盐城2019届高三三模数学试题及答案
2019年盐城三模数学试卷
an 恒成立，
∴ kn
an ， rn
a1 ，代入
kn1rn1 k n rn
q2 得
an1a1 an a1
q2 ，即
an1 an
q2 ，
所以数列 an是等比数列.
……………………………14 分
③当 0 q 1时， 0 k r n1 n1 1，得 k r n1 n1 q2 1，
k n rn
k n rn
所以 (t )
(1)
e e
1 1
，即
x1
x3
≤
e e
1 1
.
…………………………16 分
20．解：①在
Sn
n2 +na1 2
中，令 n
1 ，得
a1
S1
1+a1 2
，解得 a1
1，∴ Sn
n2 +n 2
，
当n
≥
2
时，
an
Sn
Sn 1
n2 +n 2
(n
1)2 +(n 2
1)
n
，
综上 an n, (n N ) .
4
2m 5
,
x1x2
2m2 4 5.又 NhomakorabeaQOPR
，所以
kQO
kPR
1 ，得
y1 x1
y2 1 x2 2
1，
……………………8 分
即
2x1 m x1
2x2 x2
m 2
1
1
，整理得，
3x1x2
2m(x1 x2 ) m 2 m 0 ，…………12 分
所以 3 2m2 4 2m 4 2m m2 m 0 ，
江苏省七市2019届高三第三次调研考试数学试卷 Word版含答案
2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合U ＝{－1，0，2，3}，A ＝{0，3}，则∁U A ＝________．2. 已知复数z ＝a ＋i1＋3i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4时，则输入x 的值为________．4. 已知一组数据6，6， 9，x ，y 的平均数是8，且xy ＝90，则该组数据的方差为________．5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________． 7. 已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为ab4，则该双曲线的离心率为________．9. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝3 cm ，BC ＝1 cm ，CD ＝2 cm.将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm 3.10. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝sin 2x 与y ＝18tan x 在(π2，π)上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为________．11. 如图，在正六边形ABCDEF 中，若AD →＝λAC →＋μAE →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．(第11题)(第12题)12. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙________m 时，视角θ最大．13. 已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3a ，g(x)＝2x －1.若对任意x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f(x 1)|≤g(x 2)成立，则实数a 的值为________．14. 在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝2，AD ＝1.若AB →·AC →＋BA →·BC →＝43CA →·CB →，则CB ＋12CD 的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a(sin A －sin B)＝(c －b)(sin B ＋sin C)．(1) 求角C 的值；(2) 若a ＝4b ，求sin B 的值．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，BP ＝BC ，点E ，F 分别是PC ，AD 的中点．求证：(1) BE ⊥CD ； (2) EF ∥平面PAB.(本小题满分14分)17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A(0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a24经过点M(0，1)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N.若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率．18. (本小题满分16分)南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m ，宽1.5 m 的长方形牛皮纸ABCD 裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB ，AD 上取点E ，F ，将三角形AEF 沿直线EF 翻折到A′EF 处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A ′F 裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.(1) 若点E 恰好与点B 重合，且点A′在BD 上，如图2，求风筝面ABA′F 的面积； (2) 当风筝面AEA′F 的面积为 3 m 2时，求点A′到AB 距离的最大值．19. (本小题满分16分)已知数列{a n }满足(na n －1－2)a n ＝(2a n －1)a n －1(n ≥2)，b n ＝1a n －n(n ∈N *)．(1) 若a 1＝3，求证：数列{b n }是等比数列； (2) 若存在k ∈N *，使得1a k ，1a k ＋1，1a k ＋2成等差数列．①求数列{a n }的通项公式；②求证：ln n ＋12a n ＞ln(n ＋1)－12a n ＋1.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax21＋ln x (a ≠0)，e 是自然对数的底数．(1) 当a ＞0时，求f(x)的单调增区间；(2) 若对任意的x ≥12，f(x)≥2e b －1(b ∈R )，求b a的最大值；(3) 若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋e x＜0的解集.2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为(4，π2)，(22，5π4)，曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)．(1) 求直线AB 的直角坐标方程；(2) 若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．C.(选修45：不等式选讲)已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －1|＋|a|＝0有实根，求a 的取值范围． 【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．表1(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．(1) 求2P 2－Q 2的值； (2) 化简nP n －Q n .2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学参考答案及评分标准1. {－1，2}2. －33. －14. 1455. 12 6. (－2，0)∪(2，＋∞) 7. 14 8. 29. 7π3 10. －15811. 43 12. 6 13. －13 14. 26215. 解：(1) 在△ABC 中， 因为a(sin A －sin B)＝(c －b)(sin B ＋sin C)， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以a(a －b)＝(b ＋c)(c －b)，(3分) 即a 2＋b 2－c 2＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，得cos C ＝12.(5分)因为0<C<π，所以C ＝π3.(7分)(2) (解法1)因为a ＝4b 及a 2＋b 2－c 2＝ab ， 得c 2＝16b 2＋b 2－4b 2＝13b 2，即c ＝13b.(10分)由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得13b 32＝b sin B，所以sin B ＝3926.(14分)(解法2)由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin A ＝4sin B.由A ＋B ＋C ＝π，得sin(B ＋C)＝4sin B.因为C ＝π3，所以12sin B ＋32cos B ＝4sin B ，即7sin B ＝3cos B ．(11分)因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，解得sin 2B ＝352.在△ABC 中，因为sin B>0，所以sin B ＝3926.(14分) 16. 证明：(1) 在△PBC 中，因为BP ＝BC ，点E 是PC 的中点，所以BE ⊥PC.(2分) 因为平面BPC ⊥平面DPC ，平面BPC ∩平面DPC ＝PC ，BE?平面BPC ， 所以BE ⊥平面PCD.(5分) 因为CD平面DPC ，所以BE ⊥CD.(7分)(2) 如图，取PB 的中点H ，连结EH ，AH. 在△PBC 中，因为点E 是PC 的中点， 所以HE ∥BC ，HE ＝12BC.(9分)又底面ABCD 是平行四边形，点F 是AD 的中点， 所以AF ∥BC ，AF ＝12BC.所以HE ∥AF ，HE ＝AF ，所以四边形AFEH 是平行四边形， 所以EF ∥HA.(12分) 因为EF平面PAB ，HA平面PAB ，所以EF ∥平面PAB.(14分)17. 解：(1) 因为椭圆C 的上顶点为A(0，3)，所以b ＝ 3. 又圆O ：x 2＋y 2＝14a 2经过点M(0，1)，所以a ＝2.(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) 若直线l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.(5分)设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2， 所以PQ ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2||x 1－x 2＝46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k2.(8分) 由题可知，直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0，所以MN ＝21－k 21＋k 2＝21＋k2.(11分) 所以△PQN 的面积S ＝12PQ ·MN ＝12×46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k 2＝3， 解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.(14分)18. 解：(1) (解法1)建立如图所示的直角坐标系， 则B(2，0)，D(0，32)，直线BD 的方程为3x ＋4y －6＝0.(2分) 设F(0，b)(b>0)，因为点F 到AB 与BD 的距离相等，所以b ＝|4b －6|5，解得b ＝23或b ＝－6(舍去)．(4分)所以△ABF 的面积为12×2×23＝23 m 2，所以四边形ABA′F 的面积为43m 2.答：风筝面ABA′F 的面积为43 m 2.(6分)(解法2)设∠ABF ＝θ，则∠ABA′＝2θ. 在直角三角形ABD 中，tan 2θ＝AD AB ＝34，(2分)所以2tan θ1－tan 2θ＝34，解得tan θ＝13或tan θ＝－3(舍去)． 所以AF ＝ABtan θ＝23.(4分)所以△ABF 的面积为12×2×23＝23 m 2，所以四边形ABA′F 的面积为43 m 2.答：风筝面ABA′F 的面积为43m 2.(6分)(2) (解法1)建立如图所示的直角坐标系． 设AE ＝a ，AF ＝b ，A ′(x 0，y 0)， 则直线EF 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 因为点A ，A ′关于直线EF 对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＝ab，bx 02＋ay 02－ab ＝0，解得y 0＝2a 2ba 2＋b2.(10分)因为四边形AEA′F 的面积为3，所以ab ＝3，所以y 0＝23a 3a 4＋3＝23a ＋3a 3.因为0<a ≤2，0<b ≤32，所以233≤a ≤2.(12分)设f(a)＝a ＋3a 3，233≤a ≤2，则f′(a)＝1－9a 4＝（a 2＋3）（a ＋3）（a －3）a 4. 令f′(a)＝0，得a ＝3或a ＝－3(舍去)．列表如下：当a 所以y 0的最大值为32，此时点A′在CD 上，a ＝3，b ＝1.答：点A′到AB 距离的最大值为32m ．(16分)(解法2)设AE ＝a ，∠AEF ＝θ，则AF ＝atan θ. 因为四边形AEA′F 的面积为3，所以AE·AF＝3， 即a 2tan θ＝3，所以tan θ＝3a2.过点A′作AB 的垂线A′T，垂足为T ，则A′T＝A′E·sin 2θ＝AE·sin 2θ＝asin 2θ(10分) ＝a·2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝a·2tan θtan 2θ＋1＝a·2×3a 23a 4＋1＝23a ＋3a 3. 因为0<AE ≤2，0<AF ≤32，所以233≤a ≤2.(12分)(下同解法1)19. (1) 证明：由(na n －1－2)a n ＝(2a n －1)a n －1，得1a n ＝2a n －1＋2－n ，得1a n －n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a n －1－（n －1），即b n ＝2b n －1. 因为a 1＝3，所以b 1＝1a 1－1＝－23≠0，所以b n b n －1＝2(n ≥2)，所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列．(4分) (2) ①解：设1a 1－1＝λ，由(1)知b n ＝2b n －1，所以b n ＝2b n －1＝22b n －2＝…＝2n －1b 1，即1a n－n ＝λ·2n －1，所以1a k＝λ·2k －1＋k.(6分)因为1a k ，1a k ＋1，1a k ＋2成等差数列，则(λ·2k －1＋k)＋(λ·2k ＋1＋k ＋2)＝2(λ·2k＋k ＋1)，所以λ·2k －1＝0，所以λ＝0，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(10分)②证明：要证ln n ＋12a n >ln(n ＋1)－12a n ＋1，即证12(a n ＋a n ＋1)>ln n ＋1n ，即证1n ＋1n ＋1>2ln n ＋1n .设t ＝n ＋1n ，则1n ＋1n ＋1＝t －1＋t －1t ＝t －1t ，且t>1，从而只需证：当t>1时，t －1t>2ln t ．(12分)设f(x)＝x －1x －2ln x(x>1)，则f′(x)＝1＋1x 2－2x ＝(1x －1)2>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，即x －1x >2ln x.因为t>1，所以t －1t >2ln t ，所以原不等式得证．(16分)20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，e －1)∪(e －1，＋∞)． 由f′(x)＝2ax （1＋ln x ）－ax 2·1x （1＋ln x ）2＝2ax （12＋ln x ）（1＋ln x ）2，(2分)令f′(x)>0，因为a>0，得x>e －12.因为e －12>e －1，所以f(x)的单调增区间是(e －12，＋∞)．