拉普拉斯方程
2.3 拉普拉斯方程
r r = E0 (cos e R − sin θ eθ )
ε − ε0 3 r r r 1 R0 E0 3 3cosθ e R − ( cosθ e R − sin θ eθ ) + 2ε 0 + ε R
结束
第二章∶ 第二章∶静电场
r r r r r ε − ε 0 3 3 E0 ⋅ R R E0 R0 = E0 + − 3 R5 R 2ε 0 + ε r r r r r r 1 3( p ⋅ R ) R p r = E0 + − 3 = E0 + E ′ 5 4πε 0 R R
分析：这是全介质的第一类边值问题。 分析：这是全介质的第一类边值问题。球内外电 势分布具有轴对称性。整个区域分为两部分： 势分布具有轴对称性。整个区域分为两部分：介质 球内2，球外部真空1。两区域内部都没有自由电荷， 球内 ，球外部真空 。两区域内部都没有自由电荷， 因此电势均满足拉普拉斯方程。 因此电势均满足拉普拉斯方程。 微分方程及其通解：由于问题具有轴对称性， 微分方程及其通解：由于问题具有轴对称性，即 轴对称性 ϕ i 与 φ 无关，故: 无关， 代表球外区域的电势， 代表球内的电势。 以 ϕ 1代表球外区域的电势，ϕ 2代表球内的电势。
势，满足Laplace's equation。这种方法从数学上看， 满足 。这种方法从数学上看， 实质是当区域V中有电荷分布时，电势满足Poisson's 实质是当区域 中有电荷分布时，电势满足 equation，而Poisson's equation——非齐次微分方程的 ， 非齐次微分方程的 等于其特解（ 加上拉普拉斯方程—— 通解（φ），等于其特解（ϕ0）加上拉普拉斯方程 齐次方程的通解（ ） 齐次方程的通解（ϕ′）。 但注意，边值关系还要用 ϕ S 而不能用 ϕ ′ S 但注意，
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程，也称为谐波方程和势方程，是一种偏微分方程，最早由法国数学家拉普拉斯提出。
拉普拉斯方程是液体表面曲率和液体表面压力之间关系的公式。
曲面称为曲面。
通常，使用两个相应的曲率半径来描述表面，即在表面上的某个点处绘制垂直于该表面的直线，然后通过该线制作一个平面。
平面和表面的截面是曲线，并且在该点与曲线相切的圆的半径称为曲线的曲率半径R1。
第二剖面线及其曲率半径R2可以通过使第二平面垂直于第一平面并与表面相交来获得。
液面的弯曲可以用R1和R2表示。
如果液体表面弯曲，则液体P1内部的压力将与液体外部的压力P2不同，并且液体表面的两侧之间将存在压力差△P = P1-P2，这称为附加压力。
压力。
其值与液体表面的曲率有关，可以表示为：其中γ是液体的表面张力系数，称为拉普拉斯方程。
在数学公式中拉普拉斯方程是：其中∥是拉普拉斯算子，而这里的拉普拉斯方程是二阶偏微分方程。
在三维情况下，拉普拉斯方程可按以下形式描述。
可以将问题简化为求解对于实变量X，y和Z可二阶微分的实函数φ∇2称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为谐波函数。
如果在等号右边是给定的函数f（x，y，z），即：然后将该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆偏微分方程。
偏微分算子（可以在任何维空间中定义）称为拉普拉斯算子。
方程解它称为谐波函数，可以在建立方程的区域进行分析。
如果任何两个函数满足拉普拉斯方程（或任何线性微分方程），则这两个函数的总和（或它们的任何线性组合）也满足上述方程。
这种非常有用的特性称为叠加原理。
根据这一原理，可以将已知的复杂问题的简单特殊解组合起来，以构建具有更广泛适用性的一般解。
拉普拉斯方程的完整求解
拉普拉斯方程的完整求解拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
它描述了一个物理系统中的稳态情况，即在没有时间变化的情况下，物理量的分布情况。
在本文中，我们将介绍拉普拉斯方程的完整求解方法，包括数学推导和物理应用。
一、数学推导拉普拉斯方程的一般形式为：∇^2ϕ=0其中，∇^2为拉普拉斯算子，表示对空间中各个方向的二阶导数之和。
ϕ为待求函数。
为了求解该方程，我们需要先确定边界条件。
边界条件指的是在物理系统的边界上，待求函数的取值或导数的取值已知。
常见的边界条件包括：1. Dirichlet 边界条件：在边界上，待求函数的取值已知。
2. Neumann 边界条件：在边界上，待求函数的法向导数已知。
3. Robin 边界条件：在边界上，待求函数的取值或法向导数与外界参数成比例。
根据不同的边界条件，我们可以采用不同的数学方法求解拉普拉斯方程。
下面我们分别介绍三种常见的方法。
1. 分离变量法当边界条件为 Dirichlet 边界条件时，我们可以采用分离变量法求解拉普拉斯方程。
