2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用课时跟踪检测(十八) 利用导数证明不等式 含解析
2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第十节变化率与导数、导数的运算含答案
第十节变化率与导数、导数的运算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题体验]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ．故选B.2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． [小题纠偏]1．函数y ＝ln xe x 的导函数为________________．答案：y ′＝1－x ln xx e x2．(2018·杭州模拟)函数f (x )＝x 2＋1x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．3x －y －1＝0C ．x －y －1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选A 函数f (x )＝x 2＋1x 的导数为f ′(x )＝2x －1x 2 ，可得图象在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝2－1＝1， 切点为(1,2)，可得图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －2＝x －1， 即为x －y ＋1＝0. 故选A.考点一 导数的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos x ex ；(4)(易错题)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1x －1x2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2 ＝－sin x ＋cos xe x. (4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.[谨记通法]求函数导数的3种原则[提醒] 复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元． 考点二 导数的几何意义(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A ．18B ．14C ．12D ．1解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′| x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14. 角度二：求切点坐标2．(2018·湖州模拟)曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)解析：选C 设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x )＝3x 2＋1，即f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1，所以P 0点的坐标为(1,0)和(－1，－4)，经检验，都符合题意．故选C.角度三：求参数的值(范围)3．(2018·宁波二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞)C ．⎣⎡⎦⎤－23，13 D ．⎣⎡⎦⎤－13，23 解析：选D 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1＞1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．(2018·杭州质量预测)函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：选C 依题意，f (0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C.2．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________. 解析：∵y ＝a ln x ，∴y ′＝a x ，∴在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0， 故切点为(1,0)，∴切线方程为y ＝a (x －1)． 令y ＝0，得：x ＝1；令x ＝0，y ＝－a . ∴三角形面积S ＝12×a ×1＝4，∴a ＝8.答案：8一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.2．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x ，∴f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0.3．(2018·温州模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( ) A ．1 B ．2 C ．12 017D ．2 0182 017解析：选D 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017.故选D.4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a2＝－1，解得a ＝2. 答案：25．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 33－b 2x 2＋ax ＋1(a ＞0，b ＞0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′(x )a 在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是________．解析：因为a ＞0，b ＞0，f ′(x )＝x 2－bx ＋a ，所以g ′(x )＝a x ＋2x －b a ，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a ＝a b ＋ba ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以斜率的最小值为2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′| x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x —ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e－1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．(2018·开封模拟)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．4解析：选C 对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，∴k ＝3＋m ，又k ＋1＝3,1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3. 3．(2018·台州测试)已知f (x )＝x 2＋2f ′(1)，则f (0)等于( ) A ．2 B ．4 C ．－2D ．－4解析：选B 由已知f (x )＝x 2＋2f ′(1)，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(1)＝2，所以f (x )＝x 2＋4， 所以f (0)＝4.故选B.4．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′| x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0， ∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0， 解得m ＝－2.6．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________，b ＝________.解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋b ，得f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意，得f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1.又在切线方程中，当x ＝1时，y ＝－3，所以f (1)＝13－1×1＋b ＝－3，解得b ＝－3.答案：－1 －37．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：08．(2018·杭二期中)设函数F (x )＝ln x ＋a x (0＜x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0＜x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0＜x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞9．(2018·杭州六校联考)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求实数a 的取值范围．解：因为对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线， 所以f ′(x )＝x 2－a ≠－1对x ∈R 成立， 只要f ′(x )＝x 2－a 的最小值大于－1即可， 而f ′(x )＝x 2－a 的最小值为f (0)＝－a ， 所以－a ＞－1，即a ＜1.故实数a 的取值范围为(－∞，1)． 10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.2．(2018·温州月考)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十八利用导数证明不等式
课时跟踪检测(十八) 利用导数证明不等式1．(2019·唐山模拟)已知f (x )＝12x 2－a 2ln x ，a ＞0.(1)求函数f (x )的最小值； (2)当x ＞2a 时，证明：f x －f a x －2a ＞32a .解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a 2x ＝x ＋a x －ax.当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝a 时，f (x )取得极小值，也是最小值，且f (a )＝12a 2－a 2ln a .(2)证明：由(1)知，f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增， 则所证不等式等价于f (x )－f (2a )－32a (x －2a )＞0.设g (x )＝f (x )－f (2a )－32a (x －2a )，则当x ＞2a 时，g ′(x )＝f ′(x )－32a ＝x －a 2x －32a＝x ＋ax －2a2x＞0，所以g (x )在(2a ，＋∞)上单调递增， 当x ＞2a 时，g (x )＞g (2a )＝0， 即f (x )－f (2a )－32a (x －2a )＞0，故f x －f a x －2a ＞32a .2．(2018·黄冈模拟)已知函数f (x )＝λln x －e －x(λ∈R)． (1)若函数f (x )是单调函数，求λ的取值范围； (2)求证：当0＜x 1＜x 2时，e1－x 2－e 1－x 1＞1－x 2x 1.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f (x )＝λln x －e －x， ∴f ′(x )＝λx ＋e －x＝λ＋x e －xx，∵函数f (x )是单调函数，∴f ′(x )≤0或f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，①当函数f (x )是单调递减函数时，f ′(x )≤0，∴λ＋x e －xx≤0，即λ＋x e －x≤0，λ≤－x e －x ＝－x ex .令φ(x )＝－x e x ，则φ′(x )＝x －1ex ，当0＜x ＜1时，φ′(x )＜0；当x ＞1时，φ′(x )＞0，则φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ＞0时，φ(x )min ＝φ(1)＝－1e ，∴λ≤－1e.②当函数f (x )是单调递增函数时，f ′(x )≥0，∴λ＋x e －xx≥0，即λ＋x e －x ≥0，λ≥－x e －x ＝－x ex ，由①得φ(x )＝－xe x 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又∵φ(0)＝0，当x ―→＋∞时，φ(x )＜0，∴λ≥0.综上，λ的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪[0，＋∞)． (2)证明：由(1)可知，当λ＝－1e 时，f (x )＝－1e ln x －e －x在(0，＋∞)上单调递减，∵0＜x 1＜x 2，∴f (x 1)＞f (x 2)，即－1e ln x 1－e －x 1＞－1e ln x 2－e －x 2，∴e1－x 2－e1－x 1＞ln x 1－ln x 2.要证e1－x 2－e1－x 1＞1－x 2x 1，只需证ln x 1－ln x 2＞1－x 2x 1，即证ln x 1x 2＞1－x 2x 1，令t ＝x 1x 2，t ∈(0,1)，则只需证ln t ＞1－1t，令h (t )＝ln t ＋1t －1，则当0＜t ＜1时，h ′(t )＝t －1t2＜0，∴h (t )在(0,1)上单调递减，又∵h (1)＝0，∴h (t )＞0，即ln t ＞1－1t，故原不等式得证．3．(2019·贵阳模拟)已知函数f (x )＝kx －ln x －1(k ＞0)． (1)若函数f (x )有且只有一个零点，求实数k 的值； (2)求证：当n ∈N *时，1＋12＋13＋ (1)＞ln(n ＋1)．解：(1)∵f (x )＝kx －ln x －1，∴f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x (x ＞0，k ＞0)；当0＜x ＜1k时，f ′(x )＜0；当x ＞1k时，f ′(x )＞0.∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1k 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＝ln k ，∵f (x )有且只有一个零点， ∴ln k ＝0，∴k ＝1.(2)证明：由(1)知x －ln x －1≥0，即x －1≥ln x ，当且仅当x ＝1时取等号， ∵n ∈N *，令x ＝n ＋1n ，得1n ＞ln n ＋1n， ∴1＋12＋13＋…＋1n ＞ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)，故1＋12＋13＋…＋1n ＞ln(n ＋1)．。
2020版高考数学一轮总复习 第三单元导数及其应用 教案全集 含解析
导数的概念及运算1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程． 3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)平均变化率： 函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率ΔyΔx＝ f x0＋Δx －f x 0Δx.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0 ΔyΔx 通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(3)函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，称作f (x )的导函数，记作 y ′或f ′(x ) .2. 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的 切线的斜率 .曲线在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) . 3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式 ①C ′＝ 0 (C 为常数)； ②(x n)′＝ nxn －1(n ∈Q )；③(sin x )′＝ cos x ； ④(cos x )′＝ －sin x ； ⑤(a x)′＝ a xln a (a >0且a ≠1)；⑥(e x )′＝ e x； ⑦(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1)； ⑧(ln x )′＝ 1x.(2)导数的运算法则 ①和差的导数[f (x )±g (x )]′＝ f ′(x )±g ′(x ) . ②积的导数[f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) . ③商的导数 [f xg x]′＝ fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．热身练习1．若f (x )＝2x 2图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 等于(C)A ．3＋2ΔxB ．4＋ΔxC ．4＋2ΔxD ．3＋ΔxΔy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2(1＋Δx )2－2＝2[2Δx ＋(Δx )2]，所以Δy Δx ＝4＋2Δx .2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f＋Δx －f2Δx等于(C)A ．f ′(1) B．2f ′(1) C.12f ′(1) D．f ′(2)因为f (x )可导，所以lim Δx →0f＋Δx －f2Δx ＝12lim Δx →0 f ＋Δx －fΔx ＝12f ′(1)． 3．下列求导运算中正确的是(B) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2 B ．(lg x )′＝1x ln 10C ．(ln x )′＝xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x(x ＋1x )′＝1－1x 2，故A 错；(ln x )′＝1x，故C 错；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 错．4．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 2x －y －2＝0 .因为y ′＝2x，y ′| x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.5．(1)(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为 3 .(2)y ＝xx ＋1，则y ′x ＝2＝ 19.(1)因为f ′(x )＝2e x＋(2x ＋1)e x＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. (2)因为y ′＝(x x ＋1)′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝1x ＋2，所以y ′x ＝2＝1＋2＝19.导数的概念利用导数的定义求函数f (x )＝1x ＋2的导数．因为Δy ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2＝－Δx x ＋Δx ＋x ＋，所以Δy Δx＝－1x ＋Δx ＋x ＋，所以f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0[－1x ＋Δx ＋x ＋]＝－1x ＋x ＋＝－1x ＋2.利用定义求导数的基本步骤： ①求函数的增量：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； ②求平均变化率：Δy Δx＝fx ＋Δx －f xΔx；③取极限得导数：f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.1．设函数f (x )在x 0处可导，则li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于(B)A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－li mΔx →0f [x 0＋－Δx－f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．导数的运算求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x; (2)y ＝1＋sin x 1－cos x.(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝＋sin x－cos x －＋sin x－cos x－cos x2＝cos x－cos x －＋sin xx－cos x2＝cos x －sin x －1－cos x2.利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结构特点，准确运用常用的导数公式．2．(1)(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为 e .(2)设y ＝1＋cos x sin x ，则y ′π2＝ －1 .(1)因为f (x )＝e xln x ，所以f ′(x )＝e xln x ＋ex x，所以f ′(1)＝e.(2)因为y ′＝＋cos x x －＋cos x xsin 2x＝－sin 2x －＋cos x os x sin 2x＝－1－cos xsin 2x， 所以y ′π2＝－1.求切线方程(1)(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为____________________．(2)若曲线y ＝x ln x 存在斜率为2的切线，则该切线方程为________________．因为y′＝2x－1x2，所以y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.(2)因为y′＝ln x＋1，设切点为P(x0，y0)，则y′x＝x0＝ln x0＋1＝2，所以x0＝e，此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，所以切点为(e，e)．故所求切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.(1)x－y＋1＝0 (2)2x－y－e＝0(1)求切线方程有如下三种类型：①已知切点(x0，y0)，求切线方程；②已知切线的斜率k，求切线方程；③求过(x1，y1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．(2)三种类型的求解方法：类型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切线方程．类型②，设出切点(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切线上，又在曲线上求解；类型③，先设出切点(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知点(x1，y1)在切线上求解．3．(2018·广州市模拟)已知直线y＝kx－2与曲线y＝x ln x相切，则实数k的值为(D) A．ln 2 B．1C．1－ln 2 D．1＋ln 2本题实质上是求曲线过点(0，－2)的切线问题，因为(0，－2)不是切点，可先设出切点，写出切线方程，再利用切线过(0，－2)得到所求切线方程．设切点为(x0，x0ln x0)，因为y′＝ln x＋1，所以k＝ln x0＋1，所以切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，因为切线过点(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝－x0ln x0－x0，所以x0＝2，所以k＝ln 2＋1.1．函数y＝f(x)的导数实质上是“增量(改变量)之比的极限”，即f′(x)＝li mΔx→0Δy Δx＝li mΔx→0f x＋Δx－f xΔx.2．关于函数的导数，要熟练掌握基本导数公式和求导的运算法则，一般要遵循先化简再求导的基本原则．