三角函数的性质(单调性)
4、函数值外的符号要相同。
另外注意首先大致地判断一下有没有符号不同的 情况,以便快速解题。
1 π 例3. 函数y sin( x ), x [-2π, 2π]的单调递增区间. 2 3 1 令 解： Z x , 函数y sin Z的单调递增区间是 2 π 3 [ 2k , 2k ], k Z 2 2 1 5 由 2k x 2k , 得 4k x 4k 2 2 3 2 3 3 5 2 3 4k 1 5 于是- k 由x [总结：在解决这类问题时要“牢记五点作图、 2 , 2 ]可知， ， 12 12 4k 2 谨记整体换元、挂靠三角函数”
例2.在锐角△ABC中，试比较sin A与cosB的大小。
π π 解： 由△ABC为锐角三角形， A+B , 故A > - B 有 2 2 π π π 又0 < A < , 0 < B < 2 2 2
π 故sinA > sin( B) cosB,即sinA > cosB 2
）
练习2:下列关系式中正确的是（
总结：在解决这类问题时要“牢记五点作图、 谨记整体换元、挂靠三角函数”
-2π
5π 3
2π
π 3
练习3.
π 求函数的 y 2cos( 2 x), x [0, 2π]单调区间 3
课堂小结
3
k Z, k 0
5π π x , 而[ 5π ,π ] [-2π, ] 2π 3 3 3 3 1 π 5π π 函数y sin( x ), x [2π, 2π]的单调递增区间是[ , ]. 2 3 3 3
1 π 例3.求函数y sin( x ), x [2π, 2π]的单调递增区间. 2 3
2 2k , k Z 时，y=-1 当x= 2k ,k Z 时，y=-1
奇偶性 周期性
[
周期为2
2k ,
奇函数
周期为2 单调递增区间为
偶函数
单调性 单调递增区间为
2 2
2k ], k Z [
2k , 2k ], k Z
单调递减区间为 单调递减区间为 3 [ 2k , 2k ], k Z [2k , 2k ], k Z 2 2
1.4.2正弦函数、余弦函数的性 质（二）
主讲教师：万舒婷
一、复习回顾
(1) 正弦函数y＝sinx的图象
(2) 余弦函数y＝cosx的图象
函数 定义域
y=sin x
R [-1,1]
y=cos x
值域
R [-1,1] 当x= 2 2k , k Z 时，y=1 当x=2k , k Z 时，y=1 当x=
二、例题
23 17 sin 6 sin (1)sin 与 (3)cos( )与cos( (2)sin 与 ) 6 7 5 5 5 4 (1)sin sin 解： 5 6
• 例1. 利用三角函数的单调性比较下列各组 函数值的大小
6 0 (2) sin sin , 7 5 2 7 7
6π π π y = sin x在[0, ]上是增函数， sin = sin sin 2 7 7 5
Hale Waihona Puke 练习1：利用单调性比较各组数的大小；
（ ） 250与sin 260 1 sin 15 14
（） 2 cos 8 与cos( 9
)
54 63 (3)sin( )与sin （- ) 7 8
A、sin11 cos10 sin168 B、sin168 sin11 cos10 C、sin11 sin168 cos10 D、sin168 cos10 sin11
• 注意
1、不是同名三角函数值的需要化为同名三角函数值； 2、要将两个角转化到同一单调区间内；
23 23 3 17 17 (3) cos( ) cos cos ,cos( ) cos cos 5 5 5 4 4 4
π 3π 0 < < < π, y=cosx在[0, π]上是减函数， 4 5 π 3π cos > cos , 4 5 23π 17π 即cos( ) cos( ) 5 4
三角函数奇偶性、单调性
)-
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos 23
5
5
=cos 3 5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos
4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π
偶函数
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ]
上都是增函数 ,
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ]
上都是减函数 。
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
2
2
O
3
2 u
2
2
-1
y=y-=|ssiinnuu|
即： 增区间为 kuk,kZ
减区间为 k2 uk,kZ
k3xk,kZy为2增函数
k4xk4,kZy为减函数
4
4
2
4
所以：单调增区间为
[k2 ,k8 3](kZ)8
单调减区间为 [k38,k8 7](kZ)
(2) y=2sin(-x )
8
8
解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
2
Байду номын сангаас
+2k,
六种三角函数性质
六种三角函数性质、公式三角函数包括。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时y max=1x=2kπ-2π时y min=-1［-1,1］x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数在(kπ-2π，在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)y=secx的性质：(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；（6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；(7) 正割函数是无界函数；（8）正割函数的导数：（secx）′=secx×tarx；（9正割函数的不定积分：∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+Cy=cscx的性1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}2、值域：{y|y≤-1或y≥1}3、奇偶性：奇函数4、周期性：最小正周期为2π5、图像：图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z 余割函数与正弦函数互为倒数第一部分三角函数公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)=sinα/(1-cosα) ·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinαsec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot21+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2。
