正余弦定理实际应用
三角恒等变换与解三角形
学习目标：
1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题.
2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.
重难点：利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.
真 题 感 悟
1.若tan α＝2tan π5，则cos ?
???
?
α－3π10sin ?
???
?α－π5＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a
＝3，sin B ＝12，C ＝π
6
，则b ＝________.
3.在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A
sin C
＝________.
4.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________.
考 点 整 合
1.三角函数公式
(1)同角关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1，sin α
cos α
＝tan α.
(2)诱导公式：在k π
2
＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象
限”.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β
1?tan αtan β
.
(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 2.正、余弦定理、三角形面积公式
(1)a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).
变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b
2R
，
sin C ＝c
2R
；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .
(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；
推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
；
变形：b 2
＋c 2
－a 2
＝2bc cos A ，a 2
＋c 2
－b 2
＝2ac cos B ，a 2
＋b 2
－c 2
＝2ab cos
C .
(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2
bc sin A .
热点一 三角变换的应用 [微题型1] 求值
【例1－1】 (1)sin(π－α)＝－5
3且α∈? ????π，3π2，则sin ? ????π2
＋α2＝
( )
A.－
63 B.－66 C.66 D.6
3
(2)已知cos （π－2α）sin ? ???
?α－π4＝－22，则cos α＋sin α＝( )
A.－
72 B.72 C.12 D.－1
2
(3)已知tan αtan α－1＝－1，则cos 2
? ??
??
π2
＋α
－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝________. [微题型2] 求角
【例1－2】 已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝43
7，0＜β＜
π4＜α＜π
2
，则α＋β＝________. 【训练1】 设α∈? ????0，π2，β∈? ??
??0，π2，且tan α＝1＋sin β
cos β，则
( )
A.3α－β＝π2
B.2α－β＝π2
C.3α＋β＝π
2
D.2α
＋β＝π
2
热点二正、余弦定理的应用
[微题型1] 判断三角形的形状
【例2－1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
[微题型2] 解三角形
【例2－2】已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C＋3a sin C－b－c＝0.
(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. [微题型3] 求解三角形中的实际问题
【例2－3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，
到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【训练2】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角.
(1)证明：B－A＝
π
2
；(2)求sin A＋sin C的取值范围.
课堂总结：
1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用
公式；
(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运
用；
(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：
(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.
3.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin
A ＋B
2
＝
cos C
2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：
在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若
已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.
课后反思：本题为解答第一题，是所有同学需要努力得满分的，一定对
基本公式记忆牢固，熟练应用。多多练习。
参考答案：
1.解析
cos ? ????α－3π10sin ? ????α－π5＝sin ? ????π2＋α－3π10sin ? ????α－π5＝sin ?
???
?α＋π5sin ?
???
?α－π5＝
sin αcos π5＋cos αsin
π
5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan α
tan π5＋1tan αtan
π
5－1
＝2＋12－1
＝3.答案 C
2.解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π
6，
所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π
3
.
又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b
sin
π
6
，解得b ＝
1.答案 1
3.解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝7
4
，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝16＋25－362×4×5＝1
8
，
∴sin C ＝378，∴sin 2A
sin C ＝2×34×7
437
8
＝1.答案 1
4.解析 如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°，
∴设AD ＝12x ，则AE ＝22x ，DE ＝6＋2
4
x ，CD ＝m ，∵BC ＝2，∴
? ??
??
?