(4分)(2) 当a<0时，f(1)＝a<0<2eb －1，不合题意；当a>0时，令f′(x)<0，得0<x<e －1或e －1<x<e －12，所以f(x)在区间(0，e －1)和(e －1，e －12)上单调递减．因为12∈(e －1，e －12)，且f(x)在区间(e －12，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x ＝e －12处取极小值2a e ，即最小值为2ae .(6分)若?x ≥12，f(x)≥2e b －1，则2a e ≥2e b －1，即a ≥e b.不妨设b>0，则b a ≤be b .(8分)设g(b)＝b e b (b>0)，则g′(b)＝1－beb .当0<b<1时，g ′(b)>0；当b>1时，g ′(b)<0，所以g(b)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(b)≤g(1)，即b e b ≤1e ，所以b a 的最大值为1e.(10分)(3) 由(2)知，当a>0时，f(x)无极大值．当a<0时，f(x)在(0，e －1)和(e －1，e －12)上单调递增，在(e －12，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x ＝e －12处取极大值，所以f(e －12)＝2ae ＝－2，即a ＝－e.(12分)设F(x)＝f(x)＋e x，即F(x)＝e x－ex21＋ln x，当x ∈(0，e －1)，1＋ln x<0，所以F(x)>0； 当x ∈(e －1，＋∞)，F ′(x)＝e x－ex （1＋2ln x ）（1＋ln x ）2，由(2)知ex ≤e x，又1＋2ln x ≤(1＋ln x)2，所以F′(x)≥0，且F(x)不恒为零，所以F(x)在(e －1，＋∞)上单调递增．不等式f(x)＋e x<0，即为F(x)<0＝F(1)，所以e －1<x<1，即不等式的解集为(e －1，1)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解： 由题意，得AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2d ac －2bdb ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1.(5分)设P(x ，y)为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P′(x′，y ′)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －2y ，y ′＝y.(8分) 由已知条件可知P′(x′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.(10分)B. 解：(1) 分别将A(4，π2)，B(22，5π4)转化为直角坐标，即A(0，4)，B(－2，－2)，所以直线AB 的直角坐标方程为3x －y ＋4＝0.(4分)(2) 曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2. 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB 的距离为432＋12＝2105，即r 的值为2105.(10分) C. 解：因为关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －1|＋|a|＝0有实根， 所以Δ＝16－4(|a －1|＋|a|)≥0，即|a －1|＋|a|≤4.(4分) 当a ≥1时，2a －1≤4，得1≤a ≤52；当0<a<1时，1≤4，恒成立，即0<a<1； 当a ≤0时，1－2a ≤4，得－32≤a ≤0.综上，所求a 的取值范围是－32≤a ≤52.(10分)22. 解：(1) 由题意，获得的积分不低于9分的情形有因为两类学习互不影响，所以概率P ＝19×12＋16×12＋12×13＋12×12＝59，所以每日学习积分不低于9分的概率为59.(4分)(2) 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3. 由(1)知每个人积分不低于9分的概率为59，则P(ξ＝0)＝(49)3＝64729；P(ξ＝1)＝C 13(59)(49)2＝240729；P(ξ＝2)＝C 23(59)2(49)＝300729；P(ξ＝3)＝(59)3＝125729.所以随机变量ξ的概率分布列为(8分)所以E(ξ)＝0×64729＋1×240729＋2×300729＋3×125729＝53.所以随机变量ξ的数学期望为53.(10分)。
江苏省盐城市2019届高三第三次模拟考试数学试题及答案
盐城市2019届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}210A x x =-=，集合[0,2]B =，则AB = ▲ .2.若复数()(1)z x i i =++是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z = ▲ .3.根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ .4.若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合， 则n 的值为 ▲ .5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．7.若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ▲ ．8.已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ . 9.若角+4πα的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则tan α的值为 ▲ .10.动直线(2)y k x =-与曲线21y x =-相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取得最大值时，k 的值为 ▲ .11.若函数()2()232xxf x k -=--⋅，则2k =是函数()f x 为奇函数的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 12.在边长为1的菱形ABCD 中，23A π∠=，若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD ⋅的最大值为 ▲ .S 0 I 041Pr int While I I I S S I End While S←←≤←+←+第3题13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ▲ ． 14.若函数2()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中10,02a b -<<>，且221()f x x x =>，则方程22[()]()10a f x bf x +-=的实根个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知(2sin ,sin cos )m x x x =-，(3cos ,sin cos )n x x x =+，记函数()f x m n =⋅. （1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，3c =，求ABC ∆面积的最大值.16．(本小题满分14分)在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1BB BC =，点,,P Q R 分别是棱111,,BC CC B C 的中点.（1）求证:1A R //平面APQ ； （2）求证:平面APQ ⊥平面1AB C .17．(本小题满分14分)某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A 、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64100x <<），中间每个桥墩的平均造价为803x 万元，桥面每1米长的平均造价为(2)640x x +万元. RQ P A 1C 1B 1BCA第16题（1）试将桥的总造价表示为x 的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A 、B 除外)应建多少个桥墩？18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为63，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB 的长为263. （1）求椭圆C 的方程； （2）若点E 的坐标为3(,0)2，点A 在第一象限且横坐标为3，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积； （3）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()()(0)1m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x =处的切线互相垂直，求n 的值； （2）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围； （3）是否存在实数a ,使得2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出yxBPAO E F 1F 2第18题第17题满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++.（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式.盐城市2019届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）在ABC ∆中，已知CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆的外接圆交BC 于点N .若2AB AC =，2AM =，求BN 的长.NMABCB.（选修4—2：矩阵与变换） 若矩阵21a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M 的逆矩阵1-M .C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.D ．(选修4-5：不等式选讲） 已知,,a b c 为正实数，求证：221188ab a b ++≥，并求等号成立的条件.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>.（1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值.OABDCPM23．（本小题满分10分）设123*12341()(1)(2,)n nn n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈.（1）若数列{}n a 的各项均为1，求证：()0F n =；（2）若对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，试证明数列{}n a 是等差数列.盐城市2019届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}12. 2i -3. 154. 15. 36. 567. 6 8.3 9. 13-10. 33- 11. 充分不必要 12. 12- 13. 2314. 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由题意，得()3sin 2cos 22sin(2)6f x m n x x x π=⋅=-=-，当()f x 取最大值时，即sin(2)16x π-=，此时22()62x k k Z πππ-=+∈，所以x 的取值集合为,3xx k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………7分（2）因()2f C =，由（1）得sin(2)16C π-=，又0C π<<，即112666C πππ-<-<， 所以262C ππ-=，解得3C π=，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，所以133s i n 24ABC S ab C ∆=≤，所以ABC ∆面积的的最大值为334.…14分 16. 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C 且11BC B C =， 因点,P R 分别是棱11,BC B C 的中点，所以1//BP B R 且1BP B R =，所以四边形1BPRB 是平行四边形，即1//PR BB 且1PR BB =，又11//AA BB 且11AA BB =，所以1//PR AA 且1PR AA =，即四边形1APRA 是平行四边形， 所以1//AP A R ，又1A R ⊄平面APQ ，所以1//A R 平面APQ .………………7分 （2）因1BB BC =，所以四边形11BCC B 是菱形，所以11B C BC ⊥，又点,P Q 分别是棱11,BC C C 的中点，即1//PQ BC ，所以1B C PQ ⊥. 因为AB AC =，点P 是棱BC 的中点，所以AP BC ⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -，知1BB ⊥底面ABC ，即1BB AP ⊥，所以AP ⊥平面11BCC B ，则1AP B C ⊥，所以1B C ⊥平面APQ ，又1B C ⊂平面1AB C ， 所以平面APQ ⊥平面1AB C …………………………………………14分 17．解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x 米，知中间共有640(1)x-个桥墩， 于是桥的总造价80640()640(2)(1)1006403x x f x x x=++-+， 即3112226408080()138033f x x x x -⨯=+-+ 3112225120080=138033x x x -+-+（64100x <<）………………………………7分（表达式写成5120080()=138033f x x x x x+-+同样给分） （2）由（1）可求13122236404040()233f x x x x --⨯'=--，整理得3221()(98064080)6f x x xx -'=--⨯， 由()0f x '=，解得180x =，26409x =-（舍），又当(64,80)x ∈时，()0f x '<；当(80,100)x ∈ 时，()0f x '>，所以当80x =，桥的总造价最低，此时桥墩数为6401=780-…………………………14分 18．解：（1）由63c a =，设3(0)a k k =>，则6c k =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k +=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即6A B x x k ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是2623k =，即63k =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………………………5分 （2）将3x =代入22162x y +=，解得1y =±，因点A 在第一象限，从而(3,1)A ， 由点E 的坐标为3(,0)2，所以23AB k =，直线PA 的方程为23()23y x =-， 联立直线PA 与椭圆C 的方程，解得37(,)55B --， 又PA 过原点O ，于是(3,1)P --，4PA =，所以直线PA 的方程为30x y -=，所以点B到直线PA的距离373553325h -+==，133634255PAB S ∆=⋅⋅=………………10分 （3）假设存在点E ，使得2211EA EB +为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x 轴重合时，有202222220001221111(6)(6)(6)x EA EB x x x ++=+=-+-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EBx +==--， 由20222001226(6)6x x x +=--，解得03x =±，20626x =-， 所以若存在点E，此时(3,0)E ±，2211EA EB +为定值2. …………………………………………12分根据对称性，只需考虑直线AB 过点(3,0)E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 又设直线AB 的方程为3x my =+，与椭圆C 联立方程组，化简得22(3)2330m y my ++-=，所以122233m y y m -+=+，12233y y m -=+，又22222222111111111(1)(3)EA m y y m y x y ===++-+， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=. 