六种三角函数性质
六种三角函数性质六种三角函数性质、公式三角函数包括。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy xy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R｛x｜x∈R且x≠kπ+2,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值［-1，1］［-1,1］R Ry=secx的性质：(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；（6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；(7) 正割函数是无界函数；（8）正割函数的导数：（secx）′=secx×ta rx；（9正割函数的不定积分：∫secxdx=ln∣se cx+tanx∣+Cy=cscx的性1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}2、值域：{y|y≤-1或y≥1}3、奇偶性：奇函数4、周期性：最小正周期为2π5、图像：图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z 余割函数与正弦函数互为倒数第一部分三角函数公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)=sinα/(1-cosα) ·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinαsec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot21+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^211 / 11。
三角函数的定义、图像和性质
极值点：函数 在其周期内取 得最大值和最 小值的点，即 最值点的横坐 标
0 4
诱导公式
三角函数的诱导 公式是三角函数 性质的重要组成 部分，它可以帮 助我们简化复杂 的三角函数计算。
添加标题
诱导公式包括正 弦、余弦和正切 的诱导公式，它 们可以通过三角 函数的周期性和 对称性推导出来。
添加标题
奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x) 的函数
偶函数：满足f(-x)=f(x) 的函数
奇偶性的判断方法：根据 定义来判断
奇偶性在三角函数中的应 用：判断函数的图像对称
性
最值和零点
最大值和最小 值：三角函数 在其周期内可 以达到的最大 和最小值
0 1
零点：函数值 为零的点，即 解方程的根
0 2
周期性：三角 函数图像呈现 周期性变化， 每个周期内存 在一个最大值 和一个最小值
利用诱导公式， 我们可以将任意 角的三角函数转 化为锐角或0到 360度之间的角的 三角函数，从而
简化计算。
添加标题
诱导公式在三角 函数的图像和性 质中有着广泛的 应用，可以帮助 我们更好地理解 三角函数的性质
和图像。
添加标题
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汇报人：XX
三角函数的定义、 图像和性质
汇报人：XX
目录
01 三 角 函 数 的 定 义 02 三 角 函 数 的 图 像 03 三 角 函 数 的 性 质
01
三角函数的定义
正弦函数
定义：正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。 图像：正弦函数的图像是一个周期函数，形状类似于波浪。 性质：正弦函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
三角函数的性质对称性与单调性
03
三角函数的基本图像
正弦函数图像
1
正弦函数图像是周期函数，其周期为$2pi$。
2
正弦函数图像在$[0, pi]$区间内是单调递增的， 而在$[pi, 2pi]$区间内是单调递减的。
3
正弦函数图像关于直线$y = 0$对称，也即关于 原点对称。
余弦函数图像
余弦函数图像也是周期函数， 其周期为$2pi$。
在统计学中，三角函数用于描述数据的分布和变化规 律，如正态分布、泊松分布等。
计量经济学
在计量经济学中，三角函数用于建立经济模型和进行 预测分析，如时间序列分析、回归分析等。
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三角函数的有界性
正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx都是有界函数， 其值域分别为[-1,1]。
有界性的应用
有界性是三角函数的一个重要性质，在解决 三角函数的值域、最值等问题中有着重要的 应用。
02
三角函数的对称性
轴对称
总结词
三角函数的图像关于y轴对称，这是由于三角函数的定义和性 质决定的。
振动与波动
三角函数在描述简谐振动和波动 问题时也经常用到，例如振幅、 相位、频率等参数都可以用三角 函数来表示。
电磁波
在研究电磁波的传播和辐射时， 三角函数也扮演着重要的角色， 如电磁波的极化、偏振等现象都 可以用三角函数来描述。
在工程中的应用
01
机械振动
在机械工程中，三角函数被广泛 应用于描述各种振动现象，如弹 簧振荡、阻尼振荡等。
详细描述
三角函数在数学中有着广泛的应用，它们的图像具有特定的 对称性。例如，正弦函数和余弦函数的图像都是关于y轴对称 的。这种对称性是由三角函数的定义和性质决定的，对于理 解三角函数的性质和行为非常重要。
第4课时三角函数的单调性奇偶性周期性
y=tanx,y=cotx的最小正周期T=π
(4) y=Asin(ωx+φ)+k的周期为T=2π/ω(ω＞0) y=Atan(ωx+φ)+k的周期为T=π/ω(ω＞0)
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课前热身
1.下列函数中，在区间(0,π/2)上为增函数且以π为周期的是 ( )D
3.已知函数 f x 5sin x cos x 5 3 cos2 x 5
2
(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调区间； (3)求f(x)图象的对称轴，对称中心
3x R
【解题回顾】将函数y=f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式(即单 一形式)，才能研究其图象及性质.
