学习二次函数的技巧和方法

二次函数专项知识分析
知识能力目标：
1、 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数
学的方法描述变量之间的数量关系。

2、 能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，提高有条理的思考和语言
表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。

3、 会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函
数性质的经验。

4、 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

5、 理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的
近似根。

考点一 二次函数的图象和性质
1、二次函数的定义和知识点：形如y=ax 2+bx+c(a ≠0，其中a 、b 、c 是常数)的函数为二次函数。

（1）、a 决定抛物线的开口方向和形状大小，当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时开口向下；︱a ︱的值越大，开口就越小；当b=0时，抛物线的轴对称是Y 轴；当c=0时，抛物线经过原点；当b 和c 同时为0时，其顶点就是原点。

（2）、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--a b ac ，a b 4422，对称轴方程是直线x =a
b 2-，注意：对称轴是由a 和b 决定的，与
c 无关，a 和b 同号时，对称轴在Y 轴的左边，a 和b 异号时，对称轴在Y 轴的右边，简称“同左异右”。

（3）、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与Y 轴的交点坐标为（0，c ）；求与X 轴的两个交点坐标的方法是令y=0，然后解关于ax 2+bx+c=0的方程，得出的x 的解就是与x 轴的交点的横坐标。

这两个交点关于抛物线的对称轴对称。

2、二次函数的图象和性质。

二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象是一条抛物线，a 决定抛物线的开口方向。

当a ＞0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；函数有最小值；且x ＞a b 2-
时，y 随x 的增大而增大；当x ＜a
b 2-时， y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线的开口向下，图象有最高点，函数有最大值，且x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＜a
b 2-时， y 随x 的增大而增大。

注意：函数的最值就是顶点的纵坐标的值，
即当
3、图象的平移：将二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象进行平移，就是在顶点式y=a(x-h)2+k 基础上进行的，平移后的图象与原图象的开口方向，形状大小相同，只是位置不同，所以a 不变；平移的口诀是h 是左加右减，K 是上加下减。

4、会求与二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）关于X 轴、关于Y 轴或者关于顶点对称的新二次函数的解析式。

（1）与二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）关于X 轴对称的新解析式为c bx ax y ---=2 即a 、c 、b 都变成相反数。

（2）关于Y 轴对称的新解析式为c bx ax y +-=2，即a 和c 不变，b 变成相反数。

即a 和c 不变，b 变成相反数。

（3）求关于顶点对称的新二次函数的解析式。

应先化成顶点式y=a(x-h)2+k ，再把a 变成相反数即可，即y=a(x-h)2+k —— y = - a (x-h)2+k
考点二、二次函数解析式的求法
1、 二次函数的三种表示方法：
（1） 表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系。

（2） 图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势。

（3） 解析式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系。

2、 二次函数解析式的求法：
（1） 若已知抛物线上三点坐标，则可采用一般式：c bx ax y ++=2（a ≠0）；
（2） 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：k h x a y +-=2)(，
其中顶点为（h,k ），对称轴为直线x=h ；
（3） 若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：))((21x x x x a y --=，其中与x 轴的交点坐标为)0,(1x ,)0,(2x ；同时，两交点在x 轴上截得的线段a
ac b x x 4221-=-
考点三 根据二次函数图象求一元二次方程的近似解
一元二次方程与二次函数的关系：
1、 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）就是二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）；当函数y 的值为0时的情况。

2、 二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）的图象与x 轴的交点有三中情况：有两个交点、
有一个交点、没有交点；二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象与x 轴有交点
时，交点的横坐标就是y =0时自变量x 的值，也就是一元二次方程02
=++c bx ax （a ≠0）的根。

3、 当二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象与x 轴的交点有两个交点时，则一元
二次方程02=++c bx ax （a ≠0）有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象与x 轴的交点有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）没有实数根；
考点四：二次函数的应用
1、 二次函数的图象、性质广泛应用于实际生活中，主要有最大利益的获取，最佳
方案的设计、最大面积的计算等问题。

2、 解决最值问题的基本思路：（1）认真审题，分清题中的已知和未知，找出数量
间的关系；（2）确定自变量x 及函数y ；（3）根据题中实际数量的相等关系，建立函数关系模型；（4）分析图表信息、利用待定系数法、配方法等求出最值。

考点五：二次函数与一次函数、反比例函数的综合运用，与各种几何图形的综合运用。

例题讲解：
1、 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如
图所示坐标系中，经过原点0的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高处距水面3
210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距离水面高度为5米以前必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

（1） 求这条抛物线的表达式。

（2） 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好姿势时距离池边的水平距离为5
33
米，问此次跳水会不会失误？通过计算说明理由。

2、 某化工厂材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格30元/千克，物
价部门规定其销售单价不得高于70元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元/千克时，日均销售60千克，单价降低1元，日均多销售2千克，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天的按一天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

（1）求y 与x 的函数表达式，并注明x 的取值范围。

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=的形式，写出顶点坐标，并画出草图，观察图象，指出单价定为多少时，日获利最多，是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多，多多少？
4已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。

若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。

将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。

问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

y
x
C B
A
O 28 题图。