3．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若设点(x0，y0)是切线l与曲线C的切点，则有如下结论：①f′(x0)是切线l的斜率；②点(x0，y0)在切线l上；③点(x0，y0)在曲线C上．导数在函数中的应用——单调性1．了解函数的单调性与其导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数．如果f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)上为减函数．2．导数与函数单调性的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)的任意子集内都不恒等于0.如果f (x )在区间(a ，b )内单调递增，则在(a ，b )内f ′(x ) ≥ 0恒成立； 如果f (x )在区间(a ，b )内单调递减，则在(a ，b )内f ′(x ) ≤ 0恒成立．热身练习1．“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的(A) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件f ′(x )>0在(a ，b )上成立⇒f (x )在(a ，b )上单调递增；反之，不一定成立，如y ＝x 3在(－1,1)上单调递增，但在(－1，1)上f ′(x )＝3x 2≥0.2．设f (x )＝2x 2－x 3，则f (x )的单调递减区间是(D) A ．(0，43) B ．(43，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)和(43，＋∞)f ′(x )＝4x －3x 2<0⇒x <0或x >43.3．函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是(D) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)因为f ′(x )＝－2x e x＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令f ′(x )>0，得x 2＋2x －3<0，解得－3<x <1.所以f (x )的单调递增区间为(－3,1)．4．设定义在区间(a ，b )上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如右图所示，其中x 1，x 2，x 3，x 4是f ′(x )的零点且x 1<x 2<x 3<x 4.则(1)f (x )的增区间为 (a ，x 1)，(x 2，x 4) ； (2)f (x )的减区间为 (x 1，x 2)，(x 4，b ) .5.(2019·福建三明期中)函数f (x )＝x 3－3bx ＋1在区间[1,2]上是减函数，则实数b 的取值范围为 [4，＋∞) .因为f ′(x )＝3x 2－3b ≤0，所以b ≥x 2，要使b ≥x 2在[1,2]上恒成立， 令g (x )＝x 2，x ∈[1,2]，当x ∈[1,2]，1≤g (x )≤4，所以b ≥4.利用导数求函数的单调区间函数f (x )＝x 2－2x －4ln x 的单调递增区间是____________．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x，由f ′(x )>0，得x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1(舍去)． 所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．(2，＋∞)求可导函数f (x )的单调区间的步骤： ①求函数f (x )的定义域； ②求导数f ′(x )；③解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④确定函数y ＝f (x )的单调区间：使f ′(x )＞0的x 的取值区间为增区间，使f ′(x )＜0的x 的取值区间为减区间．1．(2017·全国卷Ⅱ节选)设函数f (x )＝(1－x 2)e x.讨论f (x )的单调性．f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x.令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．已知函数的单调性求参数的范围(经典真题)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞)依题意得f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝1x，因为x >1，所以0<g (x )<1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)．D函数f (x )在(a ，b )上单调递增，可转化为f ′(x )≥0在该区间恒成立，从而转化为函数的最值(或值域)问题．2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是(C)A ．[－1,1]B ．[－1，13]C ．[－13，13]D ．[－1，13](方法一)因为f (x )在(－∞，＋∞) 单调递增，所以f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，即f ′(x )＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，令cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则等价于：g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0对t ∈[－1,1]恒成立．等价于⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋13≥0，a ＋13≥0，所以－13≤a ≤13.即a 的取值范围为[－13，13]．(方法二：特殊值法)取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，因为f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ，B ，D.故选C.利用导数求含参数的函数的单调区间已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 当a >0时，令f ′(x )>0，得x >a . 令f ′(x )<0，得0<x <a .所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(1)当函数的解析式中含有参数时，如果参数对导函数的符号有影响或导数的零点是否在定义域内不确定时，要对参数进行分类讨论．(2)讨论时，首先要看f ′(x )的符号是否确定，再看f ′(x )的零点与定义域的关系． (3)画出导函数的示意图有助于确定单调性．3．(2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .讨论f (x )的单调性．f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋ax ＋x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈(0，－12a )时，f ′(x )＞0；当x ∈(－12a，＋∞)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减．(1)求f(x)的定义域，并求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(3)确定函数y＝f(x)的单调区间：使f′(x)＞0的x的取值区间为增区间，使f′(x)＜0的x的取值区间为减区间．在求单调区间时，要注意如下两点：①要注意函数的定义域；②当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时，不能把这些区间取并集．2．已知函数在区间上单调，求其中的参数时，要注意单调性与导数的关系的转化．即：(1)如果f(x)在区间[a，b]单调递增⇒f′(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立；(2)如果f(x)在区间[a，b]单调递减⇒f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立．3．处理含参数的单调性问题，实质是转化为含参数的不等式的解法问题，但要注意在函数的定义域内讨论．导数在函数中的应用——极值与最值1．掌握函数极值的定义及可导函数的极值点的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)．2．会研究一些简单函数的极值．3．会利用导数求一些函数在给定区间上的最值．知识梳理1．函数的极值(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)＜f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值.①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．2．函数的最值(1)(最值定理)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a，b)内的极值.②将f(x)的极值和端点的函数值比较，其中最大的一个为最大值；最小的一个为最小值.热身练习1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(A)A．1个 B．2个C．3个 D．4个因为f′(x)与x轴有4个交点，即f′(x)＝0有4个解，但仅左边第二个交点x＝x0满足x＜x0时，f′(x)＜0；x＞x0时，f′(x)＞0，其他交点均不符合该条件．2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(C) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件因为函数f(x)在x＝x0处可导，所以若x＝x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，所以q⇒p，故p是q的必要条件；反之，以f (x )＝x 3为例，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．所以p q ． 故p 不是q 的充分条件．3．(2016·四川卷)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝(D) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，所以当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数． 所以f (x )在x ＝2处取得极小值，所以a ＝2.4．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(C) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－19令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.f (1)＝1－3＋1＝－1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3， f (－3)＝－17，f (0)＝1.所以最大值为3，最小值为－17. 5．(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为 2 .f ′(x )＝x －－x x －2＝－1x －2，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数， 故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.求函数的极值、最值求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．因为f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.(1)求可导函数f (x )的极值的步骤： ①确定函数的定义域，求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程根左、右值的符号；④作出结论：如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)求可导函数f (x )在[a ，b ]上最值的步骤： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )各极值与f (a )，f (b )比较，得出f (x )在[a ，b ]上的最值．1．求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[－3,3]上的最大值与最小值．由例1可知，在[－3,3]上， 当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.又f (－3)＝7，f (3)＝1，所以f (x )在[－3,3]上的最大值为283，最小值为－43.含参数的函数的极值的讨论已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值．由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)可知(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f ′(x )的零点的存在； (2)参数是否影响f ′(x )不同零点的大小； (3)参数是否影响f ′(x )在零点左右的符号． 如果有影响，则要分类讨论．2．(2018·银川高三模拟节选)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R )．讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数．f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点．当a >0时，由f ′(x )<0得0<x <1a ；由f ′(x )>0得x >1a.所以f (x )在(0，1a )上递减，在(1a，＋∞)上递增，所以f (x )在x ＝1a处有极小值．所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点， 当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．含参数的函数的最值讨论已知函数f (x )＝ln x －ax (a >0)，求函数f (x )在[1,2]上的最大值．f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.(1)当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1,2]上是减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝－a .(2)当1a ≥2时，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .(3)当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在[1，1a ]上是增函数，在[1a ，2]上是减函数．所以f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1.综上可知：当0<a ≤12时，f (x )max ＝ln 2－2a ；当12<a <1时，f (x )max ＝－ln a －1； 当a ≥1时，f (x )max ＝－a .(1)求函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内使f ′(x )＝0的点和区间端点的函数值，最后比较即可．(2)当函数f (x )中含有参数时，需要依据极值点存在的位置与所给区间的关系，对参数进行分类讨论．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a >0)，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.(1)当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1,2]上是减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝ln 2－2a .(2)当1a ≥2时，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝－a .(3)当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在[1，1a ]上是增函数，在[1a ，2]上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，f (x )min ＝f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )min ＝f (2)＝ln 2－2a . 综上可知：当0<a <ln 2时，函数f (x )min ＝－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )min ＝ln 2－2a .1．求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定f(x)的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值可按如下步骤进行：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值和最小值．3．求含参数的极值，首先求定义域；然后令f′(x)＝0，解出根，根据根是否在所给区间或定义域内进行参数讨论，并根据左右两边导函数的正负号，从而判断f(x)在这个根处取极值的情况．4．含参数的最值，首先按照极值点是否在所给区间对参数进行讨论，然后比较区间内的极值和端点值的大小．导数的综合应用——导数与不等式1．能够构造函数利用导数证明一些简单的不等式和解某些不等式．2．会将恒成立问题及存在性问题转化为最值问题进行求解．知识梳理1．如果不等式f(x)≥g(x)，x∈[a，b]恒成立，则转化为函数φ(x)＝f(x)－g(x)在x ∈[a，b]内的最小值≥0.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”) 2．若f′(x)>0，x∈[a，b]，且x0∈(a，b)有f(x0)＝0，则f(x)>0的x的取值范围为(x0，b) ，f(x)<0的x的取值范围为(a，x0) .3．若f(x)>m在x∈[a，b]上恒成立，则函数f(x)在x∈[a，b]的最小值>m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)若f (x )<m 在x ∈[a ，b ]上恒成立，则函数f (x )在x ∈[a ，b ]的 最大值 <m .(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)4．若f (x )>m 在x ∈[a ，b ]有解，则函数f (x )在x ∈[a ，b ]的 最大值 >m .(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)热身练习1．对于∀x ∈[0，＋∞)，则e x与1＋x 的大小关系为(A) A ．e x≥1＋x B ．e x<1＋xC ．e x＝1＋x D ．e x与1＋x 大小关系不确定令f (x )＝e x－(1＋x )，因为f ′(x )＝e x－1，所以对∀x ∈[0，＋∞)，f ′(x )≥0，故f (x )在[0，＋∞)上递增，故f (x )≥f (0)＝0， 即e x≥1＋x .2．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )>0，则必有(B) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)>2f (1) C ．f (0)＋f (2)＝2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)的大小不确定依题意，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数， 故当x ＝1时，f (x )取最小值，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)．3．已知定义在R 上函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且x >0时，f ′(x )<0，则f (x )>0的解集为(A)A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又x >0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )>0的解集为(－∞，0)．4．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在[1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 [－2，＋∞).因为h′(x)＝2＋kx2，且h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h′(x)＝2＋kx2≥0，所以k≥－2x2，要使k≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，则只要k≥(－2x2)max，所以k≥－2.5．设f(x)＝－x2＋a，g(x)＝2x.(1)若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为[3，＋∞)；(2)若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为[0，＋∞).(1)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．则[F(x)]min＝F(1)＝－3＋a.因为“若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于“[F(x)]min≥0，x∈[0,1]”，所以－3＋a≥0，解得a≥3.所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．则[F(x)]max＝F(0)＝a.因为“若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于“[F(x)]max≥0，x∈[0,1]”，所以a≥0.所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．利用导数解不等式若f(x)的定义域为R，f′(x)>2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)>2x＋4的解集为A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)令g(x)＝f(x)－2x－4，因为g′(x)＝f′(x)－2>0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以f(x)>2x＋4⇔g(x)>g(－x>－1.所以f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．B利用导数解不等式的基本方法：(1)构造函数，利用导数研究其单调性；(2)寻找一个特殊的函数值；(3)根据函数的性质(主要是单调性，结合图象)得到不等式的解集．1．(2018·遂宁模拟)已知f(x)为定义在(－∞，0)上的可导函数，2f(x)＋xf′(x)>x2恒成立，则不等式(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0的解集为(B)A．(－2020,0) B．(－∞，－2020)C．(－2016,0) D．(－∞，－2016)构造函数F(x)＝x2f(x)，x<0，当x<0时，F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，因为2f(x)＋xf′(x)>x2≥0，所以F′(x)≤0，则F(x)在(－∞，0)上递减．又(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0可转化为(x＋2018)2f(x＋2018)>(－2)2f(－2)，即F(x＋2018)>F(－2)，所以x＋2018<－2，所以x<－2020.