数理方程第二章 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3剖析
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场论与数理方程Lesson02
第一类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值第二类边界条件规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值第三类边界条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值其中是时间的已知函数为常系数
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
2-3 拉普拉斯方程
③ 写出边界条件和衔接条件(即：不同区域分界面 上的边值关系)。
④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际
问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带 电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。
R 0 处，2 应为有限值，因此
dn 0
在介质球面上（R=R0），
1 2 ,
0
1
R
2
R
比较Pn的系b数1 ，得:200 E0 R03，
c1
3 0 2 0
E0
bn cn 0， (n 1)
所有常数已经定出，因此本问题的解为
1
E0R cos
0 20
E0R03 cos
R2
2
3 0 20
E(a) 0 er
E0R cos
在球内总电场作用下，介质的极化强度为
P内
e 0 E
(
0)E
0 20
30 E0
介质球的总电偶极矩为
p
4
3
R03 P
0 20
4 0 R03 E0
球外区域电势 所产生的电势
1
的第二项就是这个电偶极矩
E0
1
4 0
pR R3
0 20
E0 R03 R2
cos
例3 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中， 求电势和导体上的电荷面密度。
因此v的可能值为
νn
n 2 α
,
n 1,2
④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际
问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带 电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。
R 0 处，2 应为有限值，因此
dn 0
在介质球面上（R=R0），
1 2 ,
0
1
R
2
R
比较Pn的系b数1 ，得:200 E0 R03，
c1
3 0 2 0
E0
bn cn 0， (n 1)
所有常数已经定出，因此本问题的解为
1
E0R cos
0 20
E0R03 cos
R2
2
3 0 20
E(a) 0 er
E0R cos
在球内总电场作用下，介质的极化强度为
P内
e 0 E
(
0)E
0 20
30 E0
介质球的总电偶极矩为
p
4
3
R03 P
0 20
4 0 R03 E0
球外区域电势 所产生的电势
1
的第二项就是这个电偶极矩
E0
1
4 0
pR R3
0 20
E0 R03 R2
cos
例3 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中， 求电势和导体上的电荷面密度。
因此v的可能值为
νn
n 2 α
,
n 1,2
华科大数理方程课程总结2014
u n (0) 0,
t 0
(n 1, 2, ).
k 2 ( t )
(63)
的解为
u n (t ) f n ( )e
d . (n 1, 2, ). (64)
6
第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
● 当边界条件为非齐次时，则必须引进辅助函数
(11)
2. n 阶第一类贝塞尔函数
J n ( x) a 2 m x
m 0 n2m
n2m x (1) m n 2 m , (18) 2 m!(n m 1) m 0
3. n 阶第二类贝塞尔函数
J n ( x) cos n J n ( x) Yn ( x) . sin n
如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 u1 , u 2 都与自变量 t 无关，在这种情形下，我们可选取 辅助函数 w( x ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 使方程与边界条件同时化成齐次的。
9
第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
● 对于像矩形0 x a, 0 y b;带形 0 x a, 0 y
一类的区域采用直角坐标系 应当指出，只有当求解区域很规则时，才可以应 用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。
11
第2章主要内容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
u |r r0 f ( ).
(P)
思路2 将问题(P)的解看成两部分，令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
v(r , )
和 w(r , ) 分别满足
1 1 v rr v r 2 v F (r , ),(0 r r0 ), r r
t 0
(n 1, 2, ).
k 2 ( t )
(63)
的解为
u n (t ) f n ( )e
d . (n 1, 2, ). (64)
6
第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
● 当边界条件为非齐次时，则必须引进辅助函数
(11)
2. n 阶第一类贝塞尔函数
J n ( x) a 2 m x
m 0 n2m
n2m x (1) m n 2 m , (18) 2 m!(n m 1) m 0
3. n 阶第二类贝塞尔函数
J n ( x) cos n J n ( x) Yn ( x) . sin n
如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 u1 , u 2 都与自变量 t 无关，在这种情形下，我们可选取 辅助函数 w( x ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 使方程与边界条件同时化成齐次的。
9
第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
● 对于像矩形0 x a, 0 y b;带形 0 x a, 0 y
一类的区域采用直角坐标系 应当指出，只有当求解区域很规则时，才可以应 用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。
11
第2章主要内容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
u |r r0 f ( ).
