建立方程定解条件
第三章-调和方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
常会遇到某些无界区域旳问题。例如：要拟定一种热源物体外部旳稳定温
度场。这种情况下，需要在闭曲面Г旳外部寻找满足边界条件旳调和函数。
为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和诺依曼内问
题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。
4
a
(u
n
() r
r
)dS n
这里，在球面上
1 r
a
1; a
(1) n r
a
1 a2
数学物理方程
§2-2 平均值定理
第三章 调和方程
1
1 1 u
u(M0 )
4
a
(u
n
( r
)
r
)dS n
1 4
{
a
1
2
a
udS
1 a
u
为零
a n
dS
1 udS
4a2 a
数学物理方程
第三章 调和方程
u
n
ds
(
x
x
y
y
z
)d z
3.5
数学物理方程
第三章 调和方程
§2-1 格林（Green）公式
假如作 P v u , Q v u , R v u 代换，那么格林第一公式写为：
x
y
z
vud
v
u n
ds
(
u x
v x
u y
v y
u z
v z
)d
3.6
把(3.5)和(3.6)相减，我们得到格林第二公式
数学物理方程
第三章 调和方程
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
温 度 分 布 满 足2u F f k
特 别 ， 如 果 f0,则2u 0
位 势 (Poisson)方 程 Laplace 方程
☆ 三种典型的数学物理方程
方程类型 方程形式
典型例子
弦振动方程
2u t 2
a2
2u x2
波动方程
2u t 2
a22u
膜的横振动方程
2u t 2
a2
(
2u x2
2u y2
我 们 就 称 其 为 齐 次 边 界 条 件 ， 反 之 ， 称 非 齐 次 的 。
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。
(1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；
其中： u (x x d x ,t) u (x x ,t) x u (x x ,t) d x 2 u ( x x 2 ,t)d x
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu2(x,t)
2u(x,t)
g
x2
t2
令： a 2 T
运动时，弦上各点的运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀的，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴的方向运动；
(3)热交换状态
(或u f) ns
第二类边界条件
建立方程、定解条件
J (u ) min J (v). （1） vV
0
v u w, 其中 为任一实数。显然有 v V0，且
2 2 1 J (v) (u w) x (u w) y f (u w) dxdy. 2
0
（ 2）
由此可知 u f 0. 事实上，若 u f 在 中某点
x0 , y0 不等于0，不失一般性，设 u f x0 , y0 0 ， 则由 u f 的连续性知，必存在 x0 , y0 的一个邻域， 在此邻域内 u f 0 成立。这样， w 取为在 x0 , y0 点
2 1
2 2 1 J (u ) ux u y fu dxdy, 2
J (u ) min J (v). （1） vV
其位势函数（相差一个常 数下唯一）
r'
r
r r ' x x0 , y y0 , z z0
r
M ( x, y , z ) r
与引力场函数存在关系
x x0 y y0 z z0
2 2
2
F .
单位质点
2 2 dxdy J (u ) w w x y 2 u x wx u y wy fw dxdy.
2 2 1 J (u ) ux u y fu dxdy, 2
3 ( x , y , z ) 0 in R / . ( x , y , z ) 4 in ; *引力位势
( x, y, z ) ( , , )
二阶 线性偏微分方程的定解条件
1在具体的研究中，要考查对象所处的环境和历史，则环境条件历史就是就是边界条件，历史就是初始条件。
一、初始条件(关于时间)对于随时间而发展变化的问题，必须考虑以前的一些状态，先前某个时刻的运动状态，即初始条件例：对于扩散、热传导问题，初始状态指的是研究的物理量U的初始分布：),,(),,,(0z y x t z y x u t ϕ==对于振动过程，不能仅仅给出初始位移：,,,,,z x t z x u ==)()(0y y t ϕ还必须有速度：),,(),,,(0z y x t z y x u t t ψ==2方程是二阶微分方程需要两个初始条件初始条件的个数跟方程是二阶微分方程，需要两个初始条件。
初始条件的个数跟方程的阶数相对应。
初始条件给出的是整体的状态，而不是某个点的状态！y例：长为l 的两端固定的弦，中点然后放手振动初始X 0l/2h 拉开距离h ，然后放手振动，初始时刻就是放手的瞬间，则初始速度x X=0x=l/2显然为零0),(0==t t t x u 状态，而不是中点一个点！初始位移应该是整个弦的位移状态，而不是中点个点⎧==)/2(,x l h t x u ]2/,0[l x ∈ht x u t ==0),(⎩⎨−))(/2()(0x l l h t ],2/[l l x ∈3如果没有初始条件，即在输运过程中，只由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运。
随着时间的进行，输运过程逐渐自由输运随着时间的进行输运过程逐渐弱化，消失。
