2.3二维拉普拉斯方程的边值问题
二维laplace方程dirichlet问题的数值解法
二维laplace方程dirichlet问题
的数值解法
二维Laplace方程Dirichlet问题的数值解法是指采用有限差分和有限元法来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题。
有限差分：将区域内的函数值近似地表示为一系列离散的点，并用差分格式代替微分方程，然后将变化率从所有离散点中推导出来，从而构成线性系统，解决这个线性系统即可得到解。
有限元法：将区域内的函数值近似地表示为一系列多项式，然后用有限元形式代替微分方程，将变化率从所有有限元结点中推导出来，从而构成线性系统，解决这个线性系统即可得到解。
三维拉普拉斯方程第二边值外问题
三维拉普拉斯方程第二边值外问题三维拉普拉斯方程是数学中的偏微分方程，描述了三维空间中的物理现象。
它的一般形式为：Δu = 0其中Δ是拉普拉斯算子，定义为Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²。
这里我们考虑三维拉普拉斯方程的第二边值外问题，即在给定边界条件下求解方程的解。
具体来说，我们考虑有界区域Ω内的拉普拉斯方程，在边界上给定了边界条件：u(x,y,z) = g(x,y,z)，(x,y,z) ∈ ∂Ω其中∂Ω表示Ω的边界，g(x,y,z)是已知函数。
这个问题的解决方法是通过将Ω离散化为网格上的有限点，并将拉普拉斯方程以离散的形式表示为线性方程组。
通常使用有限差分法或有限元方法来离散化方程。
在使用有限差分法离散化时，我们可以将连续区域Ω离散为n个网格点，将拉普拉斯方程在每个网格点处进行近似：∂²u/∂x² ≈ (u[i+1,j,k] - 2u[i,j,k] + u[i-1,j,k])/Δx²∂²u/∂y² ≈ (u[i,j+1,k] - 2u[i,j,k] + u[i,j-1,k])/Δy²∂²u/∂z² ≈ (u[i,j,k+1] - 2u[i,j,k] + u[i,j,k-1])/Δz²这样，原方程就变成了一个由差分方程组成的线性方程组：(u[i+1,j,k] - 2u[i,j,k] + u[i-1,j,k])/Δx²+ (u[i,j+1,k] - 2u[i,j,k] + u[i,j-1,k])/Δy²+ (u[i,j,k+1] - 2u[i,j,k] + u[i,j,k-1])/Δz² = 0其中i、j、k分别表示空间网格的索引，Δx、Δy、Δz表示网格间距。
根据边界条件，将方程组中的边界点进行特殊处理。
考研微分方程知识点浓缩
考研微分方程知识点浓缩微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、经济学和工程学等领域。
在考研数学中，微分方程是必备的知识点之一。
本文将从常微分方程、偏微分方程和常见的解法等方面进行总结和浓缩。
一、常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是只涉及一元函数的微分方程。
常微分方程的求解涉及到初值问题和边值问题两种情况。
1.1 一阶常微分方程常见的一阶常微分方程形式包括：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和一阶齐次线性方程等。
其求解方法如下：1）可分离变量方程：将变量分离后进行积分求解。
2）齐次方程：使用变量代换后，将方程转化为可分离变量方程求解。
3）线性方程：使用积分因子法求解线性方程。
4）伯努利方程：通过变量代换，将方程转化为线性方程求解。
1.2 二阶常微分方程二阶常微分方程是一阶常微分方程的推广。
常见的二阶常微分方程形式包括：线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和二阶常系数非线性齐次方程等。
其求解方法如下：1）线性常系数齐次方程：设解的形式，代入方程后解得常数。
2）线性常系数非齐次方程：通过求齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
3）二阶常系数非线性齐次方程：一般采用变量代换的方法将方程转化为线性方程求解。
二、偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是涉及多元函数的微分方程。
常见的偏微分方程包括：一维波动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程等。
2.1 一维波动方程一维波动方程是描述波的传播规律的方程。
其一般形式为：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示波函数，c为波速。
2.2 一维热传导方程一维热传导方程是描述热量传导规律的方程。
其一般形式为：∂u/∂t = α²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示温度分布，α为热扩散系数。
二维拉普拉斯方程的基本解
二维拉普拉斯方程的基本解一、引言二维拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程等领域。
本文将介绍二维拉普拉斯方程的基本解，包括定义、性质及求解方法。
二、定义二维拉普拉斯方程是指以下形式的偏微分方程：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$$其中，$u=u(x,y)$是未知函数，$x,y$是自变量。
