数理方程复习
数理方程与特殊函数数理方程复习
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
初三数学复习资料(方程与方程组)
初三数学复习资料（方程与方程组）知识要点1.方程：含有未知数的叫做方程2.使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.3.一元一次方程：（1）在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为()0≠a.（2）解一元一次方程的步骤：①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.4．二元一次方程：含有未知数（元）并且未知数的次数是的整式方程.5. 二元一次方程组：由2个或2个以上的组成的方程组叫二元一次方程组.6. 解二元一次方程的方法有消元和消元法两种.7．一元二次方程：（1）在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.（2） 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法 （2）配方法： （3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)2b x b ac a-±=-≥.（4）因式分解法 （5）换元法8．分式方程:（1）分母中含有 的方程叫分式方程.（2）解分式方程的一般步骤：（1）去分母 （2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.二．练习题1．x 的5倍比x 的2倍大12可列方程为 . 2．如果方程2130m x-+=是一元一次方程，则m =.3．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____．4． 关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为________________.5.若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩⎨⎧==______________b a ． 6．已知2是关于x 的方程23x2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________. 7.关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23xp-=的解为_____.8．(08福建)若关于x 方程2332+-=--x mx x 无解，则m的值是 ．9. (08黄冈)分式方程3111122=---x x 的解是 ．10. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x B ．⎩⎨⎧=+=+75z y y x C ．⎩⎨⎧=-=6231y x x D ．⎩⎨⎧=-=-1y x xyy x 11. 关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+my x my x 932的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m=（ ） A ．2 B ．-1 C ．1 D ．-2 12.下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9 x2=7 x ②32y =8 ③3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0⑤2( x2+1)=10⑥24x -x-1=0A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤13.一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)后a,b,c 的值为（ ）A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，414．一元二次方程2x2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 215. 以下是方程1211=--xxx 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ ）A ．112=--x B.112=+-x C.xx 212=+-D.x x 212=--16．（08泰安）分式方程21124x x x -=--的解是（ ）A ．32-B ．2-C ．52- D ．3217.分式方程1421-=+-x x x 的解是（ ） A.71=x , 12=x B. 71=x ,12-=x C. 71-=x , 12-=x D. 71-=x 12=x18.不等式组2450x x >-⎧⎨-⎩≤的解集是（ ） （Ａ）2x >- （Ｂ）25x -<≤ （Ｃ）5x ≤ （Ｄ）无解19．中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息锐）．设到期后银行应向储户支付现金x 元，则所列方程正确的是（ ） （A ）50005000 3.06x -=⨯%（B ）5000205000(1 3.06)x +⨯=⨯+%%（C ）5000 3.06205000(1 3.06)x +⨯⨯=⨯+%%% （D ）5000 3.06205000 3.06x +⨯⨯=⨯%%% 三．解方程（1）()()() 3175301x x x --+=+； （2）21101136x x ++-=.（3）⎩⎨⎧=-=+1392x y y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=---=+1213343144y x y x(5) x2－5x －6＝0 ； (6) 3x2－4x －1＝0（用公式法）；(7) 4x2－8x ＋1＝0（用配方法）； （8）22)21()3(x x -=+1.若方程组{31x y x y +=-=与方程组{84mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值. 2.（2008湘潭）小刚、小明一起去精品文具店买同种钢笔和同种练习本，根据下面的对话解答问题：小刚：阿姨，我买3支钢笔，2个练习本，共需多少钱？售货员：刚好19元．小明：阿姨，那我买1支钢笔，3个练习本，需多少钱呢？售货员：正好需11元．（1）求出1支钢笔和1个练习本各需多少钱？