6＋24x ＋m ·sin 15°＝1?6＋2
4
x ＋m ＝6＋2，∴0 x ， ∴AB 的取值范围是(6－2，6＋2).]答案 (6－2，6＋2) 【例1－1】 解析 (1)sin(π－α)＝sin α＝－5 3，又α∈? ????π，3π2， ∴cos α＝－1－sin 2 α＝－ 1－? ?????－532＝－23. 由cos α＝2cos 2 α2－1，α2∈? ????π2，3π4，得cos α 2 ＝－ cos α＋1 2 ＝－66.所以sin ? ????π2＋α2＝cos α2＝－66. (2) cos （π－2α） sin ? ??? ?α－π4＝ －cos 2α2 2 （sin α－cos α）＝ －（cos 2α－sin 2α）2 2 （sin α－cos α）＝2(cos α＋sin α)＝－2 2.所以cos α＋ sin α＝－1 2 . (3)由tan αtan α－1＝－1得tan α＝12，所以cos 2 ? ?? ?? π2 ＋α －sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α ＋sin αcos α ＋2(sin 2α ＋cos 2α)＝3sin 2 α＋sin αcos α＋2cos 2 α sin 2α＋cos 2α ＝ 3tan 2 α＋tan α＋2 tan 2α＋1 ＝ 3×? ?? ??122＋12＋2 ? ?? ??122 ＋1＝135. 答案 (1)B (2)D (3)13 5 探究提高 在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即： (1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化； (2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切； (3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用. 【例1－2】解析 因为cos(2α－β)＝－1114，且π 4 ＜2α－β＜π，所 以sin(2α－β)＝53 14. 因为sin(α－2β)＝ 437，且－π4＜α－2β＜π 2 .所以cos(α－2β)＝17 ， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314× 43 7＝1 2 . 又π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.答案 π3 探究提高 解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开， 看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三 角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断. 【训练1】解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin β cos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ? ????π2－α.∵α∈? ????0，π2，β∈? ???? 0，π2， ∴α－β∈? ????－π2，π2，π2－α∈? ???? 0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ? ?? ??π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π 2. 答案 B 【例2－1】解析 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以(a 2＋b 2)(sin A cos B －cos A sin B ) ＝(a 2－b 2)(sin A cos B ＋cos A sin B )，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B . 法一 由正弦定理得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，因为sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π 2 ，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D. 法二 由正弦定理、余弦定理得a 2 b b 2＋ c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 2 2ac ，即a 2(b 2 ＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D. 探究提高 判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断.如本题既可化为角的关系A ＝B 或A ＋B ＝π 2来判断，也可化为边的关系a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2来判断.同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响. 【例2－2】解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1， 所以sin ? ????A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π 3. (2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3?C ＝2π 3－B ? ????0＜B ＜2π3，由正弦定理得 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2 sin π3 ＝4 3 ， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C .所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B × 4 3 sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝43 3·sin B ·sin ? ????2π3－B ＝433? ?? ?? ?32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ? ????2B －π6＋3 3 . 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π 3时，S △ABC 取得最 大值，最大值为233＋3 3 ＝ 3. 法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π 3， 即b 2＋c 2－bc ＝4?bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ?bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤3 4×4＝3，即当b ＝c ＝2 时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3. 探究提高 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 【例2－3】解析 在△ABC 中，AB ＝600 m ，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得 BC sin ∠BAC ＝ AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600 sin 45°，所以BC ＝300 2 m.在△BCD 中，∠ CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6 m. 。答案 100 6 探究提高 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题 归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答. 【训练2】(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ， 在△ABC 中，sin A ≠0， 所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ? ???? π2＋A .又 B 为钝角，因此π 2 ＋A ∈ ? ?? ??π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π 2. (2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－? ????2A ＋π2＝π 2－2A ＞0，所以 A ∈? ???? 0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ? ?? ??