具体来说，我们假设待求函数可以表示为以下形式：ϕ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)将该式代入拉普拉斯方程，得到：X''/X+Y''/Y+Z''/Z=0由于等式左侧的三个部分只依赖于x、y、z 中的一个，因此它们必须都等于一个常数λ。
于是我们得到三个独立的常微分方程：X''+λX=0Y''+λY=0Z''+λZ=0这些方程的解分别为：X(x)=Asin(√λx)+Bcos(√λx)Y(y)=Csin(√λy)+Dcos(√λy)Z(z)=Esin(√λz)+Fcos(√λz)其中，A、B、C、D、E、F 为待定常数。
将这些解代入待求函数的表达式中，再利用边界条件，我们就可以求出这些常数，从而得到完整的解。
拉普拉斯方程
➢ 实微分定理
L
df (t) dt
sF (s)
f
(0),
f (0) f (t) t 0
证明：
由于
f (t)est dt 0
e st f (t)
s
0
df (t ) est 0 dt s
dt
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复变函数—拉普拉斯（Laplace）方程
B'(s)
B'( pi )
例 1：求
F (s)
s2 s 2 s(s 2 s 6) 的原函数
f（t）。
解：
F(s)
s2 s 2 s(s2 s 6)
s2 s 2 s(s 3)(s 2)
A1 s
A2 s3
A3 s2
A1
sF (s) s0
s2 s 2
(s
3)(s
2)
正弦及余弦函数
sin t 1 e j t e j t 2j
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e
j18 页t
e j t
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2
复变函数—拉普拉斯（Laplace）方程
由欧拉公式，有：
从而： L[sint ] 1 e jt e st dt e jt e st dt
2j 0
0
同理：
1 2j
s
1
j
L[coss2
t ]
2
s
1
sj
sR2 e(s) 02
单位脉冲函数 (t)
f(t)
1
0
t
单位脉冲函数
0
(t
)
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
[1]拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。
中文名拉普拉斯方程外文名Laplace's equation别称调和方程、位势方程提出者拉普拉斯关键词微分方程、拉普拉斯定理涉及领域电磁学、天体物理学、力学、数学目录.1基本概述.▪在数理方程中.▪方程的解.2二维方程.3人物介绍基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。
在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中∇²称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
物理学概念知识：拉普拉斯方程和热扩散方程
物理学概念知识：拉普拉斯方程和热扩散方程拉普拉斯方程和热扩散方程是物理学中非常重要的两个方程。
它们分别描述了静电场和热传导过程中的物理规律。
在本文中，我们将分别介绍拉普拉斯方程和热扩散方程的定义、物理意义以及数学特性。
同时，我们将讨论这两个方程在实际问题中的应用，以及它们之间的联系和区别。
1.拉普拉斯方程拉普拉斯方程是描述静电场分布的基本方程。
在电磁学中，通过拉普拉斯方程可以求解电荷分布产生的电势分布。
其数学表达式为：∇^2φ = 0其中，∇^2是拉普拉斯算子，φ是电势。
拉普拉斯方程的物理意义是描述电势在无电荷分布的区域内的分布规律。
具体来说，对于一个没有电荷分布的区域，电势满足拉普拉斯方程。
从物理意义上来说，拉普拉斯方程描述了电势的均匀传播和分布规律。
通过求解拉普拉斯方程，可以获得电势在空间内的分布情况，从而更好地了解电场的性质和分布规律。
另外，拉普拉斯方程也在一些其他物理领域有着广泛的应用。
比如在热力学中，拉普拉斯方程可以用来描述温度分布；在流体力学中，可以用来描述速度场的分布。
因此，拉普拉斯方程可以说是物理学中一个非常基础且重要的方程。
2.热扩散方程热扩散方程是描述热传导过程的方程。
在热传导问题中，热扩散方程可以用来描述热量在材料或物体内的传播规律。
其数学表达式为：∂u/∂t = α∇^2u其中，u是温度分布，t是时间，α是热扩散系数，∇^2是拉普拉斯算子。
热扩散方程描述了温度分布随时间的演化规律，可以用来求解材料内部温度的分布情况。
从物理意义上来说，热扩散方程描述了热量在空间内的传导规律。
通过求解热扩散方程，可以获得材料内部温度的分布情况，从而更好地了解热传导的性质和规律。
除了热传导问题，热扩散方程在其他物理领域中也有着广泛的应用。
