正余弦定理中的范围问题(推荐)
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
正弦定理和余弦定理求解三角形中的范围 专题汇编
应用正弦定理和余弦定理求解三角形中的范围问题1.已知函数()2sin cos f x x x x =+（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A =4b c +=，求a 的取值范围. 【答案】(1) ()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[)2,4a ∈试题解析：（1）函数变形()1c o s 13s n2s i n 22223x fx x π-⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎭⎝⎭，即()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，所以单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()sin 23f A A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，0,2A π<<22333A πππ-<-<所以233A ππ-=解得3A π=，又4b c +=，在△ABC中，()()22222344b c a b c bc b c bc +=+-=+-≥=，等边三角形时等号成立，所以2a ≥，又因为是三角形所以,4b c a a +><，所以[)2,4a ∈。
2.已知函数()2sin cos 333x x x f x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若a ， b ， c 是ABC ∆的三条边，且2b ac =，边b 所对的角为x 弧度，求()f x 的最大值.【答案】(1) ()f x 的最小正周期为3T π=;(2) 4x π=时， ()f x 的1+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式可将()f x 化为2sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而可得结果；（Ⅱ）根据余弦定理以及基本不等式求得03x π<≤，结合正弦函数的图象与单调性可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为()122sin 1cos 2323x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 2sin 332x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为3T π=. （Ⅱ）因为2b ac =，所以22222cos 22a c b a c acx ac ac+-+-== 2122ac ac ac -≥=.则1cos 12x ≤<，从而03x π<≤.因为253339x πππ<+≤2sin 133x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.所以当2332x ππ+=，即4x π=时， ()f x 的最大值为12+. 3.已知a ， b ， c 分别为ABC 三个内角A ， B ， C 的对边，cos sin 0a C C b c --=.（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且a =22b c +的取值范围.【答案】（Ⅰ）3A π= （Ⅱ）12sin 226B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， 2256b c <+≤【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件，由正弦定理可得sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++（），化简可得1302sinA -︒=（） ，由此求得A 的值． （Ⅱ）由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，则()22224s i ns i n 2s i n246b c B C B π⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭ 讨论26B π-的范围，可得22b c +的取值范围.（Ⅱ）由正弦定理：sin sin sin a b c A B C==，()22224sin sin b c B C +=+= ()22cos2cos24B C --= 22cos22cos23B B π⎛⎫--- ⎪⎝⎭4cos2B B =- 2sin 246B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭又02{2032B B πππ<<<-<，得62B ππ<<， 52666B πππ<-<；所以12sin 226B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， 2256b c <+≤.4.在错误！未找到引用源。
正余弦定理中的范围问题(推荐)
1 正余弦定理中的范围（含最值）问题（编者：李成伦）范围问题，是正余弦定理中较困难的问题，也是考试比较头疼的问题。
下面通过以下几个例题来谈谈怎样解决这类问题。
一，利用角的范围，和三角函数的“有界性”相结合例：设锐角三角形ABC ，内角A,B,C 的所对的边为c b a ,,，且A b a sin 2⋅=（1）求角B 的大小（2）求 的求值范围c A cos cos +例：在三角形ABC 中，的范围求b a C c +=+=,30,62例：三角形ABC 的三个内角A,B,C 一次成等差数列（1）若C A B sin sin sin 2=，试判断∆ABC 的形状 （2）若∆ABC 为钝角三角形，且c a >，试求代数式212cos 2sin 32sin2-+A A C 的值的范围 例：ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边是c b a ,,，已知c b a B A 2cos cos +-= （1）求角A 的大小（2）求C B sin sin 的最大值二，挖掘三角形中的隐含条件例：在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边是c b a ,,，且222,c b a c b a +<>>，则角A 的取值范围是 A,⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2 B,⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ， C,⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D,⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， 例：（2011年浙江高考）在∆ABC 中，角ABC 的对边是c b a ,,已知B p C A sin sin sin =+，且241b ac = （1）1,45==b p 时，求c a ,的值 （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围 三：利用“基本不等式”求范围例：（12年陕西）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,若,2222c b a =+则C cos 的最小值为：_—— 例：（2014年新课标）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .例： （2014年陕西理）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；2 （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.例：在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,，且ac b c a 56222=-+ （1）求B C A 2sin 2sin 22++的值 （2）若的面积的最大值求三角形ABC b ,2=例，（1年全国新课标）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,，B c C b a sin cos +=已知,(1)求角B(2)若的面积的最大值求三角形ABC b ,2=例：在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,，c a C b -=2cos 2（1）求角B（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的取值范围例：已知ABC ∆是半径为R 的圆内接三角形，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-⋅(1)求角C(2)试求ABC ∆面积的最大值(3)。