π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2 A ＋sin A ＋1＝－2? ????sin A －142＋9 8.因为0 ＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22 ， 因此2 2＜－2? ????sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是 ? ?? ?? ? 22，98. 第32课正弦定理与余弦定理的综合应用 【自主学习】 第32课正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2= 3bc，sin C3sin B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C3sin B得c3b，代入a2-b23bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b， 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 2，所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7 改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C-2a sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c2-2ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B= 2 2，因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c 成等比数列，则角B的取值范围为. 【答案】 π0 3?? ???， 【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B= 222 - 2 a c b ac + = 22- 2 a c ac ac + ≥1 2， 因为0 正余弦定理的综合应用教学设计 课题名称正余弦定理的综合应用 科目数学（高三）授课人耿向娜 一、教学内容分析 本节课为高三一轮复习中的解三角形部分的习题课。解三角形的知识在历年的高考中与三角函数向量等知识相结合，频繁出现在选择、填空和17题的位置，是学生们的重要得分点之一。本节课对2013年中出现的解三角形问题的分析解答，强化学生对解三角形的理解和巩固，同时消除他们对高考的畏惧感，提升其自信心。 二、教学目标 1、知识目标：熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、边角关系互化，同时熟练结合三角函数知识求相关函数的最值等。 2、能力目标：培养学生分析解决问题的能力，提高学生的化简计算能力 3、情感目标：让学生在直接面对高考真题的过程中，体会解决问题的快乐，提升他们的自信心，提高他们的备战能力！ 三、学情分析 我所任课的班级是高三22班是文科普通班，他们的数学基础整体上很薄弱，计算能力有待提高。通过三个多月的一轮复习，越来越多的学生对数学产生了兴趣，同时也品尝到数学成绩提高带来的喜悦，具有了一定的函数知识和解决问题的能力。 四、教学重点难点 重点正余弦定理的应用 难点公式的转化和计算 五、教法分析 本节课我利用多媒体辅助教学，采用的是教师引导下的学生自主探究式学习法。 六、教学过程 教学环节教学内容设计意图 一、基 础 知 识 回 顾回顾正弦定理：k C c B b A a = = = sin sin sin ; C k c B k b A k a sin , sin , sin= = = 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 三角形面积公式：A bc B ac C ab S sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = 通过对公式的 回顾，为本节 课解答问题提 供工具。 二、例 题 讲 解类型一：判定三角形形状 1、设在ABC ?中，若B b A a cos cos=,判定该三角形 的形状。 该题的设置目 的在于训练学 生对边角混合 式的转化。此 题可以边化 角，也可角化 边，让学生体 会正余弦定理 的应用和边角 转化的魅力。 形 直角三角形或等腰三角 或 法二：（角化边） 角形 为等腰三角形或直角三 ， 或 ） 解析：法一：（边化角 ? = = + ? = - - + ? - = - ? - + = - + ? - + = - + ? = + = + = ? = ? = b a c b a o b a c b a c b a b a b c a b a c b a ac b c a b bc a c b a B A B A B A B A B A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 . 2 2 2 2 sin 2 1 2 sin 2 1 sinBcos cos sin π π 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2. 实际问题中的常用角 (侧角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平■视线和目标视线的火角，目标视线在水平■视线白勺角叫仰角，目标视线在水平■视线下方的角叫俯角(如图①). (2) 方向角：相对丁某正方向的水平■角，如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60等； (3) 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平■角，如B点的方位角为g如图②). (4) 坡度：坡面与水平■面所成的二面角的度数. 【助学微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1) 阅读理解题意，弄活问题的实际背景，明确已知与未知，理活量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (2汁艮据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3汁艮据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)#三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 解三角形应用题常有以下两种情形 (1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. (2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 考点自测 1. (2012江苏金陵中学)已知^ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等丁 - 解析记三角形三边长为a-4, a, a+ 4,则(a + 4)2 = (a-4)2 + a2— 2a(a-4)cos 1 120，解得a= 10,故S= 2 X 10x 6X sin 120 = 15寸3. 答案15 3 2. 若海上有A, B, C三个小岛，测得A, B两岛相距10海里，/ BAC= 60°, / ABC= 75°,则B, C问的距离是__________ 渔里. ................................ BC AB - 解析由正弦正理，知sin 60° = sin 1800-60°-75°.解侍BC= 5V6(海里)? 答案5 6 三角恒等变换与解三角形 学习目标： 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题. 2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查. 重难点：利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查. 真 题 感 悟 1.若tan α＝2tan π5，则cos ? ??? ? α－3π10sin ? ??? ?α－π5＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6 ，则b ＝________. 3.在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝________. 4.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________. 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1，sin α cos α ＝tan α. (2)诱导公式：在k π 2 ＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象 限”. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β 1?tan αtan β . (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 2.