数理方程第一讲 定解问题1-1
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《数理方程》热传导的可视化演示
2.2 两端固定的弦振动
定解问题是
utt a 2 u xx , 0 x l , t 0, t 0, u (0, t ) 0,u (l , t ) 0, u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), 0 x l t
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
( x at ) 1 x at s ds 2a
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
( x at ) 1 x at s ds 2a
解是
n at n at n u ( x, t ) an cos bn sin x sin l l l n 1
n bn ( x) sin xdx n a 0 l 2
l
2 l n an ( x) sin xdx l 0 l
2.2.1 两端固定的弦振动
2.1.2 无限长的弦的自由振动
由初始条件得
0, x at 0, x at 1 1 s ds ( x at ),0 x at 1, 2a 2a 1 , 1 x at 2a 0, x at 0, 1 x at 1 s ds ( x at ),0 x at 1, 2a 2a 1 , 1 x at 2a
则解是
3na 4na bn 2 2 cos cos 7 7 n a 2l
2.2.2 两端固定的弦振动 (l 1,a 1)
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
201653041总结泛定方程初始条件边界条件dirichletneumannrobin201653042kuhuback第四节定解问题的叠加原理我们考虑一般二阶线性偏微分方程其中abc为常数f为已知函数且则上述方程可以简写为201653043ijijbucu的解则对任意的常数c在求解区域上是一致收敛的并对自变皆可逐项微分两次则u也是该齐次方程的解即lu0其中c是非齐次方程lu根据叠加原理我们可以将复杂的问题分解为一些简单的定解问题进行求解
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
2015/10/13
15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程第一章定解问题liu婧-1
utt (r ,t) T u utt (r ,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
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u2 x2
g………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u t 2
a2
u2 x2
------齐次方程
t 设作用在该弧段上的外力密度函数为 F(x,t) ，那
末该弧段 M¼M 在时刻 t所受沿轴方向的外力近
似地等于 F(x,t)x. ，于是纵向方程为
T(u (x x,t) u (x,t)) F(x,t)x u x,
定解问题的分类
初值问题(Cauchy Problem)：无边界条件（环 境对问题的影响可以忽略不计）
边值问题：无初始条件（历史对问题的影响可 以忽略不计） 第一边值问题(Dirichlet Problem) 第二边值问题(Neumann Problem) 第三边值问题(Robin Problem)
的值，即
u f , n
(1.3.10)
其中n表示 的外法线方向。式(1.3.10)称为第二类边界条 件，又称诺伊曼(Neumann)边界条件。
在边界 上给出未知函数u及其沿 的外法线方
向导数的某一线性组合的值，即
u n
u
f
(1.3.11)
式(1.3.11)称为第三类边界条件，又称罗宾(Robin)边
第一章 典型方程和定解条件的推导
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
uzz
)
0
(u u) f ( x, y, z, t )
数学物理方程
☆ 数学和物理的关系
数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程定义
用数学方程来描述一定的物理现象。
☆ 课程的内容
三个方程: 波动方程、热传导、拉普拉斯方程
四种方法: 分离变量法、行波法、积分变换法、
格林函数法
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状
为常数
c
u t
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
.
令 a2 k c
，则方程(1.2.6)化为
u t
a2
2u x2
2u y2
2u z 2
a2u.
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则
有热源的热传导方程为
ut a2u f (x, y, z, t). (1.2.8)
恒→能量守恒，扩散定律→ 热传导定律
方程：ut = D uxx+ F 标准方程：ut = a2 uxx+ F
推广3 情况：三维情况
分析：温度u成为空间变量x,y,z和 时间t的函数
方程：
cut(x, y,z，t) k(uxx uyy uzz)
cut(rv,t) ku ut(rv,t) a2u
三、稳定场方程
x
x
tt
由微分中值定理得
Tu (x x,t)x F(x,t)x u x0, 1.