（2）小明现有20元钱，需买1支钢笔，还想买一些练习本，那么他最多可买练习本多少个？3．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．复习----------小测试1．如果1x =-是方程234x m -=的根，则m 的值是 .2．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 3．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是 . 4．一元二次方程2230x x --=的根是 .5．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .6．解方程12112-=-x x 会出现的增根是（ ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=xD.2=x7．（06泸州）如果分式12-x 与33+x 的值相等,则x 的值是( )A ．9B ．7C ．5D ．38．（06临沂）如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（ ） A ．35=+y y x B ．31=-y x y C ．312=y xD ．4311=++y x9．（08宜宾）若分式122--x x 的值为0，则x的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D.2 10. 如果xy y xb a b a2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是（ ）A.x ＝－3，y ＝2B.x ＝2，y ＝－3C.x ＝－2，y ＝3D.x ＝3，y ＝－211.解方程（1）1233xx x=+--． （2）xx 4)1(2=+；（3）{4519323a b a b +=--=。
小学数学复习资料式与方程
小学数学复习资料式与方程(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--小学数学复习资料式与方程一、用字母表示数1 用字母表示数的意义和作用 * 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式3 用字母表示数的写法数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。
用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。
4将数值代入式子求值* 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。
字母表示的是数，后面不写单位名称。
* 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。
二、简易方程（一）方程和方程的解1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。
方程和算术式不同。
算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。
方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。
2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
三、解方程解方程，求方程的解的过程叫做解方程。
四、列方程解应用题1、列方程解应用题的意义* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2、列方程解答应用题的步骤* 弄清题意，确定未知数并用x表示；* 找出题中的数量之间的相等关系；* 列方程，解方程；* 检查或验算，写出答案。
3、列方程解应用题的方法* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
数理方程复习要点摘要
或 或
utt a 2 uxx
utt a2 (uxx uyy )
2 2u 2u 2u 2 u a ( 2 2 2) 2 t x y z
或
utt a2 (uxx uyy uzz )
Ay ( B B 2 AC ) x C 1 Ay ( B B 2 AC ) x C2
Ay Bx C1
返回
AC B 2 x C 2
退出
a 0 双曲型(波动) 方程
2
一维 二维 三维
2u 2u a2 2 t2 x
抛物型 uxx (2u u )x 2(2u u ) (2u u ) 4 2u 4u u 2u
x2 2 y C
x 2 2 y, x
uxy (2u u )y 2(2u u ) 4u 2u uyy (2u )y 2(2u ) 4u
退出
二阶线性偏微方程的一般形式
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 2D 2E Fu f ( x, t ) x xy y x y
双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程
A B AC B 2 0 B C A B AC B 2 0 B C A B B 2 AC 0 B C
X ( x ) X ( x ) 0 X (0) X ( L) 0
n 0,1, 2, 3,
2
X ( x ) X ( x ) 0 X (0) X ( L) 0
n 1, 2, 3,
《方程的复习课》课件
二元一次方程组的应用
总结词
二元一次方程组在日常生活和科学研究中有着广泛的 应用，如路程问题、工资问题、经济问题等。
详细描述Байду номын сангаас
二元一次方程组在许多实际问题中都有应用，例如在路 程问题中，我们可以使用二元一次方程组来表示两个物 体的相对位置和速度；在工资问题中，我们可以使用二 元一次方程组来表示工人和雇主之间的利益关系；在经 济问题中，二元一次方程组可以用来描述供求关系、价 格变动等问题。此外，在物理学、化学、工程学等领域 中，二元一次方程组也经常被用来描述各种现象和规律 。
04
方程的解法技巧
消元法
总结词
通过消除两个变量，简化方程组的方 法。
详细描述
消元法是一种常用的解线性方程组的 方法，通过加减消元或代入消元的方 式，将方程组中的变量消除，从而得 到一个或多个简单的一元一次方程， 进而求解出方程组的解。
代入法
总结词
通过将一个方程的解代入另一个方程，求解 未知数的方法。
详细描述
代入法是解线性方程组的一种基本方法，通 过将一个方程的解代入另一个方程，将一个 未知数消除，从而将问题简化为一个一元一 次方程，进而求解出未知数的值。
公式法
总结词