正、余弦定理、三角形面积公式 解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程 教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED 正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学容解析 本课教学容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材容 本节容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学容的知识类型 在本课教学容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择 《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视 正余弦定理的综合应用 1.【河北省唐山一中2018届二练】在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 ()()3,cos sin sin cos 0b A B c A A C =+-+=． （1）求角B 的大小；（2）若ABC ?的面积为 3 2 ，求sin sin A C +的值． 2.【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在ABC ?中，点D 在AC 边上，且 3AD DC =，7AB =，3 ADB π ∠=，6 C π ∠= . （Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值. 【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系. 3.【海南省2018届二模】已知在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且 3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=. （1）求角A 的大小； （2）若3a =，12 B π = ，求ABC ?的面积. 4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围． 5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在 中，角 对边分别为 ，已知 ． （1）求角的大小；（2）若 ，求 的面积． 6.【福建省南平市2018届第一次质检】在中, 分别为角 的对边，且 . （1）若，求及； （2）若 在线段 上，且 ，求的长. 7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ， C 的对边， cos 2cos C a c B b -=，且2a c +=． [考纲传真] １．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.２．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． １．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 内容错误!＝错误!＝错误!＝２R. a２＝b２＋c２—２bc cos_A； b２＝c２＋a２—２ca cos_B； c２＝a２＋b２—２ab cos_C. 变形 （１）a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C； （２）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； （３）错误!＝错误!＝２R. cos A＝错误!； cos B＝错误!； cos C＝错误!. （１）S＝错误!a·h a（h a表示边a上的高）； （２）S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误!bc sin A； （３）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）． ３．实际问题中的常用角 （１）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角（如图１）． （２）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东３0°、北偏西４５°、西偏北60°等． （３）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α（如图２）．（４）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． [常用结论] １．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. ２．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B. ３．内角和公式的变形 （１）sin（A＋B）＝sin C； （２）cos（A＋B）＝—cos C. ４．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形． [基础自测] １．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（） （２）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.（） （３）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（） （４）当b２＋c２—a２＞0时，△ABC为锐角三角形；当b２＋c２—a２＝0时，△ABC为直角三角形；当b ２＋c２—a２＜0时，△ABC为钝角三角形． [答案] （１）×（２）√（３）×（４）× ２．（教材改编）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝错误!，B＝错误!，a＝１，则b＝（） Ａ．２Ｂ．１ Ｃ．错误!Ｄ．错误! D [由错误!＝错误!得b＝错误!＝错误!＝错误!×２＝错误!.] ３．（教材改编）在△ABC中，若a＝１8，b＝２４，A＝４５°，则此三角形有（） Ａ．无解Ｂ．两解 Ｃ．一解Ｄ．解的个数不确定 B [∵b sin A＝２４sin ４５°＝１２错误!， ∴１２错误!＜１8＜２４，即b sin A＜a＜b. 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b， 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ， 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???， 正余弦定理在实际生活中的应用 正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题. 求解此类问题的大概步骤为： （1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等； （2）根据题意画出图形； （3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答. 1.测量中正、余弦定理的应用 例1 某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ?，求角B .再解ABC ?，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）. 解：由图知，60CAD ∠=?. 22222231202123 cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===???， 3 s i n B =. 在ABC ?中，sin 24sin BC B AC A ?= =. 由余弦定理，得222 2cos BC AC AB AC AB A =+-??. 即2223124224cos60AB AB =+-????. 整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）. 答：此人所在D 处距A 还有15千米. 评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用 例2 在海岸A 处，发现北偏东45?方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75?方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以/小时 A C D 31 21 20 35? 25? 东 北 正余弦定理的应用举例 正、余弦定理的应用举例 知识梳理 一、解斜三角形应用题的一般步骤： 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题. 三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决. 