在振动过程中，只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫在振动过程中只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫自由振动经历足够长时间后，初始条件引起的自由运输或者自由振动衰减到可以认为消失，而系统的输运或者振动仅仅由于周期性外源或外力引起的，此时，我们可以忽略初始条件！性外源或外力引起的此时我们可以忽略初始条件！另外，在稳定场问题中（静电场、稳定浓度分布、稳定另外，在稳定场问题中（静电场稳定浓度分布稳定温度分布、无旋稳恒电流场、无旋稳恒流动），物理量恒定，所以根本就没有初始条件问题!4二、边界条件（关于空间边界）周围环境的影响体现为边界上的物理状况周围环境的影响体现为边界上的物理状况－－边界条件线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件：直接给出边界上所研究物理量的数值。
微分方程解的概念和定解条件
微分方程解的概念和定解条件(),y x I n ϕ=设函数在区间上有阶连微分方程的解续导数I 如果在区间上，()()(,,,,)0n x F x y y y I ϕ'= 则称函数是微分方程在区间上的解.0'≡()(,(),(),,()) n F x x x x ϕϕϕ，()(,,,,)0n F x y y y '= 将其代入微分方程中，这样的解称作微分方程若微分方程的解中含有任意微分常数方程的通解，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，的通解.6.y x ''=二阶微分方程例131y x C =+显然是方程的解,但是不是（1）通解呢？312y x C C =++那是不（2）是通解呢？312y x C C =++3123y x C x C =++（）312.x C C C C =+=+，其中是方程的通解.微分方程的通解不一定是该方程注：的全部解.2.yy xy '=例一阶微分方程20y y ≠方程等式两边解时，同除以当得2y x C =+同时不定积分得 ，是原方程的通解.2y x '=，0y =但显然 也是原方程的解.确定微分方程通解中任意常数值的定解条件或初条件称为始条件.不含有任何任意常数的解称为微分微方分方程的特解程的特解.000,.a t s v v ===设质点以匀加速度作直线运动，且时，例3().s t s s t =求质点的运动位移与时间的关系由二阶导数的解物理意义知202(0)0,(0).d s a s s v dt '=== ，且2121()2s t at C t C =++解得通解为 将定解条件带入：2(0)00s C =⇒=1010()(0).s t at C s v C v ''=+=⇒= ，201().2s t at v t =+故特解为2(60()4)y x y x x y x x ''=→函数是方程的解，且当时 ，是例的通过两次不定积分解可得方程通解为312y x C x C =++().y x 高阶无穷小量，求的表达式31220lim 0.x x C x C x→++=由题意，20,C =故3211200lim lim 0.x x x C x x C x x →→++==故10,C =故3.y x =从而21220(0,53)x x y y y y C e C e -'''+-==+方程的通解为，若例是解由题意(0)3(0)0y y ''==，()().y x y x 的拐点 ，求的表达式123,C C +=即 124, 1.C C ==-解得 24.x x y e e -=-从而1240.C C +=总结本讲主要介绍了微分方程通解的概念和常见的定解条件的形式.。
微分方程的定解条件与特殊解法
定义：在定解区 间的闭区间端点 上，微分方程的 解必须满足一定 的连续性条件。
类型：对于一阶 微分方程，连续 性条件包括自然 边界条件、周期 边界条件等。
作用：连续性条 件是保证微分方 程解的连续性和 物理意义的重要 条件。
应用：在解决实 际问题时，需要 根据具体问题的 性质和要求，选 择适当的连续性 条件。
PART THREE
定义：欧拉方法是微分方程数值解法的一种，通过离散化微分方程，用差分代替微分，得到离 散化的数值解。
原理：利用已知的初值条件，逐步推算出微分方程的解在各个离散点上的近似值。
步骤：先确定初始值，然后按照一定的步长逐步计算出各个离散点上的近似解。
优缺点：欧拉方法简单易懂，易于实现，但精度较低，稳定性较差。
描述生物系统的动态行为
生理学和病理学中的数学模型
添加标题
添加标题
药物设计和药物动力学
添加标题
添加标题
医学影像和信号处理
汇报人：XX
优点：计算简单、易于编程实现、精度可控等。
PART FOUR
力学：描述物体运动规律，如万有引力定律、牛顿第二定律等。 电磁学：解释电磁场的变化规律，如麦克斯韦方程组等。 热学：研究热量传递规律，如热传导方程等。 波动：描述波动现象，如波动方程等。
航空航天：飞行器设计和优化中的气动动力学方程求解 机械工程：机器人运动轨迹规划和控制算法的微分方程求解 化学工程：化学反应动力学模型和传递过程的动力学方程求解 交通工程：交通流理论和车辆动力学的微分方程求解
注意事项：需要满 足一定的条件才能 使用分离变量法
定义：通过引入新的变量来简化微分方程的形式，从而求解微分方程的方法。 适用范围：适用于形式较为复杂的微分方程，特别是难以直接求解的方程。 常用方法：常见的变量代换法包括三角代换、指数代换等。 实例：通过变量代换法，可以将一些复杂的微分方程转化为容易求解的形式。
1方程的导出、定解条件
二、定解条件
1.初始条件： （） 1 .已知初始条件： u t =0 = ϕ ( x ),0 ≤ x ≤ l , (2).已知初始速度： ut
2 .边界条件： 已知边界位移 （1） .第一类边界条件： ( u
x =0
t =0
= ψ (x ),0 ≤ x ≤ l ,
)
)
= g1 (t ), t ≥ 0, u
= g 2 (t ).