通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解的方法。
详细描述
公式法是一种通用的解线性方程组的方法， 通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解未知数的值。这种方法 适用于任何线性方程组，但需要对方程进行
适当的变形。
图像法
总结词
通过绘制方程的图形，直观地求解未知数的方法。
详细描述
图像法是一种直观的解线性方程组的方法，通过绘制 方程的图形，可以直观地观察到方程的解。这种方法 适用于一些简单的线性方程组，但需要具备一定的几 何基础。
方程的整理与复习
整体法
总结词
通过将一个方程中的变量看作一个整体，对方程进行变换和化简，从而求解。
详细描述
整体法是一种较为高级的解二元一次方程组的方法。首先，选择一个方程中的变量看作一个整体，进 行代数变换和化简。然后，将化简后的结果代回原来的方程组中，求得变量的值。整体法可以简化计 算过程，提高解题效率，但需要较高的代数变换技巧。
方程的几何应用问题
方程的几何应用问题
这类问题通常涉及到几何图形的性质和关系，如面积、周长、角度等。解决这 类问题需要利用几何知识建立方程，然后求解方程。
例子
已知一个直角三角形两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
THANKS
感谢观看
02
一元一次方程的解法
移项与合并同类项
移项
将方程中的某项从一边移动到另一边 ，以简化方程。
合并同类项
将方程中相同或相似的项合并在一起 ，使方程更易于解决。
系数化为
01
将方程中的未知数系数化为1，从 而找到未知数的具体数值。
02
通过两边同时除以未知数的系数 来实现。
去括号与去分母
去括号
消除方程中的括号，将其中的项展开， 以简化方程。
方程的整理与复习
• 方程的概念与分类 • 一元一次方程的解法 • 二元一次方程组的解法 • 一元二次方程的解法 • 分式方程的解法 • 方程的应用题解法
01
方程的概念与分类
方程的定义
总结词
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具。
详细描述
方程是通过数学符号和等号来表 示数量之间相等或不等的关系， 通常由等号连接两个或多个数学 表达式。
方程的分类
总结词
方程可以根据不同的标准进行分类。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程总结完整版
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
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ut a uxx 0
2
X ''( x) X ( x) 0 T '(t ) a 2T (t ) 0
' a2nt
Tn (t ) Cn e
Cn e
' a 2 n 2t
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
拉普拉斯方程： 1、矩形区域：
uxx u yy 0
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
求解非齐次方程—特征函数法
2 2u u 2 0 x l, t 0 t 2 a x 2 f ( x, t ), t 0 u (0, t ) u (l , t ) 0, u ( x, 0) u ( x, 0) ( x), ( x), 0 x l t
k 0
数理方程 复数形式的傅里叶变换
F ( )
f ( x )e
i x
dx
傅里叶变换式
1 f ( x) 2
F ( )ei x d
傅里叶逆变换式
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
分离变量(傅立叶级数)法
基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分 方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉 斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。
2 u 0 (2n 1) x 0 2n 1 , X n ( x) A sin x, 2l 2l ux x l 0
n 0,1, 2,
ux
x 0
u x l
(2n 1) 2n 1 , X n ( x) A cos x, 2l 0 2l
l
t
na f n ( ) sin (t )d l
本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
格林函数
主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程
1、 熟记第一格林公式和第二格林公式
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
w( x, t ) A(t ) x B(t ) u x (0, t ) 1 (t ) wx (0, t ) 1 (t ) u (l , t ) 2 (t ) w(l , t ) (t ) 2
w( x, t ) A(t ) x B(t ) x u x (0, t ) 1 (t ) wx (0, t ) 1 (t ) u x (l , t ) 2 (t ) w (l , t ) (t ) 2 x
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
解题步骤: 写出定解问题 边界是否齐次
N
边界齐次化 方程非齐次项和初值条件的级 数展开
Y
写出本征值、本征函数、待求 物理量的傅立叶级数展开式
代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值 写出解的表达式和系数 南京邮电大学、应用数理系
数理方程
边界齐次化（考点）
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
1 l 1 l nx a 0 f ( x)dx ak f ( x) cos dx , l 2l l l l 1 l nx bk f ( x) sin dx l l l
南京邮电大学、应用数理系
nx nx f ( x) a0 (an cos bn sin ) l l n 1
南京邮电大学、应用数理系
r 2 R '' rR ' R 0 '' 0
n n 2 , n 0,1,2,3, n An cos n Bn sin n
数理方程