典例剖析 题型一距离问题 例1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲 船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解：如图，连结，由已知， 又，是等边三角形， 由已知，，， 在中，由余弦定理，．． 因此，乙船的速度的大小为．答：乙船每小时航行海里．题型二高度问题 例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30，至点c处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。 解法一：由已知可得在AcD中， Ac=Bc=30，AD=Dc=10，ADc=180-4， =。sin4=2sin2cos2 cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角为15，建筑物高度为15 解法二：设DE=x，AE=h 在RtAcE中,+h=30在RtADE中,x+h= 两式相减，得x=5,h=15在RtAcE中,tan2== =30,=15 正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且 75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+= 余弦定理及其应用 【教学目标】 【知识与技能目标】 (1)了解并掌握余弦定理及其推导过程． (2)会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边、角方面的问题． (3)能利用计算器进行简单的计算（反三角）． 【过程与能力目标】 (1)用向量的方法证明余弦定理，不仅可以体现向量的工具性，更能加深对向量知识应用的认识． (2)通过引导、启发、诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力． 【情感与态度目标】 通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系，来体现事物之间的普遍联系与辩证统一． 【教学重点】 余弦定理的证明及应用． 【教学难点】 (1)用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索． (2)余弦定理在解三角形时的应用思路． 【教学过程】 一、引入 问：在R t △ABC 中，若C=090，三边之间满足什么关系？ 答：222b a c += 问：若C ≠090，三边之间是否还满足上述关系？ 答：应该不会有了！ 问：何以见得？ 答：假如b a ,不变，将A 、B 往里压缩，则C ＜090，且222b a c +<； 同理，假如b a ,不变，将A 、B 往外拉伸，则C ＞090，且222b a c +>． 师：非常正确！那么，这样的变化有没有什么规律呢？ 答：规律肯定会有，否则，您就不会拿它来说事了． 问：仔细观察，然后想想，到底会有什么规律呢？ 答：有点象向量的加法或减法，→→→+=a c b 或→→→-=c b a ． A C B a b c A C B a b c 【探求】 设△ABC 的三边长分别为c b a ,,， 由于→→→+=BC AB AC B ac c a b a B ac c BC B B C AB AB b BC BC BC AB AB AB AC BC AB BC AB AC AC cos 2cos 2)180cos(22) ()(2222 220222-+=+-=+-+=∴?+?+?=+?+=?∴→→→→→→→→→→→→→→→→→即即 问：仔细观察这个式子，你能否找出它的内在特点？ 答：能！式子中有三边一角，具体包括如下三个方面： 第一、左边是什么边，右边就是什么角； 第二、左边有什么边，右边就没有什么边； 第三、边是平方和，乘积那里是“减号”． 师：很好！那么，你能否仿照这个形式写出类似的另外两个？ 答：可以！它们是：A bc c b a cos 2222-+=和C abc b a c cos 2222-+=． 【总结】这就是我们今天要讲的余弦定理，现在，让我们来继续研究它的结构特点以及其应用问题． 板书课题 余弦定理及其应用 二、新课 （一）余弦定理的文字表述： 三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （二）余弦定理的另一种表述形式： bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= （三）归纳 1. 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等； 2. 每个式子中都有四个量，知道其中的三个就可以求另外的一个； 3. 当夹角为090（即三角形为直角三角形）时即为勾股定理 (特例)． A C B a b c 正余弦定理的应用 1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 2、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 3、【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b ，cos B =2 3 ，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2 B π +的值． 4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥 AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线 段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径． 已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长； （2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5 1.2正弦定理余弦定理 的应用举例 理学院 数学0701 田承恩 一、教材分析 本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。 (一)重点 1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。 2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。 (二)难点 1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。 2.用应用数学的思想解决实际问题。 (三)关键 让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。 二、学情分析 学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。 三、学习目标 (一)知识与技能 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式 2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤 (二)过程与方法 1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维品 质 2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程 (三)情感、态度与价值观 让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。 四、教学手段 计算机，ppt，黑板板书。 五、教学过程（设计） 三余弦定理及其应用举例一、三余弦定理（又叫最小角定理） 如图所示，设A为面α上一点，过A的斜线AO在面α上的射影为 AB， AC为面α内的一条直线，那么∠OAC,∠OAB,∠BAC三角的余弦关系为： OAB BAC OAC∠ ? ∠ = ∠cos cos cos(∠BAC和∠OAB只能是锐角） 不难验证：cosθ=cosθ1×cosθ2． 特别地，当∠BAC为零角时，由于1 cos0=， ∴斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角．二、应用练习 在ABC Rt?中,4 ,3 , 2 = = = ∠AC AB π A,PA是面ABC的斜线, 3 π PAC PAB = ∠ = ∠． (1)求PA与面ABC所成的角的大小； (2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上？ 图（1）图（2）图（3） 解：(1)依题意，斜线PA在面ABC上的射影必在∠BAC的角平分线上，设垂足为O，连结AO,并延长AO∩BC=D,设θ PAO= ∠,则θ即为斜线PA与面ABC所成的角, 因此 2 2 2 2 2 1 4 cos 3 cos cos= = = π π θ,∴ 4 π θ=,即斜线PA与面ABC所成的角为 4 π ； B ∵直角三角形ABC 的直角平分线长AD=7 212， ∴当延长AP 到/p 时，AD 成为斜线/Ap 的射影，垂足D 恰好落在边BC 上， ∴7 2472122/=?