定解条件和定解问题
什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
第一章 数学物理中的偏微分方程
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
14
物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内， 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力 作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力 都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此 可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程
偏微分方程答案
第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
由虎克定律有x uE∂∂∣)](),([t v t l u k lx --== 其中k 为支承的刚度系数。
由此得边界条件)(u xuσ+∂∂∣)(t f l x == 其中E k =σ特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件)(u xuσ+∂∂∣0==l x 。
同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件x uE∂∂∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u xuσ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：hx l -=1 所以截面积2)1()(hx x s -=π。
利用第1题，得])1([)1()(2222xuh x E x t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ 若E x E =)(为常量，则得2222)1(])1[(tuh x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ §2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程()常数011122222 h t uh x a x u h x x ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ 的通解可以写成()()xh at x G at x F u -++-=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-则()()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h xu x h xv u xu x h 2,))(()()()()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+-=∂∂-+∂∂-+∂∂+-=∂∂-∂∂又 ()2222tv t u x h ∂∂=∂∂-代入原方程，得()()222221tv x h a x v x h ∂∂-=∂∂-即 222221t v a x v ∂∂=∂∂ 由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++-=,所以 ()()()x h at x G at x F u -++-=为原方程的通解。
1写出定解问题——将物理问题表述成数学方程(2)求解定
【例】 ➢ 长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为
l(1－2)，放手后自由振动。试写出该定
解问题的泛定方程。
➢ 长为l的均匀杆，一端固定，另一端受力F0 而伸长，放手后自由振动。试写出该定解 问题的泛定方程。
【例】 ➢ 长为l的均匀杆，一端固定，另一端在纵向
A 均匀弦的横振动，B 均匀杆的纵振动
② 输运方程 ut a2u 0
A 扩散方程，B 热传导方程
③ 稳定场方程 u 0
A 静电场方程，B 稳定浓度（温度）方程
作业
1.混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速 率正比于当时尚储存着的水化热密度Q，即
dQ bQ
dt
试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。
➢ 二者的关系——能量守恒定律
crut q
2. 热流由空间各点的温度差异决定
➢ 二者的关系——热传导定律：热流与温度梯度成 正比 q ku
➢ 存在热源的热传导方程一般形式
• 考虑存在热源，热源强度为单位时间内单位体 积中产生的热量，记为F(x,y,z,t) ，则方程为
crut ku F (x, y, z,t)
从而得热传导方程：
ut
a 2u xx
q (x rc
x0 )
三、稳定场方程
A 静电场的电势分布
问题：设一个静电场的电荷密度分布为r，求
该静电场中的电势分布。
解：记电势为V (x, y, z) ，电势与电场强度之间有关系：
E V
静电场高斯定理：
E
dS
1
0
rdV
将积分高斯定理 E dS EdV 代入上式，有
偏微分方程
第二节定解条件与定解问题数学院朱郁森常见的定解条件有初始条件和边界条件。
初始条件：用来说明初始状态的条件边界条件：用来说明边界约束情况的条件湖南大学数学院朱郁森一、弦振动方程的定解条件2,tt xx u a u =0,0.x l t <<>1、初始条件0(),t u x ϕ==0(),t t u x ψ==2、边界条件第一类可控制端点即端点的位移按已知规律变化。