综上所述，存在点(3,0)E ±，使得2211EA EB+为定值2……………16分 19．解：（1）当1m =时，21()(1)n g x x -'=+，∴()y g x =在1x =处的切线斜率14nk -=， 由1()f x x '=，∴()y f x =在1x =处的切线斜率1k =，∴1114n-⋅=-，∴5n =.……………4分（2）易知函数()()y f x g x =-的定义域为(0,)+∞，又[]222212(1)2(1)11(1)()()(1)(1)(1)x m n x m n x m n x y f x g x x x x x x +--++--+-'''=-=-==+++，由题意，得12(1)x m n x+--+的最小值为负，∴(1)4m n ->（注：结合函数[]22(1)1y x m n x =+--+图象同样可以得到），∴2((1))(1)44m n m n +-≥->，∴(1)4m n +->，∴3m n ->（注：结合消元利用基本不等式也可）.……………………9分（3）令()x θ2=()()()ln 2ln ln ln 22ax a xf f e f ax a ax x x a x a⋅+=⋅-⋅+-，其中0,0x a >> 则()x θ'=1ln 2ln a a a x a x ⋅--+，设1()ln 2ln x a a a x a xδ=⋅--+2211()0a ax x x x xδ+'=--=-<∴()x δ在(0,)+∞单调递减，()0x δ=在区间(0,)+∞必存在实根，不妨设0()0x δ=即0001()ln 2ln 0x a a a x a x δ=⋅--+=，可得001ln ln 21x a ax =+-（*） ()x θ在区间0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，所以max 0()()x x θθ=， 0000()(1)ln 2(1)ln x ax a ax x θ=-⋅--⋅，代入（*）式得0001()2x ax ax θ=+-根据题意0001()20x ax ax θ=+-≤恒成立. 又根据基本不等式,0012ax ax +≥,当且仅当001ax ax =时,等式成立 所以0012ax ax +=,01ax =01x a ∴=.代入（*）式得,1ln ln 2a a=,即12,a a=22a =………………16分 (以下解法供参考，请酌情给分)解法2：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 根据条件2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正数x 恒成立 即(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立∴10ln 2ln 00ax a x a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩且10ln 2ln 00ax a x a -≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩，解得12x a a ≤≤且12a x a ≤≤，即12x a a==时上述条件成立此时22a =. 解法3：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 要使得(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，等价于(1)(2)0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，即1()(2)0x x a a--≥对任意正数x 恒成立， 设函数1()()(2)x x x a aϕ=--，则()x ϕ的函数图像为开口向上，与x 正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x 轴有一个交点，即12a a=，所以22a =.20．解:（1）由题意，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，显然2,x x 的系数为0，所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩，从而1a p =-，22a p q =- (4)分（2）由1,1p q =-=-，考虑(3)nx n ≥的系数，则有120n n n a pa qa --++=，得1212120(3)n n n a a a a a n --=⎧⎪=⎨⎪--=≥⎩，即21n n n a a a ++=+， 所以数列{}n a 单调递增，且22211n n n n n n n a a b a a a a +++-==-，所以132435211111111()()()()n n n S a a a a a a a a +=-+-+-++-， 当2n ≥时，12+12+121111311322n n n n n S a a a a a a ++=+--=--<.…………………………10分 （3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，若0n a =，则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，则{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾，所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，由（1）知12a =，23a =，所以1n a n =+.………16分 （其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，3242a a a =+解方程组也可求得.）解法2：由（1）可知1a p =-，22a p q =-，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d221d a a p q p =-=-+，2322a p q p =-+，24332a p q p =-+.又由（2）120n n n a pa qa --++=，所以3210,a pa qa ++=得2(1)2(1)0p p q p +-+=，若10,p +=即1,p =-时，11a =，21a =，0d =与条件公差不为零相矛盾，因此1,p ≠-则(1)2p p q +=.由4320a pa qa ++=,可得 222332(22)()0p q p p p q p q p q -++-++-=,整理可得 22(23)()20p q p q p p ++-++=代入(1)2p p q +=,21(2)(1)04p p p ++=,0p =或2p =-若0p =,则0p q ==，与220p q +≠矛盾， 若2p =-,则1q =,满足题意, 所以1n a n =+附加题答案B ．解：由题意，得2113111a c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . 设1xy z w -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则112102101x y zw -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， 解得1221,,,3333x y z w =-===-，即112332133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦M .…………………………10分C ．解：将直线l 与曲线C 的方程化为普通方程，得直线l ：4310x y -+=，曲线C ：22220x y x y +--=，所以曲线C 是以(1,1)为圆心，半径为2的圆，所以圆心到直线l 的距离225d =<，因此，直线l 与曲线C 相交. …………………………10分22. 解：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O ABP -，则(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(4,0,0)C -，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，所以(4,0,4)PA =-，(0,6,0)DB =，(4,3,0)AB =-.当12λ=时，得48(,0,)33M -，所以48(,3,)33MB =-，设平面BDM 的法向量(,,)n x y z =，则60483033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得0y =，令2x =，则1z =，所以平面BDM 的一个法向量(2,0,1)n =， 所以410c o s ,10425PA n ==⋅，即直线PA 与平面B D M 所成角的正弦值1010.………………5分 （2）易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =.设(,0,)M a b ，代入PM MC λ=，得(,0,4)(4,0,)a b a b λ-=---，解得4141a b λλλ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即44(,0,)11M λλλ-++，所以44(,3,)11MB λλλ-=++，设平面BDM 的法向量2(,,)n x y z =，则430443011x y x y z λλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩， 消去y ，得(21)x z λ+=，令1x =，则21z λ=+，43y =， 所以平面BDM 的一个法向量24(1,,21)3n λ=+，所以22212161(21)9λλ+=+++，解得13λ=或43-，因为0λ>，所以13λ=.……………10分23. 证：（1）因数列{}n a 满足各项为1，即0123()(1)n nn n n n n F n C C C C C =-+-++-，由012233(1)n n n n n n n n x C C x C x C x C x +=+++++，令1x =-，则01230(1)n nn n n n n C C C C C =-+-++-，即()0F n =..………………………3分（2）当2n =时，1212232(2)0F a a C a C =-+=，即2132a a a =+，所以数列{}n a 的前3项成等差数列.假设当n k =时，由1231234+1()(1)0k k k k k k k F k a a C a C a C a C =-+-++-=，可得数列{}n a 的前+1k 项成等差数列，………………………………………………………………………5分因对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，所以(+1)0F k =成立，所以1231234+1123+1+112+13+14+12+1(1)0(1)0k kk k k k k k k k k k k k a a C a C a C a C a a C a C a C a C +⎧-+-++-=⎪⎨-+-++-=⎪⎩， 两式相减得，1122+1+12+13+1+1+1+2+1()()(1)()(1)0k k k k k k k k k k k k k k a C C a C C a C C a C --+-++--+-=，因111m m mn n n C C C +++=+， 所以0121+1234+12(1)(1)0k k k k k k k k k k k a C a C a C a C a C -+-+-++-+-=，即01211234+12(1)(1)0k k k k k k k k k k k a C a C a C a C a C --+-+++-+-=，由假设可知234+12,,,,,k k a a a a a +也成等差数列，从而数列{}n a 的前2k +项成等差数列.综上所述，若()0F n =对任意3n ≥恒成立，则数列{}n a 是等差数列. …………………10分。
2019届江苏盐城三模数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏盐城三模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，，，则集合的子集的个数为______________ .2. 若复数满足（为虚数单位），则______________ .3. 甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的个红球和个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为______________ .4. 已知一组数据的方差是，则数据的标准差为______________ .5. 如图所示，该伪代码运行的结果为______________ .6. 以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为______________ .7. 设分别为三棱锥的棱的中点，三棱锥的体积记为，三棱锥的体积记为，则 =______________ .8. 已知实数满足约束条件，则的最大值为______________ .9. 若是定义在上的偶函数，则______________ .10. 已知向量满足，，，则向量的夹角为______________ .11. 已知线段的长为，动点满足（为常数），且点总不在以点为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值是______________ .12. 若函数的图象上有且只有两点，使得函数的图象上存在两点，且与、与分别关于坐标原点对称，则实数的取值集合是______________ .13. 若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是 . 现已知数列是等比数列，且，则数列中满足的正整数的个数为______________ .14. 在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是______________ .二、解答题15. 在中，角所对的边分别为，已知 ,．（ 1 ）当成等差数列时，求的面积；（ 2 ）设为边的中点，求线段长的最小值．16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，底面，分别为棱的中点.（ 1 ）求证：平面；（ 2 ）求证：平面平面 .17. ________ 一位创业青年租用了一块边长为 1百米的正方形田地来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边上分别取点（不与正方形的顶点重合），连接，使得 . 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，部分规划为蜂巢区，部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为元/百米 2 ，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为元/百米 2 ，则这三个区域的总投入最少需要多少元？三、填空题18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆 .（ 1 ）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；（ 2 ）若圆的半径为，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值.四、解答题19. 已知函数（）.（ 1 ）若函数的最小值为，求的值；（ 2 ）设函数，试求的单调区间；（ 3 ）试给出一个实数的值，使得函数与的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.20. 已知数列满足，，其前项和为 .（ 1 ）当与满足什么关系时，对任意的，数列都满足？（ 2 ）对任意实数，是否存在实数与，使得与是同一个等比数列？若存在，请求出满足的条件；若不存在，请说明理由；（ 3 ）当时，若对任意的，都有，求实数的最大值.五、填空题21. （选修4—1：几何证明选讲）如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点，垂直的延长线于点，连结 .求证： .六、解答题22. （选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵的两个特征向量，，若，求 .23. （选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为，试判断直线与曲线的位置关系.24. （选修4 — 5：不等式选讲）已知正数满足，求的最小值.25. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.（1）求第局甲当裁判的概率；（2）记前局中乙当裁判的次数为，求的概率分布与数学期望 .26. ________ 记 .（ 1 ）求的值；（ 2 ）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第22题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