即原不等式的解集为(－∞，－2020)．利用导数证明不等式已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x.当x∈[0,1]时，求证：f(x)≤11＋x.要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤11＋x，只需证明e x≥x＋1.记k(x)＝e x－x－1，则k′(x)＝e x－1，当x∈(0,1)时，k′(x)>0，因此，k(x)在[0,1]上是增函数，故k(x)≥k(0)＝0，所以f(x)≤11＋x，x∈[0,1]．(1)证明f(x)>g(x)的步骤：①构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；②研究F(x)的单调性或最值；③证明F (x )min >0.(2)注意：其中构造函数是将不等式问题转化为函数问题．为了利用导数研究函数的性质，常用分析法．．．将要证明的不等式进行适当变形或化简，然后构造相应的函数．2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1.证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.当a ≥1e 时，f (x )≥exe －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e xe －1x .当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e时，f (x )≥0.已知不等式恒成立求参数的范围已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x .若∀x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围．f (x )≤g (x ) ⇔7x 2－28x －c ≤2x 3＋4x 2－40x ⇔c ≥－2x 3＋3x 2＋12x ， 所以原命题等价于c ≥－2x 3＋3x 2＋12x 在x ∈[－3,3]上恒成立． 令h (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x ，x ∈[－3,3]，则c ≥h (x )max . 因为h ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12＝－6(x －2)(x ＋1)，当x 变化时，h ′(x )和h (x )在[－3,3]上的变化情况如下表：单调递减单调递增 单调递减 易得h (x )max ＝h (－3)＝45，故c ≥45.(1)已知不等式恒成立，求参数a 的范围，例如f (x )>g (x )在x ∈D 上恒成立，其主要方法是：①构造函数法：将不等式变形为f (x )－g (x )>0，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，转化为F (x )min >0.②分离参数法：将不等式变为a >h (x )或a <h (x )在x ∈D 内恒成立，从而转化为a >h (x )max或a <h (x )min .(2)注意：①恒成立问题常转化为最值问题，要突出转化思想的运用；②“f (x )max ≤g (x )min ”是“f (x )≤g (x )”的一个充分不必要条件，分析不等式恒成立时，要注意不等号两边的式子中是否是有关联的变量，再采取相应的策略．1． 已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x .若∀x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围．此题与例3不同，例3中不等式两边的式子中均有相同的变化的未知量x ，故可先移项，直接进行转化；而此题中不等式两边的式子中的x 1，x 2相互独立，则等价于f (x 1)max ≤g (x 2)min.由∀x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]， 都有f (x 1)≤g (x 2)成立，得f (x 1)max ≤g (x 2)min . 因为f (x )＝7x 2－28x －c ＝7(x －2)2－28－c ， 当x 1∈[－3,3]时，f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c ；g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，g ′(x )＝6x 2＋8x －40＝2(3x ＋10)(x －2)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )在[－3,3]上的变化情况如下表：单调递减单调递增易得g (x )min ＝g (2)＝－48， 故147－c ≤－48，即c ≥195.1．利用导数证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数F (x )＝f (x )－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明F(x)>0.其中要特别关注如下两点：(1)是直接构造F(x)，还是适当变形化简后构造F(x)，对解题的繁简有影响；(2)找到F(x)在什么地方可以等于零，往往是解决问题的一个突破口．2．利用导数解不等式的基本方法是构造函数，寻找一个函数的特殊值，通过研究函数的单调性，从而得出不等式的解集．3．处理已知不等式恒成立求参数范围的问题，要突出转化的思想，将其转化为函数的最值问题．已知f(x)>g(x)在x∈D上恒成立，求其中参数a的范围，其主要方法是：①构造函数法：将不等式变形为f(x)－g(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min>0.②分离参数法：将不等式变为a>h(x)或a<h(x)在x∈D内恒成立，从而转化为a>h(x)max 或a<h(x)min.导数的综合应用——导数与方程1．能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识．2．会利用导数研究一般函数的零点及其分布．知识梳理1．函数零点的有关知识(1)零点的概念：函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)几个常用结论：①f(x)有零点y＝f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)＝0有实数解.②F(x)＝f(x)－g(x)有零点y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点方程f(x)＝g(x)有实数解.③零点存在定理：f (x )在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内 至少有一 个零点．2．利用导数研究函数零点的方法(1)研究y ＝f (x )的图象，利用数形结合的思想求解． (2)研究方程有解的条件，利用函数与方程的思想求解．热身练习1．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是(D)观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．2．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的零点个数为(D)A ．0B ．1C ．2D ．3因为f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增由此可得到f (x )的大致图象(如下图)．由图可知f (x )有3个零点．3．若方程13x 3－4x ＋4＋a ＝0有3个不同的解，则a 的取值范围为(B)A ．(－43，283)B ．(－283，43)C ．[－43，283]D ．[－283，43]13x 3－4x ＋4＋a ＝0有3个不同的解⇔f (x )＝13x 3－4x ＋4与g (x )＝－a 有3个不同的交点．利用第2题图可知，－43<－a <283，即－283<a <43.4．若函数g (x )＝13x 3－4x ＋4＋a 的图象与x 轴恰有两个公共点，则a ＝(B)A.283或－43 B ．－283或43C ．－283或283D ．－43或43g (x )＝13x 3－4x ＋4＋a 与x 轴恰有两个公共点⇔方程13x 3－4x ＋4＋a ＝0有2个不同的解⇔f (x )＝13x 3－4x ＋4与φ(x )＝－a 有2个不同的交点．利用第2题图可知，－a ＝－43或－a ＝283，所以a ＝－283或a ＝43.5．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是(C) A ．(－∞，ln 2) B ．(ln 2，＋∞) C ．(－∞，2ln 2－2] D ．[2ln 2－2，＋∞)(方法一)因为f′(x)＝e x－2，令e x－2＝0得，e x＝2，所以x＝ln 2，当x∈(－∞，ln 2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝ln 2时，f(x)取最小值f(x)min＝2－2ln 2＋a.要f(x)有零点，所以a≤2ln 2－2.(方法二)函数f(x)＝e x－2x＋a有零点，即关于x的方程e x－2x＋a＝0有实根，即方程a＝2x－e x有实根．令g(x)＝2x－e x(x∈R)，则g′(x)＝2－e x.当x<ln 2时，g′(x)>0；当x>ln 2时，g′(x)<0.所以当x＝ln 2时，g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2，所以函数g(x)的值域为(－∞，2ln 2－2]．所以a的取值范围为(－∞，2ln 2－2]．利用导数研究三次函数的零点及其分布已知函数f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，则f(x)的零点的个数是A．0或1 B．1或2C．2 D．3(方法一：从函数角度出发，研究f(x)的图象与x轴的交点)因为f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增由此可得到f(x)的大致图象(如图)，由a≥16得，a＋16>0，a－16≥0，当a＝16时，f(x)的图象与x轴有2个交点；当a>16时，f(x)的图象与x轴只有1个交点．所以f(x)的零点个数为1或2.(方法二：从方程角度出发，利用函数与方程的思想)f(x)＝x3－12x＋a的零点个数⇔方程x3－12x＝－a的解的个数⇔g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的交点个数．画出g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的图象．由g′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增所以g(x)的图象如右图所示：因为a≥16，所以y＝－a≤－16.由图可知直线y＝－a与y＝x3－12x的图象有1个或2个交点．B利用导数研究函数的零点的基本思路： (1)研究y ＝f (x )的图象，利用数形结合的思想求解； (2)研究f (x )＝0有解，利用函数与方程的思想求解．1．(经典真题)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为(B)A ．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)当a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.若a >0，由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．若a <0，由图象结合f (0)＝1>0知，此时必有f (2a )>0，即a ×8a 3－3×4a2＋1>0，化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2.利用导数研究超越方程的根及其分布已知函数f (x )＝x －a e x(a ∈R )，x ∈R .已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求a 的取值范围．由f (x )＝x －a e x，可得f ′(x )＝1－a e x. 下面分两种情况讨论：(1)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (2)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：这时，f (x )的单调递增区间是(－∞，－ln a )；单调递减区间是(－ln a ，＋∞)． 于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立： ①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0； ③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0. 由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1，而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；而当x ∈(－ln a ，＋∞)时，由于x →＋∞时，e x 增长的速度远远大于x 的增长速度，所以一定存在s 2∈(－ln a ，＋∞)满足f (s 2)<0.另法：取s 2＝2a ＋ln 2a ，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝(2a －e 2a )＋(ln 2a －e 2a)<0.所以a 的取值范围是(0，e －1)．函数的零点是导数研究函数的性质的综合应用，要注意如下方面： (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质； (2)数形结合思想方法的应用；(3)函数零点存在定理及根的分布知识的应用．2．(2018·广州模拟节选)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2(a ≠0)，若函数f (x )恰有一个零点，求实数a 的取值范围．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋ax.①当a >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 取x 0＝e －1a ，则f (e －1a )＝－1＋(e －1a)2<0，(或：因为0<x 0<a 且x 0<1e 时，所以f (x 0) ＝a ln x 0 ＋x 20 < a ln x 0＋a <a ln 1e ＋a ＝0.)因为f (1)＝1，所以f (x 0)·f (1)<0，此时函数f (x )有一个零点．②当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a2. 当0<x <－a 2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，－a2)上单调递减， 当x >－a2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－a2，＋∞)上单调递增． 要使函数f (x )有一个零点， 则f (－a2)＝a ln －a 2－a2＝0，即a ＝－2e. 综上所述，若函数f (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a >0.利用导数研究两函数图象的交点问题已知函数f (x )＝x ＋a x (a ∈R )，g (x )＝ln x ．若关于x 的方程g xx 2＝f (x )－2e(e 为自然对数的底数)只有一个实数根，求a 的值．由g x x 2＝f (x )－2e ，得ln x x 2＝x ＋ax－2e ， 化为ln x x＝x 2－2e x ＋a .问题转化为函数h (x )＝ln x x与m (x )＝x 2－2e x ＋a 有一个交点时，求a 的值．由h (x )＝ln x x ，得h ′(x )＝1－ln x x2.令h ′(x )＝0，得x ＝e. 当0<x <e 时，h ′(x )>0；当x >e 时，h ′(x )<0. 所以h (x )在(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减． 所以当x ＝e 时，函数h (x )取得最大值，其值为h (e)＝1e .而函数m (x )＝x 2－2e x ＋a ＝(x －e)2＋a －e 2，当x ＝e 时，函数m (x )取得最小值，其值为m (e)＝a －e 2.所以当a －e 2＝1e ，即a ＝e 2＋1e 时，方程g x x 2＝f (x )－2e 只有一个实数根．(1)利用f (x )＝g (x )的解⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，可将方程的解的问题转化为两函数图象的交点问题，从而可利用数形结合的思想方法进行求解．(2)在具体转化时，要注意对方程f (x )＝g (x )尽量进行同解变形，变到两边的函数是熟悉的形式或较简单的形式，以便于对其图象特征进行研究．3．(经典真题)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2， 由题意得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题意知1－k >0，当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )，h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．1．利用导数研究函数的零点及其零点分布问题的基本步骤： (1)构造函数，并确定定义域； (2)求导，确定单调区间及极值； (3)作出函数的草图；(4)根据草图直观判断函数的零点的情况或得到零点所满足的条件． 2．处理函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象的交点问题，常用方法有： (1)数形结合，即分别作出两函数的图象，考察交点情况；。
高中数学必修一课时跟踪检测(十八) 函数的应用(一) (3)
课时跟踪检测（十八） 函数的应用（一）A 级——学考合格性考试达标练1．一定范围内，某种产品的购买量y 与单价x 之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元解析：选C 设y ＝kx ＋b (k ≠0)，则1 000＝800k ＋b ，且2 000＝700k ＋b ，解得k ＝－10，b ＝9 000，则y ＝－10x ＋9 000.解400＝－10x ＋9 000，得x ＝860(元)．2．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A ．32cm 2 D ．4 cm 2 C ．32 cm 2D ．23 cm 2解析：选D 设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x ) cm ，两个正三角形的面积之和为S cm 2.分析知0<x <12.则S ＝34⎝⎛⎭⎫x 32＋34⎝⎛⎭⎫4－x 32＝318(x －6)2＋23，当x ＝6时，S min ＝23.3．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元 D ．11万元 C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设该公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈ [0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，利润最大，最大利润为43万元．4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x<10，x ∈N *，2x ＋10，10≤x<100，x ∈N *，其中x 代表拟1.5x ，x≥100，x ∈N *，录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用的人数为( ) A ．15 D ．40 C ．25D ．130解析：选C 令y ＝60，若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25.5．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m 元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m 元收费．已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为( )A ．13立方米 D ．14立方米 C ．18立方米D ．26立方米解析：选A 由已知得，该户每月缴费y 元与实际用水量x 立方米满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x≤10，2mx －10m ，x>10. 由y ＝16m ，得x >10，所以2mx －10m ＝16m ， 解得x ＝13.故选A.6．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x (x ∈N *，x ≤40)本，则总费用f (x )与x 的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)．解析：当0<x <10时，f (x )＝40x ；当10≤x <20时，f (x )＝35x －10；当20≤x ≤40时，f (x )＝30x －20.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0<x<10，35x －10，10≤x<20，（x ∈N *）.30x －20，20≤x≤40答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0<x<10，35x －10，10≤x<20，（x ∈N *）30x －20，20≤x≤407．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元．解析：由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40，1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元)．答案：3608．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元/件)之间的关系满足一次函数：m ＝162－3x .若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．解析：设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝(x －30)·(162－3x )＝－3(x －42)2＋432，所以当x ＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．答案：429．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (单位：分)与通话费用y (单位：元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费用y 1，y 2与通话时间x 之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．解：(1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30，35)，C (30，15)分别代入y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0)．(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623时，y 1>y 2，使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，使用“如意卡”便宜．10．有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获得的利润依次是P 和Q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验方程式：P ＝x 5，Q ＝35x .今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解：设对甲种商品投资x 万元，则乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元，据题意有： y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)． 令3－x ＝t ，则x ＝3－t 2，0≤t ≤3. 