专题24-解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换及解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值 4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由cos cos>⇔>仅在A B A B>⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sinA B A B一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设及面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a 的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：可知：，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时， 取最大值，此时， 由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值. 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值. 详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理 ， 所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<， 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解及三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos ,cos 44x x m ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()311f B +<≤，综上， ()f B 的取值范围为311,2⎛⎤⎥⎝⎦． 例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b c a+的取值范围.【答案】（1）3π（2）32b ca+≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin 3cos B A B -=，因为cos 0B ≠，故得3sin 2A =，从而可得锐角ABC∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b c a+的取值范围即可．试题解析：（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+， ∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π= ∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b c a+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的．例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π= (2) (]4,6【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得4332sin 232a R A ==⨯=.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( ) A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A. B.C.D. 【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， 2AB =，1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【答案】102【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值.4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和及两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯=． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =，从而得解；（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值. 试题解析： （1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC面积的最大值为33. 8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos a C c A =.（1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 31⎡⎤⎣⎦. 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C=，∴22sin 2sin 3cos 3311sin sin B C B c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=，∵43B ππ≤≤，∴1tan 3B ≤≤231c ≤≤，即c 的取值范围为31⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ABC ∆的面积S 满足2223a b c =+-． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(3tan 3C =-，又0C π<<， 23C π∴=.（2）()33cos2cos =cos2cos 2cos2322A A B A A A A π⎛⎫+-+-=+ ⎪⎝⎭=3sin 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求82cos cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值；（2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围. （2）由正弦定理sin sin b c B C=得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=在ABC ∆中，由3040{202A A C A Cπππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 2,142A π⎛⎫⎛⎫∴-∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π=(2) (3试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =，∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =.∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。
正余弦定理中的范围问题(推荐)(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑正余弦定理中的范围（含最值）问题（编者：李成伦） 范围问题，是正余弦定理中较困难的问题，也是考试比较头疼的问题。
下面通过以下几个例题来谈谈怎样解决这类问题。