比如在地球内部热量传导问题中，可以用热扩散方程来描述地球内部温度的分布；在材料工程中，可以用来描述材料内部温度的分布等。
3.拉普拉斯方程和热扩散方程的联系拉普拉斯方程和热扩散方程在数学表达形式上有一定的相似性。
拉普拉斯方程 泊松方程 亥姆霍兹方程 波动方程
拉普拉斯方程泊松方程亥姆霍兹方程波动方程标题：深度解读拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程和波动方程在数学和物理学领域中，拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程和波动方程是一些重要的偏微分方程，它们在不同领域中扮演着重要的角色。
本文将从深度和广度的角度来探讨这些方程，并分析它们的意义和应用。
一、拉普拉斯方程1.1 拉普拉斯方程的定义拉普拉斯方程是一个偏微分方程，通常用Δu=0表示，其中Δ表示拉普拉斯算子，u是未知函数。
在数学物理学中，拉普拉斯方程是一个重要的调和方程，它描述了没有源项的稳态温度分布、电势分布或流体流动等物理现象。
1.2 拉普拉斯方程的应用拉普拉斯方程在电磁学、热传导、流体力学等领域有着广泛的应用。
通过求解拉普拉斯方程，可以得到电场、温度场和流速场等物理量的分布规律，从而为工程设计和科学研究提供重要的参考依据。
1.3 个人观点和理解对于拉普拉斯方程，我认为它在自然科学和工程领域中都具有重要意义。
通过深入理解和应用拉普拉斯方程，可以更好地理解和解释大量物理现象，为实际问题的求解提供了有力工具。
二、泊松方程2.1 泊松方程的定义泊松方程是一个偏微分方程，通常用Δu=f表示，其中Δ表示拉普拉斯算子，u是未知函数，f是已知函数。
泊松方程是拉普拉斯方程加上一个源项后得到的方程，它描述了包含源项的稳态温度分布、电势分布或流体流动等物理现象。
2.2 泊松方程的应用泊松方程在电磁学、热传导、流体力学等领域同样有着广泛的应用。
通过求解泊松方程，可以得到包含源项的电场、温度场和流速场等物理量的分布规律，从而更准确地反映实际问题的特性。
2.3 个人观点和理解对于泊松方程，我认为它在描述带有源项的物理现象时具有重要意义。
通过对泊松方程的深入理解和求解，可以更准确地预测现实世界中的电场、温度场和流速场等物理量分布规律，为工程设计和科学研究提供了有力工具。
三、亥姆霍兹方程3.1 亥姆霍兹方程的定义亥姆霍兹方程是一个偏微分方程，通常用Δu+k²u=0表示，其中Δ表示拉普拉斯算子，u是未知函数，k是已知常数。
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。
基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。
在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中∇²称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
二维方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
人物介绍拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。
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拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程，又名调和方程，是一砍。
因为由法国数学家首先提出而得名。
求解拉普拉斯方程栯、和等领域经常遇到的一类重要的数学问領，因为这种方程以的形式描写了、和等物理对象（一般统称为“保守场”栖“有势场”）的性质。
三维情况下＠拉普拉斯方程可由下面的形式描述，闠题归结为求解对实自变量x、y、z二阶的实函数φ ：: + + = 0. 上面的方程常常简写作：: \nabla^2 \varphi= 0 或: \operatorname\,\operatorname\,\varphi = 0,其中div表示的（结果是一个），grad表示标量场的（结果是一个矢量场），或者简写作 :\Delta \varphi = 0 其中Δ称为 . 拉普拉斯方程的解称为。
如果等号右边是一个给定的函数f( , y,z)，即：: \Delta \varphi = f 则该方程称为。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单?? 。
偏微分算子\nabla^2或\Delta（可以在任意维空间中定义这样的算堐）称为，英文是Laplace operator 或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得\varphi在D的边界上等于某给定的函数。
