数-第一章一些典型方程和定解条件的推导 作业题
数学物理方程第一章、第二章习题全解
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
习题11数学物理方程和定解条件
ρ + ε1Δ ρ ϕ +ε 2Δϕ
（ 0 < ε1 < 1 ， 0 < ε 2 < 1 ） ，
即
1
( ρ + Δρ )
Δu Δρ
−ρ
ρ + Δρ
Δu Δρ
ρ
ρ
Δρ
1 ∂ ρ ∂ρ
+
Δu 1 Δϕ
−
ϕ + Δϕ
Δu Δϕ
ϕ
ρ2
Δϕ
−
ρ m ∂ 2u
T ∂t 2
ρ + ε1Δρ ϕ + ε 2 Δϕ
=0
205．在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的吸收和增殖过程。设在单位时间 内单位体积中，吸收和增殖的中子数均正比于该时刻该处的中子浓度 u ( r , t ) ，因而净增中 子数可表为 α u ( r , t ) ， α 为比例常数。试导出 u ( r , t ) 所满足的方程。 用 q 表示单位时间流过某单位面积的中子数，有 q = − D∇u 。取一个六面体
− sin θ
θ +Δθ
∂u ⎤ 1 ⎛ ∂u k r + Δ ⎜ ⎥ ∂θ θ ⎦ Δϕ ⎜ ⎝ ∂ϕ
−
ϕ +Δϕ
= ρ ca 2 sin 2 θΔr
令 Δr , Δθ , Δϕ , Δt → 0 ，因为
Δu 。 Δt ⎡ ∂u ⎢sin (θ + Δθ ) ∂θ ⎣ − sin θ
θ +Δθ
1 Δθ
∂u ∂x
= 0 。由于左端点固定，故有 u
x=l
x=0
=0。
令（a）式中 t = 0 有 F − E S
∂u ∂x
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）函数邻域(){}δδ<-=axxaU,（即(){},U a x a x aδδδ=-<<+）(){}0,0U a x x aδδ=<-<（(){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等⇔两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX⊂，若存在正数M，使对所有Xx∈，恒有()Mxf<，称函数()xf在X上有界，或()xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx∈，使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂，对区间上任意两点21xx，当21xx<时，恒有：()()21xfxf<，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若()()21xfxf>，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称；若Dx∈∀，恒有()()xfxf=-，则称()xf是偶函数；若Dx∈∀，恒有()()xfxf-=-，则称()x f是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx∈∀，有()DTx∈±，且()()x fTxf=+，则称()x f是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① alog□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥④ arcsin（[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ； （2）31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；解：216sin )6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)
第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]5、写出函数的定义域及函数值（）. A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。
.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln xD、tan x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A【答案解析】因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]17、将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]B、(1,5]C、(1,5]D、[1,5)由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。
高等代数第1章习题解
高等代数第1章习题解第一章习题解1.1数字1的基本知识。