一，利用角的范围，和三角函数的“有界性”相结合 例：设锐角三角形ABC ，内角A,B,C 的所对的边为c b a ,,，且A b a sin 2⋅=（1）求角B 的大小（2）求 的求值范围c A cos cos +例：在三角形ABC 中，的范围求b a C c +=+=,30,62例：三角形ABC 的三个内角A,B,C 一次成等差数列（1）若C A B sin sin sin 2=，试判断∆ABC 的形状（2）若∆ABC 为钝角三角形，且c a >，试求代数式212cos 2sin 32sin 2-+A A C 的值的范围 例：ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边是c b a ,,，已知c b a B A 2cos cos +-= （1）求角A 的大小（2）求C B sin sin 的最大值二，挖掘三角形中的隐含条件例：在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边是c b a ,,，且222,c b a c b a +<>>，则角A 的取值范围是 A,⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2 B,⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ， C,⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D,⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，例：（2011年浙江高考）在∆ABC 中，角ABC 的对边是c b a ,,已知B p C A sin sin sin =+，且241b ac =（1）1,45==b p 时，求c a ,的值 （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围三：利用“基本不等式”求范围例：（12年陕西）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,若,2222c b a =+则C cos 的最小值为：_——例：（2014年新课标）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .例： （2014年陕西理）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.例：在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,，且ac b c a 56222=-+（1）求B C A 2sin 2sin 22++的值 （2）若的面积的最大值求三角形ABC b ,2=例，（1年全国新课标）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,，B c C b a sin cos +=已知,(1)求角B(2)若的面积的最大值求三角形ABC b ,2=例：在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,，c a C b -=2cos 2（1）求角B（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的取值范围例：已知ABC ∆是半径为R 的圆内接三角形，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-⋅(1)求角C(2)试求ABC ∆面积的最大值。
正弦定理的解决范围问
正弦定理的解决范围问全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正弦定理作为三角形中重要的定理之一，被广泛应用于解决三角形中角度和边长的关系问题。
正弦定理描述了三角形中的角度和边长之间的关系，通过该定理，我们可以求解不完全已知的三角形各边长或角度。
在实际问题中，正弦定理的应用范围非常广泛，下面我们来详细探讨一下正弦定理的解决范围及其应用。
让我们来回顾一下正弦定理的表达形式。
对于一个三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，对应的三条边分别为a、b、c。
根据正弦定理可知：\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}这就是正弦定理的基本表达形式。
从这个表达式可以看出，正弦定理适用于任意的三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，都可以通过正弦定理来求解。
正弦定理还可以应用于求解已知两个角和一个边长的三角形中的另外一个角或边长。
当我们知道三角形中两个角和一个边长时，可以利用正弦定理求解第三个角的大小，或者求解另外一个边长的长度。
这种情况常常出现在实际问题中，正弦定理的灵活运用可以帮助我们快速解决这类问题。
第二篇示例：正弦定理是解决三角形中角和边之间关系的重要定理之一，它可以帮助我们在已知三角形中一些角或边的情况下，推导出其他角或边的长度。
正弦定理的应用范围非常广泛，涉及到数学、物理、工程等各个领域。
下面我们将详细介绍正弦定理的解决范围及其应用。
正弦定理是通过三角形的边和角之间的关系推导出来的。
在任意一个三角形中，我们都可以应用正弦定理来求解三角形中的各个角和边的关系。
正弦定理的表达形式为：在一个三角形ABC中，设三个角分别为A、B、C，对应的边分别为a、b、c，那么有如下式子成立：a / sinA =b / sinB =c / sinCa、b、c为三角形的三条边的长度，A、B、C为三角形的三个角的大小。
通过这个定理，我们可以求解已知三边或两边一角的三角形，也可以求解已知两角一边的三角形。
解三角形中的最值与范围问题4大题型
解三角形中的最值与范围问题4大题型解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。
一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。
一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B ．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【变式2-1】（2023·云南昆明·已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x x ωωω=-，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC周长的取值范围．【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos 2cos f x x x x x =-⋅-∈R ．（1）求函数()f x 的值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =-，a =求△ABC 的面积S 的最大值．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，AD =，2CD =，BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a b c+的取值范围.6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．参考答案【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【答案】B【解析】∵cos cos 1b A B -=，即：cos cos 1b A B =+，1a =，∴cos (cos 1)b A B a =+，∴由正弦定理得：sin cos (cos 1)sin B A B A =+，即：sin cos sin cos sin B A A B A =+，∴sin()sin B A A -=，∴B A A -=或πB A A -+=，解得：2B A =或B π=（舍），又∵△ABC 为锐角三角形，则ππ3C A B A =--=-，∴ππ0022ππ00222ππ00π322A A B A C ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<-<⎪⎪⎩⎩，解得：ππ64A <<，2π2sin 21cos 22sin(2)16B A A A A +=+-=-+，又∵ππ64A <<，∴πππ2663A <-<，∴1πsin(2262A <-<，∴π22sin(2)116A <-+<，22sin B A +的取值范围1).故选：B.