2 r R '' rR ' R 0, R(0) . 若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。
将V（x,t）按W（x,t）的本征函数进行展开，如：
n 令： V vn (t )sin x l n 1 若 f ( x, t ) 表达式与x无关或可以写成关于x的正余弦 形式， f ( x, t ) 不用展开，否则， f ( x, t ) 也需要按W
的本征函数展开。
南京邮电大学、应用数理系
数理方程 波动方程 (双曲型偏微分方程)
数 学 物 数学角度 理 方 程
偏微分方程
输运方程 (抛物型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程)
积分方程 微分积分方程
定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和
历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解
条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理
南京邮电大学、应用数理系
0
2
n 0,1, 2,
数理方程
波动方程：
utt a uxx 0
2
X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a 2T (t ) 0
Tn (t ) C 'n cos a t D 'n sin a t
热传导方程：
2
南京邮电大学、应用数理系
边界条件（四种）：
X '' X 0
数理方程
2 u 0 n x 0 n x, n 1, 2, , X n ( x) A sin l l u x l 0 2 u 0 n x x 0 n x, n 0,1, 2, , X n ( x) A cos l l u 0 x x l
数理方程
将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始 条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。
'' n2 2a 2 vn ( t ) vn ( t ) f n ( t ) 2 l vn (0) 0, v 'n (0) 0
vn (t )
na 0
定解问题或简称为定解问题。 南京邮电大学、应用数理系
数理方程
三类基本方程在直角坐标系中的表示
一、 波动方程
utt a u a (uxx uyy uzz )
2 2 2
二、热传导方程
ut a u a (uxx uyy uzz )
2 2 2
三、拉普拉斯方程
2u 0 即uxx uyy uzz =0
当 =0时，R0 c0 d0 ln r,
当 =n2时, Rn cn r n dn r n
满足有界性条件 R(0) . 的通解为：
Rn cn r
n
n 0, 1, 2 ,
,
dn 0, n 0,1, 2
在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两 边的系数，达到化简叠加系数的目的.
w( x, t ) A(t ) x B (t ) u (0, t ) 1 (t ) w(0, t ) 1 (t ) u (l , t ) 2 (t ) w(l , t ) (t ) 2
w( x, t ) A(t ) x B (t ) u (0, t ) 1 (t ) w(0, t ) 1 (t ) u x (l , t ) 2 (t ) w (l , t ) (t ) 2 x
e Yn Cn
n y a
X X 0 Y Y 0
e Dn
n y a
2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：
2u 1 u 1 2u 2 0 2 2 r r r r ''( ) ( ) 0, ( ) ( 2 ),
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数理方程
定解问题＝泛定方程+定解条件 定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；
若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
边界条件确定本征值和本征函数 初始条件确定级数叠加系数 要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件， 如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却 等）以及初始条件的表述方法。
u t 0 ( x) u t t 0 ( x)
——达朗贝尔公式
( x )
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数理方程
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
通解的物理意义：
对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想 传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为 两个方向传播出去，波速为
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数理方程
数学物理方程的分类
1、线性二阶偏微分方程的一般形式
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f
f 0
该方程为齐次的
f 0
该方程为非齐次的
2 a12 a11a22 0
方程为双曲型 方程为抛物型 方程为椭圆型
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数理方程
二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法：
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0 x xy y x y
其特征方程为：
A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0
其特征方程的解即为特征线方程： 如
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数理方程
2 2V V 2 t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, t 0, V (0, t ) V (l , t ) 0, V ( x, 0) V ( x, 0) 0, 0 x l , t