找到9405和5313的最大公因数解：9405？5313? 4902，5313? 4902? 411，4909? 11? 411? 三百八十八411?388?23，而(23,388)?1，所以（9405，5313）=12.设置A1、A2、，？，一z、证据（A1、A2、an）？（A1，A2，an？1），an）证据：D1号命令？（a1，a2，an），d2？（（A1A，2？An，1a）n）由D1？（a1，a2，an），？d1ai，我？1,2,?, N1.d1and1(a1,a2,,an1),(d1an)d1((a1,a2,,an1),an)d1d2在D2之前？（（a1，a2，an？1），an）？d1（a1，a2，an？1），d1and1ai(i1,2,,n1),d1andai(i1,2,,n)d2(a1,a2,,an)d2d1那么D1呢？d23．求(504,630,1764,4536)解：630=504+126，504=1264→(630,504)=1264536=21764+1008,1764=1008+756,1008=756+252,756=2523→(1764,4536)=252252=1262所以(504,630,1764,4536)=1264.设a,b,c?z,ab,ac,证明a2bc证明:ab?b?aq;ac?c?ap?bc?a2(pq)?a2bc5.设a,b?z,ab,ba,证明a??b证明:ab?b?aq;ba?a?bp?b?(bp)q?pq?1P1.A.B6.设a是整数x是任意整数,那么ax?a??1;xa?a?0证明:若ax对任意整数x成立,那么取x?1,有a1?a??1;反之,若a??1,ax显然成立;如果XA适用于任何整数x，也就是a？XP适用于任何整数x，取x？0 a？相反，如果a?0,xa显然成立.7.假设a，B，D？z、 D呢？（a，b），证明u，v的存在？z、做D？欧？Bv证明：如果是？B0，那么（a，b）？0 a？0 b？0，因此结论成立；如果a和B不都是零，那么必须有一个整数s，t来表示as？英国电信？0令所有这样的正整数组成的集合为d,即:d?{as?bt?0|s,t?z},由于d是正整数组成的集合,故必有一个最小整数,设这个正整数为d?,即有整数u,v使d??au?bv我们说d?就是a,b的最大公因数.事实上，有一个任意因素，哈，B？bv？hd？；如果d?不是a,b的公因数,不妨设d?不是a的因数,那么由带余除法,有A.DQr、 0？RD于是a?(au?bv)q?r?r?a(1?qu)?b(?qv)?r?d这与d?是d中最小数的假设矛盾.8.设p为大于1的整数，a和B为任意整数。
九年级数学上册第一章一元二次方程第6讲解一元二次方程课后练习1
第6讲解一元二次方程——公式法（二）题一：解方程：(1)2-=+x x x531(2)(24)58-=-x x x题二：解方程：(1)2178+=x x(2)22-=-(21)(3)x x题三：已知关于x的方程x2+2(2m+1)x+(2m+2)2=0．当m取什么值时，方程有两个相等的实数根？题四：当k取什么值时，关于x的方程x2+kx+k+3=0有两个相等的实数根？题五：题面：已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，当k取什么值时，方程有两个不相等的实数根．题六：若关于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+m-2=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．题七：下列方程中，无论b取什么实数，总有两个不相等的实数根的是( )A．x2+bx+1=0 B．x2+bx=b2 C．x2+bx+b=0 D．x2+bx=b2+1题八：证明：无论a取何值，方程(x-a)(x-3a+1)=1必有两个不相等的实数根．第6讲解一元二次方程——公式法（二）题一：见详解．详解：(1)方程化为25410x x--=∵a=5，b=-4，c=-1，∴△=b2-4ac=36＞0，∴x===46 10±，∴x1=1，x2=15 -．(2)方程化为22450x x+-=∵a=2，b=4，c=-5，∴△=b2-4ac=56＞0，∴x===，∴x1=1-+，x2=1--题二：见详解．详解：(1)方程化为28170x x-+=∵a=1，b=-8，c=17，∴△=b2-4ac=-4＜0，∴方程无实数解．(2) 方程化为23280x x+-=∵a=3，b=2，c=-8，∴△=b2-4ac=100＞0，∴x===210 23-±⨯，∴x1=43，x2=2-．题三：34 -．详解：∵方程x2+2(2m+1)x+(2m+2)2=0有两个相等的实数根，∴△=[2(2m+1)]2-4(2m+2)2=0，解得m=34 -，∴m=34-时，方程有两个相等的实数根．题四：6或-2．详解：∵△=k2-4(k+3)=k2-4k-12，又∵原方程有两个相等的实数根，∴k2-4k-12=0，解得k1=6，k2=-2，当k=6或k=-2，原方程有两个相等的实数根．题五：k＞98 -．详解：∵a=2，b=-(4k+1)，c=2k2-1，∴△=b2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=8k+9，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即8k+9＞0，解得k＞98 -．题六：m＞112-且m≠0．详解：根据题意得，m≠0，且△＞0，即△=[-(2m+1)]2-4m(m-2)=4m2+1+4m-4m2+8m=12m+1＞0，解得m＞112-，∴实数m的取值范围是m＞112-且m≠0．题七：D．详解：A．△=b2-4ac=b2-4×1×1=b2-4，不能保证△一定大于0，故不符合题意．B．△=b2-4ac=b2+4×1×b2=5b2≥0，方程有两个实数根，两个实数根可能相等，故不符合题意．C．△=b2-4ac=b2-4×1×b=b2-4b，不能保证△一定大于0，故不符合题意．D．△=b2-4ac=b2-4×1×[-(b2+1)]=b2+4b2+4=5b2+4＞0，方程一定有两个不相等的实数根．故选D．题八：见详解．详解：方程变形为x2-(4a-1)x+3a2-a-1=0，∵△=(4a-1)2-4(3a2-a-1)=4a2-4a+5=(2a-1)2+4，∵(2a-1)2≥0，∴△＞0，所以无论a取何值，方程(x-a)(x-3a+1)=1必有两个不相等的实数根．。
大学高等数学 第一章第一节到第四节典型例题
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当 x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
2.另两种情形 另两种情形: 另两种情形