【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【答案】43【解析】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系，可知22x x +>且22x x -<，解得223x <<，在ABD △中，由余弦定理，得()2212cos 2AD x ADB AD +-∠=，在ACD 中，由余弦定理，得221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()cos cos πcos ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠,所以()222212122AD x AD x AD AD+-+-=-，解得22512AD x =-，则2242251132cos 54512122x x x ADC x x -+-∠=⨯-⨯-223x <<，令2512x t -=，则1,99t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2215x t =+，()4242125x t t =++，则232131313cos 2221010105t t ADC t t t t t ++∠==⨯++≥⨯⋅+=，当且仅当1t t =，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得25x =因为3cos 05ADC ∠≥>，所以π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭．因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时24sin 1cos 5ADC ADC ∠-∠=，则4tan 3ADC ∠=，所以tan ADC ∠的最大值为43.【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【答案】（1）tan 3tan B A=-；（2）π6【解析】（1）由余弦定理可得2222cos b c a ac B =+-，代入2222b a c -=，得到()22222cos 2c a ac B a c +--=，化简得22cos 0c ac B +=，即2cos 0c a B +=.由正弦定理可得sin 2sin cos 0C A B +=，即()sin 2sin cos 0A B A B ++=，展开得sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B A B ++=，即3sin cos cos sin A B A B =-，所以tan 3tan BA=-．（2）由2222b a c -=得2222b ac -=，故222cos 2a b c C ab +-=222222b a a b ab-+-=2233444a b a b ab b a +==+≥=当且仅当223b a =，即b =时等号成立．因为()0,πC ∈，所以π6C ≤，所以C 的最大值为π6.【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）98【解析】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）,46⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）由22c b ab =+及余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()2cos 1a b C =+，由正弦定理得：()sin sin 2cos 1A B C =+，又πA B C ++=，()sin sin sin cos cos sin 2sin cos sin A B C B C B C B C B ∴=+=+⋅=+，cos sin sin cos sin B C B C B ∴-=，()sin sin C B B ∴-=，,,A B C 都是锐角，C B B ∴-=，即2C B =.（2）令113sin tan tan y C B C =-+cos cos 3sin sin sin B C C B C =-+sin cos cos sin 3sin sin sin C B C BC B C -⋅=+⋅()sin 3sin sin sin C B C B C-=+⋅，由（1）2C B =得13sin sin y C C=+，在锐角三角形ABC 中，π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即()π02π022π02B C C B C π⎧<-+<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得ππ32<<C，sin C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，令sin ,12t C ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()13,2y f t t t t ⎛⎫∴==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，又函数()13y f t t t ==+在2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，()4y f t ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭，故113sin tan tan C B C -+的取值范围是46⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）π3C =；（2）9【解析】（1）因为sin cos c B C =，所以由正弦定理得sin sin cos C B B C =，又因为()0,πB ∈，sin 0B ≠，所以sin C C =，即有tan C =又因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）因为π3C =，6a b +=，所以由余弦定理可得222222cos ()236336392a b c a b ab C a b ab ab ab +⎛⎫=+-=+--=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当3a b ==时，等号成立，所以3c ≥，故ABC 周长的最小值9.【变式2-1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）π3；（2）(+【解析】（1）根据余弦定理可知，222cos 2a c b B ac+-=，所以2cos sin 2ac B A bc =，即cos sin cos sin sin sin B A BA A b B=⇔，则tan B =()0,πB ∈，所以π3B =；（2）设π2π,23A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，根据正弦定理可知2πsin sin sin sin 3a cb A C B ====，所以2sin a A =,2π2sin 2sin 3c C A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以周长2π2sin 2sin 3a b c A A ⎛⎫++=+-+ ⎪⎝⎭12sin 2sin 2A A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭3sin A A =++π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为π2π,23A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,πππ25636A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 622πA ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π36A ⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭，所以ABC的周长为(+.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x ωωω=，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）1ω=，对称轴方程为：()ππ26k x k =+∈Z ；；（2）2.