三、性质1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。
2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。
3. 最大值原理：设$D$为平面上一个有界区域，如果在$D$内有一个点$(x_0,y_0)$使得在该点处的函数值最大（或最小），则该函数在整个区域内的函数值都不会超过（或低于）该点处的函数值。
4. 无穷远边界条件：当$x^2+y^2\rightarrow \infty $时，解趋近于常数。
四、求解方法1. 分离变量法假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则可以将二维拉普拉斯方程化为两个一维的常微分方程：$$\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。
然后分别解出$X(x)$和$Y(y)$，再将其乘起来即可得到原方程的解。
2. 用格林函数求解格林函数是指满足以下条件的函数$G(x,y;x_0,y_0)$：（1）在$x\neq x_0$或$y\neq y_0$时，它满足二维拉普拉斯方程；（2）在$x=x_0$且$y=y_0$时，它满足以下边界条件：$$G(x,y;x_0,y_0)=\begin{cases}1 & \text{$x=x_0$, $y=y_0$}\\0 & \text{其他情况}\end{cases}$$利用格林函数可以求出任意一个边值问题的解。
齐次方程 边值问题
Cm 0 (m 1) Dm 0 (m 1)
u( , ) D0 ln
a
E0 con E0
a
2
con
物理意义
u1 D0 ln
a
圆柱体原来所带电量的电势分布
（静电学中正是均匀圆柱体周围的电势）。 原来（未放导体）时的电势分布。
u 2 E0 con
m
m
(m 0)
(m 0)
u( , ) C0 D0 ln ( Amconm Bm sin m )
m (Cmconm Dm sin m )
m 1
m 1
一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零,
C0 D0 ln a a m ( Am conm Bm sin m )
u E0 cos
分离变数形式的试探解
代入拉普拉斯方程式，并移项、整理后得：
1 d dR 1 ( ) " R d d
令
1 d dR 1 ( ) " R d d
分离为两个常微分方程
" 0
( 2 ) ( )
4(U u0 )
二、圆域上的拉普拉斯方程的边值问题： （二维极坐标系下的问题）
看一个极坐标的例子。带电的云跟大地之间的静 电电场近似是匀强静电场， 其电场强度 E0是竖直的，方向向下 水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆 柱型。柱面由于静电感应出 现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就 不再是匀强的了，如图所示．不过 离圆柱“无远限远”处的静电场仍保持为 匀强的．现在研究导体圆柱怎样改变了 匀强静电场,求出柱外的电势分布． 解题分析：首先需要把这个物理问题表示 为定解问题．设输电导线半径为 a ，取圆柱的轴为Z轴．如果圆柱“无限长”，
拉普拉斯方程.ppt
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界， 则V 内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化 为比较简单的情形：
2 0 拉普拉斯方程。
注意：求解区域内ρ＝0，产生电场的电荷全部分布 于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。所 以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的 解。
二、分离变量法
d2X dx 2
X
0
x 2
y 2
z 2
d 2Y Y 0
dy 2
(x, y) (a bx)(c dy)
(amemx bmemx )(cm cosmy dm sin my) m1
（2）若 (x)，与 y, z 无关。
d 2 0
dx 2
Ax B
2. 球坐标中的通解：
( R,
l
电势： V z (0 z l)
l
(5)
E
d
dz
ez
V l
ez
E V 常数 l
例 2 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带 电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。
解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐 标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积 的形式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求 出实际问题的特解。
不同坐标系中拉氏方程的通解不同。
拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
1、直角坐标
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
=0 （1）若 (x, y) 2 2 2 2 0
其中 Pn (cos ) -----为勒让德函数