所以y ＝15(3－t 2)＋35t＝－15⎝⎛⎭⎫t －322＋2120，t ∈ [0，3 ]．当t ＝32时，y m ax ＝1.05，此时x ＝0.75，3－x ＝2.25.由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得总利润为1.05万元．B 级——面向全国卷高考高分练1．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7秒内追上汽车B ．人可在10秒内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5米D ．人追不上汽车，其间距最少为7米解析：选D 设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值7，故选D.2．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较( )A ．2个茶杯贵 D ．3包茶叶贵 C ．两者相同D ．无法确定解析：选A 设茶杯单价为x 元，茶叶每包为y 元，则4x ＋5y <22且6x ＋3y >24，则原问题可转化为比较t ＝2x －3y 与0的大小．设4x ＋5y ＝m ，6x ＋3y ＝n ， 则2x ＝5n －3m 9，3y ＝3m －2n3， 故t ＝2x －3y ＝11n －12m 9>11×24－12×229＝0， 所以2个茶杯贵．3．某公园要建造一个直径为20m 的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2m 处达到最高，最高的高度为8m ．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为( )A ．5 m D ．3.5 m C ．5.5 mD ．7.5 m解析：选D 根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x ，与此点的高度y 之间的函数关系式是：y ＝a 1(x ＋2)2＋8(－10≤x ≤0)或y ＝a 2(x －2)2＋8(0≤x ≤10)，由x ＝－10，y ＝0，可得a 1＝－18；由x ＝10，y ＝0，可得a 2＝－18，于是，所求函数解析式是y ＝－18(x ＋2)2＋8(－10≤x <0) 或y ＝－18(x －2)2＋8(0≤x ≤10)．当x ＝0时，y ＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m ．故选D.4．学校团委接受了一项任务，完成这项任务的时间t 与参加此项任务的同学人数x 之间满足关系式：t ＝ax ＋bx.当x ＝10时，t ＝100，当x ＝20时，t ＝100.若想所用时间最短，则参加人数为( )A ．13 D ．14 C ．15D ．16 解析：选B 由已知得100＝10a ＋b 10＝20a ＋b20， 解得a ＝103，b ＝2 0003， 则t ＝103x ＋2 0003x .由103x ＝2 0003x 得x 2＝200.又x ∈N *，则x ＝14或x ＝15. 当x ＝14时，t 1＝103×14＋2 0003×14＝9427； x ＝15时，t 2＝103×15＋2 0003×15＝8509＝9449.因为t 2>t 1，故选B.5．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.m 这样确定，即m 与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m 的值为________．解析：设y ＝(m －19.55)2＋(m －20.05)2＋(m －20.45)2＋(m －19.95)2＝4m 2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m ＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m ＝19.55＋20.05＋20.45＋19.954＝20时，y 取最小值．答案：206．某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2019年经营总收入要达到1690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x (x >0)，则40040%×(1＋x )2＝1 690，所以1＋x ＝1310，因此2018年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．答案：1 3007．一种药在病人血液中的含量不低于2g 时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m (1≤m ≤4)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y (g)随着时间x (h)变化的函数关系式近似为y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧104＋x ，0≤x<6，4－x2，6≤x≤8.(1)若病人一次服用3个单位的药剂，求有效治疗的时间长． (2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6 h 后再服用n 个单位的药剂，要使接下来的2h 中能够持续有效治疗，求n 的最小值．解：(1)因为m ＝3，所以y ＝⎩⎨⎧304＋x，0≤x<6，12－3x2，6≤x≤8.当0≤x <6时，由304＋x≥2，解得x ≤11，所以0≤x <6； 当6≤x ≤8时，由12－3x 2≥2，解得x ≤203，所以6≤x ≤203. 综上，0≤x ≤203.故若病人一次服用3个单位的药剂，有效治疗的时间为203h. (2)法一：当6≤x ≤8时，设该病人两次服用药剂后，药剂在血液中的含量为t g ，则t ＝2×⎝⎛⎭⎫4－x 2＋n ⎝⎛⎭⎫104＋x －6＝8－x ＋10nx －2. 因为8－x ＋10nx －2≥2对6≤x ≤8恒成立， 即n ≥x2－8x ＋1210对6≤x ≤8恒成立， 等价于n ≥⎝⎛⎭⎫x2－8x ＋1210max (6≤x ≤8)． 令g (x )＝x2－8x ＋1210， 则函数g (x )＝（x －4）2－410在[6，8]上是单调递增函数，当x ＝8时，函数g (x )取得最大值，为65，所以n ≥65，所以n 的最小值为65.法二：由法一知t ＝8－x ＋10n x －2，分析知t ＝8－x ＋10n x －2在x ∈ [6，8]上单调递减，故8－8＋10n 8－2≥2，解得n ≥65，所以n 的最小值为65.C 级——拓展探索性题目应用练食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人类的健康造成了一定的危害，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社将每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)分别满足P ＝80＋42a，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ 解：(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， 所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5.(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x≥20，200－x≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ∈[25，65]，则f (x )＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )m ax ＝282，所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，为282万元．。
新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十六必备知识__导数与函数的单调性极值与最值含解析
课时跟踪检测（二十八） 平面向量的概念及线性运算1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 反向共线D ．存在正实数λ，使得a ＝λ b解析：选D 由已知得，向量a 与b 为同向向量，即存在正实数λ，使得a ＝λb ，故选D.2．设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．|AB ―→|＝|AD ―→|一定成立 B ．AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立 C ．AD ―→＝BC ―→一定成立D ．BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立解析：选A 在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立，AD ―→＝BC ―→一定成立，BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立，但|AB ―→|＝|AD ―→|不一定成立．故选A.4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b ，故选B.5.(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.6．(2019·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得，OA ―→＋OB ―→＝OC ―→，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB ，若点C 满足AC ―→＝2CB ―→，OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，则1λ＋1μ＝( )A.13 B.23 C.29D.92解析：选 D ∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋23AB ―→＝OA ―→＋23(OB ―→－OA ―→)＝13OA ―→＋23OB ―→，∴λ＝13，μ＝23，∴1λ＋1μ＝3＋32＝92.故选D.8．(2019·张家口月考)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形解析：选B ∵2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，∴2(OA ―→－OD ―→)＝OB ―→－OC ―→，即2DA ―→＝CB ―→，∴DA ∥CB ，且2|DA ―→ |＝|CB ―→|，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.9．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→ D.34AB ―→＋14AC ―→ 解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.10.(2019·曲阜模拟)如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值为( )A.13B.19 C ．1D ．3解析：选B 因为AN ―→＝13NC ―→，所以AC ―→＝4AN ―→.所以AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋89AN ―→，因为B ，P ，N 共线，所以m ＋89＝1，m ＝19.11．(2019·河南三市联考)若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→，则λ＝________.解析：由AP ―→＝12PB ―→可知，点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→，所以λ＋1＝－32，解得λ＝－52.答案：－5212．(2019·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λμ＝________.解析：∵DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝AB ―→－BC ―→＝AB ―→－2BM ―→＝3AB ―→－2AM ―→，∴AB ―→＝λAM ―→＋3μAB ―→－2μAM ―→，∴(1－3μ)AB ―→＝(λ－2μ)AM ―→，∵AB ―→和AM ―→是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3μ＝0，λ－2μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝13，λ＝23，∴λμ＝29.答案：2913．(2019·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 314．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12， 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1215．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m)OB ―→ ＝OB ―→＋m(OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m(OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.课时跟踪检测（二十二） 三角函数的图象与性质[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2018·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x2D ．y ＝tan(－x )解析：选D A 选项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π上单调递增，故排除A ；B 选项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，故排除B ；C 选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z.当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．3．(2018·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12，选C.4．(2019·冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B.12C.716D.32解析：选D ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，∵函数f (x )是偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.故选D.5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.[B 级 保分题——准做快做达标]1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．(2019·常德检测)将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴D ．g (x )为奇函数解析：选C 由题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以周期为π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sinπ3＝32，直线x ＝π6不是g (x )图象的一条对称轴，g (x )为奇函数，故选C. 3．(2018·晋城一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π解析：选B ∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.故选B.4．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A 由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z.当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos ()2x ＋φ的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称，B 错误，也不关于直线x ＝π3对称，D 错误．故选A.5．(2019·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6B.π3C.7π6D.4π3解析：选C 函数零点即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13图象交点的横坐标，在区间(0，π)内，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13的图象有两个交点，由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝7π12，可知两个交点关于直线x ＝7π12对称，故两个零点的和为7π12×2＝7π6.故选C.6．(2018·闽侯第六中学期末)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z) 解析：选B 因为sin φ－cos φ＝22，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22⇒φ－π4＝π6⇒φ＝5π12.因为f (x )＝sin 2(x ＋φ)＝1－x ＋2φ2＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π62，所以由2x ＋5π6∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z)得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)，故选B. 7．(2018·天津期末)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[1,2)解析：选C 由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋k πω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z.又∵f (x )的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.8．函数f (x )＝1＋log 12x ＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是____________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 12x ≥0，x ＋π4≠k π＋π2k ∈∴0<x ≤2，且x ≠k π＋π4(k ∈Z)，∴函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4 9．(2019·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π，∴2πω≥π，∴ω≤2，又ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：110．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 11．(2018·郴州二模)已知函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，给出下列四个命题： ①函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ③函数f (x )的最小正周期为π； ④函数f (x )的值域为[－2,2]．其中是真命题的序号是________．(将你认为是真命题的序号都填上) 解析：对于函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4， 故f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，故排除①.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2单调递增，故②正确．函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，故函数f (x )的最小正周期不是π，故③错误． 当cos x ≥0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin x cos x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，故它的最大值为2，最小值为－2；当cos x <0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝－2sin x cos x ＋sin 2x ＝0， 综合可得，函数f (x )的最大值为2，最小值为－2，故④正确． 答案：②④12．(2018·天津实验中学第二次阶段考试)已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ( x －π4 )·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，1，k ∈Z.(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数有最大值2；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数有最小值12.13．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x2＋sin x )＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为[ 2k π＋π4，2k π＋5π4 ](k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a >0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.课时跟踪检测（二十九） 平面向量基本定理及坐标表示[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析：选B A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.2．(2019·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.3．(2019·天津六校期中联考)已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b)∥c ，则x ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C ∵a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，∴b ＝a －(a －b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c ＝(x,3)，(2a ＋b)∥c ，∴－1×3－x＝0，∴x ＝－3.故选C.4．(2019·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( )A.π6 B.π4 C.π3D.5π12解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4. 5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，∴DF ―→＝13DC ―→＝13(OC ―→－OD ―→)＝16(AC ―→－BD ―→)，AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝12BD ―→＋12AC ―→.则AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 BD ―→＋12 AC ―→＋16(AC ―→－BD ―→)＝13BD ―→＋23AC ―→＝23a ＋13b.故选B. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·福州期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴|c |＝9＋9＝32，故选B.2．