分段函数及函数的性质知识梳理
(完整版)分段函数及函数的性质知识梳理
分段函数及函数的性质分段函数概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集 函数值 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 例1 设函数()221,0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩„（１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．1.设函数 ()221,20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩„（1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． （3）作出函数图像．2．设函数()41,20,1,0 3.x x f x x --<⎧=⎨-<<⎩„（1）求函数的定义域； （2）求()2(0)(1)f f f -，，； （3）作出函数图像．3 .()⎩⎨⎧>-≤+=,0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ⎡⎤⎣⎦= . 4.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5函数的性质 1 单调性概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．1 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数()f x叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．2 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．3 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间．例 判断函数42y x =-的单调性1. 已知函数f ( x )=x 2+ax +b ，且对任意的实数x 都有f (1+x )=f (1－x ) 成立。
中考知识点分段函数
中考知识点分段函数一、定义域和值域分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，其定义域为整个实数集，值域为 (-∞, +∞)。
二、分段函数的图像对于分段函数，要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，在x<0时，图像是一条斜率为1的直线，过原点，并且在x=0处有一个开口向上的拐点。
三、分段函数的连续性分段函数在分段点处可能不连续，需要通过计算极限来确定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，分段点x=0处的左极限等于0，右极限等于0，与f(0)=0相符，因此该分段函数在x=0处连续。
四、分段函数的性质1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是奇函数，第二段函数2x是偶函数，所以整个分段函数为奇函数。
2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是递增函数，第二段函数2x也是递增函数，所以整个分段函数是递增函数。
3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，在第一段函数中，最小值为3，最大值不存在；在第二段函数中，最小值不存在，最大值也不存在。
四、分段函数的应用1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题，如电话费计费等。
以电话费计费为例，某通信公司的计费标准为：前50分钟，每分钟0.5元；超过50分钟，每分钟0.3元。
假设通话时长为x分钟，对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,x<=50 0.3(x-50)+25, x>50 }。
分段函数知识点总结
分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。
一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。
例如，一个简单的分段函数可以是这样的：\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。
因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。
以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。
当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。
对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。
三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。
首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。
在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。
初二数学分段函数知识点详解
初二数学分段函数知识点详解分段函数是数学中一个非常重要的概念，在初二数学学习中也是一个重要的知识点。
本文将详细解释分段函数的概念、性质以及解题方法。
1. 概念分段函数是由两个或多个函数组成的函数，根据自变量所属的不同区间而有不同的表达式。
它的定义域分为多个不相交的区间，每个区间上都有一个函数与之对应。
常见的分段函数形式为以下两种：- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = g(x)，其中g(x)为定义在[a, b]上的函数。
- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = h(x)，其中h(x)为定义在(a, b)上的函数。
2. 性质分段函数具有以下几个性质：- 分段函数的定义域是所有子函数定义域的并集。
- 分段函数是连续函数的一个特例，它在每个子函数定义域内连续，但可能在定义域之间的交界处不连续。
- 分段函数的图像由各个子函数的图像拼接而成，形状可以是折线、曲线或是其他形式。
3. 解题方法解题时，我们需要分析函数的定义域以及每个子函数在其定义域内的表达式。
下面将通过一个具体的例子展示解题步骤：例题：已知函数f(x)由以下两个子函数组成：- 当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；- 当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：- 首先，我们需要确定函数的定义域。
根据题目中的条件，可得到整个实数集作为函数的定义域，即f(x)的定义域为(-∞, +∞)。
- 其次，我们根据不同的定义域范围，写出子函数的表达式。
当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。
- 最后，我们根据定义域的范围和子函数的表达式，可以画出函数f(x)的图像。
在x = -2这个点，需要考虑到分段函数的不连续性。
4. 例题解析我们将例题中的两个子函数进行分析：- 子函数1：f(x) = 2x - 1。
它的定义域为(-∞, -2]。
分段函数知识点总结整理
分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。
分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。
本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。
1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。
通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。
在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。
2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。
在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。
需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。
3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。
需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。
4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。
当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。
例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。
5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。
初二数学分段函数知识点解析
初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。
分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。
一、什么是分段函数分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。
通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。
二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。
因此，我们需要确定每个区间的定义域。
在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。
而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。
在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。
值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。
对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。
