内C14的衰变速度 x(0)和现在时刻t的衰变速度 x(t),就 可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都 假定现代生物体中C14的衰变常数与生物体死亡时代 生物体中C14的衰变常数相同。
--理学院--
马王堆一号墓年代确定的第二种方法
马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的 木炭标本的C14平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木 头烧成的木炭中C14平均原子蜕变数为38.37/s,又知C14 的半衰期为5568年，这样，我们可以把
h H B 2gt
2A
h H B
2
2gt
2A
水面高度与时间的函数关系
h H B
2
2gt
2A
水流空所需时间为（令 h=0 ）
t A 2H Bg
-理学院--
例2：古尸年代鉴定问题 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德
特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳
14年代测定，分析表明， c14 与 c12 的比例仅仅是活
从而得出两阶微分方程：
这是理想单摆应 满足的运动方程
&&
g l
sin
0
&(0) 0, (0) 0
（3.1）
（3.1）是一个两阶非线性方程，不
易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可
考察（3.1）的近似线性方程：
l
M P
Q
mg
图3-1
&&
g l
0
（3.2）
（3.1）的 &(0) 0, (0) 0
思考：如何求半衰期？ 1 ln 2
x(t) x0e kt
由λc14=1/8000 可得碳14的半衰期为 5568年
--理学院--
思考：假设已知C14的半衰期，不知道物质中C14的数量，可 以测出单位时间衰变放射出的C14分子数，如何确定生物体 的年龄？
由：x(t ) x0et
刻的水面高度和将水放空所需的时间。
第一步列方程
设时刻 t 的水面高度为 h t t 时的水面高度为 h h h
等量关系：
A
水面1 水面2
h h B
t 时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从 小孔流出的水量。
Ah Bs
s是水在 t 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。
Ah Bs
裂变速率与剩余量成正比。 λc14=1/8000
• C14是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大 气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有 放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧 化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作 为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动 植物体内。
• C14是放射性的，无论在空气中还是在生物体 内他都在不断衰变，这种衰变规律我们可以 求出来。通常假定其衰变速度与该时刻的存 余量成正比。
这样，伪造罪成立， Van meegren被判一年徒刑。 1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。
但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Van meegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都 不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆 大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。
--理学院--
例3 范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕 纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Van.Meegren曾 将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德 寇，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了此人。