【解析】（1）211cos(2))1()cos ())cos()2222x x f x x x x ωωωωω+=-=+-，()πsin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2⨯=，因为0ω>，所以2ππ12ωω=⇒=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()()ππππ2πZ Z 6226k x k k x k +=+∈⇒=+∈，所以对称轴为()ππ26k x k =+∈Z ；（2）由πsin 6(12)1A f A ⎛⎫+=- ⇒⎪⎝⎭=-，因为(0,π)A ∈，所以ππ13ππ3π2π2(,)2666623A A A +∈⇒+=⇒=，因为a22sin ,2sin sin sin sin a b c b B c CA B C ===⇒==，π2sin 2sin 2sin 2sin 3B C B B ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1π2sin sin 2sin 223B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π(0,)3B ∈，所以ππ2π(,)333B +∈，因此ππsin ,1]2sin (2323B B ⎛⎫⎛⎫+∈⇒+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ABC周长的取值范围为2.【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【答案】（1）3π；（2）()∞+.【解析】（1）在ABC 中，由三角形面积公式得:1sin 2S bc A =，由正弦定理得：()2212sin sin 2cabc A a b A b c⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭，整理得：222a b c ab +-=，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，故3C π=．（2）因为a 3C π=，由正弦定理得32sin c A=，23cos 3sin 2sin A A b A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭===即ABC的周长()31cos 33cos 2sin 2sin 2sin A A l a b c A A A +=++=+=26cos 32224sincos 2tan222AA AA =++，因为203A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则023Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故0tan 2A<所以322tan2A +>ABC的周长的取值范围是∞）.【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【答案】（1（2）8+【解析】（1）因为,,,A B C D 四点共圆，所以πABC ADC ∠+∠=，因为3cos 5ABC ∠=-，所以3cos cos 5ADC ABC ∠=-∠=，因为()0,πADC ∠∈，故sin 54ADC ∠==，在ABC 中，由余弦定理得：22232cos 25930525AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =在ADC △中，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，5=，解得：AD（2）由（1）知：AC=3cos5ADC∠=，在ADC△中，由余弦定理得：22222523cos225AD CD AC AD CDADCAD CD AD CD+-+-∠===⋅⋅，整理得：226525AD CD AD CD+=⋅+，故()216525AD CD AD CD+-=⋅，其中22AD CDAD CD+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，故()()221645255AD CD AD CD AD CD+-=⋅≤+，解得：AD CD+≤AD CD=故四边形ABCD周长的最大值为8AB BC AD CD+++≤+【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos2cosf x x x x x=-⋅-∈R．（1）求函数()f x的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()2f A=-，a=求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）[]3,1-；（2【解析】（1）()1cos2πcos2sin2cos212sin2126xf x x x x x x+⎛⎫=⋅-⋅--=--⎪⎝⎭，∴()f x的值域为[]3,1-．（2）()π2sin2126f A A⎛⎫=--=-⎝⎭，即π1sin262A⎛⎫-=-⎪⎝⎭，由()0,πA∈,得ππ11π2<666A-<-∴π7π2=66A-，即2π3A=，又222222π32cos33a b c bc b c bc bc==+-=++≥，即1bc≤，∴11sin 12224ABC S bc A =≤⨯ ，∴()max 4ABC S =，当且仅当1b c ==时取得．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）π4；（2）4【解析】（1）法一：左边2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos B B B BB B B===+，右边sin 1tan 1sin cos cos sin tan 1sin cos 1cos CC C CC C C C CC+++===---，由题意得sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos B C CB C B C B C B C B C C+=⇒-=+-()()()sin cos 0tan 1B C B C B C ⇒+++=⇒+=-，即tan 1A =，又因为0πA <<，所以π4A =.法二：左边2sin 22sin cos tan 1cos 22cos B B BB B B===+，右边πtan tantan 1ππ4tan tan πtan 1441tan tan4C C C C C C ++⎛⎫⎛⎫==--+=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，由题意得ππππ44B C k B C k =--+⇒+=-+，又因为0πB C <+<，所以3ππ44B C A +=⇒=.（2）由11π2sin 2244ABC S a bc a bc =⨯=⇒=△，由余弦定理得222222π2cos 4a b c bc a b c =+-⇒=+，2222222211288b c b c b c b c bc ⇒=+⇒+=+≥，(82bc ⇒≥，当且仅当b c =时取“等号”，而1πsin24ABC S bc ==△，故()(min 824ABC S =-=△【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π3C =；（2）.【解析】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =，所以π3C =．（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：221a b ab =+-，因此12ab ab ≥-，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11sin (0,22ABC S ab C ===∈△，所以ABC 面积的取值范围是4．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【答案】（1）π3或2π3；（2【解析】（1）()sin sin 4sin C B a C =-，4sin s sin sin in C B a B C =，)sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，sin 2sin sin sin B C A B C =，因为sin sin 0B C ≠，所以sin2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =或2π3A =（2）因为2a =，且224b c +>，所以由余弦定理得222224cos 022b c a b c A bc bc+-+-==>，所以A 为锐角，由（1）知π3A =.