=Ap ， 即当PA 的长度等于 724的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上． 辅助例题.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影必在这个角的平分线上． 已知：,,,,AC PF AB PE αP αBAC ⊥⊥??∠ αPO PF PE ⊥=,， 求证：OAC OAB ∠=∠． 证明：连OA 、OE 、OF ， ∵PF PE αOF OE αPO =?⊥,,、， ∴OPE Rt ?≌OPF Rt ?，故OE=OF ； 由??? ???==⊥⊥PA PA PF PE AC PF AB PE ,PAE Rt ?≌PAF Rt ?，故AE=AF ； 由??? ???===AO AO AF AE OF OE OAE Rt ?≌OAF Rt ?，故OAC OAB ∠=∠． 说明：此结论可以作为定理来用． 正余弦定理综合应用 学校: __________ 姓_名： ________ 班_级： _________ 考_号： ____________ 一、解答题 1 ． 已 知 的 内 切 圆 面 积 为 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 若 1）求角 ； 2）当 的值最小时，求 的面积 . 2 ．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 （ 1）求 的值； 3）若 ，求 面积的最大值 ，求 的值； 1）求； 2）若，求 4 ．已知向量，，角，，为的内角，其所对的边分别为，，. 1）当取得最大值时，求角的大小； 2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围 5．在△ ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且． （1）判断△ ABC 的形状； （2）若，求的取值范围． 6 ．如图：在中，，点在线段上，且 ．求的长； Ⅱ）若，求△ DBC 的面积最大值． 7 ．在中，角的对边分别为， （1）求角的大小； 2）若的外接圆直径为2，求的取值范围 8 ．在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）求的取值范围。 42 9．设函数 f x cos 2x 2cos2 x. 3 （1）求 f x 的最大值，并写出使 f x 取最大值时x 的集合； 3 （2）已知ABC 中,角A,B,C 的边分别为a, b, c ，若 f B C 2,b c 2，求 a 的最小 值. 2 10．在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且ACB 3 . 3 （1）若a, b,c依次成等差数列，且公差为 2 ，求c的值； （2）若 c 3, ABC ，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值 第一章 解三角形 1.2 正余弦定理应用举例 一、教学目标 1.核心素养 通过学习正余弦定理应用举例,初步形成基本的数学抽象、逻辑推理与运算能力. 2.学习目标 应用正余弦定理解决三角形相应问题、解决实际问题. 3.学习重点 综合运用正余弦定理解三角形问题和实际问题. 4.学习难点 正余弦定理与三角函数知识的综合运用. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务 阅读教材P11－P16. 思考:正余弦定理的内容是什么?利用正余弦定理求解实际问题的基本步骤是什么?题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他条件? 2.预习自测 1.在△ABC 中,若∠A ＝60°,∠B ＝45°,BC ＝32,则AC ＝( ) A.4 3 B.2 3 C. 3 D.32 答案:B. 2.已知ABC ?中,a 、b 、c 分别为A,B,C 的对边, 30,34,4=∠==A b a ,则B ∠等于（ ） A. 30 B. 150 30或 C. 60 D. 60或 120 答案:D. 3.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点测出AC的距离为50m,∠45 CAB=?后,就可以计算出A、B两点 ACB=?,∠105 的距离为( ) A. B. C. m D. 2 答案:A. （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）正弦定理和余弦定理 （2）在ABC ?中,已知a 、b 和角A 时,角的情况如下: 2.问题探究 问题探究一 正弦定理与余弦定理 ●活动一 回顾正弦定理 任意三角形中,都有 sin a A ＝sin b B ＝sin c C . ●活动二 回顾正弦定理能解决的问题类型 一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? （1）已知三角形的两个角（也就知道了第三个角）与一边,求解三角形; （2）已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求解三角形. ●活动三 余弦定理及其所能求解的问题类型 利用余弦定理可以求解如下两类解三角形的问题: （1）已知三边,求三个角; （2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 问题探究二 掌握以下几个常用概念 坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平方向的夹角. 仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角. 专题4.7 正弦定理和余弦定理及其应用 【考情分析】 １．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【重点知识梳理】 1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． 图①图② 2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 4．坡度(又称坡比) 坡面的垂直高度与水平长度之比． 【典型题分析】 高频考点一解三角形中的实际问题 例１．（2020·河南省鹤壁市一中模拟）如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米． 【答案】40013 【解析】在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝ 180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得 BD sin∠DAB ＝ AD sin∠ABD ，所以 400 sin 30° ＝ AD sin 120° ，得AD＝ 4003(米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002 ×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米． 【方法技巧】利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 (1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图． (2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型． (3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解． (4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 【变式探究】（2020·山东省淄博市八中模拟）如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________． 【答案】 21 14 【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2 －2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，得BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝21 7 . 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝27 7 . 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝21 14 . 高频考点二 平面几何中的解三角形问题 例２．【2020·全国Ⅰ卷】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD == AB ⊥AC ， AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.高考第32课正弦定理与余弦定理的综合应用.docx
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