x=l
4、Cauchy问题（或初值问题） Cauchy问题（或初值问题） 问题 对于弦中某一段，如果在所考虑的时间内，弦端点的影响可忽略不计 时，可以认为弦长为无穷，此时问题化为
2 ∂ 2u 2 ∂ u = f ( x , t ), − ∞ < x < ∞ , t > 0, 2 −a ∂t ∂x 2 ∂u t = 0 : u = ϕ ( x ), = ψ ( x ), − ∞ < x < ∞ . ∂t
x + ∆x
ρ
∂u ( x, t ) dx. ∂t ∂ u (x , t + ∆ t ) dx . ∂t
∫
Байду номын сангаасx + ∆x
x
ρ
所以从时刻 t 到时刻 t + ∆ t ， 弦段 ( x , x + ∆ x )的动量增加量为
∫
∫
t + ∆t
x + ∆x
x
ρ
∂ u (x , t + ∆ t ) ∂ u (x , t ) − dx . ∂t ∂t
这一段的惯性离心力F=mω^2R 为
ρ dx ω 2 u ( x。t ) ,
ρ (l − x − dx) gux
建立方程、定解条件
所产生的面积的增量的乘积。即
应变能
T
T
1
v
2 x
v
2 y
1
dxdy
由于
1
1
1 2
o(Biblioteka )T 215
v
2 x
v
2 y
dxdy
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即：
应变能 T 2
(v
2 x
v
2 y
)dxdy
如果膜所受的垂直方向的外力有两个，一个为作用
在膜内的F ( x, y)（牛顿∕米 2），另一个是作用在膜的边
应用高斯公式，上式可改写为：
Edxdydz 4 dxdydz
G
G
7
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由区域G的任意性得： E 4
静电场方程
由于静电场是有势场，因而存在电势u， E u
从而静电场的电势u应当满足泊松方程
u 4
如果静电场的某一区域里没有电荷，即 = 0，则
静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程
取膜的平衡位置为 xoy平面上的区域, 以u轴垂直 于 xoy 平 面 , 并 与 x, y 轴 组 成 右 手 系 . 的 边 界
，在 上已知膜的位移为 , 在上膜受到外力
的作用, 设它的垂直于膜的线密度为 p( x, y).
13
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② 物理原理：从力学上讲，可以从不同角度来刻画
界上的 p( x, y)（牛顿∕米），在它们的作用下，膜上各
法国分析学家、概率论学家和物理 学家，法国科学院院士。
1784～1785年，他求得天体对其外 任一质点的引力分量可以用一个势函 数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即著名的 拉普拉斯方程。
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p(s)v(s)ds
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问题2的解答： 所有可能位移即表示这样一个函数集合：1o 满足
已知位移约束，即v ；2o 使总势能J (v)有意义。
界上的 p( x, y)（牛顿∕米），在它们的作用下，膜上各
点的位移为v( x, y)，则
外力作功 F ( x, y)v( x, y)dxdy p(s)v(s)ds
从而，当膜上各点的位移为v( x, y)时，总势能J (v)为
J(v)
T 2
(v
2 x
v
2 y
)dxdy
F ( x, y)v( x, y)dxdy
取膜的平衡位置为 xoy平面上的区域 ，以 u轴垂 直于 xoy平面，并与 x, y 轴组成右手系。在的边界 上， ，在 上已知膜的位移为，在上膜受到 外力的作用，设它的垂直于膜的分量为 p( x, y)。
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② 物理原理：从力学上讲，可以从不同角度来刻画
这个平衡状态。例如，力的平衡原理、虚功原理等。这
1.方程的导出
本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程）
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
(1.1)
以及泊松方程
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x, y, z)
(1.2)
的基本定解问题及解的性质。
方程(1.1)及(1.2)具有广泛的物理背景，振动趋于
平衡，热传导趋于稳定以及保守场都可归结为方程
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
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2.定解条件和定解问题
由于 u 与时间 无关，只是空间 变量的函数，所以 定解条件中只有边界条件，称为边值问题。本章主要 研究第一、二类边值问题及外问题。
(1) 第一边值问题（Dirichlet问题）
u | g （其中 g是在闭曲面 上给定的函数） (2) 第二边值问题（Neumann问题）