(2019·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k ＝－23.3．(2019·丹东五校协作体联考)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( )A.13 B ．－13C.79D ．－79解析：选C ∵a ∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，∴13－tan α·cos α＝0，∴sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选C.4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B.5．(2019·邹城期中)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选B 由PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，得PA ―→＋PC ―→＝－PB ―→＋AB ―→，即PA ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BP ―→＝AP ―→，∴PC ―→＝2AP ―→，则P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q ，R 的位置．∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则S △PQR ＝S △ABC －( 12×2c 3×13bsin A ＋12×13c ×2a 3sin B ＋12×13a ×2b3sinC )＝S △ABC －29×3S △ABC ＝13S △ABC ，∴△PQR 与△ABC 的面积比为1∶3.故选B.6．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb(λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．7．(2019·淮南一模)已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋233解析：选D 如图．AC ―→＝1y AN ―→，AB ―→＝1x AM ―→，又∵AG ―→＝13AB ―→＋13AC ―→，∴AG ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y ＝1.∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取等号．故选D.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.9.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：选D 由点D 是圆O 外一点，可设BD ―→＝λBA ―→ (λ>1)，则OD ―→＝OB ―→＋λBA ―→＝λOA ―→＋(1－λ)OB ―→.又C ，O ，D 三点共线，令OD ―→＝－μOC ―→ (μ>1)，则OC ―→＝－λμOA ―→－1－λμ·OB ―→(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．10．(2019·福清校际联盟期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________. 解析：a ＋b ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 答案：(4,6)11.如图，在△ABC 中，已知43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→，点P 在线段BN 上，若AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，则实数λ的值为________．解析：43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→可化为AN ―→＝13NC ―→，即AN ―→＝14AC ―→，因为AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，所以AP ―→＝λAB ―→＋34AN ―→.由B ，P ，N 三点共线可得λ＝14.答案：1412．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－2313.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是BC 边的中点，且有OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OE ，OD .因为D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→，OB ―→＋OC ―→＝2OE ―→，因为OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，所以2OD ―→＋4OE ―→＝0，所以O ，D ，E 三点共线，且|DE ||OD |＝32.又因为△AEC 与△AOC 都以AC 为底，所以△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为3∶2.答案：3∶214.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→，求x ＋y 的值．解：不妨设圆O 的半径为1，则A (－1,0)，B (1,0)，D (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以CD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.又CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32＝x (－1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33，y ＝－3＋233，所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.15．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b.(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为mb ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， 所以OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． 所以M (0,20)．又因为CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， 所以ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 所以N (9,2)．所以MN ―→＝(9，－18)．课时跟踪检测（二十六） 系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例1．(2019·邵阳联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B ＝( )A.π6 B.5π6 C.π6或5π6D.2π3解析：选A 由正弦定理得3sinπ3＝3sin B ，∴sin B ＝12，∴B ＝π6或B ＝5π6，又b <a ，∴B <A ，∴B ＝π6.故选A.2．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．135°解析：选C ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，设a ＝m ，则b ＝m ，c ＝3m .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝m 2＋m 2－3m 22m 2＝－12，∴C ＝120°. 3．(2019·北京十五中模拟)在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，那么AB ＝( ) A. 5 B. 6 C.7D ．2 2解析：选C 由余弦定理得AB 2＝22＋32－2×2×3×cos 60°＝7，∴AB ＝7，故选C. 4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．5．(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积为( )A ．37 B.372C ．9D.92解析：选B 由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，得7＝16＋a 2－6a ，解得a ＝3，∵cos B ＝34，∴sin B ＝74，∴S △ABC ＝12ca sin B ＝12×4×3×74＝372.故选B. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14.则c的值为( )A ．4B ．2C ．5D ．6解析：选A ∵c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即16＝14c 2＋c 2－14c 2＝c 2，解得c ＝4. 7．(2018·兰州一模)△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 的值为( )A.223 B.34 C.74D.13解析：选C 由正弦定理，得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b 2＝2a 2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34，所以sin B ＝74. 8．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选 D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107(km)．9．(2019·豫南豫北联考)线段的黄金分割点的定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )A.5－14 B.5＋14 C.5－12D.5＋12解析：选B 不妨设AB ＝2，利用黄金分割点的定义得AD ＝5－1，易知∠A ＝∠ABD ＝36°，故AD ＝BD ＝5－1.在△ABD 中，cos 36°＝5－2＋22－5－25－＝5＋14，故选B.10．(2019·莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sinB ．∵sinB ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.11．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．12．(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b＝( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由2b sin 2A ＝a sin B ，得4b sin A ·cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B ·sinA ·cos A ＝sin A ·sinB ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a b＝2.故选A.13．(2019·凌源模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝6＋2，A ＝75°，cos B ＝32，则b ＝________. 解析：在△ABC 中，由cos B ＝32，可得sin B ＝12，由A ＝75°，可得sin A ＝6＋24，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得6＋26＋24＝b 12，解得b ＝2.答案：214．(2018·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos Asin B＝________.解析：由正弦定理知asin A＝csin C ＝2，所以a ＝2sin A ，则a ＋23cos Asin B＝2sin A ＋23cos Asin B＝A ＋sinB ＝A ＋Csin B＝4.答案：415.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分)．答案：6316．(2019·河南实验中学模拟)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：由tan B ＝－43，得sin B ＝45，cos B ＝－35.由△ABC 的面积S ＝8，得S ＝12ac sin B ＝8，解得c ＝4.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25＋16－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝65，则b ＝65.由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝6545＝5654.答案：5654课时跟踪检测（二十七） 系统题型——解三角形及应用举例[A 级 保分题——准做快做达标]1．(2018·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 由已知及正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2.故选B.2．(2018·临川二中等两校联考)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若sin A ＝223，sin B >sin C ，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．2或3B ．2C ．3D ．6解析：选C 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13，由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－92bc ＝13，①因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝22，所以bc ＝6，②将②代入①得b 2＋c 2－912＝13，则b 2＋c 2＝13，③由sin B >sin C 可得b >c ，联立②③可得b ＝3，c ＝2.故选C.3．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sinA ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98 C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98.4．(2019·昆明适应性检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A 法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1，故选A. 法二：因为在△ABC 中，tan ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5.(2019·长沙第一中学模拟)已知在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ，BD ＝62AD ，BC ＝2AD ，则sin C 的值为( ) A.158B.154C.18D.14解析：选A 设AB ＝AD ＝2a ，则BD ＝6a ，则BC ＝4a ，所以cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ×AD＝6a22×2a ×6a ＝64，所以cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ×CD ＝－64，整理得CD 2＋3aCD －10a 2＝0，解得CD ＝2a 或者CD ＝－5a (舍去)．故cos C ＝16a 2＋4a 2－6a 22×4a ×2a ＝1416＝78，而C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故sinC ＝158.故选A. 6．(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边的边长．若cos C ＋sin C －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋bc的值是( )A.2－1B.2＋1C.3＋1D ．2解析：选B 在△ABC 中，由cos C ＋sin C －2cos B ＋sin B ＝0，根据两角和的正弦公式可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4sin ( B ＋π4 )＝2，从而得C ＋π4＝B ＋π4＝π2，解得C ＝B ＝π4，∴A＝π2.∴由正弦定理可得a ＋bc ＝sin π2＋sin π4sinπ4＝1＋2222＝2＋1.故选B. 7．(2019·葫芦岛期中)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin C －cos C ＝1－cos C 2，若△ABC 的面积S ＝12(a ＋b )sin C ＝32，则△ABC 的周长为( )A ．27＋5 B.7＋5 C ．27＋3D.7＋3解析：选D 由sin C －cos C ＝1－cos C 2⇒2sin C2cos C 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2C2－1＝1－cos C2⇒cosC2( 2cos C 2－2sin C 2－1 )＝0，∵cos C 2≠0，∴sin C 2－cos C 2＝－12，两边平方得sin C ＝34，由sin C 2－cos C 2＝－12可得sin C 2<cos C 2，∴0<C 2<π4，即0<C <π2，由sin C ＝34得cos C＝74.又S ＝12ab sin C ＝12(a ＋b )sin C ＝32，∴a ＋b ＝ab ＝4，∴a ＝b ＝2，再根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－27，解得c ＝7－1，故△ABC 的周长为7＋3，故选D.8．(2019·长沙模拟)在锐角△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD ＋∠C ＝90°，则∠B ，∠C 的大小关系是________．解析：由∠BAD ＋∠C ＝90°，得∠CAD ＋∠B ＝90°，由正弦定理得AD BD ＝sin B sin ∠BAD ＝sin B cos C ，AD CD ＝sin C sin ∠CAD ＝sin C cos B ，又D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ，所以sin B cos C ＝sin C cos B ，化简得sin B cos B ＝sin C cos C ，即sin 2B ＝sin 2C ，又△ABC 为锐角三角形，所以∠B ＝∠C .答案：∠B ＝∠C9.(2019·温州一模)如图，在四边形ABCD 中，△ABD ，△BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中AD ＝1，BC ＝4，∠ADB ＝∠CDB ，则BD ＝________，AC ＝________.解析：设∠ADB ＝∠CDB ＝θ，在△ABD 内，BD ＝12cos θ；在△CBD 内，BD ＝8cos θ.故12cos θ＝8 cos θ，所以cos θ＝14，BD ＝2，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－78.在△ACD 中，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos 2θ＝24，AC ＝2 6.答案：2 2 610．(2019·沈阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝5，B ＝2π3，△ABC 的面积为1534，则cos 2A ＝________. 解析：由三角形的面积公式，得S △ABC ＝12ac sin B ＝12×a ×5×sin 2π3＝12×32×5a ＝1534，解得a ＝3.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49，得b ＝7.由a sin A ＝bsin B ⇒sin A ＝a b sin B ＝37sin 2π3＝3314，∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫33142＝7198. 答案：719811．(2019·江西七校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若C ＝3π4，且sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )．(1)求证：a ，b,2a 成等比数列；(2)若△ABC 的面积是1，求c 的长．解：(1)证明：∵A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，∴sin B ＝－2sin A cosC .在△ABC 中，由正弦定理得，b ＝－2a cos C ， ∵C ＝3π4，∴b ＝2a ，则b 2＝a ·2a ，∴a ，b,2a 成等比数列．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ＝1，则ab ＝22，由(1)知，b ＝2a ，联立两式解得a ＝2，b ＝2， 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2＋4－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝10，∴c ＝10. 12．(2019·大连检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B －cos 2C －sin 2A ＝sin A sin B.(1)求角C ；(2)若c ＝26，△ABC 的中线CD ＝2，求△ABC 的面积S 的值． 解：(1)由已知得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ， 由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∵0<C <π，∴C ＝2π3.(2)法一：由|CD ―→ |＝12|CA ―→＋CB ―→|＝2，可得CA ―→2＋CB ―→ 2＋2CA ―→·CB ―→＝16，即a 2＋b 2－ab ＝16，又由余弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝24，∴ab ＝4. ∴S ＝12ab sin ∠ACB ＝34ab ＝ 3.法二：延长CD 到M ，使CD ＝DM ，连接AM ，易证△BCD ≌△AMD ，∴BC ＝AM ＝a ，∠CBD ＝∠MAD ，∴∠CAM ＝π3.由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋ab ＝24，a 2＋b 2－ab ＝16，∴ab ＝4，S ＝12ab sin ∠ACB ＝12×4×32＝ 3.。
2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版
2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。
2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用课时跟踪检测(十九)导数与函数的零点问题含解析
0，∴
x1＜
0＜
x2，
－ 2ax2＋ x＋ 1 － 2a
∴ f′ ( x)＝
＝
x－ x1
x
x
x－ x2 (x＞ 0)．
1＋ 8a＋ 1
由 f′ (x)＞0 得 x∈ (0， x2)，由 f′ (x)＜ 0 得 x∈ ( x2，＋ ∞ )，其中 x2＝
4a
，
∴函数
f(x)在
1＋ 0，
8a＋ 1 上单调递增，在 4a
3，
f
(1)
＝
e，
f
(－
2)
＞
f
(1)
，
∴ f(x)在 [－ 2,1] 上的最大值是
1 e2＋ 3.