10 . x → +∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → +∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
1.定义 定义: 定义
极限为零的变量称为无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小
么小), 定义 1 如果 于 对 任意给 定的正 ε(不 它多 数 论 么小), ),使得对于适合不等式 总存在正数δ ( 或正数 X ), 使得对于适合不等式
0 < x − x0 < δ (或 x > X )的一切x ,对应的函数值
⇒ 0 <| xn − a |< δ
故 | f ( xn ) − A |< ε
⇒ lim f ( xn ) = A
n→ ∞
设对 ∀xn , xn → a , xn ≠ a
都有
lim f ( xn ) = A
n→ ∞
要证 lim f ( x ) = A x→a
→ x→a
用反证法
若 lim f ( x ) ≠ A
1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x
( −1) n ( −1) n ∵ lim = 0, ∴ 数列{ }是当n → ∞时的无穷小. n→ ∞ n n
注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 称函数为无穷小， 称函数为无穷小 变化过程； 变化过程； 2.无穷小是变量 不能与很小的数混淆 无穷小是变量,不能与很小的数混淆 无穷小是变量 不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数
《数学分析》（上册）第一章实数集与函数试题和答案
第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集 确界原理1、 用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、 求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立 故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、 证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <， 则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ， 可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、 判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、 求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、 设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、 设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、 设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、 证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、 讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。
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题中已给出,即u(x,0) x(l x) 2, 0 x l
考虑边值条件.设温度为零的端点是在x=0处,
则有u(0,t)=0, (t>0)。另一端(x=l)有恒定热流q
进入杆内,由傅立叶定律,在边界曲面S上有
u
k n
qn
其中qn沿边界外法向n的热流强度.在x=l端,边 界外法向就是x轴的正向，而热量流入杆内,
第一章一些典型方程和定 解条件的推导
作业题-习题一
1. 长为l的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另
一端有恒定热流q进入(即单位时间通过单位
截面积流入的热量为q),杆的初始温度分布是
x(l-x)/2,试写出相应的定解问题。
解：该问题是一维热传导方程,
qn
Sn
设温度函数为u(x,t). 初始条件 0
x l
0
x
x l
u(0, t) 0, u(x, t) 0, t 0
x xl
u ( x,0)
e l
x,
u(x, t) 0, 0 x l x t0
ux(l,t)=0.
考虑初始条件。由于弦初始时刻处于静止状 态，即初速度为零，故ut(x,0)=0。而在t=0时 杆沿轴线方向被拉长e，则单位杆长的伸长 为e/l，故在x处的伸长为xe/l，即u(x,0)=ex/l.
综上述，相应的定解问题为
Fn
2u
t
2
a2
2u x 2
,
0 x l, t 0
4. 一均匀杆原长为l, 一端固定,另一端沿杆的
轴线方向被拉长e而静止,突然放手任其振动,
试建立振动方程与定解条件。 0
lx
解：设杆的位移函数为u(x,t),该
问题是杆的纵向振动问题:
2u(x, t) t 2
a
2u(x, t) x 2
,Байду номын сангаас
(0 x l, t 0)
考虑边值条件.设一端固定是在x=0处,则有 u(0,t)=0, (t>0)。另一端(x=l)放手后成为自由 端,也就是在振动过程中不受外力作用，故有
表明热流方向与x轴正向相反，即
k u q
x xl
综上述，相应的定解问题为
Sn
u
t
a2
2u x 2
,
0 x l, t 0
0
qn
x l
u(0,
t
)
0,
u(
x,
t
)
q, t0
x xl k
x(l x)
u(x,0) 2 , 0 x l