第五章 数理方程的建立,定解条件,傅里叶级数和傅里叶变换(简介),代尔塔函数的简介

结果容易推广至 n 个解的情况。
因此方程（2）的解有迭加性质，这就是线性齐次方程线性迭加原理。
73
定解条件：
仅有方程还不足以确定物体的运动（具体物理过程的变化），因为物体
的运动还与起始状态以及通过边界所受到的外界作用有关（与常微分方程
类似），与物体所处的环境有关。例如所有自由粒子的运动均满足方程
d
70
如图，考虑物体中一个边长分别为
dx 、 dy 和 dz 的小长方体，使它的
六个面分别与三个坐标面平行。
dt 时 间 内 沿 x 方 向 通 过 面 元
ABCD 流 进 长 方 体 的 热 量 为 qx dydzdt ，
x
dt 时间内沿 x 方向通过面元 EFGH 流出长方体的热量为 qx dydzdt ，
∇2u = − f ( x, y, z) ，这种类型的方程就称为泊松方程。
a2
若 f (x, y, z) = 0 ，则又得： ∇2u = 0 ， 这种类型的方程就称为拉普拉斯方程。
静电场方程：若电荷密度为
ρ
，电场强度为
JK E
，介电常数为
ε
,
则由高斯定理可得：
w∫∫s
JK E
⋅
K ds
=
1 ε
∫v
ρ
推广至 n 个函数的情况。
相应于振动方程
Lˆ
=
∂2 ∂t 2
−
a2∇2
，
Lˆu
=
⎛ ⎜ ⎝
∂2 ∂t 2
−
a2∇2
⎞ ⎟u ⎠
=
∂2u ∂t 2
−
a2∇2u
；
相应于热传导方程
Lˆ
=
∂ ∂t
−
a2∇2
，
Lˆu
=
⎛ ⎜⎝
∂ ∂t
−
a2∇2
⎞ ⎟⎠
u
=
∂u ∂t
−
a2∇2u
；
相应于泊松方程 Lˆ = ∇2 ， Lˆu = ∇2u 。
所满足的方程。
设弦的质量密度为 ρ ，现在研究位于 x 到 x + dx 这一段弦的运动状况。这
段弦受两边的张力T1，T2 和外力 F ( x,t ) dx . 弦没有纵向（ x 方向）的运动，于
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是此段弦所受的纵向合力为 0 。
即：T2 cosα2 − T1 cosα1 = 0 （1）
此段弦的弧长 ds =
2.给定要求解的函数 u
在边界上的法向导数值 ∂u
2
K r
=
0
，但显然并不是每个自由粒子的运动都是一样的。在弦振动问题中，
dt 2
弦开始时的形状怎样（ t = 0 时弦上各点的横向位移怎样），开始时的状态是
静止还是已振动（ t = 0 时弦上各点的速度如何），这都是我们在确定弦的振
动时都必须了解的。
初始条件就是把体系在开始时（ t = 0 ）的情况表达清楚。
热传导方程的推导，主要是基于能量守恒定律和热传导的傅里叶定律。
设
u
(
x,
y,
z,
t
)
为物体的温度分布，傅里叶热传导定律表为：qK
=
−k∇u
，其中
K q
为
热流密度，其大小为单位时间内通过单位横截面积的热量，其方向沿温度
下降最快的方向， k 为热传导系数。傅里叶定律的分量表述为： qx = −kux ， q y = −kuy ， qz = −kuz 。
将（3），（4）代入（2），得：
( ) T ux x+dx − ux x + F ( x,t ) dx = ( ρdx)utt ，
T
ux
x+dx − ux dx
x
+
F
( x,t)
=
ρutt
，
即： Tuxx + F ( x,t ) = ρutt ，
utt = a2uxx + f (x,t) 弦的（一维）受迫振动方程，
要一个初始条件，即物体在 t = 0 时的温度分布， u ( x, y, z,t ) = ϕ ( x, y, z) 。 t =0
因为在弦振动方程中含有时间的二阶导数，所以在弦振动问题中需要两个
初始条件。一个是弦上各点的初始位移 u ( x,t) = ϕ ( x) ；另一个是弦上各点 t=0
的初始速度 ut ( x,t ) t=0 =ψ ( x) 。
dx2 + du2 = dx
1+
⎛ ⎜⎝
∂u ∂x
⎞2 ⎟⎠
。
小振动条件：弦的形变很小，即 du dx ， ∂u 1，
∂x
所以在小振动条件下，有 ds ≈ dx ，此段弦的质量为 ρdx ，而此段弦所受的横
向力（与 x 轴垂直的力）为T2 sinα2 − T1 sinα1 + F ( x,t ) dx 。
由于这些算符中仅含一阶或二阶偏导数算符的一次幂，它们是线性算符。
当 f ≠ 0 时,方程（1）称为非齐次方程。