数学物理方法课件：14_3 分离变量法-laplace
将固有值代入Y (y)的方程
Yn( y)
n
a
2
Yn
( y)
0
n y
n y
Yn ( y) Cne a Dne a
(n 1,2,)
二维拉普拉斯方程的边值问题
•
•
原定解问题的解：u(x, 由边界条件得：
y)
n1
n
(Cne a
y
n
Dne a
y
) sin
nx
a
看成整体
f
2u 1 u 1 2u
r
2
r
r
r2
2
0
(0 r R0 ,0 2 )
u(R0 , ) f ( )
这个问题是定解问题吗？ 暂时无法判断！ 先用分离变量法求解。
整个求解过程中，采用了什么定解条件？
周期边界条件， 有界性条件
( ) ( 2 )
| R(0) |
• 所述问题可以表示为下列定解问题
R(R0)( ) f ( )
r 2R(r) rR(r) R(r) 0 R(R0 )( ) f ( )
''( ) ( ) 0 ( ) ( 2 )
虽然θ的取值范围是所有实数，但实际只须取[0,2π]，为什么？ 温度分布u(r, θ)关于θ是周期变化的，且周期是0,2π。
( ) ( 2 )
关于yy的方程关于xx的方程将固有值代入yy的方程由fourier级数展开定理可知解代数方程组得c的薄圆盘上下两面绝热圆周边界上的温度已知求达到稳恒状态时圆盘的温度分布
分离变量法3 二维拉普拉斯方程的边值问题
• 矩形区域上的拉普拉斯边值问题
• 问题描述：一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热，
边值问题
a, b, c
x, y ax by c
一般形式： x, y i Ni
i 1
3 2 Nie ( ) i j 1 x x 3 Nie 2 ( y ) y i j 1
3
e
与坐标有关 的形函数
N e j x N e j y
i j i j
其中
1 e N1 (b1 x c1 y a1 ) 2 e 1 e (b2 y c2 y a2 ) N2 2 e 1 e N3 (b3 x c3 y a3 ) 2 e
X Y Z
上式（4）的第一项只有x的函数，第二项只有y的函数， 第三项只有z的函数。要使这一方程对任意一组（x,y,z） 成立，这三项必须分别为常数，形成常数微分方程，即 （5） ''
X 2 X Y '' 2 Y
（6）
（7） Z '' 2 Z 、 、 是分离常数，都是待定常数，于边界条件有关。 它们可以是实数，也可以是虚数，并且由式（4）得 （8） 2 2 2 0 这里的常微分方程（5）-（7）解的形式，以式（5） 为例说明X的形式与α的关系。
5-1 分离变量法 分离变量法：将偏微分方程变量分离得到通解，利用边 界条件得到其定解的过程。 在直角坐标系中，拉普拉斯方程为 2 2 2 2 2 0 （1） 2 x y z 设可以表示为三个函数的乘积，即 ( x, y, z ) X ( x)Y ( y)Z ( z) （2） 其中X只是x的函数，同时Y只是y的函数，Z只是z的函 数。将上式代入式（1）得 2 X 2Y 2Z YZ 2 XZ 2 XY 2 0 （3） x y z 然后用XYZ除上式得 X '' Y '' Z '' （4） 0
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6
u rr
1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r0 ),
u | r r f ( ).
A 0
(4 1) B0 ,
0
其中A 0 , B 0 是任意常数。 只有当 A 0 0 时，函数 才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题(41) ( ) B . 的解为 2 0 代入问题(42)中的方程 r R ' ' rR ' R 0 , 再将 R 0 ( r ) C 0 ln r D 0 , 其通解为 其中C 0 , D 0 是任意常数。只有当 C 0 0 时，函数 R 0 才满足有界性条件。 | R ( 0 ) | . 因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R 0 ( r ) D 0 . 1 从而得原方程(39)的一个非0解 u ( r , ) B D a .
2
' ' 0 .
由于温度函数 u ( r , ) 是单值的，所以当 从 变到 2 时，u ( r , 2 ) u ( r , ) 成立， 从而有
( 2 ) ( ).
同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度 应该是有界的，因而 | u ( 0 , ) | R (r ) 应满足条件
2 2
( n 1, 2 , )
解 作变换 r e t 则有
Rr Rt 1 r ,
t ln r
R rr ( R tt 1 r ) 1 r Rt ( 1 r
2
)
1 r
2
R tt
1 r
2
Rt ,
代入原方程有
R tt R t R t n R 0
补充知识点： 欧拉(Euler)方程的一般形式
x y
1 n
n
(n)
P1 x
n 1
y
( n 1 )
Pn 1 xy ' Pn y f ( x ).
其中 P P 是常数， f ( x ) 是已知函数。 问题1： 满足如下欧拉(Euler)方程的函数 R ( r ) 求
r R rr rR r n R 0 ,
5
u rr
1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r ), 0
u | r r f ( ).