2019盐城市高三三模数学试卷及答案
盐城市2019年高三年级第三次调研考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分。
考试时间150分钟。
2、答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号写在答题纸的对应位置。
答案写在答题纸上对应题目的横线上。
考试结束后，请交回答题纸。
一、题空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．。
1、命题“0sin ,>∈∀x R x ”的否定 ▲ .2、已知复数i z 43+=（i 为虚数单位），则复数i z 5+的虚部为 ▲ .3、如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ .4、在水平放置的长为5cm 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2cm 的概率是 ▲ .5、设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥++≤-030101y x y x x ，则目标函数y x z +=2的最小值是 ▲ .6、右图是一个算法的流程图，则输出的值是 ▲ .7、已知函数==+=)413(,3)4(),2sin(2)(ππϕf f x x f 则若 ▲ . 8、已知l ，m ，n 是三条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题：①若l ∥m ，n ⊥m ，则n ⊥l ；②若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α；③若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则l ⊥γ其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）。
9、如图，在△ABC 中，∠ABC=900，AB=6，D 在斜边BC 上，且CD=2DB ， 则∙的值为________▲_______.10、已知数列{}n a 的前n 项和12.11,2172>+=+=+k k n a a a pn n S 若，则正整数k 的最小值为 ▲ .11、若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ▲ . 12、已知直线)(R m mx y ∈=与函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-=0,1210,)21(2)(2x x x x f x 的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ .13、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是 ▲ . 14、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当BNMN 取最小值时，CN= ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内．．．．．．．．．作答，解答是时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
专题23 矩阵与变换(解析版)
专题23 矩阵与变换1、（2019年江苏卷）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【解析】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. 2、（2018年江苏卷） 已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P 的坐标．【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 详解：（1）因为，，所以A 可逆，从而．（2）设P (x ，y )，则，所以，因此，点P 的坐标为(3，–1)．点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 3、（2017江苏卷）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(1) 求AB ；(2) 若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．规范解答：(1) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210.(2) 设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.4、(2016年江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2，求矩阵AB .规范解答 设B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤114012 .因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤114012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1540－1.5、(2015年江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．规范解答 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0.从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－2，λ2＝1， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.一、 二阶矩阵与平面向量 (1) 矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3， 42，0，－1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法 ① [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]；② ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.二、. 几种常见的平面变换 (1) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，则对应的变换是恒等变换． (2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k(k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cosθ－sinθsinθ cosθ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1确定的变换称为切变变换．三、 线性变换的基本性质 (1) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy . (2) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2. (3) A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A (λα)＝λA α，A (α＋β)＝Aα＋Aβ.(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． 四、 二阶矩阵的乘法 (1) A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2 b 2c 2 d 2， 则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2(2) 矩阵乘法满足结合律(AB )C ＝A (BC )． 几种特殊的变换 反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为(x ，y)→(x ，－y)，变换前后关于x 轴对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为(x ，y)→(－x ，y)，变换前后关于y 轴对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0－1：点的变换为(x ，y)→(－x ，－y)，变换前后关于原点对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为(x ，y)→(y ，x)，变换前后关于直线y ＝x 对称． 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为(x ，y)→(x ，0)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为(x ，y)→(0，y)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→(x ，x)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→(y ，y)；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→⎝⎛⎭⎫x ＋y 2，x ＋y 2. 五、 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3) 利用行列式解二元一次方程组．2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量。
2019届江苏省盐城中学高三全仿真模拟检测数学(文)试题(解析版)
2019届江苏省盐城中学高三全仿真模拟检测数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置上．．．．．．．．．.1. 已知集合，，则___________.【答案】【解析】分析：根据集合交集运算法则即可得出结论.解析：集合，，.故答案为：.点睛：（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．2. 命题:若，则.其否命题是___________.【答案】若，则.【解析】分析：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q；否命题为：若，则.即可得出答案.解析：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q；否命题为：若，则.原命题为：若，则.否命题为：若，则.故答案为：若，则.点睛：写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．3. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.【答案】【解析】分析：设与直线垂直的直线方程为，根据直线过点，即可求得直线方程.解析：由题意，设与直线垂直的直线方程为，直线过点，直线的方程为：.故答案为：.点睛：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，（1）若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．（2）若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.4. 一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，恰有1只黑球的概率是___________.【答案】【解析】分析：先求出基本事件总数，再求出有1只黑球包含的基本事件个数，由此能求出有1只黑球的概率.解析：一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，基本事件的总数为，有1只黑球包含的基本事件个数，有1只黑球的概率是.故答案为：.5. 根据如下图所示的伪代码，当输入的值为3时，输出的值为___________.【答案】9【解析】分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件时退出循环，得到S的值即可.解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件时退出循环.此时.故输出的S值为9.故答案为：9.点睛：解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．6. 有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为___________.【答案】31【解析】分析：根据系统抽样原理的抽样间隔相等，求出第1组抽取的数据，再求第2组抽取的产品编号. 解析：据系统抽样原理，抽样间隔为.设第1组抽取数据为，则第5组抽取的产品编号为，解得.第2组抽取的产品编号为.故答案为：31.点睛：（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．7. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为___________.【答案】【解析】试题分析：设最小边为，所以另外两边为考点：余弦定理解三角形8. 已知函数若，则实数___________.【答案】或-1【解析】试题分析：由题意可将，转化为或，解得或考点：函数求值9. 已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：因为圆柱的表面积为，所以圆柱的表面积为考点：圆柱的侧面积10. 在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则___________.【答案】3【解析】试题分析：不等式组所围成的区域如图所示，∵其面积为2，∴，∴C的坐标为，代入，得．考点：1．线性规划；2．基本不等式．11. 如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】分析：先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案即可得到.解析：已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，，即.故答案为：.点睛：双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．12. 在中，，且，为所在平面内的一点，则的最小值是___________.【答案】【解析】分析：以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，可得，从而可得结果.