因为O 是ABC 的内心，所以()()112ππππ223BOC ABC ACB A ∠=-∠+∠=--=，在OBC △中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以2222242cos3OB OC OB OC OB OC OB OC π=+-⋅=++⋅23OB OC OB OC OB OC ≥⋅+⋅=⋅，当且仅当33OB OC ==时等号成立，所以43OB OC ⋅≤，所以1142π3sin sin 2233OBC S OB OC BOC =⋅∠≤⨯=△所以OBC △33【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，3AD =，2CD =，2BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【答案】（163；（2）218【解析】（1）∵BC CD ⊥，∴426BD =+=22cos 326362ADB ∠=⋅⋅，1in 3s ADB ∠=，3sin 3BDC ∠=，6cos 36BDC ∠==∴sin sin()sin cos cos sin ADC BDC ADB BDC ADB BDC ADB∠∠∠=+=∠∠+∠∠13===；（2）设BAD ∠=α，BCD β∠=，∴23142BD αβ=+-=+-，∴2βα-=，∴1βα=，①22222212131sin 1sin sin 2sin 24S S αβαβ⎫⎛⎫+=⨯+⋅⨯=+⎪ ⎪⎭⎝⎭()222233sin 21cos sin 2144αβα⎡⎤⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎣⎦2223535321cos cos cos 222228ααααα⎛⎫⎛=--+=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当cos 6α=-，cos 8β=时取最大值218；综上，sin 3ADC ∠=，2212S S +的最大值是218.【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【答案】2⎛ ⎝【解析】在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C ==，所以1sin sin 60b A = ，即2sin b A=，因为锐角ABC ，所以090,090A C <<<< ，即090,012090A A <<<-<，解得3090A <<，所以1sin 12A <<，所以112sin A<<，<2b ⎛∈ ⎝.【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【答案】（1）3π；（2）⎡⎣【解析】（1）因为()()cos sin cos a B C B a A -=-，可得()cos cos sin cos a B C a A B A -+=，则()()cos cos sin cos a B C a B C B A --+=，所以()cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos a B C a B C a B C B C B A +--=，即sin sin sin cos a B C B A =，由正弦定理得sin sin sin sin sin cos A B C C B A =，显然sin 0C >，sin 0B >，所以sin A A ，所以tan A =()0,πA ∈，所以π3A =.（2）因为sin sin a b A B==πsin sin 3a bB ==所以3a =，b B =，所以2223sin 2sin 4sin b a a b B B b b B B +⎫=+=++⎭，因为ABC 为锐角三角形且2π3B C +=，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以ππ62B <<，即1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()34f x x x =+，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由对勾函数性质知函数()34f x x x =+在122⎛ ⎝⎭上单调递减，在,12⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f =⎝⎭()714f =，所以())2f x ∈，即)3sin 24sin B B +∈，所以3sin 6,4sin B B ⎫⎡+∈⎪⎣⎭，即22b a b+的取值范围为⎡⎣.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【答案】（1）2；（2）(【解析】（1）由条件得：211sin tan tan A B C =+cos cos sin sin B C B C =+sin cos cos sin sin sin C B C B B C +=()sin sin sin C B B C+=sin sin sin A B C =，所以2sin 2sin sin A B C =，由正弦定理得：22a bc =，所以22a bc=.（2）b c >及22a bc =，则B C >，角C 一定为锐角，又ABC 为锐角三角形，所以cos 0cos 0A B >⎧⎨>⎩由余弦定理得：2222222222222220020222020022b c a b c bcb c bc bc bc bc c b a c b bc c b ac ac ⎧⎧+-+->>⎪⎪⎧+->⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+->+-+-⎩⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩，所以2220bc c b +->，即212b b c c ⎛⎫⎛⎫<+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：11b c <<又1bc >，所以(1,1b c∈+.又22222122b c b c b c a bc c b ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令(1,1b x c =∈+，则()222112b c f x x a x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()()2211111022x x f x xx +-⎛⎫'=-=> ⎪⎝⎭，所以()f x在(1,1上递增，又()11f =，(1f =所以222b c a+的取值范围是(.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【答案】（1）π3；（2）【解析】（1）方法一：()11cos ,sin cos sin sin sin 22b Cc a B C C A B C +=∴+==+ ，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以()11sin sin cos ,0,π,sin 0,cos ,22C C B C C B =∈∴>∴= ()π0,π,3B B ∈∴=.方法二：在ABC 中，由正弦定理得：()1sin cos sin sin 2B C C A B C +==+，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以1sin cos sin 2C B C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为()π0,π,3B B ∈=.（2）方法一:222222cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，16ac ∴≤当且仅当4a c ==时取“”=，1sin 112sin ,22228ac Bac B BD b BD ac =⋅=≤max BD ∴=方法二:在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 162(b a c ac B a c ac ac ac =+-⇒=+-≥-当且仅当a c =取“=”）所以16ac ≤,所以ABC 的面积1sin24ABC S ac B ac ==≤ 122ABC S b BD BD BD =⨯=≤⇒≤ 【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.