高等数学课件 第三章习题课
合集下载
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
高中数学必修三第三章习题课课件PPT
4个.故所求的概率P(A)＝140＝0.4.
解析答案
返回
达标检测
1 2345
1.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、
0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( A )
A.0.5
B.0.3
C.0.6
D.0.9
解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)
并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
解 从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为{x1，x2}， {x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}， {x3，y2}，{y1，y2}，即基本事件的总数为10. 设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相 等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( B )
1
1
1
2
A.6
B.3
C.2
D.3
解析 由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有 12＋7＋3＝22(个)，故所求概
率约为2626＝31.
解析答案
1 2345
3.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品. (1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：①连续2次取出的都是正品所 包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的 基本事件总数；
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
一 点 的 个 , 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 任 点 ,除 点 0外 f (x) < f (x0 )均 立就 何 x 了 x , 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 大 ; 函 f 一 极 值 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 何 x 了 x , 任 点 ,除 点 0外 f (x) > f (x0 )均 立就 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 小 . 函 f 一 极 值
上页 下页 返回
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
上页
下页 返回
(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
上页 下页 返回
定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
上页 下页 返回
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
上页
下页 返回
(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
上页 下页 返回
定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
高等数学第三版第三章课件(每页16张幻灯片)
A
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
ξ ，使等式
线平行于弦 AB .
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
f ( b ) − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立.
= lim
x →0
原式 = lim e
x →0
1 ln x 1− x 1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
=e .
−1
例11 求 lim+ (cot x )
(∞ )
0
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 = lim+ cot x sin x ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
+
解
原式 = lim+ e x ln x = e x → 0+ x →0
lim x ln x
=e
x →0+
1 x
=e
x →0+ −
lim
1 x 1
x2
= e 0 = 1.
20
例10 解
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
.
(1 )
=e
.
=e
ln x x → 11− x lim
(人教版)高中数学必修5课件：第3章 习题课
数学 必修5
第三章 不等式
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
2．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实 数a的取值范围是________． 解析： 利用“三个二次”之间的关系．
∵x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，
∴Δ＝a2－4×2a＜0，∴0＜a＜8. 答案： (0,8)
2x－1 6x－4 (2)原不等式可改写为 ＋1<0，即 <0， 4x－3 4x－3 2 3 ∴(6x－4)(4x－3)<0，∴3<x<4.
2 3 ∴原不等式的解集为 x 3<x<4 .
数学 必修5
第三章 不等式
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
数学 必修5
第三章 不等式
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
不等式恒成立问题
关于x的一元二次不等式2x2－8x＋6－m>0对任意
的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 思路一： a＝2>0，Δ<0 ―→ 求m的取值范围
思路二： 原不等式转化为m<2x2－8x＋6 ―→ 求gx＝2x2－8x＋6的最小值 ―→ 由m<gxmin，求m的范围
解析：
方 法 一 ： 由 题 意 得 Δ ＝ 4 － 4( － 6 － a) ＝ 28 ＋
4a≤0，即a≤－7. 方法二：a≤(x＋1)2－7对x∈R恒成立，∴a≤－7.
答案： －7
数学 必修5
第三章 不等式
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
4．某渔业公司年初用 98万元购买一艘捕鱼船，第一年各 种费用 12 万元，以后每年都增加 4 万元，每年捕鱼收益 50 万 元．问第几年开始获利？
大一高数上_1完整_第三章ppt课件
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
《高等数学(上册)》课件 第三章
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使
大学高等数学_03连续性间断点_连续函数运算_连续函数性质与习题课
第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第一章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
o
1
x
y
1
o
f ( 0 ) 1 ,
f (0 ) 1
1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 个不存在 振荡间断点
存在 ;
存在 ;
机动
目录
上页
下页
返回
结束
若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数 在其定义域内连续.
Q ( x0 , ) 0), , 都有 lim x)( x 0 R ) 只要 x0 ( lim P ( x)R ( P ) ( x0 continue
第九节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 确定函数 f ( x)
解: 间断点 x 0 , x 1
1 1 e
x 1 x
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第一章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
o
1
x
y
1
o
f ( 0 ) 1 ,
f (0 ) 1
1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 个不存在 振荡间断点
存在 ;
存在 ;
机动
目录
上页
下页
返回
结束
若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数 在其定义域内连续.