详解：由，且，得，如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，则，即的最小值是，故答案为.点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．13. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】分析：求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而确定m的具体范围即可.解析：，，.①当时，恒成立，即在R上递增，若时，则.若时，则.故函数在递增，在递减，故在处取得极小值，符合题意；②当时，恒成立，即在R上递减，若时，则.若时，则.故函数在递减，在递增，故在处取得极大值，不符合题意；③当时，使得，即，但当时，即，在递减，故，即在递减，不符合题意.综上所述：m的范围是.故答案为：.点睛：求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．14. 已知数列的首项，.若对，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】分析：，可得，即可得到数列为等比数列，公比为，首项为a，而不等式恒成立化为：，由，不等式化为：，分类讨论即可得出答案.解析：，，数列为等比数列，公比为，首项为a，即，不等式等式恒成立可化为：，即：当n为奇数时，，，即对且恒成立.，解得：.当n为偶数时，，，即对且恒成立.，解得：.综上所述：.故答案为：.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力.二、解答题:本大题共6小题，共计90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，四棱柱为长方体，点是中点，是的中点.(I)求证:平面；(l)若，求证:平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）取中点为，连接，，从而可得四边形，都为平行四边形，所以，从而即可证明；（2）因为四棱柱为长方体，，所以；因为平面，所以，从而可得所以平面，所以即可证明平面平面.解析：(1)取中点为，连接，.由已知点是中点，是的中点可以证得，四边形，都为平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.(Ⅱ)因为四棱柱为长方体，，所以.因为平面，所以.因为，平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面.点睛：面面垂直的证明的两种思路（1）用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；（2）用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．16. 在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.(I)求的值；(Ⅱ)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由于角其终边经过点，故，，再利用两角和与差的正余弦公式即可；（2）直接利用公式即可.解析：(1)由于角其终边经过点，故，..(2).则，.点睛：三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．17. 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，分别为其左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，直线的斜率为-1.(I)若直线与椭圆的右准线交于点且，求椭圆的标准方程；(Ⅱ)若，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】分析：（1）设，结合的坐标，代入，即可求出答案；（2）设，，，，，为钝角，，再联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到，，从而表示出，然后代入式子即可得到答案.解析：(1)，，所以，椭圆的标准方程为.(2)设，，为钝角联立直线与椭圆方程，其中整理可得:，.代入，解得：舍去）.点睛：在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．18. 某市公园内的人工湖上有一个以点为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径，在的另一侧建有控制台，和之间均有小径连接(小径均为直路)，且，喷泉中心点距离点60米，且连线恰与平行，在小径上有一拍照点，现测得米，米，且.(I)请计算小径的长度；(Ⅱ)现打算改建控制台的位置，其离喷泉尽可能近，在点的位置及大小均不变的前提下，请计算距离的最小值；(Ⅲ)一人从小径一端处向处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启分钟后的水幕是一个以为圆心，半径米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数的最小值.【答案】(Ⅰ)千米；(Ⅱ)；(Ⅲ)4.【解析】分析：(I) 以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，由题意可知，，则AB所在直线即可表示，即可求出A点坐标，从而得出答案；(Ⅱ)三点共圆，可求圆的方程为，，则距离最小值为圆心与C之间的距离减去半径；(Ⅲ) 因为在的正西方向，且千米，所以. 假设在时刻人所在的位置为，所以，则可表示，又在时，，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在，使得，化简即可得出答案.解析：(I)以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由千米，，可知，直线的方程为，.所以直线的方程为，令，得，所以，千米；(Ⅱ)三点共圆，可求圆的方程为，，则距离最小值为(此时点为直线与点及坐标原点之间劣弧的交点)；(Ⅲ)因为在的正西方向，且千米，所以.人从行驶到所需要的时间为 (分钟)，假设在时刻人所在的位置为，则千米，所以，则.又在时，，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在，使得，即成立，所以存在，使得成立，当时，，当且仅当，即时取等号.所以，即实数的最小值为4.点睛：解函数应用题常见的错误：①不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；②在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件．19. 已知正项数列的前项和为，其中.(I)若，求数列的通项公式；(I)若，求证:是等差数列.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）根据题意，有，解得，故，再利用与之间的关系式即可求出；（2）根据题意，有，设，通过求解可得，再利用与之间的关系式即可证明.解析：(1)根据题意，有，解得，故，当时有，两式相减得，又恒成立，则，所以数列是等差数列，故，(2)根据题意，有，因为，所以可设，(2)-(1)得 (4)，(3)-(2)得 (5)(5)-(4)得，当时故舍，则有，代入(4)式得，代入(1)式得，所以，当时有.两式相减得，整理得.又恒成立，则，所以是等差数列.点睛：已知S n求a n的一般步骤（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．20. 已知函数，.(I)若，求函数的单调区间；(Ⅱ)若存在极小值点，且，其中，求证:；(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与的图像相切?并说明理由.【答案】(Ⅰ)单调减区间为单调增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.【解析】分析：（1）对进行求导计算即可得到单调区间；（2）若存在极小值点，，则，由可得，化简代入，即可得到证明；（2）设切点坐标是，依题意：，化简得：设，，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.，接下来对a进行分析讨论即可.解析：(1)，所以的单调减区间为单调增区间为；(2)，存在极小值点，则.，则，所以代入所以，则，又，所以；(3)时，有1条切线；时，有2条切线.设切点坐标是，依题意：即，化简得：设，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.，①当时，，在上恰有一个零点1；②当时，在上恒成立，在上单调递减，且，故在上有且只有一个零点，当时，在上恰有个零点；③时，在上递减，在上递增，故在至多有两个零点，且又函数在单调递增，且值域是，故对任意实数，必存在，使，此时由于，函数在上必有一零点；先证明当时，，即证若，，而，由于若，构建函数，在为增函数，综上时，，所以，故又，，所以在必有一零点.当时，在上有两个零点综上：时，有1条切线；时，有2条切线.点睛：导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．。
2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷
2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，则A∩B=________．【答案】(0,1)【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，∴A∩B=(0,1)．故答案为：(0,1).2. 已知复数z=3+4i5i，其中i是虚数单位，则|z|=________．【答案】1【考点】复数的模【解析】直接由商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=3+4i5i，∴|z|=|3+4i5i |=|3+4i||5i|=55=1．故答案为：1.3. 已知双曲线C的方程为x24−y2=1，则其离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的离心率【解析】直接利用双曲线的标准方程，求出a，c，即可求解离心率．【解答】解：双曲线C的方程为x24−y2=1，可得a=2，b=1，则c=√a2+b2=√5，所以双曲线的离心率为e=ca =√52．故答案为：√52.4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．【答案】8【考点】伪代码【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序结束后输出的i值．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下，T=1，i=2，满足T<6；T=2，i=4，满足T<6；T=4，i=6，满足T<6；T=8，i=8，不满足T<6，输出i=8．故答案为：8.5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________．【答案】55【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样得特点知，抽取的样本中，高一，高二，高三的人数之比也为4:4:3可得．【解答】解：依题意得抽取的样本容量为：1534+4+3=55.故答案为：55.6. 口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．【答案】13【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，利用列举法取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有2个，由此能取出的两个球的编号之积大于6的概率． 【解答】解：口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4， 从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有： (2, 4)，(3, 4)，共2个，∴ 取出的两个球的编号之积大于6的概率为P =26=13． 故答案为：13.7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=2a 2，则S12S 8=________．【答案】 73【考点】等比数列的前n 项和 【解析】设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 6a 2=q 4＝2，所以S12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1+q 4+q 81+q 4，将q 4＝2代入即可． 【解答】解：因为数列{a n }是等比数列，设其公比为q ．所以a6a 2=q 4=2，所以q ≠1， 所以S 12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1−(q 4)31−(q 4)2=1−81−4=73．故答案为：73.8. 函数f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，则ω的最小值为________． 【答案】 23【考点】余弦函数的对称性根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，∴π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k+83，∵ω>0，∴当k=−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.9. 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b的最小值为________．【答案】11【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b=2+1a+4b，∵1a +4b=(1a+4b)(a+b)=1+4+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=5+4=9，当且仅当ba =4ab时，即a=13，b=23时取等号，故2a2+1a +2b2+4b≥2+9=11.故答案为：11.10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0, +∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x2+ 2)的解集为________．【答案】(−2, −1)∪(1, 2)【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，f(3x)>f(x2+2)⇒f(|3x|)>f(x2+2)⇒|3x|>x2+2，由绝对值的定义可得{3x>x 2+2x≥0或{−3x>x2+2x<0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且其定义域为R ，且在[0, +∞)上为增函数， 则f(3x)>f(x 2+2)⇒f(|3x|)>f(x 2+2)⇒|3x|>x 2+2，则有{3x >x 2+2x ≥0 或{−3x >x 2+2x <0，解得：−2<x <−1或1<x <2， 即不等式的解集为(−2, −1)∪(1, 2). 故答案为：(−2, −1)∪(1, 2).11. 过直线l:y =x −2上任意点P 作圆C:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为________． 【答案】12【考点】 圆的切线方程 【解析】由题意画出图形，可得切线最小时的P 点，进一步求得PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90∘，则答案可求． 【解答】解：根据题意，如图，要使切线长最小，则|OP|最小，过O 作直线y =x −2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|=√2， ∴ A ，B 为圆C:x 2+y 2=1与两坐标轴的交点， 则PA =PB =1，∠APB =90∘， ∴ △PAB 的面积为12×1×1=12． 故答案为：12.12. 