【答案】（1）1；（21【解析】（1）由sin cos sin2C B B A +=cos sin C B A B =-,cos )sin C B B C B =+-，)cos sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-cos sin B C B =,因为sin 0B ≠,1C =,即cos2C =,由()0,πC ∈得π4C =，故tan 1C =.（2）由22sin ab C c =结合余弦定理得2222cos 2sin a ab C ab b C c =+-=,则()22π2sin cos sin 4a b ab C C C ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭,于是221sin 4a a a C b b b π⎛⎫+=⨯+≤ ⎪⎝⎭,即2210a ab b -+≤.11ab≤≤,故当π4C =时，ab1.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>，则cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】222213cos212AB AC BC BC A AB AC +--==⋅，因为BC >11cos 12A <.又()0,πA ∈，所以cos A 的范围是111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+【答案】C【解析】因为πsin sin2Bb A a -=，根据正弦定理及诱导公式得sin sin sin cos2B B A A ⋅=⋅，()0,πA ∈ ，sin 0A ∴≠，sin cos2B B ∴=，即2sin cos cos 222BB B=，()0,πB ∈ ，则π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 02B ≠解得1sin22B =,所以ππ263B B =⇒=，所以1sin 24S ac B ===，所以8,ac a c =+≥，当且仅当a c ==时等号成立，根据余弦定理得b =，即b =，设ABC 的周长为C ，所以()ABC C a c a c =++=+ ，设,a c t t +=≥，则()f t t =根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：()f t 在)⎡+∞⎣上为单调增函数，故()(minf t f ==，故()min ABC C = ，当且仅当a b c ===时取等.故选：C.3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.【答案】32,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为2cos c b b A -=，所以sin sin 2sin cos C B B A -=，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，展开整理得()sin sin A B B -=，因为锐角ABC 中，ππππ,0,,,,2222A B A B A B ⎛⎫⎛⎫∈+>-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B B -=，即2A B =，由π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，得π6π4B <<，()()22πsin cos sin 2cos sin2cos21214C B A B A B B B B ⎛⎫++-=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为π6π4B <<，所以7ππ3π21244B <+<，π<sin 224B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2cos C B A B ++-的范围为32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．【答案】【解析】在ABC 中，由2cos 2b A a c +=及正弦定理得：2sin cos sin 2sin B A A C +=，而π()C A B =-+，于是2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin B A A A B A B A B +=+=+，有sin 2sin cos A A B =，而0πA <<，sin 0A >，因此1cos 2B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即有222222112()3()3()()24a c a c ac a c ac a c a c +=+-=+-≥+-=+，当且仅当a c =时取等号，从而a c +≤，而a c b +>=，则a b c <++≤所以ABC周长的取值范围为.5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a bc+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(1,5).【解析】（1）∵22c ac b +=，∴22c b ac -=-，∴由余弦定理得：2222cos 222a c b a ac a cB ac ac c+---===，即：2cos c B a c ⋅=-，由正弦定理得：2sin cos sin sin C B A C ⋅=-，∴2sin cos sin()sin sin cos sin cos sin C B B C C B C C B C ⋅=+-=+-，整理得：sin cos sin cos sin 0B C C B C --=，即：sin()sin B C C -=，又∵(0,π)B C ∈、，∴B C C -=，即：2B C =.（2）∵2B C =，∴π3A C =-，又∵sin22sin cos C C C =⋅，2sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin cos 22sin cos C C C C C C C C C C C=+=⋅+⋅=⋅+⋅，sin 0C ≠，∴由正弦定理得：sin sin sin(π3)sin2sin3sin2sin sin sin a b A B C C C Cc C C C++-++===22sin cos22sin cos 2sin cos cos22cos 2cos sin C C C C C CC C CC⋅+⋅+⋅==++2222cos 12cos 2cos 4cos 2cos 1C C C C C =-++=+-，又∵0π0π3ππ0π02π 030π0π A C B C C C C <<<-<⎧⎧⎪⎪<<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩，∴1cos 12C <<，令cos t C =，则2421a bt t c+=+-，112t <<，∵2421y t t =+-对称轴为14t =-，∴2421y t t =+-在1(,1)2上单调递增，当12t =时，11421142y =⨯+⨯-=；当1t =时，4215y =+-=，∴15a bc+<<，即：a b c +的范围为(1,5).6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．【答案】（1）π3A =；（2）()2,4-【解析】（1）由题意知，sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，所以2cos sin cos sin sin cos A C A B A B -=，则()2cos sin sin cos cos sin sin sin A C A B A B A B C =+=+=，又()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由（1）得sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，由正弦定理得cos 2cos a B c b A -=，又2a =，π3A =，所以24cos c b B -=．