2.奇偶性 y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定义域上分别是奇函数、偶函 数、奇函数.
3.周期性 (1)定义 对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，则y=f(x)叫周 期函数，T叫这个函数的周期
(2)所有周期中的最小正数叫最小正周期
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
①y 1 sin 4x 1 ②y sin x
3 3
③y tan x
4 6
④y 2
【 解 题 回 顾 】 若 三 角 函 数 y=f(x) 的 最 小 正 周 期 为 T， 则 f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必 然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判 断函数的周期性的一个有效方法是作图
高中数学三角函数的单调性知识分析
高中数学三角函数的单调性知识分析卢玉玺(安徽省临泉第二中学㊀２３６４００)摘㊀要:纵观近几年的高考数学卷ꎬ我们不难发现三角函数这部分的知识已经成为了数学高考中的一大 风景点 .但是在实际解题中ꎬ很多学生对这部分知识中的应用能力并不特别强.因此ꎬ本文中将以 三角函数中的单调性 类题目的解法为例ꎬ与同学们一起寻找此类题目的解题规律.关键词:高中数学ꎻ三角函数ꎻ单调性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２４－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:卢玉玺(１９７９.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁正弦函数的单调区间在高中数学的学习中ꎬ函数问题较为常见ꎬ其中三角函数作为同学们整个高中阶段函数学习的重点更是具有着不容忽视的地位ꎬ在三角函数类的解题中ꎬ以正弦函数的单调性类题目为例ꎬ为更好求解正弦函数的单调区间我们就可以借助诱导公式的方法.例１㊀求函数ｙ＝ｓｉｎ(π３－２ｘ)的单调区间.思路分析㊀分析题目ꎬ我们可以发现ꎬ此题中函数的ω<０ꎬ因此在本题中我们就可以先利用诱导公式将函数中ｘ的系数化为正值ꎬ然后再根据正弦函数的单调区间求出此题答案.根据这一思路我们就可以将原函数转化为ｙ＝－ｓｉｎ(２ｘ－π３)ꎬ此时所求函数的增区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的减区间ꎻ所求函数的减区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间.之后ꎬ再根据正弦函数的单调区间求法ꎬ我们就可以得到２ｋπ＋π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋３π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ＋５π１２ɤｘɤｋπ＋１１π１２(ｋɪＺ).故所求函数的增区间为[ｋπ＋５π１２ꎬｋπ＋１１π１２](ｋɪＺ).同理ꎬ在求原函数的减区间时ꎬ我们也可以沿用这种思路ꎮ在本题中ꎬ通过分析ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间ꎬ我们可知２ｋπ－π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数的减区间为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀在求三角函数的单调区间时ꎬ当不好直接对题目进行分析时就可以先借助诱导公式对其变形处理ꎬ然后再根据相应原理进行解题分析ꎬ以此提高我们的解题效率ꎬ让我们更准确地找出问题的解答策略.㊀㊀二㊁正切函数的单调区间本部分中我将以数形结合思想为例ꎬ带领大家探究利用数形结合思想求正切函数单调区间的具体方法.例２㊀求函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的单调区间.思考方式:我们可以发现题目中的正切函数是一个绝对值函数ꎬ因而在此题中我们就可以利用数形结合的方法进行求解.在解题中ꎬ我们可以先根据题目要求及已有数学经验作出ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的函数图象ꎬ因为函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜是一个偶函数ꎬ所以它的图象应该关于ｙ轴对称.通过作图分析的方式我们可以知道:当ｘ>０时ꎬｙ＝ｔａｎｘꎬ其增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ当ｘ<０时ꎬｙ＝－ｔａｎｘꎬ其减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.故此题的答案应为:ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.方式评注㊀在三角函数的单调性类题目中这种图象４２解题的方法较为常见ꎬ在如例题中的题目里ꎬ同学们就可以利用图象的方法ꎬ通过作图分析ꎬ从左到右观察图象ꎬ按照 图象中呈上升趋势的区间为增区间㊁呈下降趋势的区间为减区间 这一理念进行题目求解.㊀㊀三㊁余弦函数的单调区间三角函数的单调性部分是三角函数的主要性质之一ꎬ本部分中ꎬ我将与同学们一起探索余弦函数的单调区间求取方法.例３㊀求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的单调区间.思考方式㊀本题中的函数是一个余弦函数ꎬ我们可以利用余弦函数的单调性进行求解.在解题过程中我们可以先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后根据余弦函数的单调增区间求解方法就可以得到２ｋπ－πɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ(ｋɪＺ)ꎬｋπ－７π１２ɤｘɤｋπ－π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的增区间应为[ｋπ－７π１２ꎬｋπ－π１２](ｋɪＺ).