因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。
三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。
在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。
分段函数具有一些特殊的性质。
首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。
其次，分段函数可能具有端点处的间断点。
例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。
四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
全国高考数学复习微专题：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
高考分段函数知识点
高考分段函数知识点高考是每个学生都将经历的一次重要考试，它对于一个人的人生道路具有至关重要的影响。
其中，数学科目一直被认为是让人头疼的科目之一。
而在数学中，分段函数是一个重要的知识点。
本文将向大家介绍高考分段函数的相关知识点。
一、分段函数的定义分段函数是指由两个或多个函数组成的函数，其定义域上按照不同的条件来确定函数表达式。
通常情况下，每个函数表达式只在特定的子区间上有效。
二、分段函数的表示方式在数学中，对于分段函数的表示方式有两种常见的形式，分别是符号函数和条件函数。
1. 符号函数：符号函数是一种用数系的符号表示函数。
一般来说，符号函数的定义可以写成 f(x) = {±1, x＞0或x＜0}，表示在不同的区间上函数取不同的值。
2. 条件函数：条件函数是一种用条件表达式表示函数的形式。
它的定义可以写成 f(x) = {f₁(x), x ∈ D₁；f₂(x), x ∈ D₂；f₃(x), x ∈D₃……}，其中D₁、D₂、D₃……表示不同的区间，f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)……表示不同的函数表达式。
三、分段函数的性质1. 连续性：一段函数在其定义域上是否连续是其性质之一。
对于分段函数而言，每个子区间内的函数表达式都是连续的，即在各个子区间的边界处函数值存在且相等。
2. 求导性质：在求导过程中，需要根据不同的子区间分别对函数进行求导。
首先，找到函数在定义域内的各个子区间，然后对每个子区间内的函数进行求导，最后将求导结果合并。
3. 极值问题：对于分段函数来说，极值问题也是一个值得关注的问题。
因为分段函数在定义域的不同子区间内可能存在多个极值点，所以需要根据实际题目的条件来确定具体的极值点。
四、解题技巧1. 确定分段函数的子区间：在解答分段函数的题目时，首先需要确定函数的定义域和区间。
这一步是解题的基础，也是问题的关键。
2. 绘制函数图像：根据所给的函数表达式和子区间，可以尝试绘制出函数的图像。
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分段函数及函数的性质
分段函数
概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．
定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集 函数值 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后
再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．
注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过
这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．
分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 例1 设函数()221,
0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩
（１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．
1.设函数 ()221,
20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩
（1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． （3）作出函数图像．
2．设函数()41,
20,1,0 3.x x f x x --<⎧=⎨-<<⎩
（1）求函数的定义域； （2）求()2(0)(1)f f f -，，； （3）作出函数图像．
3 .()⎩⎨⎧>-≤+=,
0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ⎡⎤⎣⎦= . 4.已知⎩
⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5
函数的性质 1 单调性
概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．
1 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数
()f x
叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．
2 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．
3 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间．
例 判断函数42y x =-的单调性
1. 已知函数f ( x )=x 2+ax +b ，且对任意的实数x 都有f (1+x )=f (1－x ) 成立。
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数。
2．如果函数()x f =x 2+2(a -1)x+2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 值范围是（ ）。
A ．a ≥－3 B. a ≤－3 C. a ≤5 D. a ≥3
3.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ）
A 3-≤a
B 3-≥a
C 5≤a
D 5≥a
4. 若()x f =－x 2+2a x 与g ()x =1
+x a 在区间 [1，2]上是减函数，则a 的取值范围是__________
5.函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为_______________________
6函数2(62)12x x y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是________
2 奇偶性
设函数()y f x =的定义域为数集D ，对任意的x D ∈，都有x D -∈（即定义域关于坐标原点对称），且
（1）()()f x f x -=⇔函数()y f x =的图像关于y 轴对称，此时称函数()y f x =为偶函数；
（2）()()f x f x -=- ⇔函数()y f x =的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数()y f x =为奇函数．
如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性．不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数．
判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：
（1）求出函数的定义域；
（2）判断对任意的x D ∈是否都有x D -∈．若存在某个0x D ∈但x D -∉，则函
数肯定是非奇非偶函数；
（3）分别计算出()f x 与()f x -．若()()f x f x =-，则函数为偶函数；若()()f x f x =--，则函数为奇函数；若()()f x f x ≠-且()()f x f x ≠--，则函数为非奇非偶函数．
例 判断下列函数的奇偶性：
（1）()3f x x =； （2）()221f x x =+；
（3）()f x =； （4）()1f x x =-．
1 .判断下列函数的奇偶性：
（1）()f x x =； （2）()2
1f x x =； （3）()31f x x =-+； （4）()232f x x =-+
1、)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、 3
D 、 4
1.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________.
2．已知()x f 是偶函数，且()54=f ，那么()()44-+f f 的值为（ ）。
（A ） 5 (B) 10 (C ) 8 (D) 不确定 3 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
4 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .
5. 已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0<x 时， )(x f 的解析式为… （ ）
A. 32)(2-+-=x x x f
B. 32)(2---=x x x f
C. 32)(2+-=x x x f
D. 32)(2+--=x x x f
6.如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7-- 上是（ ）
A 、增函数且最小值是5-
B 、增函数且最大值是5-
C 、减函数且最大值是5-
D 、减函数且最小值是5-
3.周期性
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝________，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. 1若函数)(x f 是周期为4的函数，且(2)5,(2)f f =-=则 2 .已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)
等于
( ) A.－2 B.2 C.－98 D.98
3已知f(x)在R上是偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，当)
x时，f(x)＝2x2，
∈
+
,0(∞
则f(-7)＝_______。