(2) f′ (x)＝ ex＋ a.
①当 a＞ 0 时， f′ (x)＞0， f(x) 在 R 上单调递增，且当
x＞ 1 时， f(x)＝ ex＋ a(x－ 1)＞ 0；
当 x＜ 0 时，取
x＝－ 1a，则
1＋
8a＋
1 ，＋
∞
上单调递减．
4a
ln x＋ x (3) 函数 f(x)有两个零点 ， 等价于方程 a＝ x2 有两解 ．
令
g(x)＝ ln
x＋ x x2 (x＞ 0)， 则
1－ 2ln x－ x
g′ (x)＝
x3
.
1－ 2ln x－ x
由 g′ (x)＝
x3
＞ 0， 得 2ln x＋ x＜ 1， 解得 0＜ x＜ 1，
x
(x＞ 0)，
①当 a≤ 0 时，显然 f′ (x)＞ 0， f(x)在 (0，＋ ∞ )上单调递增；
②当 a＞ 0 时，令
f′ (x)＝
2020年高考数学第一轮复习-听课答案-第二单元-函数、导数及其应用
2020年高考数学第一轮复习第二单元函数、导数及其应用1.编写意图函数是高考内容的重要组成部分,是一轮复习的重点和难点.编写中注意到以下几个问题: (1)该部分内容是第一轮复习初始阶段的知识,因此在选题时注重以基础题为主,尽量避免选用综合性强、思维难度大的题目;(2)函数与方程、分类讨论、数形结合以及化归与转化等数学思想与方法在本单元中均有涉及;(3)突出了函数性质的综合应用;(4)有意识地将函数中的单调性、极值、最值问题与解析几何中的切线、最值问题和不等式的证明等进行交汇,特别是精选一些以导数为解题工具的典型函数问题、切线问题,充分体现导数的工具性.2.教学建议教学时,注意到如下几个问题:(1)重视教材的基础作用和示范作用.函数客观题一般直接来源于教材,往往就是课本的原题或变式题,主观题的生长点也是教材,在函数的复习备考中,要重视教材中一些有典型意义又有创新意识的题目,将其作为函数复习过程中的范例与习题,贯彻“源于课本,高于课本”的原则.(2)阐明知识系统,掌握内在联系.知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志,函数的概念、图像和性质是环环相扣、紧密相连、互相制约的,并形成了一个有序的网络化的知识体系,这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式以及例题,只有这样,学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的,记忆才是鲜明的、牢固的、生动的,应用起来才是灵活的、广泛的.(3)关注几类特殊函数.学生对抽象函数的理解较为困难,但抽象函数对培养学生的观察能力有十分重要的作用,应结合高考情况,予以适当关注,但选题不宜过难.分段函数是近几年高考命题的热点,在客观题和主观题中都有涉及,应给予重点关注.(4)在复习中要让学生明确导数作为一种工具在研究函数的变化率、单调性和极值等方面的作用,使学生掌握这种科学的工具,从而加深对函数的理解和直观认识.(5)重视渗透数学思想方法.函数这一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和数形结合思想,数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法以及构造法等.数学思想方法是以具体的知识为依托的,在复习教学中,要重视知识的形成过程,着重研究解题的思维过程,有意识地渗透思想方法,使学生从更高层次去领悟、把握、反思数学知识,增强数学意识,提高数学能力.3.课时安排本单元包括12讲、三个小题必刷卷、一个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,其中第14讲4课时,三个小题必刷卷、一个解答必刷卷建议学生独立完成,本单元大约共需15课时.第4讲函数概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=[解析] D y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D满足题意.2.[2015·全国卷Ⅱ]设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12[解析] C因为f(-2)=1+log24=3,f(log212)==6,所以f(-2)+f(log212)=9,故选C.3.[2017·全国卷Ⅲ]设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.[答案][解析]f(x)=f(x)+f>1,即f>1-f(x),由图像变换可画出y=f与y=1-f(x)的大致图像如图所示:易得两图像的交点为,则由图可知,满足f>1-f的x的取值范围为.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()A.2B.4C.6D.8[解析] C当0<a<1时,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1)=2a,解得a=,此时f=f(4)=2×(4-1)=6;当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知,f=6,故选C.2.[2017·天津卷]已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥+a在R上恒成立,则a 的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,2]C.[-2,2]D.[-2,2][解析] A方法一:由题意可知,函数y=f(x)的图像恒不在函数y=+a的图像下方,画出函数y=f(x)和函数y=的图像,如图所示.当a=0时,显然f(x)>+a;当a<0时,函数y=+a的图像由函数y=的图像向右平移|2a|个单位得到,由图可知,当函数y=+a在x<-2a部分的图像经过点(0,2)时,a取得最小值,此时a=-2;当a>0时,函数y=+a的图像由函数y=的图像向左平移2a个单位得到,由图可知,当函数y=+a在x>-2a部分的图像经过点(0,2)或与函数y=f(x)在x>1部分的图像相切时,a 取得最大值,而经过点(0,2)时,a=2,当函数y=+a在x>-2a部分的图像与函数y=f(x)在x>1部分的图像相切时,设切点为P(x0,y0)(x0>1),因为x>1时,f'(x)=1-,则1-=,解得x0=2,所以y0=3,又点P(2,3)在函数y=+a在x>-2a部分的图像上,所以+a=3,解得a=2,因此a的最大值为2.综上所述,a的取值范围是[-2,2].方法二:不等式f(x)≥+a转化为-f(x)≤+a≤f(x),当x<1时,有-|x|-2≤+a≤|x|+2,即-|x|-2-≤a≤|x|+2-.又∵当x<0时,-|x|-2-=-2<-2,|x|+2-=-+2>2,当0≤x<1时,-|x|-2-=--2≤-2,|x|+2-=+2≥2,∴-2≤a≤2;当x≥1时,有-x-≤+a≤x+,即-x-≤a≤x+,又∵-x-≤-2,x+≥2,∴-2≤a≤2.综上,-2≤a≤2.3.[2016·江苏卷]函数y=的定义域是.[答案][-3,1][解析]令3-2x-x2≥0可得x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:A→B f:A→B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④[解析]①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错;③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错;只有④表示函数.2.-1[解析]因为f(e)=ln e-2=-1,所以f[f(e)]=f(-1)=-1+a=2a,解得a=-1.3.(-∞,-3)∪(-3,8][解析]要使函数有意义,则8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7[解析]值域C可能为:只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时有{a,b,c}.所以共有7种.5.③[解析]对于③,因为当x=4时,y=×4=∉Q,所以③不是函数.6.(-∞,-2]∪[0,10][解析]∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.当x≥1时,f(x)≥1⇒4-≥1,即≤3,∴1≤x≤10.综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x2-1(x≥0)[解析]令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).8.9[解析]设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)求出函数y=e ln x的定义域和值域,再求出选项中的函数的定义域和值域,比较可得结论;(2)根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.(1)C(2)C[解析](1)函数y=e ln x的定义域和值域均为(0,+∞).函数y=x的定义域和值域都是R,不满足要求;函数y=ln x的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=10x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选C.(2)由题意得解得-1≤x<2,故函数的定义域是[-1,2).例2[思路点拨](1)依题意得出-1≤x2-3<1,解之可得定义域;(2)由x∈[-1,2],求得2x的范围为,4,再由≤log2x≤4,即可求出函数的定义域.(1)(-2,-]∪[,2)(2)[,16][解析](1)由题意知解得所以函数的定义域为(-2,-]∪[,2).(2)由已知x∈[-1,2],得2x∈,4,故f(x)的定义域为,4,所以在函数y=f(log2x)中,有≤log2x ≤4,解得≤x≤16,故f(log2x)的定义域为[,16].例3[思路点拨](1)根据函数有定义列出不等式组,求得定义域,再对a分类讨论得a的范围;(2)分m等于0和不等于0两种情况分析.(1) B(2)[0,+∞)[解析](1)函数f(x-a)+f(x+a)的定义域为[a,1+a]∩[-a,1-a],当a≥0时,应有a≤1-a,即0≤a≤;当a<0时,应有-a≤1+a,即-≤a<0.所以a的取值范围是-,.故选B.(2)当m=0时,y=,其定义域为R;当m≠0时,由定义域为R可知,mx2-6mx+9m+8≥0对一切实数x 均成立,于是有解得m>0.综上可知,实数m的取值范围为[0,+∞).强化演练1.C[解析]因为函数y=f(x)的定义域是[-2,3],所以-2≤2x-1≤3,可得-≤x≤2,即y=f(2x-1)的定义域是-,2,故选C.2.A[解析]函数y=f(x)的定义域是[0,2],要使函数g(x)有意义,可得解得0≤x<1,故选A.3.(0,1][解析]函数的定义域满足解得∴0<x≤1,故填(0,1].4.∪[解析]易知a=0不合题意.当a>0时,必有ax2+x+a>0在R上恒成立,即1-4a2<0,所以a>;当a<0时,必有ax2+x+a<0在R上恒成立,即1-4a2<0,所以a<-.所以实数a的取值范围是-∞,-∪,+∞.5.(-∞,-2]∪[解析]由已知得A={x|x<-1或x≥1},B={x|(x-a-1)(x-2a)<0},由a<1得a+1>2a,∴B={x|2a<x<a+1}.∵B⊆A,∴a+1≤-1或2a≥1,∴a≤-2或≤a<1.∴a的取值范围为a ≤-2或≤a<1.例4[思路点拨](1)用换元法,令s=-1(s>-1),求出f(s)即可;(2)用待定系数法;(3)用构造法,根据已知方程构造含有f(x)和f的方程组.(1)ln (x>-1)(2)x2-x+5(3)--[解析](1)令s=-1(s>-1),则x=,所以f(s)=ln (s>-1),即f(x)=ln (x>-1).(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=5,得c=5,又f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+5-(ax2+bx+5)=x-1,则2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+5.(3)在f(x)=3·f+1中,将x换成,则换成x,得f=3·f(x)+1,将该方程代入已知方程消去f,得f(x)=--.变式题(1)x2-1(x≥1)(2)-x(x+1)(3)lg(x+1)+lg(1-x)(-1<x<1)[解析](1)令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1).(2)当-1≤x<0时,0≤x+1<1,由已知得f(x)=f(x+1)=-x(x+1).(3)当x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1)①.将x换成-x,则-x换成x,得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1)②.由①②消去f(-x)得,f(x)=lg(x+1)+lg(1-x)(-1<x<1).例5[思路点拨](1)先求f(-1),再求f[f(-1)]的值;(2)根据自变量的不同取值选择不同的分段解析式求解.(1)(2)4[解析](1)∵函数f(x)=∴f(-1)=1-2-1=,f[f(-1)]=f==.(2)∵f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,∴f(3)+f(4)=2+log636=4.例6[思路点拨]分别就自变量在不同区间上分类求解.B[解析]因为f(x)=所以若f(a)=2,则当a≥0时,2a-2=2,解得a=2;当a<0时,-a2+3=2,得a=-1.综上a的取值为-1或2.例7[思路点拨](1)分a≤0与a>0讨论求解不等式f(a)>,得a的范围;(2)利用分段函数化简,由里及外列出方程求解即可.(1)D(2)2[解析](1)当a≤0时,2a>,解得-1<a≤0;当a>0时,lo a>,解得0<a<.∴a∈(-1,0]∪0,,即a∈-1,.(2)易知f(4)=0,则f[f(4)]=f(0)=1+a3=,解得a=2.强化演练1.B[解析]∵2+log31<2+log32<2+log33,即2<2+log32<3,∴f(2+log32)=f(2+log32+1)=f(3+log32),又3<3+log32<4,∴f(3+log32)==×=×(3-1=×=×=×=,∴f(2+log32)=.2.B[解析]由f(0)=2,f(-1)=3可得1+b=2,a-1+b=3,可得a=,b=1,所以f(x)=那么f[f(-3)]=f+1=f(9)=lo9=-2.3.B[解析]当2-a≥2,即a≤0时,22-a-2-1=1,解得a=-1;当2-a<2,即a>0时,-log2[3-(2-a)]=1,解得a=-,不符合,舍去.所以a=-1.4.D[解析]∵函数f(x)=且f(a)≥2,∴或即a≤-1或a≥0.5.C[解析]由已知函数和f[f(a)]=2f(a),得f(a)≥1.若a<1,则3a-1≥1,解得a≥,此时≤a<1;若a≥1,则2a≥1,解得a≥0,此时a≥1.综上可知a≥,即a的取值范围是.【备选理由】例1考查抽象函数的定义域问题;例2利用值域求参数,考查分段函数的图像与性质以及数形结合思想;例3考查分段函数与不等式的问题,体会数形结合思想在解题中的应用.1[配合例2使用]已知函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],则函数f(x)的定义域为.[答案][-1,5][解析]因为函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],所以-1≤x≤2,所以-4≤-2x≤2,所以-1≤3-2x≤5,所以f(x)的定义域为[-1,5].2[配合例3使用][2017·重庆二诊]设函数f(x)=若f(x)在区间[m,4]上的值域为[-1,2],则实数m的取值范围为.[答案][-8,-1][解析]由题意,可以考虑采用数形结合法,作出函数f(x)的图像(如图),当x≤-1时,函数f(x)=log2单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=-x2+x+在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,且f(4)=<2,f(-1)=-1.综上得所求实数m的取值范围为[-8,-1].3[配合例7使用]设函数f(x)=若f[f(a)]≤2,则实数a的取值范围是.[答案](-∞,][解析]函数f(x)=的图像如图所示,由f[f(a)]≤2,可得f(a)≥-2.当a<0时,f(a)=a2+a=a+2-≥-2恒成立;当a≥0时,f(a)=-a2≥-2,即a2≤2,得0≤a≤.则实数a的取值范围是a≤.第5讲函数的单调性与最值考试说明 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题现1.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)[解析] D函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).2.