在求函数的单调递减区间时ꎬ我们也可以用这种方法ꎬ先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后通过对题目的分析可得２ｋπɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋π(ｋɪＺ)ꎬｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的减区间应为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀对于一些比较复杂的函数ꎬ同学们就可以使用这种方法先将原函数中的式子视为一个整体ꎬ然后再利用相关定理求解.总之ꎬ在高中数学中三角函数的单调性部分的解题过程中ꎬ同学们应该注意挖掘典型题目的具体特征ꎬ并不断总结㊁不断反思ꎬ以期形成一套完整的数学解题思路ꎬ并合理地通过知识迁移及相关题目的变式练习将自己的思路运用到实际解题中ꎬ以此达到事半功倍的学习效果.㊀㊀参考文献:[１]孙月.对高中函数单调性的解析策略研究[Ｊ].新课程(中学)ꎬ２０１５(１０):６８.[２]张先龙ꎬ肖凌戆.基于数学核心素养的教学设计 以函数的单调性新授课为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１７(ｚ１):１６－１９.[责任编辑:李㊀璟]一题多解一题多变在切线方程中的运用探究伍锡浪(江西省九江第一中学㊀３３２０００)摘㊀要:本文通过对２０１３年高考数学山东卷理科第２２题的研究ꎬ引发了对圆锥曲线的切线方程的探究ꎬ体现了导数的工具性作用ꎬ进一步表明了数学教学中应提倡一题多解一题多变的探究ꎬ从而大力提高学生的探索能力和创造能力.关键词:一题多解ꎻ一题多变ꎻ圆锥曲线ꎻ切线方程ꎻ斜率ꎻ导数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２５－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:伍锡浪ꎬ江西省九江人ꎬ硕士ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:江西省教育科学 十三五 规划２０１８年度ꎬ课题«一题多解一题多变在教学中的运用研究»编号:１８ＰＴＹＢ０３６㊀㊀«普通高中数学课程标准(实验)»指出: 学生的数学学习活动不应只限于接受㊁记忆㊁模仿和练习ꎬ高中数学课程还应倡导自主探究㊁动手实践㊁合作交流㊁阅读自学等学习数学的方式. 这就要求我们在教学中重在为学生创设良好的思维情境ꎬ让学生在自主探究和合作交流的过程中体验数学发现和创造的历程ꎬ学会研究问题㊁解决问题ꎬ做到举一反三㊁触类旁通.从而大力提高学生的探索能力和创造能力.㊀㊀一㊁真题铺路㊀引出课题(２０１３年高考数学山东卷理科第２２题)椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ离心率为３２ꎬ过点５２。
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
三角函数的单调性、奇偶性、周期性
(A)f(x+2)是奇函数
(C)f(x-2)是奇函数
(B)f(x+2)是偶函数
(D)f(x-2)是偶函数
3 .已知 函 数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4， 当 f(2001)=5 时 ， f(2002)=( )B (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
4.函数y=2sin2x+sin2x是( D ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( D ) (A)若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ (B)函数y=sinx· cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2，2kπ+ π/2)，k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D) 函 数 y=sinxcos2φ-cosxsin2φ 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 则 φ=kπ/2+π/4，k∈Z
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
1 ①y sin 4 x 1 ②y sin x 3 3 x ③y tan 4 6 ④y 2
【 解 题 回 顾 】 若 三 角 函 数 y=f(x)的 最 小 正 周 期 为 T， 则 f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必 然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判 断函数的周期性的一个有效方法是作图
5 3.已知函数 f x 5 sin x cos x 5 3 cos x 3 x R 2
2
y=sinx 的单调性
y=sinx 的单调性
y=sinx 在[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z,上是增函数.在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Z,上是减函数.
sinx的其他性质：1、最值和零点：①最大值：当x=2kπ+(π/2) ，k∈Z时，y(max)=1。
②最小值：当x=2kπ+(3π/2)，k∈Z时，y(min)=-1。
零值点： (kπ,0) ，k∈Z。
2、对称性对称轴：关于直线x=(π/2)+k π，k∈Z对称。
中心对称：关于点(kπ,0)，k∈Z对称。
3、周期性最小正周期：2π。
奇偶性：奇函数 (其图象关于原点对称)。
sinx函数的相关简介：sinx函数，即正弦函数，三角函数的一种。
正弦函数是三角函数的一种。
对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。
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