(P)
思路2 将问题(P)的解看成两部分，令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
v(r , )
和 w(r , ) 分别满足
1 1 v rr v r 2 v F (r , ),(0 r r0 ), r r
分离变量解法2（圆域与非齐次问题）
(
ρ ρ0
)n
cos n(θ
−
t
⎤ )⎥ ⎦
d
t
∫ u( ρ
,θ
)=
1
2π
2π 0
f
(t)
ρ02
−
ρ2
ρ02 − ρ 2 − 2ρ0ρ cos (θ
d −t)
t
这个解，称为圆域内的泊松（poisson） 公式，它的理论意义是把解写成了积分的形式。
(0 ≤ θ ≤ 2π , ρ < ρ0 )
Poisson 积分公式——Laplace 方程，在圆域内的第一类边界条件的解。
⎞2 ⎠⎟
+
2 ∂2u
∂r∂θ
∂r ∂y
∂θ
∂y
+
∂2u
∂θ 2
⎛ ∂θ
⎝⎜ ∂y
⎞2 ⎠⎟
+
∂u
∂ρ
∂2ρ
∂y 2
+
∂u
∂θ
∂ 2θ
∂y 2
,
∂ρ
∂x
=
x
ρ
,
∂ρ
∂y
=
y
ρ
,
∂θ
∂x
=
−
y
ρ2
,
∂θ = x ∂y ρ 2
∂2ρ
∂x2
=
1
ρ
−
x2
ρ3
,
∂2ρ
∂y 2
=
1
ρ
−
y2
ρ3
,
∂ 2θ
∂x 2
⎧ u ( 0 ,θ ) < +∞
即有
⎪ ⎨ ⎪⎩
u( ρ ,θ ) = u( ρ ,θ + 2π )
数理方程-总结复习及练习要点报告
utt a 2uxx F ( M , t ) u x 0 0, u x l 0(0 x l ) u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
－通过叠加原理分解问题，再通过分离变量法与冲量定理法
求解(Page164页)
28
定解问题求解之二—分离变量法
量研究初始时的状况，即初始条件。 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的
问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定
定解条件下求解数学物理方程。 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 －偏微分方程的线性与非线性 不含有研究函数的非零项
19
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 0
定解条件的确定
初始条件
t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值
u( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
也可以是对时间变量的导数
ut ( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1
常点和奇点的定义及判别
31
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
－输运方程(描述温度传播、浓度扩散的泛定方程)
ut a2u f (M , t ) 其中齐次情况下f(M,t)=0
t 0
( x)
－通过叠加原理分解问题，再通过分离变量法与冲量定理法
求解(Page164页)
28
定解问题求解之二—分离变量法
量研究初始时的状况，即初始条件。 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的
问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定
定解条件下求解数学物理方程。 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 －偏微分方程的线性与非线性 不含有研究函数的非零项
19
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 0
定解条件的确定
初始条件
t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值
u( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
也可以是对时间变量的导数
ut ( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1
常点和奇点的定义及判别
31
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
－输运方程(描述温度传播、浓度扩散的泛定方程)
ut a2u f (M , t ) 其中齐次情况下f(M,t)=0
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
2.3二维拉普拉斯方程的初值问题
(n 1, 2, )
解 作变换 r e t
则有
1 Rr Rt , r
t ln r
1 1 1 1 1 Rrr ( Rtt ) Rt ( 2 ) 2 Rtt 2 Rt , r r r r r
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
(34) Y ' ' ( y) Y ( y) 0, (35) (32)
X ' ' ( x) X ( x) 0,
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ' ' ( x) X ( x) 0, X (0) X (a) 0, (36) 的非0解。 (1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。 (2)当 0 时，问题(36)也没有非平凡解。
则有关系式
n (an bn ) sin a x f ( x), n 1
(a e
n 1 n
n b a
bn e
n b a
n ) sin x g ( x), a
利用傅里叶系数公式得
2 a n a n bn f ( x) sin xdx , 0 a a
其中 an An Cn , bn Bn Cn 是任意常数。 由于方程(39)是线性齐次的，利用叠加原理，可 得到该方程满足单值性和有界性的级数解为 (4 3) 为了确定系数an , bn , 由边界条件(40)即 u |r r0 f ( ). 得