则1(),x ug t ==2().x lug t ==特别地固定端边界条件第二类在边界上给定力设弦两端所受的横向外力分别为1(),G t 2().G t 而弦两端所受张力的横向分量分别为(0,),(,).x x Tu t Tu l t −又因弦的两端在横向方向受力平衡，所以有1(0,)()0,x Tu t G t +=2(,)()0,x Tu l t G t −+=12(0,)(),(,)(),x x u t g t u l t g t ==则相应的边界条件为其中1212()()(),(),G t G t g t g t T T=−=湖南大学数学院朱郁森特别地(0,)0,(,)0,x x u t u l t ==自由端边界条件第三类在边界上作弹性联结张力的横向分量弹性恢复力0x =x l=(0,)x Tu t (,)x Tu l t −11[(0,)()]k u t t θ−−22[(,)()]k u l t t θ−−于是有11(0,)[(0,)()]0,x Tu t k u t t θ−−=22(,)[(,)()]0,x Tu l t k u l t t θ−−−=11(0,)(0,)(),x u t u t g t σ−=22(,)(,)(),x u l t u l t g t σ+=其中1212112212,,()()(),().k k T Tk t k t g t g t T Tσσθθ===−=则相应的边界条件为例1长为l 的弦两端固定，开始时把弦在距O点处拉起来，拉起的高度为h （适当地小），然后轻轻放开让它振动，试写出描述其振动的方程与定解条件。
§2.1 定解条件
2、定解问题的适定性
在求解的偏微分方程的定解问题时，必须首先确定三 个关键问题： 1、定解问题存在性————有解； 如果定解条件过多，互相矛盾，则定解问题无解。定解 问题有解，要求所给定解条件数合适，且互相自洽，保 证定解的存在。 2、定解问题的唯一性————解是唯一的； 如果定解条件不足，则定解问题的解就不是唯一的。定 解问题如果要求有唯一解，则所给定解条件数就要合适、 充分，使得定解问题是唯一的。
K c
u ( x, t ) 0
2
①，系统被置于固定热源当中，即边界上的温度已知：
u(x,t)
S
(S , t)
②，通过边界单位时间流入系统内的热量已知，即：
q(x,t) n
xS
(S , t)
x S
根据Fourier定律： K u ( x , t ) n
u ( x , t ) t0 ( x ) , x V
2 2 例2、对于弦振动方程: u ( x , t ) tt u ( x , t ) 0
方程中存在时间的二次偏微分项，所以初始条件不但 要给出t=0时刻的温度分布即可，还要给出t=0时刻的 弦振动的运动速度，即：
第二章 偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件
§2.2、定解问题的适定性
§2.3、偏微分方程的分类
1、定解条件
由受力分析得到的偏微分方程并不能唯一地确定系统 的运动，要完全确定系统的运动还必须给定系统的边界条 件和初始条件，一般来说，偏微分方程的通解含有多个待 定常数，只有给定合适的边界条件和初始条件，才能唯一 地确定这些待定常数。 (1)、在力学分析时，只考虑了介质内部的力学性质，并 没有考虑介质通过表面和外界进行的相互作用，因此， 微分方程只适合描述内部内部。 (2)、如果问题与时间有关，我们在进行力学分析时并没 有考虑介质的历史状况，所以严格来说，系统的解是系统 历史状态的函数。
力的分解中定解条件的讨论
力的分解中定解条件的讨论
在力的分解中，我们需要讨论定解条件。
定解条件是指在分解力的过程中，我们需要满足的条件，以确保分解后的力能够准确地描述原始力的性质和作用。
1. 作用线与力的方向：首先，我们需要确保分解后的力的作用线与原始力的方向一致。
也就是说，分解后的力所作用的线应该经过原始力的作用点，并且与原始力的方向相同。
这是因为力的分解是将一个力分解成两个或多个力的合力，而这些分解力的作用线应当与原始力的作用线相同，以保持力的性质不变。
2. 力的大小和方向关系：其次，我们需要确保分解后的力的大小和方向之间存在明确的关系。
具体而言，分解后的力的大小应当与原始力的大小成比例，而它们的方向应当相互垂直。
这是因为力的分解是将一个力分解成两个或多个力的合力，而这些分解力的大小和方向之间应当有一个确定的关系，以确保它们的合力等于原始力。
3. 力的平衡条件：最后，我们需要确保分解后的力能够满足力的平衡条件。
力的平衡条件是指合力为零的条件，也就是说，分解后的力在合成时应当能够产生一个力的合力为零的状态。
这是因为力的平衡是物体保持静止或作匀速直线运动的条件之一，而在力的分解过程中，我们需要确保分解后的力能够满足这一条件，以保持物体的平衡状态。
总结起来，力的分解中的定解条件包括作用线与力的方向一致、力的大小和方向之间存在明确的关系，以及力的平衡条件能够得到满足。
这些定解条件能够确保分解后的力能够准确地描述原始力的性质和作用，并帮助我们更好地理解和分析力的作用。
2定解条件
而常说恒定表面浓度扩 散，是指硅片表面杂质 浓度维持一定，向内部 扩散。
ut u
t 0
0
0 x l / 2 2lh x 2 h (l x ) l / 2 x l l
t 0
稳定场问题与时间无关，不存在初始条件的问题． 二、边界条件： 研究具体的物理系统，还必须考虑系统
的边界上的物理状况，即边界条件． 常见的线性边界条件有三种。 1、第一类边界条件：直接可写出边界上物理量的表达式。
u s f ( x0 , y0 , z0 , t )
2、第二类边界条件：可写出边界上物理量沿边界法向方向 导数的表达式
u n
f1 ( x0 , y0 , z0 , t )
s
3、第三类边界条件： 可写出边界上物理量沿边界法向方向导数与边界上物理 量的线性组合的表达式
u （ hu) f 2 ( x0 , y0 , z0 , t ) n s
ut ( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z )
从数学角度看，输运过程方程含时间一阶导数，须有一个初始条件， 振动过程含时间二阶导数，须有两个初始条件。 注意：初始状态指的是整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初
始态．例如：长为L两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h， 然后放手任其振动.
