2015-2016学年天津市高一数学寒假课程学案：第7讲《函数的综合应用》(新人教A版必修1)

第七讲函数的综合应用一、知识梳理二、方法归纳1. 函数综合应用的重点函数的综合应用重点解决好四个问题：①准确深刻地理解函数的有关概念；②揭示函数与其他数学知识的内在联系；③把握数形结合的思想和方法；④认识函数思想的实质，强化应用意识.准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，函数概念是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、不等式、初等函数等都是以函数为中心的代数.揭示函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理数、式、方程、不等式、直线与圆的方程等内容.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量生动的辩证统一，揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的思想与方法.因此，既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图，又要熟练地掌握函数图象的常规变换，体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一.认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数模型，求得问题的解决.函数思想方法的应用不但重要，而且广泛，必须强化函数建模思想的应用，学会运用函数建模的思想方法解决实际问题.2.高中上学期函数的应用（1）函数图象、性质与最值的综合应用；（2）函数与方程、不等式的综合应用；（3）函数模型的综合实际应用.三、典型例题精讲【例1】已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，)1,0(≠>a a ，若a g =)2(，则=)2(f （ ）A.2 B.415 C.417 D.2a 解析：由条件2)2()2(22+-=+-a a g f ，2)2()2(22+-=-+--a a g f ，由此解得22)2(--=a a f ，2)2(=g .所以2=a ，41522)2(22=-=-f ，故选B 技巧提示：这是函数的解析式与函数的奇偶性的综合，属于函数自身性质间的综合，难度不大，高考常作选择题.又例：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A.)(x f +|)(x g |是偶函数B.)(x f -|)(x g |是奇函数C.|)(x f | +)(x g 是偶函数D.|)(x f |- )(x g 是奇函数解析：因为)(x g 是R 上的奇函数，所以()g x 是R 上的偶函数，从而()()f x g x +是偶函数，故选A.【例2】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f ，若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析： )2(,2)(≥=x x x f 单调递减且值域为(0，1]， )2(,)1()(3<-=x x x f 单调递增且值域为（－∞，1），k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0，1）.技巧提示：这是函数与方程的综合.根据函数的单调性可以作出函数的简图，数形结合时，把方程k x f =)(视为常数函数，问题被等价转换为两函数图象有两交点，容易得到k 的取值范围.又例：已知函数⎩⎨⎧≤+>=0,10,2)(x x x x x f ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于（ ） A.－3 B.－1 C.1 D.3解析：显然2)1(=f ，问题转化为求方程2)(-=a f 的解.由函数)(x f ，得21-=+a ，∴3-=a .故选A.再例: 设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ， 若4)(=αf ，则实数=α（ ） A.－4或－2 B.－4或2 C.－2或4 D.－2或2解析：由4=-x ，得4-=x ；由42=x ，得2=x ，∴2,4-=x .故选B.【例3】函数x y 416-=的值域是（ ）A.[0,)+∞B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4)解析：∵x4＞0，∴164160<-≤x ，即 [)4,0416∈-x .故选C. 技巧提示：由求函数的值域，转化为解简单的指数不等式，题目并不难.若改为函数的定义域，有x 416-≥0，即x 4≤24.而函数x4是Ｒ上的增函数，∴定义域为{}|2x x ≤. 又例：设函数)(x f ＝⎩⎨⎧-≤-，＞，，，1log 11 221x x x x 则满足)(x f ≤2的x 的取值范围是（ ）A. [－1，2]B. [0，2]C. [1，＋∞）D. [0，＋∞）解析：∵x -12≤2时，0≤x ≤1； 又x log 21-≤2时，x ＞1.∴满足)(x f ≤2的x 的取值范围是[0，＋∞），故选D.再例: 若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 定义域为（ ） A.)0,21(- B.]0,21(- C.),21(+∞- D.),0(+∞ 解析：由⎪⎩⎪⎨⎧>+>+0)12(log 01221x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->021x x ，故021<<-x ，选A.【例4】函数613122+-+-=x )a (x )a ()x (f ，（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.（2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值.解析：（1）①若012=-a ，即1±=a .当a ＝1时，6=)x (f ，定义域为R ，适合；当a ＝－1时，66)(+=x x f ，定义域不为R ，不符合.②若012≠-a ，记613122+-+-=x )a (x )a ()x (g 为二次函数.)(x f 定义域为R ，∴0)(≥x g 对R x ∈恒成立.∴⎩⎨⎧≤+-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-0)511)(1(110)1(24)1(901222a a a a a a ； ∴1115<≤-a综合①、②得a 的取值范围]1,115[-.（2）命题等价于不等式06)1(3)1(22≥+-+-x a x a 的解集为[－2，1]，显然012≠-a .∵012<-a 且21-=x 、12=x 是方程06)1(3)1(22=+-+-x a x a 的两根， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+->-<⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=⋅-=--=+>-<40231121611)1(31122221221a a a a a a x x a a x x a a 或或，解得a 的值为a ＝2. 