已知点P 在曲线C:y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________． 【答案】 1【考点】直线与抛物线结合的最值问题 简单复合函数的导数 平面向量数量积的运算【解析】 设P(m, m 22)，求出直线PQ 的方程，根据根与系数的关系和OP →⋅OQ →=0列方程计算m 的值即可得出答案． 【解答】 解：由y =x 22可得y′=x ，设P(m, m 22)，则切线l 的斜率为m ，故直线PQ 的方程为：y −m 22=−1m (x −m)联立方程组{y −m 22=−1m (x −m)y =x 22 ， 消去y 可得：x 2+2m x −m 2−2=0， 设Q(n, n 22)，则mn =−m 2−2，∵ OP ⊥OQ ， ∴ OP →⋅OQ →=0， 即mn +m 2n 24=0，∴ mn =0（舍）或mn =−4， ∴ −m 2−2=−4，即m 2=2． ∴ P 点纵坐标为m 22=1．故答案为：1.13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB =90∘，AB =2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →⋅AQ →=83，则AQ →⋅CP →的最小值为________．【答案】−2√53【考点】两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 数量积的坐标表达式平面向量的坐标运算 【解析】以O 为原点建立直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，以及直线BC 的方程，设出Q 的坐标，由数量积的坐标表示，解得Q 的坐标，再设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，由数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，余弦函数的值域可得最小值． 【解答】解：如图，以O 为原点建立直角坐标系，可得A(−1, 0)，B(1, 0)，C(−1, −2)， 即有直线BC 的方程为y =x −1， 可设Q(m, m −1)，∵ AB →⋅AQ →=83，即(2, 0)⋅(m +1, m −1)=2(m +1)=83，解得m =13，即Q(13, −23)， 设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，可得AQ →⋅CP →=(43, −23)⋅(cosα+1, sinα+2)=43cosα+43−23sinα−43=23(2cosα−sinα)=2√53cos(α+θ)，θ∈(0, π2)，当cos(α+θ)=−1即α+θ=π时， 可得AQ →⋅CP →的最小值为−2√53． 故答案为：−2√53.14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(−2e, 0] 【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】将函数f(x)＝e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方转化为e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，然后分a >0，a ＝0，a <0分别求解． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，∴ e x −ax 2−32ax >0对一切实数x 恒成立，即e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立， 设g(x)=e x ，ℎ(x)=ax 2+32ax ，则①当a >0时，ℎ(x)开口向上，根据ℎ(x)和g(x)的图象易知，当a >0时g(x)>ℎ(x)不恒成立，②当a =0时，g(0)=1>ℎ(0)=0，因此g(x)>ℎ(x)恒成立③当a <0时，e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，即1a <x 2+32xe x对一切实数x 恒成立， 令F(x)=x 2+32xex ，则F ′(x)=−2x 2+x+32e x =−(2x−3)(x+1)2e x，令F(x)=0，则x =−1或x =32， ∴ 当x <−1或x >32时，F ′(x)<0， 当−1<x <32时，F ′(x)>0，∴ F(x)在(−∞, −1)和(32, +∞)上单调递减，在(−1, 32)上单调递增， 又当x >0时，F(x)>0， ∴ F(x)min =F(−1)=−e2， ∴ 要使1a<x 2+32xe x对一切实数x 恒成立，只需1a <F(x)min =−e2，∴ a >−2e ，又a <0，∴ −2e <a <0， 综上，a 的取值范围为(−2e , 0]． 故答案为：(−2e , 0].二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱锥P −ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．(1)求证：EF // 平面ABC；(2)求证：CE⊥AB．【答案】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）推导出EF是△PCD的中位线，从而EF // CD，由此能证明EF // 平面ABC．（2）推导出AB⊥PD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥CE．【解答】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3ac =2−cosAsinC．(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cosC的值．【答案】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．【考点】两角和与差的余弦公式正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π6)＝1，结合范围A∈(0, π)，可得A+π6=π2，从而解得A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin(B+π6)的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值．【解答】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？【答案】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V=13⋅π⋅62⋅ℎ=36π，解得ℎ=3．∴圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米．(2)由V=13πr2ℎ=36π可得r2=108ℎ，故圆锥的母线l=√r2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2，∴容器的侧面积S=πrl=π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号，∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】（1）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可； （2）用高ℎ表示出侧面积，利用基本不等式得出侧面积最小时对应的ℎ的值即可． 【解答】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V =13⋅π⋅62⋅ℎ=36π， 解得ℎ=3．∴ 圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴ 圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米． (2)由V =13πr 2ℎ=36π可得r 2=108ℎ，故圆锥的母线l =2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2， ∴ 容器的侧面积S =πrl =π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵ 108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号， ∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，右准线方程为x =4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3)如果A 1H →=λA 1P →，试求λ的取值范围．【答案】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c =4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．【考点】椭圆的准线方程直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 平面向量的坐标运算 直线的斜率 【解析】（1）由题意可得a ＝2，a 2c=4，故c ＝1，b 2＝a 2−c 2＝3，可得椭圆方程，（2）设直线A 1D:y ＝k(x +2)，再设直线A 2D:y ＝3k(x −2)，求出点G 的坐标，根据HG ⊥A 1D ，可求出k 的值，即可求出直线方程，（3）分别求出点H ，P 的坐标，根据向量的运算借助函数的单调性即可求出． 【解答】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c=4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．已知函数f(x)=x 2+(2−a)x −alnx ，其中a ∈R ．(1)如果曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1，求实数a 的值；(2)若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3)对任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2 ， ∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a 2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）对f(x)求导后，由导数的几何意义可得f ′(1)＝2(2−a)＝1，从而求出a 的值； （2）根据函数f(x)的极小值不超过a2，对a 分类讨论，将问题转化为解关于a 的不等式，从而求出a 的最小值；（3）设f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，根据任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，知A ⊆B ，然后分情况求解可得a 的范围． 【解答】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2，∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]．已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N ∗，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立． (1)如果1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，求实数λ的值；(2)已知λ=1．①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n }中，a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1=1a 1，b 2=1a 2，b 3=1a i(i ∈N ∗)．求证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【答案】(1)解：∵ n ≥3，且n ∈N ∗时，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立， 则n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2λa 1a 3，∵ 数列{a n }各项都不为0，同除a 1a 2a 3，得：2λa 2=1a 1+1a 3，又∵ 1a 1,1a 2,1a 3成等差数列，则2a 2=1a 1+1a 3，联立得2λa 2=2a 2，∴ λ=1．(2)证明：①当λ=1，n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2a 1a 3，① 整理，得：1a 1+1a 3=2a 2，∴ 1a 2−1a 1=1a 3−1a 2，②当n =4时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4=3a 1a 4，③③-①，得：a 3a 4=3a 1a 4−2a 1a 3，∴ 1a 1=3a 3−2a 4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质等差数列的通项公式等差数列【解析】（1）n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n＝λ(n−1)a1a n恒成立，n＝3时，a1a2+a2a3＝2λa1a3，同除a1a2a3，得2λa2=1a1+1a3，由1a1⋅1a2⋅1a3成等差数列，得2a2=1 a1+1a3，由此能求出λ的值．（2）①当λ＝1，n＝3时，1a1+1a3=2a2，从而1a2−1a1=1a3−1a2，当n＝4时，1a1=3a3−2 a4，从而1a4−1a3=1a3−1a2，当n≥3时，推导出1a1=na n−n−1a n+1，由此能证明数列{1an}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1＝c1＝c，b2＝c2＝c+d，d＝c2−c1＝b2−b1＝cq−c，推导出cq＝c+d，b3＝c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd＝b3+x(cq−c)＝cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1＝q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，由此能证明q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1an}中的项．【解答】(1)解：∵n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=λ(n−1)a1a n恒成立，则n=3时，a1a2+a2a3=2λa1a3，∵数列{a n}各项都不为0，同除a1a2a3，得：2λa2=1a1+1a3，又∵1a1,1a2,1a3成等差数列，则2a2=1a1+1a3，联立得2λa2=2a2，∴λ=1．(2)证明：①当λ=1，n=3时，a1a2+a2a3=2a1a3，①整理，得：1a1+1a3=2a2，∴1a2−1a1=1a3−1a2，②当n=4时，a1a2+a2a3+a3a4=3a1a4，③③-①，得：a3a4=3a1a4−2a1a3，∴1a1=3a3−2a4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题0分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A =[210a ]，其逆矩阵A −1=[b c01]，求A 2．【答案】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．【考点】逆变换与逆矩阵 【解析】本题先根据公式AA −1＝E 可将具体矩阵进行代入计算得到a 、b 、c 的值，即可得到矩阵A ，则A 2即可求出． 