limu( x, y, z) 0 (r x2 y2 z2 )
r
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其它边界条件
(5) 第三类边界条件
u u g （其中n是 的单位外法向量）
n
(6) 等值面边界条件
u
待定常数C
（总流量边界条件）
u dS n
已知常数A
对于泊松方程 (1.2)的各种边值问题，只要找出泊松方程
变形所产生的面积的增量的乘积。即
应变能
T
T
1
v
2 x
v
2 y
1
dxdy
由于
1
1
1 2
o()
T 2
v
2 x
v
2 y
dxdy
上页
下页
返回
即：
应变能 T 2
(v
2 x
v
2 y
)dxdy
如果膜所受的垂直方向的外力有两个，一个为作用
在膜内的F ( x, y)（牛顿∕米 2），另一个是作用在膜的边
移”？
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问题 1 的解答： 按照弹性力学理论
总位能 ＝ 应变能 － 外力作功
处于某一位置的膜所具有的应变能就是把膜从水平
位置转移到这个位置，为了抵抗张力所作的功的总和。
从弹性力学理论知道：假设膜的形状为u v( x, y)，
则当 vx , v y 1时，膜的应变能可以表为张力与膜由于
大小为 M ，方向与 r2
PP0 同向。即
P(x, y,z)
F(
x,
y,
z)
M r2
x
r
x0
,
y
r
y0
,
z
r
z0
其中 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
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令 ( x, y, z) M r
经计算可得： F grad
称为引力位势。除了可以相差一个常数外，位势函
(1.1)或(1.2)
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定义 调和方程(1.1)的连续解，即，关于变量 x， y，z 具有二阶连续偏导数并且满足方程 (1.1)的连续函 数称为调和函数。
(1) 引力位势
P0 ( x0 , y0 , z0 )
F
位于 P0 处，质量为 M 的质点对于位于 P 处具有单位质量的质点的引力 F，
数是唯一确定的。
若质量以密度( x, y, z)分布在区域上，则 上的质 量所产生的总引力位势应为：
( x, y, z) (,,)
ddd
( x )2 ( y )2 (z )2
直接计算可得： 0 当( x, y, z) 时
还可进一步验证： －4 当( x, y, z) 时
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的一个特解，由叠加原理，就能化为调和方程 (1.1)的对应的
边值问题。由引力位势的方程可知，当 g 满足 Hölder 条件时，
这种特解是容易找到的。所以以后主要研究调和方程 (1.1)的
边值问题。
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3.变分原理
膜的平衡问题：
① 物理模型：考虑一处于紧张状态的薄膜，它的部 分边界固定在一框架上，另一部分边界上受到外力的作 用；若整个薄膜在垂直于平衡位置的外力作用下处于平 衡状态，问膜的形状如何？
u g （其中n是 的单位外法向量） n
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(3) Dirichlet外问题
u 0 ( x, y, z) 外部 u g
(4) Neumann外问题
u 0 ( x, y, z) 外部
u n
g
（其中n是 的单位内法向量）
注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在 无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：
里用最小总位能原理，即
受外力作用的弹性体，在满足已知边界位移约束的
一切可能位移中，以达到平衡状态的位移使物体的总位
能为最小。
③ 数学形式：为了对膜的平衡问题写出上述原理
的数学形式，我们必须弄清楚两个概念。
1、什么叫总位？ 2、什么叫“满足已知边界位移约束的一切可能位
从而静电场的电势u应当满足泊松方程
u 4
如果静电场的某一区域里没有电荷，即ρ=0，则 静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程
u 0
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(3) 稳定温度分布 热传导持续进行下去，如果达到平衡状态，温度
的空间分布不再变动，即ut 0。以ut 0代入三维热 传导方程，得到温度的稳定分布方程
(2) 静电场的电位势 从静电学知道，穿过闭合曲面 向外的电通量等
于闭合曲面 所围空间 G 中的电量的 4 倍，即
E ndS 4 dxdydz
G
应用高斯公式，上式可改写为：
Edxdydz 4 dxdydz
G
G
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由区域G的任意性得： E 4
静电场方程
由于静电场是无旋场，因而存在电势u， E u