Q ( x0 , ) 0), , 都有 lim x)( x 0 R ) 只要 x0 ( lim P ( x)R ( P ) ( x0 continue
第九节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 确定函数 f ( x)
解: 间断点 x 0 , x 1
1 1 e
x 1 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f ( x) 在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,那 末在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
如果函数f ( x)在区间I上的导数恒为零, 那末f ( x)在区间I上是一个常数.
f ( x) 在 x0 处无极值.
.
定理(第二充分条件)设 f ( x)在x0 处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
定义 使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫 做函数f ( x)的驻点. 驻点和不可导点统称为临界点.
如果函数 f ( x)在 x0 及其近旁存在二阶导
数 , 则点 (x0 , f ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 )) 是拐点的必要条件是
f "( x0 ) 0
设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁. f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
2
2
那末称 f ( x) 在 I 上的图形是（向上）凸的;
如果f ( x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶 导数, 若在(a , b)内 (1) f ( x) 0,则f ( x)在[a,b]上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则f ( x)在[a,b]上的图形是凸的;
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
5. 函数的极值及其求法
定义设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是(a,b)内 的一个点,
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
实际问题求最值应注意:
1)建立目标函数; 2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最大（或最小）值．
设f ( x)在区间 I 上连续,如果对 I 上任意
两点x1, x2 ,恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x) 在 I 上的图形是（向上）凹的;
如果对区间I 上任意两点 x1, x2 ,恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内 可导. 10如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调增加； 20 如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调减少.
4. 曲线的凹凸性和拐点
定理(第一充分条件)
(1)如果当 x x0 时, f '( x) 0; 而 x x0 时,
f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果当 x x0 时 f '( x) 0; 而 x x0
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果在 x0 的两侧, f '( x) 不变号, 则
2.洛必达法则
10. 0型及 型未定式 0
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
20. 0 , ,00,1 ,0型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
注意：洛必达法则的使用条件.
3. 函数单调性的判定法
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x); (2) 求驻点，即方程 f ( x) 0 的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号或 f ( x) 在 该点的符号,判断极值点; (4) 求极值.
6. 最大值、最小值问题
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f ( x) 在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,那 末在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
如果函数f ( x)在区间I上的导数恒为零, 那末f ( x)在区间I上是一个常数.
f ( x) 在 x0 处无极值.
.
定理(第二充分条件)设 f ( x)在x0 处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
定义 使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫 做函数f ( x)的驻点. 驻点和不可导点统称为临界点.
如果函数 f ( x)在 x0 及其近旁存在二阶导
数 , 则点 (x0 , f ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 )) 是拐点的必要条件是
f "( x0 ) 0
设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁. f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
2
2
那末称 f ( x) 在 I 上的图形是（向上）凸的;
如果f ( x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶 导数, 若在(a , b)内 (1) f ( x) 0,则f ( x)在[a,b]上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则f ( x)在[a,b]上的图形是凸的;
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
5. 函数的极值及其求法
定义设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是(a,b)内 的一个点,
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
实际问题求最值应注意:
1)建立目标函数; 2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最大（或最小）值．
设f ( x)在区间 I 上连续,如果对 I 上任意
两点x1, x2 ,恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x) 在 I 上的图形是（向上）凹的;
如果对区间I 上任意两点 x1, x2 ,恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内 可导. 10如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调增加； 20 如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调减少.
4. 曲线的凹凸性和拐点
定理(第一充分条件)
(1)如果当 x x0 时, f '( x) 0; 而 x x0 时,
f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果当 x x0 时 f '( x) 0; 而 x x0
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果在 x0 的两侧, f '( x) 不变号, 则
2.洛必达法则
10. 0型及 型未定式 0
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
20. 0 , ,00,1 ,0型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
注意：洛必达法则的使用条件.
3. 函数单调性的判定法
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x); (2) 求驻点，即方程 f ( x) 0 的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号或 f ( x) 在 该点的符号,判断极值点; (4) 求极值.
6. 最大值、最小值问题
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)