【解答】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ （θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2, 0)，(2√3, π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 【答案】解：由x =ρcosθ，y =ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)， 则直线l:y =√3(x −2)，曲线C ：(x −2)2+(y +√3)2=4， 则圆心C(2, −√3)，半径r =2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．【考点】圆的极坐标方程点到直线的距离公式【解析】将直线和圆化成直角坐标方程后，利用圆中的勾股定理列式可得弦长．【解答】解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)，则直线l:y=√3(x−2)，曲线C：(x−2)2+(y+√3)2=4，则圆心C(2, −√3)，半径r=2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．[选修4-5：不等式选讲]已知正数a，b，c满足a+b+c=2，求证：a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【答案】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】不等式两边同乘(2a+2b+2c)，利用柯西不等式证明．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【必做题】第22，23题，每小题0分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．【答案】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x−1, 2y)，把A(2x−1, 2y)代入y2=4x可得：4y2=8x−4，即y2=2x−1．(2)设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2−4my−4=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1>0，y2<0，则S△AOB=12⋅OF⋅(y1−y2)，S△BOF=12⋅OF⋅(−y2)，∵S△AOB=3S△BOF，∴y1−y2=−3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=2√2，y2=−√2．故x1=2，x2=12，把A(2, 2√2)代入x=my+1可得m=2√2=√24，∴直线l的方程为x−√24y−1=0，即4x−√2y−4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1<0，y2>0，S△AOB=12⋅OF⋅(y2−y1)，S△BOF=12⋅OF⋅y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2−y1=3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=−2√2，y2=√2．故x1=2，x2=12，把A(2, −2√2)代入x=my+1可得m=22=−√24，∴直线l的方程为x+√24y−1=0，即4x+√2y−4=0．综上，直线l的方程为：4x−√2y−4=0或4x+√2y−4=0．【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题三角形的面积公式圆锥曲线的轨迹问题直线的斜率【解析】（1）设M(x, y)，表示出A点坐标，代入抛物线方程化简即可；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l的方程为x＝my+1，联立方程组可得则y1y2＝−4，三角形的面积比得出y1＝−2y2，讨论A，B所在象限得出A的坐标，进而可得出直线l的方程．【解答】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)， 设M(x, y)，则A(2x −1, 2y)， 把A(2x −1, 2y)代入y 2=4x可得：4y 2=8x −4，即y 2=2x −1．(2)设直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1y 2=−4， ①若A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1>0，y 2<0， 则S △AOB =12⋅OF ⋅(y 1−y 2)，S △BOF =12⋅OF ⋅(−y 2)， ∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 1−y 2=−3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4，∴ y 1=2√2，y 2=−√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, 2√2)代入x =my +1可得m =2√2=√24， ∴ 直线l 的方程为x −√24y −1=0，即4x −√2y −4=0．②若A 在第四象限，B 在第一象限，则y 1<0，y 2>0， S △AOB =12⋅OF ⋅(y 2−y 1)，S △BOF =12⋅OF ⋅y 2，∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 2−y 1=3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4， ∴ y 1=−2√2，y 2=√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, −2√2)代入x =my +1可得m =2√2=−√24， ∴ 直线l 的方程为x +√24y −1=0，即4x +√2y −4=0．综上，直线l 的方程为：4x −√2y −4=0或4x +√2y −4=0．已知数列{a n }，a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立．(1)求证：a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1(n ∈N ∗)；(2)求证：a n+1>n n +1(n ∈N ∗)． 【答案】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3， 则f ′(x)=lnx 2+1x+1+1>lnx 2−1x+1+1=ln(x −1)+1≥ln2+1>0，∴ f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln 2716>0，则2klnk >(k +1)ln(k +1)，∴ lnk 2k >ln(k +1)k+1，即k 2k >(k +1)k+1， ∴ a k+1a k a k−1...a 2a 1>(k +1)k+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， ∴ a n+1>n n +1. 【考点】 数列递推式对数函数的单调性与特殊点 【解析】（1）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；（2）要证：a n+1>n n +1，由（1）a n+1＝a n a n−1a n−2...a 2a 1+1，只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ，可用数学归纳法证明． 【解答】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3，则f′(x)=ln x2+1x+1+1>ln x2−1x+1+1=ln(x−1)+1≥ln2+1>0，∴f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln2716>0，则2klnk>(k+1)ln(k+1)，∴lnk2k>ln(k+1)k+1，即k2k>(k+1)k+1，∴a k+1a k a k−1...a2a1>(k+1)k+1，则当n=k+1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a2a1>n n，∴a n+1>n n+1.。
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2019届高三年级第三次模拟考试(十九) 数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高.圆柱侧面积公式：S ＝2πrl ，其中r 为底面半径，l 为母线长. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1n ∑ni ＝1x i.一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0}，B ＝{－1，3}，则A ∪B ＝________.2. 已知复数z ＝1＋ii (其中i 为虚数单位)，则|z|＝________.3. 双曲线x 22－y 2＝1的焦距为________.4. 如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(第4题) (第5题)5. 根据如图所示的伪代码，运行后输出的结果为________.6. 现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________.7. 若函数f(x)＝lg (1＋x)＋lg (1＋ax)是偶函数，则实数a 的值为________．8. 设A ，F 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右顶点和右焦点，B 1，B 2为椭圆C 短轴的两个端点，若点F 恰为△AB 1B 2的重心，则椭圆C 的离心率的值为________．9. 如图所示，三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积为6，O 为四边形BCC 1B 1的中心，则四面体A 1B 1OB 的体积为________．10. 已知正项数列{a n }满足a n ＋1＝1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 4＋…＋1a n ＋a n ＋1，其中n ∈N *，a 4＝2，则a 2 019＝________．11. 已知⊙O 的半径为2，A ，B ，C 为该圆上的三点，且AB ＝2，BA →·BC →>0，则OC →·(BO →＋BA →)的取值范围是________．12. 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b 2＋ab ，则a 2－b 2c 2的取值范围是________.13. 已知函数f(x)＝x ＋4sin x ，若不等式kx ＋b 1≤f(x)≤kx ＋b 2对一切实数x 恒成立，则b 2－b 1的最小值为________.14. 已知max {a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，b ≤a ，b ，b>a ，f(x)＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫ln x －tx －12，x 2－tx －e (e 为自然对数的底数)，若f(x)≥－2在x ∈[1，e ]上恒成立，则实数t 的取值范围为________.二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，M ，N 分别是AE ，AD 的中点. (1) 求证：MN ∥平面BCD ；(2) 若平面ABC ⊥平面ADM ，求证：AD ⊥BC.16. (本小题满分14分)设向量a ＝(2cos x ，2sin x )，b ＝(3cos x ，cos x )，函数f (x )＝a·b － 3. (1) 求函数f (x )的最小正周期；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos α的值.如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB＝99m，AD＝49.5m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF＝1m)，这部分的建设造价为每平方米31.4元.(1) 当n＝20时，求建造一个大棚所需塑料薄膜的面积；(本小题结果保留π)(2) 试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低？(本小题计算中π取3.14)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点P(2，1)，且点P 与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－12.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若椭圆C 上存在两点Q ，R ，使得△PQR 的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O ，试求直线QR 的方程.设函数f(x)＝x －a e x (e 为自然对数的底数，a ∈R)．(1) 当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2) 若函数f (x )在区间(0，1)上具有单调性，求a 的取值范围；(3) 若函数g (x )＝(e x －e)f (x )有且仅有3个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，x 3－x 1≤1，求证：x 1＋x 3≤e ＋1e －1.在无穷数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，记数列{a n }前n 项中的最大项为k n ，最小项为r n .令b n＝k n r n .(1) 若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋na 12.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n 满足b 2mb 2n ＝2m －12n ？若存在，请求出这样的m ，n ；若不存在，请说明理由；(2) 若数列{b n }是等比数列，求证：数列{a n }是等比数列.2019届高三年级第三次模拟考试(十九)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)直线l ：2x －y －3＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1041所对应的变换T M 下得到直线l ′，求l ′的方程.B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知P 是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，π≤θ≤2π)上的一点，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为π3，求点P 的坐标.C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 求不等式4－2|x ＋2|≤|x －1|的解集.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AC ＝AD ＝3，PA ＝BC ＝4.(1) 求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；(2) 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.23. (本小题满分10分)某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n .记S n 是3的倍数的概率为P(n).(1) 求P(1) ，P(2) ； (2) 求P(n).2019届高三年级第三次模拟考试(十九)(盐城市)数学参考答案1. {－1，0，3}2. 23. 234. 6.85. 376. 137. －18. 13 9. 1 10. 2 019 11. (－6，43] 12. (－1，1) 13. 