当 f = 0 时，（1）成为 Lˆu ( x, y, z,t ) = 0 （2）称为齐次方程。
显然若 u1 、 u2 为方程（2）的解，令 u = c1u1 + c2u2 ，则
Lu = L (c1u1 + c2u2 ) = c1 Lu1 + c2 Lu2 = 0 ，所以 u = c1u1 + c2u2 也是方程（2）的解。
=
k cρ
，
f
( x,
y, z,t)
=
F
( x, y, z,t)
cρ
， ∇2
=
∂2 ∂x2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
。
若物体内没有热源，则 F ( x, y, z,t ) = 0 ，于是热传导方程就为 ut = a2∇2u 。
若物体可以看成一维的，如一条均匀的细长杆，此时的热传导方程就是
一维热传导方程
其中 a2 = T ， f ( x,t ) = F ( x,t ) 为单位质量所受的力。若无外力作用 F ( x,t ) = 0 ，
ρ
ρ
69
则得弦的自由振动方程： utt = a2uxx （一维自由振动方程）。
同样，若对作微振动的薄膜，考察 dxdy 这一微元的运动可得，
( ) 薄膜的（二维）受迫振动方程为： utt = a2 uxx + uyy + f ( x, y,t ) ； ( ) 薄膜的（二维）自由振动方程为： utt = a2 uxx + uyy 。
ut = a2uxx + f ( x,t ) （有热源） 或 ut = a2uxx （无热源）。
若用 u 代表物体内某种物质的浓度。则扩散方程与热传导方程是一样的。
（3）泊松方程和拉普拉斯方程
若温度达到了稳定分布，即温度分布不随时间变化， ut = 0 ，则由热传 导方程可得温度稳定分布满足的方程为
而在小振动情形下，有α1 ，α2 很小，于是有： cosα1 ≈ cosα2 = 1，代入（1）得 T1 = T2 = T 。 （3） 【弦上各点的张力一样】 sin α1 ≈ tan α1 = ux x ， sin α2 ≈ tan α2 = ux x+dx 。 （4）
（ tanα 为 ( x,u) 平面上曲线的切线的斜率）
三维受迫振动方程为： utt = a2∇2u + f ( x, y, z,t ) ；
三维自由振动方程为：
utt
= a2∇2u 。【 ∇2
=
∂2 ∂x2
+ ∂2 ∂y 2
+ ∂2 ∂z 2
，三维拉普拉斯算符】
⎧ ⎪ ⎪
∂2 ∂x2
，
一维拉普拉斯算符
若理解 ∇2
为 ∇2
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
∂2 ∂x2
+
∂2 ∂y 2
是固定的，则那里的位移总是为 0 。因而 u ( x,t ) = 0 ， u ( x,t ) = 0 。
x=0
x=l
若研究一根细杆的热传导情况，当杆的一端 x = l 处于温度为 u0 的恒温环境
中，也就是在 x = l 处，杆的温度 u 恒定为常数 u0 。即 u ( x,t ) ຫໍສະໝຸດ Baidu=l = u0 。
于是由牛顿第二定律，可得此段弦的横向运动方程为
T2
sin α2
− T1 sin α1
+
F
( x,t ) dx
=
( ρdx)utt （2）。【 ut
=
∂u ∂t
,ux
=
∂u ∂x
, utt
=
∂2u ∂t 2
, uxt
=
∂2u ∂x∂t
," 】
当α 很小时，有 cosα ≈ 1， sinα ≈ α ≈ tanα 。
直线绷紧，取这直线为 x 轴，以坐标 x 标志弦上的各点，弦上各点的横向 位移记为 u 。由于弦上各点在不同时 刻的横向位移是不同的，所以 u 依赖 于弦上各点的位置 x 和时间 t ，
u = u ( x,t ) 。设弦上每单位长度受垂直于弦的外力为 F ( x,t ) .现在来推导 u ( x,t )
第二部分 数学物理方程
第五章 数学物理方程的建立
【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P107-121】
在物理学中，描述物理规律、物理过程和物理状态的变化大多都可以用
微分方程来描述。有些是用常微分方程来描述，如经典力学中
JK F
=
m
d
2rK
，电
dt 2
学中的交变电路方程等，这只有在物理量只依赖于单个变量的情况下才行。
在热传导问题中物体的表面是绝热的，还是与外界有热量交换，情况
是不同的。在弦振动问题中，弦的两端是固定的，还是一端固定、另一端