xx
tt
消去x, 并取x 0极限得
Tu (x,t) F(x,t) u ,
xx
tt
即
u tt
a2u xx
f
( x, t ),
0 x L,t
0,
推广: 三维情况--位移u成为空间变量x,y,z 和时间t的函数, 忽略外力作用, 此时方 程
三者成正比, 即
dQ k u dSdt, n
对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间
t 区域为V，那么从时刻t1到时刻 2经曲面S流出的热
量为
Q1
t2 t1
S
k udSdt n
设物体的比热为c(x, y, z)，密度为ρ(x, y, z)，则在
区域V内，温度由u(x, y, z, t1)变化到u(x, y, z, t2)所
S
k1
k
第三类边界条件
概况起来，无论对弦振动问题，还是热传导问题，它 们所对应当边界条件从数学的角度看有如下三种类型：
(1)在边界上直接给出未知函数u的值，即
u f.
(1.3.9)
式(1.3.9)称为第一类边界条件，又称狄利克雷(Dirichlet) 边界条件。
(2)在边界上给出未知函数u沿边界的外法线方向
2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式
分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分 方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分 方程和非线性微分方程；线性微分方程按未 知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程，按自由项是否为零分为 齐次方程和非齐次方程；
当研究物理中各种现象(如振动、 热传导、扩散)的稳定过程时,
由于表示该过程的物理量u不随 时间t而变化, 因此 ut=0.
无外界作用情况拉普拉斯方程：
Δu = utt + uyy + uzz = 0
有外界作用情况泊松方程：
Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
2.边界条件
意义 ：反映特定环境对系统的影响 分类 ：
按条件中未知函数及其导数的次数分为线性 边界条件和非线性边界条件；
线性边界条件中，按给出的是函数值或导数 值分为第一、二、三类边界条件；
按所给数值是否为零分为齐次边界条件和非 齐次边界条件。
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
utt(x, y,z，t) T(uxx uyy uzz)
utt(rv,t) Tu utt(rv,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内 部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律, 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面 积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以及 物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导数
按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一 阶、二阶和高阶微分方程。
微分方程的基本概念例题
ut 4uxx 5x , 二阶线性非齐次偏微分方程 y" pyqy0 , 二阶线性齐次常微分方程
y'a22y xln x , 一阶线性非齐次常微分方程
utt 4uxx 5 f (x,t) , 二阶线性非齐次偏微分方程 3yy" xy'2y2 x2 , 二阶非线性非齐次常微分方程
界条件或称混合边界条件。需要注意的是上述边界
条件右端项f 都是定义在 边界上的已知函数。
对于拉普拉斯方程及泊松方程，也有上述三种边界 条件，只是由于它与时间变量t无关，式(1.3.9)， (1.3.10)，(1.3.11)右端函数f 不含t。
边界条件举例
典型线性边界条件
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
横向： T cos T 'cos '
纵向：T sin T 'sin ' gds ma y
其中：cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x பைடு நூலகம்dx,t)
u |s f S——给定区域v 的边界 第一类边界条件
(2) 绝热状态 (3)热交换状态
u n
s
0
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ
k1(u
u1)dSdt
k
u n
dSdt
k1交换系数；u1周围介质的温度
u n
u
S
u1
混合问题：同时有边界条件和初始条件。
第一章 典型方程和定解条件的推导
➢包含初值条件的定解问题称为初边值问题 （Cauchy 问题）
utt u |t0
a2uxx
(x)
0
ut |t0 (x)
( x ,t 0) ( x )
弦振动的Cauchy问题
uut|t0a2ux(xx) 0
( x ,t 0) ( x )
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
一维热传导
恒温端 u |x=0 = a 绝热端 ux|x=0 = 0 吸热端 ux|x=0 = F/k
定解问题 定解问题的组成
定解条件：描述具体对象的特殊性。 泛定方程：反映同一类现象的普遍性；
故当 u 0 时，
n
向-n方向流去。
热量实际上是
根据热量守恒定律，有
Q2 Q1
即
V
c[u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )]dv
t2 t1
k udSdt S n
假设函数u(x, y, z, t)关于x, y, z具有二阶连续偏导 数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