8 14. (－∞，2e －12]15. (1) 连结DE ，因为M ，N 分别是AE ，AD 的中点， 所以MN ∥DE ，(2分)又MN ⊄平面BCD ，DE ⊂平面BCD ， 所以MN ∥平面BCD. (6分)(2) 因为平面ABC ⊥平面ADM ，平面ABC ∩平面ADM ＝AE ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面ADM ，(12分)又AD ⊂平面ADM ，所以AD ⊥BC. (14分)16. (1) 因为f(x)＝a·b －3＝(2cos x ，2sin x )·(3cos x ，cos x )－3＝23cos 2x ＋2sin x cos x －3＝3cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (4分)所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (6分) (2) 因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，所以2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－65，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35， (8分)又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫5π6，4π3，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，(10分) 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝12cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝12×⎝⎛⎭⎫－45＋32×⎝⎛⎭⎫－35＝－4＋3310. (14分) 17. (1) 设每个半圆柱型大棚的底面半径为r. 当n ＝20时，共有19个空地， 所以r ＝99－19×12×20＝2m ，(2分)所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为S ＝πr 2＋πr ×AD ＝π×22＋2π×49.5＝103π(m 2)．即建造一个大棚所需塑料薄膜的面积为103πm 2. (6分) (2) 设两项费用的和为f(n).因为r ＝99－（n －1）×12n ＝100－n2n ，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为S＝πr 2＋πr ×AD ＝π×⎝⎛⎭⎫100－n 2n 2＋π×49.5×100－n 2n ，(8分)则f(n)＝10nS ＋31.4×1×49.5(n －1)＝10n ⎣⎡⎦⎤π×⎝⎛⎭⎫100－n 2n 2＋π×49.5×100－n 2n ＋31.4×1×49.5(n －1) ＝31.4×[（100－n ）24n ＋49.5×100－n2＋49.5(n －1)]＝31.44×[（100－n ）2n ＋99(100－n)＋198(n －1)]＝31.44×⎝⎛⎭⎫1002n ＋100n ＋9 502＝31.44×[100×⎝⎛⎭⎫100n ＋n ＋9 502], (12分) 所以当且仅当100n ＝n ，即n ＝10时，f(n)取得最小值.答：当大棚的个数为10时，上述两项费用的和最低. (14分)18. (1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，1－02－a ×1－02＋a＝－12，(2分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (4分)(2) 设Q(x 1，y 1)，R(x 2，y 2).因为QR ⊥PO ，k PO ＝12，所以k QR ＝－2，故可设直线QR 的方程为y ＝－2x ＋m. (6分)联立⎩⎨⎧y ＝－2x ＋m ，x 2＋2y 2＝4，消去y ，得5x 2－42mx ＋2m 2－4＝0， 由Δ>0得32m 2－20(2m 2－4)>0，解得m 2<10, (*) 且x 1＋x 2＝42m5，x 1x 2＝2m 2－45.(8分)又QO ⊥PR ，所以k QO ·k PR ＝－1，得y 1x 1·y 2－1x 2－2＝－1，即－2x 1＋m x 1·－2x 2＋m －1x 2－2＝－1，整理得，3x 1x 2－2m(x 1＋x 2)＋m 2－m ＝0，(12分) 所以3×2m 2－45－2m ×42m 5＋m 2－m ＝0，即3m 2－5m －12＝0，解得m ＝3或m ＝－43(均适合(*)式)．(14分)当m ＝3时，直线QR 恰好经过点P ，不能构成三角形，不合题意，故舍去， 所以直线QR 的方程为y ＝－2x －43. (16分)19. (1) 当a ＝1时，f(x)＝x －e x ，f ′(x)＝1－e x ，f ′(1)＝1－e ，f(1)＝1－e ，故f(x)的图象在x ＝1处的切线方程为y －(1－e )＝(1－e )(x －1)，即y ＝(1－e )x.(2分) (2) 因为f′(x)＝1－a e x ，①若函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，则f ′(x)＝1－a e x ≥0恒成立，得a ≤e －x 恒成立， ∵x ∈(0，1)，∴e －x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，所以a ≤1e；(5分) ②若函数f(x)在区间(0，1)上单调递减，则f ′(x)＝1－a e x ≤0恒成立，得a ≥e －x 恒成立， ∵x ∈(0，1)，∴e －x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，所以a ≥1，综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，1e ∪[1，＋∞). (8分) (3) 函数g(x)＝(e x －e )f(x)的零点即为方程(e x －e )f(x)＝0的实数根，故e x －e ＝0或f(x)＝0，由e x －e ＝0，得x ＝1，(9分)∴f(x)＝0有且仅有2个不等于1的不同零点，由f(x)＝0，得x e x －a ＝0，设h(x)＝x e x －a ， 则h′(x)＝1－x e x ，由h′(x)＝1－x e x >0，得x<1；由h′(x)＝1－x e x<0，得x>1. 故h(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故h(x)＝0有且仅有两个不等实数根，且1个根小于1，1个根大于1，∵g(x)＝(e x －e )f(x)有且仅有3个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 1<x 2<x 3，∴x 1<x 2＝1<x 3，x 1，x 3为h(x)＝x e x －a ＝0的两个不等实数根， (12分) ∴x 1＝a e x 1，x 3＝a e x 3，两式相减，得x 3－x 1＝a(e x 3－e x 1)，∴a ＝x 3－x 1e x 3－e x 1， 两式相加，得x 1＋x 3＝a(e x 1＋e x 3)＝x 3－x 1e x 3－e x 1(e x 1＋e x 3) ＝(x 3－x 1)e x 3－x 1＋1e x 3－x 1－1， 设x 3－x 1＝t ，由x 1<x 3且x 3－x 1≤1，得0<t ≤1，x 1＋x 3＝t （e t ＋1）e t －1， 设φ(t)＝t （e t ＋1）e t －1，t ∈(0，1]，(14分) 则φ′(t)＝e 2t －2t e t －1（e t －1）2， 设p(t)＝e 2t －2t e t －1，t ∈(0，1]，则p′(t)＝2e t (e t －t －1)，设q(t)＝e t －t －1，t ∈(0，1]，则q ′(t)＝e t －1>0在t ∈(0，1]上恒成立，∴q(t)＝e t －t －1在(0，1]上单调递增，∴q(t)>q(0)＝0在(0，1]上恒成立，则p′(t)>0在(0，1]上恒成立，∴p(t)在(0，1]上单调递增，∴p(t)>p(0)＝0在(0，1]上恒成立，则φ′(t)>0在(0，1]上恒成立，∴φ(t)在(0，1]上单调递增，所以φ(t)≤φ(1) ＝e ＋1e －1，即x 1＋x 3≤e ＋1e －1. (16分) 20. (1) ①在S n ＝n 2＋na 12中，令n ＝1，得a 1＝S 1＝1＋a 12，解得a 1＝1，∴S n ＝n 2＋n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n ，综上a n ＝n ，(n ∈N *). (2分)显然{}a n 为单调递增数列，所以k n ＝a n ＝n ，r n ＝a 1＝1，所以b n ＝n . (4分)②假设存在满足条件的正整数m ，n ，则m n ＝2m －12n ，所以m 2m ＝n 2n ×12， 设c n ＝n 2n ，则c n ＋1－c n ＝n ＋12n ＋1－n 2n ＝1－n 2n ＋1， 所以c 1＝c 2>c 3>c 4>c 5>…，由m 2m ＝n 2n ×12，得c m ＝12c n <c n ， ∴m >n ，则m ≥n ＋1, (6分)当m ＝n ＋1时，m n ＝2m －12n 显然不成立； 当m >n ＋1时，m n ＝2m －12n ＝2m －n －1， 设m －n －1＝t ，则t ∈N *，n ＋1＋t n ＝2t ， 得n ＝t ＋12t －1，(8分) 设d n ＝n ＋12n －1，则d n ＋1－d n ＝（n ＋1）＋12n ＋1－1－n ＋12n －1＝－n ×2n －1（2n ＋1－1）（2n －1）<0恒成立， 所以数列{}d n 单调递减，而d 1＝2，d 2＝1，d 3＝47<1，则当n ≥3时，d n <1恒成立， 故方程n ＝t ＋12t －1的解有且仅有t ＝1，n ＝2或t ＝2，n ＝1， 故满足条件的m ，n 存在，m ＝4，n ＝1或n ＝2. (10分)(2) 因为a n >0(n ∈N *)，且k n 、r n 分别为{}a n 前n 项中的最大项和最小项，所以k n ＋1≥k n ，r n ＋1≤r n ，设数列{}b n 的公比为q ，显然q >0，①当q ＝1时，k n ＋1r n ＋1k n r n＝1，得k n ＋1k n ＝r n r n ＋1， 若k n ＋1>k n ，则r n ＋1<r n ，由k n 与r n 的含义可知k n ＋1>k n 与r n ＋1<r n 不可能同时成立， 故k n ＋1＝k n ，则r n ＋1＝r n ，则k n ＝k 1＝a 1，r n ＝r 1＝a 1，∴a n ＝a 1，∴a n ＋1a n＝1， 所以数列{}a n 是等比数列. (12分)②当q >1时，k n ＋1r n ＋1k n r n ＝q >1， 得k n ＋1r n ＋1k n r n ＝q 2>1， ∴k n ＋1k n >r n r n ＋1≥1，∴k n ＋1>k n 恒成立． 因为k n ≥a n ，所以k n ＋1＝a n ＋1，∴a n ＋1>a n 恒成立，∴k n ＝a n ，r n ＝a 1，代入k n ＋1r n ＋1k n r n ＝q 2得a n ＋1a 1a n a 1＝q 2，即a n ＋1a n＝q 2， 所以数列{}a n 是等比数列. (14分)③当0<q <1时，0<k n ＋1r n ＋1k n r n<1， 得k n ＋1r n ＋1k n r n ＝q 2<1， ∴r n ＋1r n <k n k n ＋1≤1，∴r n ＋1<r n 恒成立． 因为r n ≤a n ，所以r n ＋1＝a n ＋1，∴a n ＋1<a n 恒成立，∴k n ＝a 1，r n ＝a n ，代入k n ＋1r n ＋1k n r n＝q 2， 得a 1a n ＋1a 1a n ＝q 2，即a n ＋1a n＝q 2， 所以数列{a n }是等比数列.综上，数列{a n }是等比数列. (16分)21. A . 在直线l 上取点A (1，－1)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1041⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，故A (1，－1)在矩阵M 对应的变换作用下得到A ′(－1，3)，(4分)再在直线l 上取点B (2，1)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1041⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－29，在矩阵M 对应的变换作用下得到B ′(－2，9), (8分) 连结A ′B ′，可得直线l ′：6x ＋y ＋3＝0. (10分)B . 由题意得，曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 23＝1(y ≤0)，(3分) 直线OP 的方程为y ＝3x ，(6分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1（y ≤0），y ＝3x ，解得⎩⎨⎧x ＝255，y ＝2155(舍去)或⎩⎨⎧x ＝－255，y ＝－2155， 故点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－255，－2155.(10分) C . ①当x ≤－2时，原不等式可化为4＋2(x ＋2)≤1－x ，解得x ≤－73，此时x ≤－73；(3分)②当－2<x <1时，原不等式可化为4－2(x ＋2)≤1－x ，解得x ≥－1，此时－1≤x <1；(6分)③当x ≥1时，原不等式可化为4－2(x ＋2)≤x －1，解得x ≥13，此时x ≥1. (9分)综上，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－73∪[－1，＋∞). (10分) 22. 设BC 的中点为E ，由AB ＝AC ，可知AE ⊥BC ，故分别以AE ，AD ，AP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示). (2分)则A(0，0，0)，P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(5，－2，0)，C(5，2，0).(1) 设θ为两直线所成角，由PB →＝(5，－2，－4)，CD →＝(－5，1，0), 得cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·CD →|PB →|·|CD →|＝7630， 即异面直线PB 与CD 所成角的余弦值为7630. (6分) (2) 设n 1＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，因为PB →＝(5，－2，－4)，PC →＝(5，2，－4)，由PB →·n ＝0，PC →·n ＝0，得⎩⎨⎧5x －2y －4z ＝0，5x ＋2y －4z ＝0，取n 1＝(4，0，5)， 又平面P AD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0). 设α为两个平面所成的锐二面角的平面角，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝42121， 所以平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为42121. (10分)23. (1) 抛掷一次，出现一个0和一个3时符合要求，故P(1)＝12. (1分) 抛掷两次，出现1＋2，2＋1，0＋0，3＋3，0＋3，3＋0时符合要求，共计6种情况，故P(2)＝616＝38. (3分) (2) 方法一：设S n 被3除余1的概率为P 1(n)，S n 被3除余2的概率为P 2(n).则有 P(n ＋1)＝12P(n)＋14P 1(n)＋14P 2(n)，① P 1(n ＋1)＝14P(n)＋12P 1(n)＋14P 2(n), ②P 2(n ＋1)＝14P(n)＋14P 1(n)＋12P 2(n), ③(6分) ①－(②＋③)，得P(n ＋1)－[P 1(n ＋1)＋P 2(n ＋1)]＝－12[P 1(n)＋P 2(n)]， 化简，可得4P(n ＋1)＝P(n)＋1，(8分)即P(n ＋1)－13＝14[P(n)－13]， 又P(1)＝12， 所以P(n)＝13＋23·14n . (10分) 方法二：设S n 被3除余1的概率为P 1(n)，S n 被3除余2的概率为P 2(n), 则P 2(n)＝1－P(n)－P 1(n)，又P(n ＋1)＝12P(n)＋14P 1(n)＋14P 2(n)， 所以P(n ＋1)＝12P(n)＋14P 1(n)＋14[1－P(n)－P 1(n)]，得4P(n ＋1)＝P(n)＋1，以下同方法一.。