数理方程课件 第一章典型方程与定解条件

数学物理方程定解问题的提法
泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）
定解问题：
定解条件（初始条件，边界条件）
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。 不受外力影响。 研究对象：u ( x, t ) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 y 牛顿运动定律： 横向： T cos T 'cos ' 其中：cos 1 cos ' 1 u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x T T '
u( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u (x , t ) 其中： dx x 2 dx x x x x u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) 忽略重力作用： T x 2 g dx t 2 dx 2 2 u u
2 H 1 2 H 2 H 2 H ( 2 2 2 ) ——磁场的三维波动方程 2 t x y z
2 E 1 2 同理可得： E 2 t
E H t H E t E 0 H 0
——电场的三维波动方程
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第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 所要研究的物理量： 温度 u ( x, y, z, t )
S
V
n
根据热学中的傅立叶试验定律
M
在dt时间内从dS流入V的热量为： 热场 u ˆ ˆ dQ k dSdt k u ndSdt ku dSdt n t ˆ dt 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 Q1 ku dS t S 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） t Q1 k 2udV dt
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发： D H Jc t B E t D v B 0 在自由空间： J 0, 0 c v D E B H
E H t H E t E 0 H 0
第1章 典型方程和定解条件的推导
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。
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第1章 典型方程和定解条件的推导
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
2u (x, t ) u( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx t 2 dx x x
M'
T'
纵向： T sin T 'sin ' gds ma
ds
'

T
M
gds
x x dx x
m ds 2 u ( x, t ) 其中： a t 2
ds dx
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
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第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
汤燕斌 华中科技大学数学与统计学院 tangyb@mail.hust.edu.cn
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第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的 ☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。 ☆ 课程的主要内容 三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数 波动方程 热传导 拉普拉斯方程
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第1章 典型方程和定解条件的推导
三类偏微分方程
2u ☆波动方程： a 2 2u t 2 琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等 u a 2 2u ☆热传导方程： t 热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
☆拉普拉斯方程：
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分离变量法
行波法 积分变换法 格林函数法
贝塞尔函数 勒让德函数
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第1章 典型方程和定解条件的推导
微积分知识回顾 哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
ˆ ˆ ˆ i j k x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
T u ( x, t ) u ( x, t ) T 令： 2 g a 2 2 x 2 t2
2 2
t
2
a2
x
2
--齐次方程
u 2 u a g 2 2 t x
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
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第1章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
不含初始条件，只含边界条件条件
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第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为： 第一类边界条件 或： u (a, t ) 0
divA A
2
rotA A
常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、 二阶线性方程 傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、 余弦级数
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2 2 2 拉普拉斯算子 2 2 2 x y z 2u 2u 2 平面上的拉普拉斯算子 u 2 2 x y
2 u 0 拉普拉斯方程
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第1章 典型方程和定解条件的推导
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上
第二类边界条件
u dQ k1 (u u1 )dSdt k dSdt k1 n k1交换系数；1周围介质的温度, u k u u u1 S 第三类边界条件 n S
C、拉普拉斯方程的边界条件
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到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
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第1章 典型方程和定解条件的推导
例4、静电场
确定所要研究的物理量：电势u 根据物理规律建立微分方程： u 对方程进行化简：
E
E /
E (u) u 2u /
2u / 泊松方程
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第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
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第1章 典型方程和定解条件的推导
常见数学物理方程的导出
•确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度 •根据物理规律建立微分方程 •通过合理的数学近似对方程进行化简
u | x a 0,
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Байду номын сангаас
第1章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件
(1) 给定温度在边界上的值 (S为给定区域v 的边界)
u |s f
(2) 绝热状态
第一类边界条件
(3)热交换状态 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
u 0 n s
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第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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弦振动的相关模拟
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弦振动的相关模拟
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2 1
S
2
t1
V
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t2 t1
流入的热量： Q1
k 2udV dt
V
流入的热量导致V内的温度发生变化
S
n
V u( x, y, z, t1 ) u( x, y, z, t 2 ) S 温度发生变化需要的热量为： 热场 Q2 c u ( x, y, z , t 2 ) u ( x, y, z , t1 )dV V t2 t 2 u u c dtdV t c dVdt t1 t 1 t V V t2 t2 u 2 Q1 Q2 t1 k udV dt t1 c t dVdt V V u k 2 u a 22u 热传导方程 t c 如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程 u a 2 2u f t
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 u T 0 u 0 ux (a, t ) 0 第二类边界条件 x x a x x a (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 u T k u xa 或 u u 0 第三类边界条件 x x a x xa
2u 0
空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
两种特殊函数
贝塞尔方程 x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0 的解：贝塞尔函数 J n (x) 勒让德方程 (1 x 2 ) y 2xy n(n 1) y 0的解：勒让德函数 Pn (x)
第1章 典型方程和定解条件的推导
弦振动的相关模拟
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第1章 典型方程和定解条件的推导
波的传播的相关模拟
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弦振动的相关模拟
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第1章 典型方程和定解条件的推导
对第一方程两边取旋度， 得： H ( E ) t 根据矢量运算： 2 H ( H ) H 2 H H 2 2 H ) 由此得： H ( t t t 2 即：
的约束情况的条件。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
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第1章 典型方程和定解条件的推导
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) u ( x) t t 0
系统各点的初位移 系统各点的初速度