[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3][解析]D因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷]已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a[解析] C由函数f(x)为奇函数且在R上单调递增,可知当x>0时,f(x)>0,∴g(x)=xf(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴c=g(3)>a=g(-log25.1)=g(log25.1)>g(2),b=g(20.8)<g(2),∴b<a<c.2.[2017·北京卷]已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数[解析] A因为f(-x)=3-x-=-3x=-3x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为y=3x为增函数,y=为减函数,所以f(x)=3x-为增函数.故选A.3.[2017·山东卷]若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x[解析]A令g(x)=e x f(x).对于A,f(x)的定义域为R,g(x)=e x2-x=在R上单调递增,所以f(x)具有M 性质;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)=e x x2,g'(x)=e x x2+2e x x=e x(x2+2x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质;对于C,f(x)的定义域为R,g(x)=e x3-x=在R上单调递减,所以f(x)不具有M性质;对于D,f(x)的定义域为R,g(x)=e x cos x,g'(x)=e x cos x-e x sin x=e x(cos x-sin x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质.故选A.4.[2016·北京卷]已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.->0B.sin x-sin y>0C.x-y<0D.ln x+ln y>0[解析] C选项A中,因为x>y>0,所以<,即-<0,故结论不成立;选项B中,当x=,y=时,sin x-siny<0,故结论不成立;选项C中,函数y=x是定义在R上的减函数,因为x>y>0,所以x<y,所以x-y<0;选项D中,当x=e-1,y=e-2时,结论不成立.5.[2017·江苏卷]已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.[答案][解析]因为f(-x)=-x3+2x+e-x-e x=-f(x),f(0)=0,所以f(x)是奇函数,则f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤f(1-a).又f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2=3x2≥0,所以f(x)在R上单调递增,则2a2≤1-a,即-1≤a≤.【课前双基巩固】知识聚焦1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的2.增函数或减函数区间D3.f(x)≥M f(x0)=M对点演练1.a<[解析]当2a-1<0,即a<时,f(x)是R上的减函数.2.(2,3][-3,2][解析]由函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的图像即可得到单调区间.3.[解析]函数f(x)=在[2,5]上是减函数,所以最大值为f(2)=1,最小值为f(5)=.所以最大值与最小值之和为1+=.4.a≤2[解析]因为函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞),当f(x)在[2,+∞)上单调递增时,满足[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2.5.[解析]函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-+,x∈(-1,4)的单调递减区间为,∴函数f(x)的单调递减区间为.6.[解析]由题知函数f(x)是R上的减函数,于是有由此解得a≤,即实数a的取值范围是.7.[-1,1)[解析]由条件知解得-1≤a<1.8.(1)a≤-3(2)-3[解析](1)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a≥4,得a≤-3. (2)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a=4,得a=-3.【课堂考点探究】例1[思路点拨]直接判断单调性即可,按照单调性的定义证明单调性.解:该函数在(-1,1)上单调递减.证明如下:设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-==.∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(-1)(-1)>0.又a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减.变式题C[解析]对于A,在(0,+∞)上单调递减,故A错;对于B,在(0,+∞)上先减后增,故B错;对于C,在(0,+∞)上单调递增,故C对;对于D,在(0,+∞)上单调递减,故D错.选C.例2[思路点拨](1)先求出函数y=x2-2x-8在y>0时的单调递增区间,再根据复合函数的单调性的性质判断f(x)的单调性;(2)作出函数g(x)的图像,由图像可得单调区间.(1)D(2)[0,1)[解析](1)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)由题意知g(x)=该函数图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).变式题(1)B(2)(-∞,2][解析](1)令t=2x2-3x+2,则y=,由复合函数的单调性易知在上单调递增,故选B.(2)因为f(x)在R上单调递增,所以a-1>0,即a>1,因此g(x)的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2].例3[思路点拨](1)转化为同底的指数函数、对数函数,依据它们的单调性比较大小;(2)由已知可知f(x)-ln x为定值,设为t,则f(x)=ln x+t,求出t,再结合函数的单调性分析可得答案.(1)C(2)c>a>b[解析](1)因为a=log52<log5=,b=>=1,c=log73∈(log7,log77)即c∈,1,故b>c>a.故选C.(2)根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,则f(x)-ln x为定值,设t=f(x)-ln x,则f(x)=ln x+t.又由f(t)=e+1,即ln t+t=e+1,解得t=e,则f(x)=ln x+e(x>0),则f(x)为增函数.又由==,==,log2π>1,则有<<log2π,则有c>a>b.例4[思路点拨](1)构造函数,利用单调性把求解的不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该不等式;(2)可判断出f(x)为增函数,于是可将函数不等式转化为常规不等式. (1)D(2)(1,2)[解析](1)由已知条件知,f(x1)-x1<f(x2)-x2对任意x1<x2恒成立,故函数g(x)=f(x)-x为R上的增函数,且g(-3)=f(-3)-(-3)=-1.不等式f>lo|3x-1|-1,即f(lo|3x-1|)-lo|3x-1|>-1,即g(lo|3x-1|)>g(-3),所以lo|3x-1|>-3,得0<|3x-1|<8,解得x<2且x ≠0,故所求不等式的解集为(-∞,0)∪(0,2).(2)因为y=e x,y=x3在R上均为增函数,所以函数f(x)为增函数,所以不等式f(x2)<f(3x-2)等价于x2<3x-2,即x2-3x+2<0⇔1<x<2,故x∈(1,2).例5[思路点拨]变换函数解析式,利用常见函数的单调性确定f(x)的单调性,从而得到函数的最大值和最小值.4033[解析]f(x)=+2016sin x=+2016sin x=2017-+2016sin x.显然该函数在区间-,上单调递增,故最大值为f,最小值为f-,所以M+N=f+f-=2017-+2016+2017--2016=4034--=4034-1=4033.例6[思路点拨]根据一次函数以及指数函数的单调性得到不等式组,解出即可.D[解析]由题意得解得≤a<3,故选D.强化演练1.B[解析]根据题意可知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.而1<log47<log49=log23,0<0.20.6<0.20=1,所以log23>log47>0.20.6,所以b<a<c.2.(-,-2)∪(2,)[解析]因为函数f(x)=ln x+2x在定义域上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(x2-4)<2得f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,解得-<x<-2或2<x<.3.1[解析]当x>1时,y=lo x是减函数,得y<0;当x≤1时,y=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上单调递增,得y≤1.综上得f(x)的最大值是1.4.1[解析]∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的图像关于直线x=1对称,∵函数f(x)=2|x-a|(a∈R)的图像以直线x=a为对称轴,∴a=1,∴f(x)在[1,+∞)上单调递增.∵f(x)在[m,+∞)上单调递增,∴m≥1,则m的最小值为1.5.a≥-[解析]若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则函数g(x)=ax2+x在(0,1)上单调递增且g(x)>0恒成立.当a=0时,g(x)=x在(0,1)上单调递增且g(x)>0,符合题意;当a>0时,g(x)图像的对称轴为x=-<0,且有g(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,符合题意;当a<0时,需满足g(x)图像的对称轴x=-≥1,且有g(x)>0,解得a≥-,则-≤a<0.综上,a≥-.【备选理由】例1为抽象函数单调性的判断与证明问题,目的是让学生掌握抽象函数单调性的解决方法;例2为利用指数函数、对数函数的单调性比较大小问题;例3为利用分段函数的单调性解决不等式恒成立问题,需要对所给函数的单调性进行判断,进而将所要求解的不等式转化为常规不等式.1[配合例1使用][2018·南阳一中月考]已知x≠0时,函数f(x)>0,对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1).(1)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;(2)若a≥0且f(a+1)≤,求a的取值范围.解:(1)f(x)在[0,+∞)上单调递增.证明如下:设0≤x1<x2,∴0≤<1,f(x1)=f=f·f(x2).∵当0≤x<1时,f(x)∈[0,1),∴f<1,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)·f(9)=f(3)·f(3)·f(3)=[f(3)]3,∴9=[f(3)]3,即f(3)=.∵f(a+1)≤,∴f(a+1)≤f(3).∵a≥0,∴a+1∈[1,+∞),∴a+1≤3,即a≤2,又a≥0,故0≤a≤2.2[配合例3使用][2017·重庆第二外国语学校月考]设a=,b=,c=ln ,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b[解析] B∵0<a=<b==,c=ln <ln 1=0,∴b>a>c.3[配合例4使用][2017·长安一中质检]已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)B.(-∞,0)C.(0,2)D.(-2,0)[解析] A二次函数y=x2-4x+3图像的对称轴是直线x=2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x2-4x+3≥3,同样可知函数y=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,∴-x2-2x+3<3,∴f(x)在R上单调递减.∴由f(x+a)>f(2a-x)得到x+a<2a-x,即2x<a,∴2x<a在[a,a+1]上恒成立,∴2(a+1)<a,∴a<-2,∴实数a的取值范围是(-∞,-2).故选A.第6讲函数的奇偶性与周期性考试说明 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3][解析]D因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].2.[2014·全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数[解析] C由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.3.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.[答案] 12[解析]因为函数f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.4.[2015·全国卷Ⅰ]若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a=.[答案] 1[解析]由f(-x)=f(x)得-x ln(-x+)=x ln(x+),即x[ln(x+)+ln(-x+)]=x ln a=0对定义域内的任意x 恒成立,因为x不恒为0,所以ln a=0,所以a=1.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数[解析] A因为f(-x)=3-x-=-3x=-3x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为y=3x为增函数,y=为减函数,所以f(x)=3x-为增函数.故选A.2.[2016·山东卷]已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f x+=f x-.则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2[解析] D∵当x>时,f x+=f x-,∴f(x)的周期为1,则f(6)=f(1).又∵当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),∴f(1)=-f(-1).又∵当x<0时,f(x)=x3-1,∴f(-1)=(-1)3-1=-2,∴f(6)=-f(-1)=2.3.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.[答案] 6[解析]由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因为f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.4.[2016·江苏卷]设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f-=f,则f(5a)的值是.[答案]-[解析]因为f(x)的周期为2,所以f-=f-=-+a,f=f=,即-+a=,所以a=,故f(5a)=f(3)=f(-1)=-.5.[2016·四川卷]已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-+f(1)=.[答案]-2[解析]因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+2).因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以f(1)=f(-1),f(1)=-f(-1),即f(1)=0.又f=f=-f,f==2,所以f=-2,从而f+f(1)=-2.【课前双基巩固】知识聚焦1.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点2.f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数对点演练1.2[解析]f(x)=x2-1和f(x)=x2+cos x为偶函数.2.减减[解析]根据奇偶函数图像的对称性可得.3.1-[解析]f(-2)=-f(2)=-(-1)=1-.4.1[解析]因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2017)=f(672×3+1)=f(1)=log4(12+3)=1.5.奇[解析]由得-1<x<1且x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).