就时间t这个目变数而论，振动方程是 t的二阶微分程，输运 方程是t的一阶微分方程，所以初始条件的提法有所不 同．对了输运过程(热传导、扩散)，初始状态指的是所研 究物理量 u(温度、浓度)初始分布.
u( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z), 为已知函数。
对于振动过程(弦、杆、膜的振动，传输线上电振动，声振动、 电磁振动)，初始状态包括初始“位移” 和初始“速度” u ( x, y, z , t ) t 0 ( x, y, z )
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定解条件和定解问题
含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。
方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。
方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。
如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。
非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。
一、定解条件
给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。
通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。
特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。
对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。
描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。
初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。
定解条件：初始条件和边界条件的统称。
非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。
1、弦振动方程 ( 2
(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>)
初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。
若以()x ϕ，
()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件
为：
边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。
（1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为：
(0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t =
当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。
（2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为：
0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t =
当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。
（3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：
000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=>
或
(,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>，
(,0)(),
0(,0)(),
t u x x x l u x x ϕψ=⎧<<⎨
=⎩
其中0l k k 和表示两端支承的弹性系数，当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。
2、热传导方程（2
(x,t),x ,)n
t u a
u f t o -=∈Ω⊂
>
初始条件是指初始时刻物体内的温度分布情况。
式中φ( x , y , z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。
边界条件是指边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种。
（1） 第一类边界条件：介质表面温度已知
式中，p 为边界面上的点。
（2）第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己
知。
（3）第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律
已知
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量。
(,,,0)(,,)
T x y z x y z ϕ=0
(,)S T
p t ϕ==, (,)n S
T T q K const f p t n n ∂∂=-==∂∂0() ()
n q T T αα=-为热交换系数0(), (,)
S
T T K T T hT f p t n n α∂∂⎛⎫
-=-+= ⎪∂∂⎝⎭
3、位势方程（泊松方程或拉普拉斯方程）
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。
定解条件不含初始条件，只有边界条件。
第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
第二边值问题，牛曼问题
第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
二、 定解问题
()
S f p ϕ=()
S
f p n
ϕ∂=∂()S
h f p n ϕ
ϕ∂+=∂
一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。
对于定解问题，通常由于定解条件的差异有下面的三种提法：
①偏微分方程（泛定方程）+初始条件+边界条件，称为初边值问题或混合问题；
②偏微分方程（泛定方程）+初始条件，称为初值问题或柯西问题；
③偏微分方程（泛定方程）边界条件，称为边值问题。
在一个偏微分方程的定解问题中，把不含未知函数及其偏导数的项，称为自由项。
如果方程中的自由项为零，则称方程为齐次方程，否则就称为非齐次方程。
如果边界条件中的自由项为零，则称边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。
例如，对于弦振动方程，当外力等于零时，方程就变为齐次方程，此时也称它为弦的自由振动方程；当弦的两端固定时，边界条件就是齐次边界条件。
三、 例题
1、长为l 的弦，两端固定于0和l 。
在中点位置将弦沿着横
向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
l
x
l/2
解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有
初始位移
2、长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，下端自由 。
电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。
试写出杆振动的定解问题。
四、 总结
==(,)t t u x t 0
2 0222=⎧∈⎪⎪=⎨
⎪-∈⎪⎩[,](,)
()[,]t h
l x x l u x t h l l x x l l
22
2
220,
(0,),0(,0)0,(,0),(0,)
(0,)(,)0,
0t x u u a x l t t x u x u x v x l u t u l t t ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪
⎨==∈⎪
⎪==≥⎩王晶（1307021066） 物理学术班。