1 u (r0 , ) a0 (a n cos n bn sin n )r0n f ( ), 2 n 1
数理方程总结完整版
该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来 解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
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一个半径为 0 的薄圆盘， 上下两面绝热，
0
圆周边缘温度分布为 f ( ) ， 求达到稳恒 状态时圆盘内的温度分布 u ( , ) 。
定解问题: 由第一章知道，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关
u 2u 2u 2 即 0 , 应满足二维拉普拉斯方 程 u u 2 0 2 t x y
A cos(n 2n ) B sin(n 2n ) A cosn B sin n ( )
(9 )
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求解径向定解问题：
2 R R n 2 R 0 (10)
R(0)
(11)
(10)为欧拉方程，其通解为
分离变量:
设方程（1）有径向和角向分离的解：
u( , ) R( )( )
（ 3）
代入方程（1）得到：
2 R R
R
分离变量： 2 R R R 0（径向方程） （4） （角向方程） （5） 0
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2
, 0 , 0 2
, 0 2
u ( 0 , ) f ( )
u ( 0 , )
u ( , ) u ( , 2 )
代入径向方程和角向方程
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变成常微分方程的定解问题
( n 0, 1, 2, 3,)
边界条件： u f ( )
0
un ( 0 , ) an cosn bn sin n
n 0
不能表征任 意函数 f ( )
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一般解:
为了表征任意边界条件（2）, 需要利用叠加原理写 出一般解(它是对于 0 和 0 所有本征解的组合)
0
(7 )
( 2 ) ( ) (8)
( ) A B
由(8)得到 B 0 , 有特解: 0 ( ) A 2. 0: (7)的通解
( ) A exp( ) B exp( )
(常数)
不能满足周期性边界条件(8)
R0 ( ) c0 d 0 ln Rn ( ) cn n d n n (for n 0) (for n 1, 2, 3,)
为了保证 R(0) ，必须取 d n 0 (n 0, 1, 2,)
R0 ( ) c0 ( n 0)
Rn ( ) cn n ( n 1, 2, 3,)
可以合并为 Rn ( ) cn n ( n 0, 1, 2,)
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本征解 un ( , ) Rn ( ) n ( )
n an cos n bn sin n
0 ( 2 ) ( )
(7)
(8)
(9)
R R R 0
2
R(0)
(10)
至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而 条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条 件一样，最后再去考虑。
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求解角向定解问题： 1. 0：(7)的通解
据此，写成极坐标形式为
u ( , ) f ( ) , 0 2 0
2
1 u 1 2u u ( ) 2 0, 2
0 ,
0 2
（１）
泛定方程
（２）
边界条件——边缘温度
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u ( , ) R0 ( ) 0 ( ) n an cos n bn sin n
u ( , ) u ( , 2 )
这个条件称为“周期性边界条件” 2. 物理上，圆内各点的温度应该是有界的， 特别是圆盘中心的温度应该是有限的：
u(0, )
这个条件称为“自然边界条件”特点，有
0 , 0
将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：
R( 0 )( ) f ( )
（6）
上式无法分离成关于R和的两个独立的边界条 件，不能分别构成关于R和的常微分方程的定 解问题！
下一步如何进行？
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寻找物理上的边界条件：
1. ( , ) 和 ( , 2 ) 在物理上代表同一个点， 具有相同的温度:
即有
和
0 , 2
中心点的温度有限（有界） 坐标系中指同一点温度不变
u ( 0 , )
u ( , ) u ( , 2 )
以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。
1 u 1 2u u ( ) 0 2 2
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分离变量法提要: • • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
§2.3
圆形域内的二维 Laplace 方程的定解问题
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深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题：
3. 0 : (7)的通解
0
(7 )
( 2 ) ( ) (8)
( ) A cos B sin
要让它以2为周期，必须取
n (n 0, 1, 2,)
即： ( ) A cos n B sin n 事实上：( 2 ) A cosn( 2 ) B sin n( 2 )