因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos ,12B ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()4cos 2,4B ∈-，故()22,4c b -∈-，即2c b -的取值范围为()2,4-．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．【答案】（1）π3；（2）⎝【解析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 2A C C B C ⎫⋅+=+⎪⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，所以()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3ab B C ==，所以2π3sin sin C a B b C⎛⎫- ⎪⎝⎭==132tan C⎛=+ ⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ0,32π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan 3C >，所以sin a B的取值范围是⎝．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．【答案】（1（2）(【解析】（1）若选条件①)cos sin a b C c B -=及正弦定理，)sin sin cos sin sin A B C C B-=()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=⎤⎦，化简得sin sin sin B C C B =，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以tan B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件②，由22cos a c b C -=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，即()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =,因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件③，由)()()a b a b a c c +-=-化简得，222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，即1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =，所以三个条件，都能得到π3B =.由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC的面积114πsin sin 22333S ac B ==⨯⨯=.（2）因为π3b B ==，由正弦定理得4sin sin sin a c b A C B ===，因为2ππ3A C B +=-=，所以()2π1π4sin sin 4sin sin cos 3226a c A C A A A A A ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭，因为2π03A <<，所以ππ5ππ1sin 166662A A ⎛⎫⎛⎤<+<+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，，所以(a c +∈，即(a b c ++∈，所以ABC 周长l 的取值范围为(.9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）在△ABC 中，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又因为6a b c ++=，所以22[6()]()3b c b c bc -+=+-，整理可得：124()b c bc -+=-，所以()124bc b c +=+得证.（2）由（1）可知：()124bc b c +=+，所以124bc +≥⨯，当且仅当b c =时取等号，6≥2≤，因为6b c +<2≤，则4bc ≤，所以1sin 424ABC S bc A =≤= ，故△ABC.10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π4A =；（2）()1,2【解析】（1）因为sin cos b c A a C -=，由正弦定理得sin sin sin sin cos B C A A C -=，。
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正余弦定理中的范围（含最值）问题（编者：李成伦）
范围问题，是正余弦定理中较困难的问题，也是考试比较头疼的问题。
下面通过以下几个例题来谈谈怎样解决这类问题。
一，利用角的范围，和三角函数的“有界性”相结合
例：设锐角三角形ABC ，内角A,B,C 的所对的边为c b a ,,，且A b a sin 2⋅=
（1）求角B 的大小
（2）求 的求值范围c A cos cos +
例：在三角形ABC 中，的范围求b a C c +=+=,30,62
例：三角形ABC 的三个内角A,B,C 一次成等差数列
（1）若C A B sin sin sin 2=，试判断∆ABC 的形状
（2）若∆ABC 为钝角三角形，且c a >，试求代数式2
12cos 2sin 32sin 2-+A A C 的值的范围
例：ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边是c b a ,,，已知
c b a B A 2cos cos +-= （1）求角A 的大小
（2）求C B sin sin 的最大值
二，挖掘三角形中的隐含条件
例：在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边是c b a ,,，且222,c b a c b a +<>>，则角A 的取值范围是 A,⎪⎭⎫
⎝⎛ππ，2 B,⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ， C,⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D,⎪⎭
⎫ ⎝⎛20π，
例：（2011年浙江高考）在∆ABC 中，角ABC 的对边是c b a ,,已知B p C A sin sin sin =+，且24
1b ac =
（1）1,4
5==b p 时，求c a ,的值 （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围
三：利用“基本不等式”求范围
例：（12年陕西）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,若,2222c b a =+则C cos 的最小值为：_——
例：（2014年新课标）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .
例： （2014年陕西理）
ABC ∆的内角C B A ，，
所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，
成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，
成等比数列，求B cos 的最小值.
例：在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,，且ac b c a 56222=
-+ （1）求B C A 2sin 2
sin 22++的值 （2）若的面积的最大值求三角形ABC b ,2=
例，（1年全国新课标）
在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,，B c C b a sin cos +=已知,
(1)求角B
(2)若的面积的最大值求三角形ABC b ,2=
例：在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边是c b a ,,，c a C b -=2cos 2
（1）求角B
（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的取值范围
例：已知ABC ∆是半径为R 的圆内接三角形，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-⋅
(1)求角C
面积的最大值(2)试求ABC。