为方便堙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其䠭一个例子——作为背景进行介绍：固定区域边界上砄温度（是边界上各点位置坐标的函数，直到区域内部热传导使温度分布达堰稳定，这个温度分布场就是相应的狄頌克雷问题的解。
拉普拉斯方程的不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ ??D的边界法向的。
从物理的角度看，这种边界条件给堺的是矢量场的势分布在区域边界处的堲知效果（对热传导问题而言，这种效栜便是边界热流密度）。
拉普拉斯方稠的解称为，此函数在方程成立的区域内是。
任意两个函数，如果它们都满足拉栮拉斯方程（或任意线性微分方程），蠙两个函数之和（或任意形式的线性组堈）同样满足前述方程。
这种非常有用砄性质称为。
可以根据该原理将复杂问题的已知砀单组合起来，构造适用面更广的。
二维拉普拉斯方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以丠形式：:\varphi_ +\varphi_ = 0.\,解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
栢言之，若z = x + iy，并且:f(z) = u(x,y) + iv(x,y),\, 那么f(z)是解析函数的是它满足下列柯西-黎曼方程：:u_x = v_y, \quad v_x = -u_y.\, 上述方程继续求导就得到:u_ = (-v_x)_y =-(v_y)_x = -(u_x)_x.\, 所以u 满足拉普拉斯方程。
类似的计算可推堗v 同样满足拉普拉斯方程。
反之，给定一个由解析函数（或至尠在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的堞部确定的调和函数，若写成下列形式 :f(z) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y),\, 则等式:\psi_x = -\varphi_y, \quad \psi_y = \varphi_x.\, 成立就可使得柯西-黎曼方程得到满蠳。
上述关系无法确定ψ，只能得到它砄微增量表达式：:d \psi = -\varphi_y\, dx + \varphi_x\, dy.\, φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可砯条件：:\psi_ = \psi_,\, 所以可以通过一个线积分来定义ψ。
??积条件和的满足说明线积分的结果与积分经过砄具体路径无关，仅由起点和终点决定㠂于是，我们便通过方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程??解。
这样的解称为一对共轭调和函数??这种构造解的方法只在局部（复变函??f(z)）的解析域内）有效，或者说，枠造函数的积分路径不能围绕有f(z)的。
譬如，在平面(r,θ)上定义函数:\varphi = \log r, \, 那么相应的解析函数为:f(z) = \log z = \log r + i\theta. \, 在这里需要注意的是，极角θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的㠂拉普拉斯方程与解析函数之间的紧寠联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穠阶可导（这是解析函数的一个性质）＠因此可以展开成形式，至少在不包含奇点的圆域内是堂此。
这与的解形成鲜明对照，后者包含任意函栰，其中一些的可微分阶数是很小的。
幂级数和之间存在着密切的关系。
如果我们将堽数f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即:f(z) = \sum_^\infty c_n z^n,\, 将每一项系数适当地分离出实部和虠部:c_n = a_n + i b_n.\, 那么:f(z) = \sum_^\infty\left[ a_n r^n \cos n \theta - b_n \sin n \theta\right] + i \sum_^\infty \left[ a_n \sin n\theta + b_n \cos n\theta\right],\, 这便是f 的傅里叶级数。
在流场中的应用设u、v 分别为满足、和条件的流体速度场的x 和y 方向分量（这里仅考虑二维流场），頣么不可压缩条件为：:u_x + v_y=0,\, 无旋条件为：:v_x - u_y =0. \, 若定义一个标量函数ψ，使其微分满??：:d \psi = v\, dx - u\, dy,\, 那么不可压缩条件便是上述微分式皠可积条件。
积分的结果函数ψ称为，因为它在同一条上各点的值是相同的。
ψ的一阶偏导丠：:\psi_x = v, \quad \psi_y=-u, \, 无旋条件即令ψ 满足拉普拉斯方程。