练习：验证拉普拉斯方程 u xx u yy 系下的形式为
x r cos ,
(3 9) (4 0) 0 在极坐标
u rr
1 r
ur
1 r
2
u 0
(3 0) (3 1) (3 2)
的解为
u ( x, y )
n 1
a
n
y
(a n e
a
bne
n a
y
) sin
n a
x
(37)
其中
a n bn
n b
2 a
f ( x ) sin
n a b
n a
xdx ,
0
( n 1, 2 , ).
g ( x ) sin n a
2
0
2 R
0
sin 2 d
1 2R
特别的，
a 0 2
16
又由于
bn
1
R
1
n
2
sin sin n d
( n 1, 2 , ),
0
则有
bn
2 R
n
2
[cos( 1 n ) cos( 1 n ) ] d
其中C 0 , D 0 是任意常数。
2
2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题， 也可以应用分离变量法来求解。 一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 解下列定解问题：
u xx u yy 0 ( 0 x a , 0 y b ), u ( x , 0 ) f ( x ), u ( x , b ) g ( x ), u (0, y ) 0, u (a , y ) 0 .
2
R tt n R 0
2
Rn C ne
nt
Dne
nt
.
再将 t ln r 代入还原得
n
原方程通解为
R n (r ) C n r
Dnr
n
.
( n 1, 2 , )
1
问题2： 满足如下可降阶的二阶微分方程的函数 求
R (r )
r R ' ' rR ' 0
提示： 作极坐标变换
r x y ,
2 2
y r sin ,
u
r
x
y
arctan
y x
.
u x u r rx u x
u y u r ry u y
u xx ( u rr r x u r x ) r x u r r xx ( u r r x u x ) x u xx
( n 1, 2 , ),
(4 4)
13
因此，定解问题(39)(40)
u rr 1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r0 ),
u | r r f ( ).
( 0 2 )
的解由级数解(43)给出
u (r , ) 1 2 a0
(3 9) (4 0)
设方程(39)的解为
u ( r , ) R ( r ) ( ),
(3 9) (4 0)
代入方程(39)得
R '' 1 r R ' 1 r
2
R '' 0
分离变量则有
2
r R ' ' rR ' R
''
其中比值 为常数。
7
由此可得两个常微分方程
r R ' ' rR ' R 0 ,
(3 0) (3 1) (3 2)
3
定解问题
u xx u yy 0 ( 0 x a , 0 y b ), u ( x , 0 ) f ( x ), u ( x , b ) g ( x ), u (0, y ) 0, u (a , y ) 0 .
u (r , ) 1 2 a0
n 1
( a n cos n b n sin n ) r .
n
为了确定系数a 得 1
u ( r0 , ) 2
n
, b n ,由边界条件(40)即 u | r r0 f ( ).
(4 3)
a0
n 1
( a n cos n b n sin n ) r 0 f ( ) ,
an
1
R
n
n
2
sin cos n d
( n 0 , 1, 2 , ),
0
则有
an
1 2 R
1
2
[sin( 1 n ) sin( 1 n ) ] d
0
1 R
n
2 n 1
2
,
( n 1)
a1
R
1
2
sin cos d
n
n 1
( a n cos n b n sin n ) r .
其中系数
a n , b n , 由式(44)确定
(4 3)
an
1
r0
1
n
0
2
f ( ) cos n d
0
( n 0 , 1, 2 , ),
bn
2
r0
n
f ( ) sin n d
, )
1 2
a0
n 1
( a n cos n b n sin n ) r 0 f ( ) ,
n
( 0 2 ),
由傅里叶级数理论， 2 知 a r f ( ) cos
n n 0
2
2
nd
0 0
0 0 0
2
0
10
' ' 0 .
( 2 ) ( ).
3.当 0 时， 方程的通解为
( ) A cos
(4 1)
,
B sin
( n 1, 2 , ),
其中 A , B 是任意常数。 由于 (
n
2
2 ) ( ),
n
的一系列特解
u n ( r , ) ( a n cos n b n sin n ) r
n n n n n n
( n 1, 2 , ),
其中 a A C , b B C 是任意常数。 由于方程(39)是线性齐次的，利用叠加原理，可 得到该方程满足单值性和有界性的级数解为
成立，由此知
| R ( 0 ) | .