技巧提示：这是二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的综合问题，需要灵活地进行等价转换.在第一问中，需要对a 进行分类讨论.又例：设函数|1||1|2)(--+=x x x f ，求使22)(≥x f 成立的x 的取值范围.解析：由于x y 2=是增函数，∴22)(≥x f 等价于 11--+x x ≥23……① （1）当x ≥1时，11--+x x ＝2，∴①式恒成立.（2）当－1＜x ＜1时，11--+x x ＝2x ，①式化为 2x ≥23，即43≤x ＜1.（3）当x ≤－1时，11--+x x ＝－2，①式无解.综上x 的取值范围是）+∞,43[. 再例：设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 . 解析：依据题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒定成立， 即22213241m m x x -≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立. 当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-， 所以221543m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解得2m ≤-或2m ≥【例5】已知()()1,011log ≠>-+=a a xx x f a 且. （1）求()x f 的定义域；（2）证明()x f 为奇函数；（3）求使()x f ＞0成立的x 的取值范围.解析：（1）∵011>-+x x ，∴011<-+x x ，即()()011<-+x x .∴11<<-x ，即()x f 的定义域为()11，-.（2）∵()x x x f a -+=11log ，∴()111log 11log -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=-x x x x x f a a ()x f x x a -=-+-=11log ， ∴()x f 为奇函数.（3）当a ＞1时，()x f ＞0，则111>-+x x ， 即0111<+-+x x ，012<-x x ， ∴()012<-x x ，∴10<<x .因此，当a ＞1时，使()0>x f 的x 的取值范围为（0，1）.当10<<a 时，由()0>x f ，有1110<-+<xx ， 则⎪⎩⎪⎨⎧>-+<--+0110111xx x x ，解得01<<-x . 因此，当10<<a 时，使()0>x f 的x 的取值范围为（－1，0）.技巧提示：（1）、（2）小题为对给定函数性质的综合研究，需要对基本初等函数性质的牢固掌握；（3）小题是函数与不等式的综合问题，需要利用函数的性质对不等式进行等价转换.又例：已知函数()x f ＝12log -x a ， ,0(>a 且）1≠a ，（1）求函数()x f 的定义域； （2）求使()0>x f 的x 的取值范围.解析：（1）由12-x ＞0且012≥-x ，得 x ＞0，∴函数()x f 的定义域为），∞+0(. （2）由12log -x a ＞0，知当a ＞1时，12-x ＞11>⇒x ；当10<<a 时，12-x ＜1且x ＞010<<⇒x .【例6】设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间[0，7]上，只有0)3()1(==f f .（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.解析：（Ⅰ）由于在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==，故(0)0f ≠.若)(x f 是奇函数，则0)0(=f ，矛盾.所以)(x f 不是奇函数.由(2)(2),()(4),(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-⎧⎧⇒⇒-=-⎨⎨-=+=-⎩⎩)10()(+=⇒x f x f ，从而知函数)(x f y =是以10=T 为周期的函数.若)(x f 是偶函数，则(1)(1)0f f -==.又(1)(110)(9)f f f -=-+=，从而0)9(=f .由于对任意的x ∈（3，7]上，0)(≠x f ，又函数)(x f y =的图象的关于7=x 对称，所以对区间[7，11）上的任意x 均有0)(≠x f .所以0)9(≠f ，这与前面的结论矛盾.所以，函数()y f x =是非奇非偶函数.（Ⅱ）由第（Ⅰ）小题的解答，我们知道0)(=x f 在区间（0，10）有且只有两个解，且0)0(≠f .由于函数()y f x =是以10T =为周期的函数，故(10)0,()f k k Z ≠∈.所以在区间[－2000，2000]上，方程0)(=x f 共有4000280010⨯=个解. 在区间[2000，2010]上，方程0)(=x f 有且只有两个解.因为(2001)(1)0,(2003)(3)0f f f f ====，所以，在区间[2000，2005]上，方程0)(=x f 有且只有两个解.在区间[－2010，－2000]上，方程0)(=x f 有且只有两个解.因为(2009)(1)0,(2007)(3)0f f f f -==-==，所以，在区间[－2005，－2000]上，方程0)(=x f 无解.技巧提示：函数图象的对称性与函数的奇偶性和函数的周期性密切相关.第（1）小题需要综合利用所给函数的对称性及零点，再根据奇偶函数的特征作出判断.事实上由(0)0f ≠就能判断)(x f 不是奇函数.又如果)(x f 的图象关于0=x 对称，那么因为)(x f 的图象关于2=x 和7=x 对称，可知4，10，14都是函数)(x f 的周期.于是由0)3()1(==f f 得0)7()5(==f f ，这就产生了矛盾，所以)(x f 的图象不能关于0=x 对称，)(x f 不是偶函数.第（2）小题是根据函数周期性和函数在一个周期内的零点，数出函数在给定区域内的零点.又例：偶函数)(x f y =的定义域为R ，且对于任意R x ∈，都有)4()(x f x f -=，又当]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ，则当[]2012,2010∈x 时，)(x f ＝ . 解析：偶函数)(x f 满足)4()(x f x f -=，得)(x f 的周期为4.又偶函数)(x f 当]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ，得]0,2[-∈x 时，1)(2+-=x x f .当[]2012,2010∈x 时，[]0,2)2012(-∈-x ，)(x f ＝)2012(-x f ＝1)2012(2+--x .综上所述，方程[]()02005,2005802f x =-在上共有个解。