第一章命题演算基础知识讲解

(1)去蕴含词与等价词： PQ =P ∨ Q
PQ =（P ∨ Q） ∧ （P ∨ Q） (2)否定深入：
(P Q)= PQ
(P Q)= PQ，
P = P (3)重复使用分配律：
P (QR)=(P Q )(P R) P (QR)=(P Q )(P R)
解释法
(1) 求所有成真解释、成假解释； (2) 写出成真解释对应的合取式、
= (PQR) (PQ R)(P QR)
=101100110=456
例 求公式的主析取范式 (PQ)((RQ)P)
解：P=T时, 原式=(TQ)∨((RQ)T)=Q∨R P=F时, 原式=(FQ)∨((RQ)F)=F 所以有: 成真解释为：(P,Q,R)=(T,F,T), (T,F,F), (T,T,F)
第一章 命题演算基础
1.3 范式及其应用 1.3.1 范式
介绍命题演算公式的规范形式: 析取范式 合取范式
讨论范式与成真解释、成假解释的关系。
合取式、析否定、或由它们 利用合取词组成的合式公式称为合取式。
定义2 命题变元、或者命题变元的否定、或由它们 利用析取词组成的合式公式称为析取式。
于是主析取范式为: (PQR)(P Q R)(P Q R) =101100110 =456
(二) 主合取范式
定义3 对于n个命变元P1，P2，……，Pn，公式
Q1Q2……Qn 称为极大项，其中Qi=Pi或Pi(i=1，…，n)。
主析取范式
定义2 仅有极小项构成的析取范式称为主析取范式。
定理1 任何一个合式公式，均有惟一的一个主析取范式 与该合式公式等价。
主析取范式就是 公式的所有完全成真解释对应的极小项的析取。
求主析取范式的两种方法
(1)解释法: 根据公式的所有完全成真解释，求出与这些 成真解释对应的合取式，所有合取式的析取就为 公式的主析取范式。
(PQ)((RQ)P)
解：P=T时, 原式=(TQ)∨((RQ)T)=Q∨R P=F时, 原式=(FQ)∨((RQ)F)=F 所以有: 成真解释为：(P,Q,R)=(T,F,T), (T,F,F), (T,T,F) 成假解释为：(P,Q,R)=(T,T,T), (F,, )
于是析取范式为: (PQR)(P Q R)(P Q R)
成假解释对应的析取式； (3) 把所有的合取式用析取词联结起来就构成析
取范式，把所有的析取式用合取词联结起 来就构成合取范式。
例 求公式的范式 (PQ)((RQ)P)
解：
原式=(PQ)((RQ)P)
=(PQ)((RQ)P)
=(PQ)(PR)(PQ)
=(PQ)(PR)
析取范式
= P(QR)
合取范式
例 求公式的范式
(2)等价变换法: 将析取范式中的每一个合取式用AA填 满命题变元，然后用等价公式进行变换，消去相 同部分，即得公式的主析取范式。
例 求公式的主析取范式
(PQ)((RQ)P)
解：
原式=(PQ)((RQ)P)
=(PQ)((RQ)P)
=(PQ)(PR)(PQ) =(PQ)(PR)
析取范式
=(PQ(R R))(P (QQ)R)
例 显然， P，P，PQ，PQR 均为合取式； P，P，PQ，PQR 均为析取式。
(一) 解释与合取式、析取式之间的关系 定理1 任给一个成真解释有且仅有一个合取式
与之对应； 任给一个成假解释有且仅有 一个析取式与之对应。
例 成真解释(P，Q，R)= (T,F,T) 合取式PQR
成假解释(P，Q，R)= (F,F,T)
合取范式为： (P QR)P
范式不唯一性
例 求公式的范式 (PQ)((RQ)P)
解1： 原式=(PQ)(PR) = P(QR)
析取范式 合取范式
解2: 析取范式为: (PQR)(P Q R)(P Q R)
合取范式为：
(P QR)P
1.3.2 主范式
(一) 主析取范式
定义1 对于n个命题变元P1，P2，……，Pn，公式 Q1Q2……Qn
称为极小项，其中Qi=Pi或Pi(i=1，……，n)。
例 由两个命题变元P，Q组成的极小项有四个，它们 分别为： PQ PQ PQ PQ
三个命题变元P、Q和R可构造8个极小项
把命题变元的否定形式看成0，肯定形式看成1，则每 个极小项对应一个二进制数，也对应一个十进制数。 它们对应如下：
PQR 与000 或0对应，简记为 m0 PQR 与001 或1对应，简记为 m1 PQR 与010 或2对应，简记为 m2 PQR 与011 或3对应，简记为 m3 PQR 与100 或4对应，简记为 m4 PQR 与101 或5对应，简记为 m5 PQR 与110 或6对应，简记为 m6 PQR 与111 或7对应，简记为 m7
例: 考察公式 =PQ的合取范式
P Q P Q
TT TF FT FF
T
成假解释
F
F
(T, F), (F, T)
T
对应析取式为 P∨Q, P∨Q 于是，有：
= (P∨Q) ∧(P∨Q)
定理2 任何命题演算公式均可以化为合 取范式，也可以化为析取范式。
证明： (1)设公式为永真公式 =PP
(2)设公式为永假公式 =PP
析取式PQR
析取范式、合取范式
定义3 形如A1 A2… An的公式称为析取范式， 其中Ai(i=1,2…,n)为合取式。
定义4 形如A1 A2… An的公式称为合取范式， 其中Ai(i=1,2…,n)为析取式。
例 P，P，PQ，PQ ，(PQ)(SR) ——均为析取范式。
P，P，PQ，PQ ， (PQ)(SR) ——均为合取范式。
证明(3)： 设公式既非永真又非永假。 设公式的成真解释为1，2，……，n， 成假解释为1，2，……，t。 根据解释和范式的关系知：
对应于成真解释1，2，……，n的合取式为 1，2，……，n
对应于成假解释1，2，……，t的析取式为 1，2，……，t
而公式 12……n的成真解释为 1，2，……，n；
公式12……t的成假解释为 1，2，……，t。
根据两个公式逻辑等价的定义知
=12……n =12……t 故公式既可表示为析取范式又可表示为合取范式。
(二) 析取范式和合取范式的求解方法
等价变换法——利用等价公式进行变换， 将范式变换出来。
解 释 法——利用所有成真解释或成假 解释，写出范式。
等价变换法