∴f(x)==,∴f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数.6.①③[解析]对于①,f=-x=-f(x),满足题意;对于②,f=+=f(x)≠-f(x),不满足题意;对于③,f=即f=故f=-f(x),满足题意.7.2[解析]∵f(x)=-f,∴f(x+3)=f=-f=f(x),∴f(2017)=f(3×672+1)=f(1)=2.8.[解析]设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+4(-x)-3]=-x2+4x+3,由奇函数的定义可知f(0)=0,所以f(x)=【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)利用函数奇偶性的性质直接判断;(2)对于①②两个函数,先求定义域,再等价化简函数解析式,然后用奇偶性的性质判断,对于③可用图像法判断.(1)C(2)C[解析](1)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),即f(x)g(x)为奇函数,A错误;|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|为奇函数,C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即|f(x)g(x)|为偶函数,所以D错误.故选C.(2)①中,易知函数的定义域为{-,},所以f(x)=0,所以f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),所以①既是奇函数又是偶函数;②中,由得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,所以x-3<0,所以f(x)=,验证知f(-x)=-f(x)成立,所以②是奇函数;作出图像(图略),知③是奇函数.故选C.变式题(1)A(2)D[解析](1)易知h(x)=f(x)+g(x)的定义域为{x|x≠0}.因为f(-x)+g(-x)=+=--=-=+=f(x)+g(x),所以h(x)=f(x)+g(x)是偶函数.故选A.(2)对于选项A,函数的定义域为R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),所以f(x)=x+sin 2x 为奇函数;对于选项B,函数的定义域为R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),所以f(x)=x2-cos x 为偶函数;对于选项C,函数的定义域为R,f(-x)=3-x-=-3x-=-f(x),所以f(x)=3x-为奇函数;只有f(x)=x2+tan x既不是奇函数也不是偶函数.故选D.例2[思路点拨](1)先确定函数f(x)在0,上的零点情况,再据周期性确定在区间(0,6]上的零点个数;(2)由条件f(x+2)=可得出函数的周期为4,再求f(2018).(1)B(2)A[解析](1)由f x-=f x+得f x+=f(x),即函数是周期为的周期函数.∵当x ∈0,时,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,得x2-x+1=1,解得x=1(x=0舍去),又∵函数f(x)的周期为,∴方程f(x)=0在区间(0,6]上的解有1,,4,,共4个.(2)由f(x+2)=,得f(x+4)==f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2018)=f(2).因为f(2+2)=,所以f(2)=-=-=-2-.故f(2018)=-2-.变式题803[解析]依题意,f(1)=f(1+3)=f(4)=3×4-1=11,f(2)=3×2-1=5,f(3)=3×3-1=8,所以f(1)+f(2)+f(3)=24,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=33[f(1)+f(2)+f(3)]+f(100)=33×24+f(1)=792+11=803.例3[思路点拨](1)利用偶函数将求f(-)转化为求f();(2)观察函数的结构可整理成含有一个奇函数与一个常函数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值和为零求值.(1)B(2)C[解析](1)∵f(x)为偶函数,∴f(-)=f(),又当x>0时,f(x)=log2x,∴f()=log2=,即f(-)=.(2)f(x)==2+,设g(x)=,∵g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0.∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4.例4[思路点拨](1)函数只有一个零点,所以f(2x2+1)+f(λ-x)=0有唯一解,即f(2x2+1)=f(x-λ)有唯一解,再求解;(2)函数为偶函数,所以不等式f(a-2)>0等价为f(|a-2|)>f(2),再据单调性求解.(1)C(2)D[解析](1)令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,因为f(x)是奇函数,所以f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ).又因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即2x2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.(2)∵偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),∴函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(2)=0,∴不等式f(a-2)>0等价为f(|a-2|)>f(2),即|a-2|>2,即a-2>2或a-2<-2,解得a>4或a<0.例5[思路点拨](1)由f(x)是奇函数且f(x+1)为偶函数,可得出函数是周期为4的周期函数;(2)由题意可得偶函数y=f(x)是周期为4的函数,f(x)=sin |x|是偶函数,作出函数的图像,两函数图像交点的个数即为所求根的个数.(1)B(2)10[解析](1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,且有f(x)=-f(-x),即有f(x+1)=-f(-x-1),又∵f(x+1)为偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴f(-x+1)=-f(-x-1),即f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数,∴f(2016)+f(2017)=f(504×4)+f(1+504×4)=f(0)+f(1)=0+1=1.(2)∵函数y=f(x)为偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),∴偶函数y=f(x)是周期为4的函数.由x∈[0,2]时,f(x)=2-x2可作出函数f(x)在[-10,10]上的图像,同时作出函数y=sin |x|在[-10,10]上的图像,交点个数即为所求根的个数.数形结合可得交点个数为10.例6[思路点拨](1)由函数f(x)是偶函数和周期函数,得出函数在[3,6]上的单调性,再进行判断;(2)由已知得出函数在x∈0,时单调递增,且f(x)>0,进而根据奇函数得出x∈-,0时的单调情况,再据周期性得出在区间1,上的情况.(1)B(2)D[解析](1)依题意知,f(x)是偶函数,且是以6为周期的周期函数.因为当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,所以f(x)在[-3,0]上单调递减.根据函数周期性知,函数f(x)在[3,6]上单调递减.又因为[4,5]⊆[3,6],所以函数f(x)在[4,5]上单调递减.(2)当x∈0,时,由f(x)=lo(1-x)可知f(x)单调递增且f(x)>0,又函数为奇函数,所以在区间-,0上函数也单调递增,且f(x)<0.由f x+=f(x)知,函数的周期为,所以在区间1,上,函数单调递增且f(x)<0.故选D.强化演练1.B[解析]由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(-x+2)=f(x-2),故f(x)=f(x+4),则F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=,故选B.2.D[解析]根据题意,f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2,即-2<ln x<2,解得e-2<x<e2,即x的取值范围是(e-2,e2).3.D[解析]因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).4.-[解析]由题意可知,f=f=-f=-2××=-.5.[解析]依题意知,函数f(x)为奇函数且周期为2,所以f+f(1)+f+f(2)+f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)-f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.【备选理由】例1增加了函数的奇偶性与函数的对称性结合的问题,有利于从不同角度认识图形与性质;例2考查奇偶性的应用,即利用奇偶性求函数值,注意两个函数之间的关系与联系;例3为奇偶性与单调性结合的题目,要在利用奇函数性质求出函数中的参数后,再结合单调性求解不等式;例4为函数的奇偶性、单调性、周期性及函数的零点等综合的问题,性质涉及多,难度大,需要利用各函数性质及数形结合思想求解.1[配合例3使用]设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,设h(x)=|f(x-1)|+g(x-1),则下列结论中正确的是()A.h(x)的图像关于点(1,0)对称B.h(x)的图像关于点(-1,0)对称C.h(x)的图像关于直线x=1对称D.h(x)的图像关于直线x=-1对称[解析] C因为f(x)是奇函数,所以|f(x)|是偶函数,于是|f(x)|和g(x)都是偶函数,它们的图像都关于y轴对称,所以|f(x-1)|和g(x-1)的图像都关于直线x=1对称,即h(x)=|f(x-1)|+g(x-1)的图像关于直线x=1对称.故选C.2[配合例3使用][2017·怀化四模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,且当x≥0时,g(x)=log2(x+1),则g(-1)=.[答案]-3[解析]根据题意,f(x)=g(x)+x2,且当x≥0时,g(x)=log2(x+1),则f(1)=g(1)+1=log2(1+1)+1=2,又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-1)=-f(1)=g(-1)+(-1)2=-2,则g(-1)=-3.3[配合例4使用]若函数f(x)=1-是奇函数,则使f(x)≥成立的x的取值范围是.[答案][1,+∞)[解析]由题意得f(x)+f(-x)=0⇒1-+1-=0⇒a=1,所以 1-≥⇒2x≥2⇒x≥1.4[配合例6使用][2018·河南林州一中调研]已知函数y=f(x)是R上的偶函数,满足f(x+2)=f(x-2)+f(2),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-4,令函数g(x)=f(x)-m,若g(x)在区间[-10,2]上有6个零点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6=.。
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课时跟踪检测(十八) 利用导数证明不等式
1．(2019·唐山模拟)已知f (x )＝1
2x 2－a 2ln x ，a ＞0.
(1)求函数f (x )的最小值；
(2)当x ＞2a 时，证明：f (x )－f (2a )x －2a ＞3
2a .
解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )
x
. 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．
所以当x ＝a 时，f (x )取得极小值，也是最小值，且f (a )＝1
2a 2－a 2ln a .
(2)证明：由(1)知，f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增， 则所证不等式等价于f (x )－f (2a )－3
2a (x －2a )＞0.
设g (x )＝f (x )－f (2a )－3
2a (x －2a )，
则当x ＞2a 时，
g ′(x )＝f ′(x )－3
2a ＝x －a 2x －32a
＝
(2x ＋a )(x －2a )
2x
＞0，
所以g (x )在(2a ，＋∞)上单调递增， 当x ＞2a 时，g (x )＞g (2a )＝0， 即f (x )－f (2a )－3
2a (x －2a )＞0，
故
f (x )－f (2a )x －2a
＞3
2a . 2．(2018·黄冈模拟)已知函数f (x )＝λln x －e －
x (λ∈R)． (1)若函数f (x )是单调函数，求λ的取值范围； (2)求证：当0＜x 1＜x 2时，e 1－x 2－e 1－x 1
＞1－x 2x 1.
解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f (x )＝λln x －e －
x ，
∴f ′(x )＝λx ＋e －x ＝λ＋x e
－x
x ，
∵函数f (x )是单调函数，∴f ′(x )≤0或f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，
①当函数f (x )是单调递减函数时，f ′(x )≤0，∴λ＋x e －
x x ≤0，即λ＋x e －x ≤0，λ≤－x e －
x ＝－x e
x .
令φ(x )＝－x
e x ，则φ′(x )＝x －1e
x ，
当0＜x ＜1时，φ′(x )＜0；当x ＞1时，φ′(x )＞0，
则φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ＞0时，φ(x )min ＝φ(1)＝－1
e ，∴λ≤
－1e
. ②当函数f (x )是单调递增函数时，f ′(x )≥0，∴λ＋x e －
x x ≥0，即λ＋x e －x ≥0，λ≥－x e －
x ＝－x e
x ，
由①得φ(x )＝－x
e x 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又∵φ(0)＝0，当x ―→＋∞时，
φ(x )＜0，∴λ≥0.
综上，λ的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－∞，－1
e ∪[0，＋∞)． (2)证明：由(1)可知，当λ＝－1e 时，
f (x )＝－1e ln x －e －
x 在(0，＋∞)上单调递减，
∵0＜x 1＜x 2，
∴f (x 1)＞f (x 2)，即－1e ln x 1－e －x 1＞－1
e ln x 2－e －x 2，
∴e1－x 2－e1－x 1＞ln x 1－ln x 2.
要证e1－x 2－e1－x 1＞1－x 2x 1，只需证ln x 1－ln x 2＞1－x 2x 1，即证ln x 1x 2＞1－x 2
x 1，
令t ＝x 1x 2
，t ∈(0,1)，则只需证ln t ＞1－1
t ，
令h (t )＝ln t ＋1
t －1，则当0＜t ＜1时，h ′(t )＝t －1t
2＜0，
∴h (t )在(0,1)上单调递减，又∵h (1)＝0，∴h (t )＞0，即ln t ＞1－1
t ，故原不等式得证． 3．(2019·贵阳模拟)已知函数f (x )＝kx －ln x －1(k ＞0)． (1)若函数f (x )有且只有一个零点，求实数k 的值； (2)求证：当n ∈N *时，1＋12＋13
＋…＋1
n ＞ln(n ＋1)．
解：(1)∵f (x )＝kx －ln x －1，∴f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x (x ＞0，k ＞0)；当0＜x ＜1
k 时，f ′(x )＜0；当x ＞1
k 时，f ′(x )＞0.
∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1k 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1
k ，＋∞上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫
1k ＝ln k ， ∵f (x )有且只有一个零点， ∴ln k ＝0，∴k ＝1.
(2)证明：由(1)知x －ln x －1≥0，即x －1≥ln x ，当且仅当x ＝1时取等号，
∵n ∈N *，令x ＝
n ＋1n ，得1
n ＞ln n ＋1n
， ∴1＋12＋13＋…＋1n ＞ln 21＋ln 3
2＋…＋ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)，
故1＋12＋13＋…＋1
n ＞ln(n ＋1)．。