是自由的，情况是不同的。边界条件就是把物体所处的环境表达清楚。
初始条件和边界条件统称为定解条件。一个数理方程加上一定的定解
条件，称为定解问题。
初始条件
因为在热传导方程中含有时间的一阶导数，所以在热传导问题中仅需
ε
若 ρ = 0 ，则 ∇2u = 0 ， 静电势满足的方程为拉普拉斯方程。
在有电荷的地方 ( ρ ≠ 0) ，静电势满足的方程为泊松方程。在无电荷的 地方 ( ρ = 0) ，静电势满足的方程为拉普拉斯方程。
线性方程和迭加原理
上面得到的数理方程可统一写为：
Lˆu ( x, y, z,t ) = f ( x, y, z,t ) （1） 其中 Lˆ 为二阶线性偏导数算符，即 L (c1 f1 + c2 f2 ) = c1 L f1 + c2 L f2 ，结果容易
dv
（积分形式），
∫v ∇ ⋅
JK Edv
=
1 ε
∫v
ρ dv
⇒
∇⋅
JK E
=
ρ ε
（微分形式）。
( ) 又
v∫l
JK E
⋅
d
K l
=
0
⇒
∫∫s
JK ∇×E
⋅
K ds
=
0
⇒
∇
×
JK E
=
0
，
∇
×
JK E
=
0
⇒
JK E
=
−∇u
，
u
为静电势（无旋场必为梯度场）
72
∴∇2u = − ρ ， 静电势满足的方程为泊松方程。
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初始条件所反映的必须是物体上各点的初始状态，而不是仅仅某一点。
边界条件
一共有三类边界条件：
1.给定要求解的函数 u 在边界上的值 u ( x, y, z,t ) 边界上的x0 , y0 , z0
=
f
( x0, y0, z0,t ) ，称为
第一类边界条件。
例如：若研究长为 l 、两端固定的弦的振动情况，既然弦的两端 x = 0 ， x = l
( ) ∂ kuy dxdydzdt 和 ∂ (kuz ) dxdydzdt 。
∂y
∂z
设物体内有热源，其在单位时间内单位体积内发出热量为 F ( x, y, z,t ) ，则
在 dt 时间内在所考虑的长方体内产生的热量为 F ( x, y, z,t ) dxdydzdt 。
流入长方体的热量和它里面产生的热量使长方体的温度升高 du 。设物体的质
量密度为 ρ ，比热为 c ，则长方体升高 du 温度所需的热量为 cρdudxdydz 。
由能量守恒，得：
( ) cρ
dudxdydz
=
⎡ ⎢
∂
(
kux
)
+
∂
ku y
+
∂
(
ku
z
)
⎤ ⎥
dxdydzdt
+
F
(
x,
y,
z,
t
)
dxdydzdt
，
⎢⎣ ∂x
∂y
∂z ⎥⎦
两边除以 dxdydzdt ，得
当物理量依赖于多个变量：如电场
JK E
(
x,
y,
z,
t
)
和磁场
JK B
(
x,
y,
z,
t
)
，物体的温度
分布，物体中某种物质的浓度分布等都依赖于空间和时间变量。那么描述这
些物理量的变化就不能用常微分方程来描述，而是要用偏微分方程来描述。
几个常见的方程的建立：
1.弦的横振动方程 一根完全柔软的弦，沿着一条
x + dx
dt 时间内沿 x 方向净流入长方体的热量为
( ) qx dydzdt − qx dydzdt = － qx − qx dydzdt = − ∂qx dxdydzdt = ∂ (kux ) dxdydzdt 。
x
x + dx
x + dx
x
∂x
∂x
同样 dt 时间内沿 y 和 z 方向净流入长方体的热量分别为
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( ) cρut
=
∂ (kux ) +
∂x
∂
ku y ∂y
+ ∂ (kuz ) + F ( x, y, z,t ) ，
∂z
或 cρut = ∇ ⋅(k∇u) + F ( x, y, z,t ) 。
若物体是均匀的，则 k 为常数，于是热传导方程可写为
ut
=
a2∇2u
+
f
( x,
y, z,t) ， a2
，
二维拉普拉斯算符 ，
⎪ ⎪ ⎪⎩
∂2 ∂x2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
, 三维拉普拉斯算符
则不论是在一维、二维还是三维情况，
受迫振动方程可统一写为： utt = a2∇2u + f ； 自由振动方程可统一写为： utt = a2∇2u 。 杆的纵振动方程可由学生自行推导。
（2）热传导方程（扩散方程的形式与热传导方程是一样的）