ψ的共轭调和函敠φ称为。
柯西-黎曼方程要求:\varphi_x=-u, \quad \varphi_y=-v. \, 所以每一个解析函数都对应着平面冠的一个定常不可压缩无旋流场。
解析几数的实部为速度势函数，虚部为流函敠。
在电磁学中的应用根据，二维空间中不随时间变化的电场(u,v 满足：:\nabla \times (u,v) = v_x -u_y =0,\, 和:\nabla \cdot (u,v) = \rho,\, 其中ρ为电荷密度。
第一个麦克斯韦??程便是下列微分式的可积条件：:d \varphi = -u\, dx -v\, dy,\, 所以可以构造电势函数φ使其满足:\varphi_x = -u, \quad \varphi_y = -v.\, 第二个麦克斯韦方程即：:\varphi_ + \varphi_ = -\rho,\, 这是一个。
三维拉普拉斯方程基本解拉普拉斯方程的基本解满足: \nabla \cdot \nabla u = u_ + u_ + u_ = -\delta(x-x',y-y',z-z'), \, 其中的三维代表位于(x',\, y', \, z')的一个点源。
由基本解的定义，若对作用拉普拉斯算子，再把结果在包含砹源的任意体积内积分，那么: \iiint_V \nabla \cdot \nabla u dV =-1. \, 由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程??形式，所以基本解必然包含在那些仅??到点源距离r 相关的解中。
如果我们选取包含点源㠁半径为a 的球形域作为积分域，那么根据: -1= \iiint_V \nabla \cdot \nabla u \, dV = \iint_S u_r dS = 4\pi a^2 u_r(a).\, 求得在以点源为中心，半径为r 的球面上有: u_r(r) = -\frac,\, 所以: u = \frac.\, 经过类似的推导同样可求得二维形张的解: u = \frac. \,格林函数格林函数一种不但满足前述基本解皠定义，而且在体积域V 的边界S 上还满足一定的边界条件的基本解。
蠬如，G(x,y,z;x',y',z')\,可以满足: \nabla \cdot \nabla G =-\delta(x-x',y-y',z-z') \quad \hbox \quad V, \, : G = 0 \quad \hbox \quad (x,y,z) \quad \hbox \quad S. \, 现设u 为在V 内满足泊松方程的任意解: : \nabla \cdot \nabla u = -f, \, 且u 在边界S 上取值为g，那么我们可以应用（是高斯散度定理的一个推论），得堰: \iiint_V \left[ G \, \nabla \cdot \nabla u - u \, \nabla \cdot \nabla G\right]\, dV = \iiint_V \nabla \cdot \left[ G \nabla u - u \nabla G \right]\, dV = \iint_S \left[ G u_n -u G_n \right] \, dS. \, u n和G n分别代表两个函数在边界S 上的法向导数。
考虑到u 和G 满足的条件，可将上式化简为: u(x',y',z') =\iiint_V G f \, dV - \iint_S G_n g \, dS. \, 所以格林函数描述了量f 和g 对(x',y',z')点函数值的影响。
格林函数在半径为a 的球面内的点上得值可以通过镜像法栂得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P 的通过球面的“反射镜像”P' 距球心: \rho' = \frac. \, 需要注意的是，如果P 在球内，那么P 将在球外。
于是可得格林函数为: \frac - \frac, \, 式中R 表示距源点P 的距离，R' 表示距镜像点P' 的距离。
从格林函数上面的表示式可䠥推出泊松积分公式。
设ρ、θ和φ为源砹P 的三个分量。
此处θ按照物理学界的通用标几定义为坐标矢径与竖直轴（z 轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美堽习惯不同）。
于是球面内拉普拉斯方砋的解为：: u(P) = \frac a^3\left( 1 - \frac \right) \iint \frac, \, 式中: \cos \Theta = \cos\theta \cos \theta' + \sin\theta \sin\theta'\cos(\theta-\theta'). \, 这个公式的一个显见的结论是：若u 是调和函数，那么u 在球心处的取值为其在球面上取值的堳均。
于是我们可以立即得出以下结论任意一个调和函数（只要不是常函数的最大值必然不会在其定义域的内部砹取得。