不等式的教学感悟与反思

不等式的教学感悟与反思
----课堂教学有效性的案例
东风中学 聂庆国
不等式中的问题，教材处理的总感觉简单，而学生学的却倍感神秘，究其原因，例题的选取简单明了，习题不对调（与例题），考题没有谱。

通过对教材的品味，你可以发现很多意味深长的。

在教学中为了改进有效性，我在课堂中不等式的教学和学生共同分析案例，反思如下。

例1比较)7)(3(++x x 和)6)(4(++x x 的大小
本例本身没什么，只要作差便能成功。

如果能提申，就需总结对差式往往要配方，因式分解，通分，或者分子分母有理化等等。

请仔细观察这两个积式中因式：3+x ，7+x ，4+x ，6+x 。

不妨调整一下顺序，3+x ，4+x ，6+x ，7+x ，它们成等差数列。

是不是对等差数列中项都有如此性质----中间两项和积不小于两外项的积？
变式1 等差数列{}n a 中项n a ，1+n a ，2+n a ，3+n a ，试证：n a 3+n a ≤1+n a 2+n a 。

略证：n a 3+n a -1+n a 2+n a =)2)(()3(d a d a d a a n n n n ++-+=22d -≤0。

更一般地有等差数列{}n a 中项n a ，m a ，p a ，q a ，若有n ≤p ≤q ≤m 且q p m n +=+则有n a m a ≤p a q a 。

证法同上。

当我们抽象更具一般特征的式子，你证证看能不能成功？
变式2 四个数a ≤b ≤c ≤d ，若有c b d a +=+，求证：ad ≤bc 。

这里的证明方法没有前面那么直接了。

方法1 设t d c b a =-=-，则)()(t d b d t b bc ad +-+=-t b d )(-=≤0； 方法2 bc a c b a bc ad --+=-)())((b a c a ---=≤0。

仔细理解变式2，如果a ，b ，c ，d 是四个正数，转换成应用题，在所有的周长相同的矩形中，越接近正方形的矩形面积越大。

例2 已知a ，b 都是正数，且b a ≠，求证 33b a +≥2ab b a +本例的证明也较为简单。

作差因式分解即可。

235b a b a --+=2))((b a b a -+。

同例1一致，仔细观察不等式的两边四项，你可以发现3a ，b a 2，2ab ，3b 成等比数列。

于是也推广至等比数列（中间两项和不大于两外项的和）。

变式1 等比数列{}n a 中各项均为正数n a ，1+n a ，2+n a ，3+n a ，试证：n a +3
+n a
≥1+n a +2+n a 。

更一般地有等数列{}n a 中各项均为正数，n a ，m a ，p a ，q a ，若有n ≤p ≤q ≤m 且q p m n +=+则有n a +m a ≥p a +q a 。

变式2 四个正数数a ≤b ≤c ≤d ，若有bc ad =，求证：d a +≥c b +。

它也可转换成应用题：在所有面积相同的矩形中，越接近正方形的矩形其周长越小。

例3 已知x ，y R ∈，求证：222y x +≥2)2
(y x +。

这是课本上的习题。

原是平方不等式，其证明也不复杂。

但它有研究的价值。

一其证明方法多样。

⑴作差法：222y x +－2)2
(y x +2)(2
y x -=≥0 ⑵结构法：22y x y x x -++=；2
2y x y x y --+=； ∴2222)2(2)2(2y x y x y x -++=+≥2)2
(2y x +。

⑶方差法：两个实数x ，y 的方差])2
()2[(21222y x y y x x s +-++-= []222)2(2)(21y x y x +-+=≥0 ⑷柯西法：2)(y x +2)11(⋅+⋅=y x ≤))(11(2222y x ++)(222y x +=
我们对作差法和柯西法再熟悉不过了，因而对该不等式只是觉得平常。

但结构法和方差法从数学知识和特点去认识解题规律，是不是更提高一个层次了？
二问题的变式推广。

三元结构式：已知x ，y ，z R ∈，求证：3
222z y x ++≥2)3(z y x ++ n 元结构式：n a a a n 22221+++Λ≥221)(n
a a a n Λ++。

当我们对它还在为刚才的推广而叫好时，更为惊艳的是n 元结构式居然和方差也有了交集呢。

n 个数n a a a a Λ,,,321的方差为
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++=22122322212
1n a a a n a a a a n s n n ΛΛ，另一方面也因为方差2s
≥0，所以必有n a a a n 22221+++Λ≥221)(n
a a a n Λ++成立。