§8 最小二乘估计
最小二乘估计.ppt
3
3
所以 1 910- 6创35 115
b
b
=
?
1910 ? 11228866-?
666创?? 3333335355 ??
1135 335 3335
?
?
1.648
? 1.648
aa ?? 5577..555577
于是，线性回归方程为
y ? 57.557 -1.648x .
（2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方 程知，当某天的气温是－3℃时，卖出热茶的杯数 估计为：
若有n个样本点：（ x1，y1）,… ,（xn，yn），可以用下 面的表达式来刻画这些点与直线 y＝a+bx的接近程度 :
[y 1 ? (a ? bx 1)]2 ? ? [y n ? (a ? bx n )]2
使上式达到最小值的直线 y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为 最小二乘法 .
思考3：怎样使 [y1 ? (a ? bx 1)]2 ? 达到最小值？
57.557-1.648 ×(-3)≈63(杯） .
【说明】
1.利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图， 利用散点图观察数据是否具有线性关系 . 2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公式求出 方程. 3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的 规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合 .
1.了解最小二乘法的思想 . 2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性 回归方程 .(重点 ) 3.会用线性回归方程对总体进行估计 .(难点）
思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方
便有效？设直线方程为 y=a+bx，样本点 A（xi，yi）
方法一 :点到直线的距离公式
最小二乘估计的基本假设
最小二乘估计的基本假设1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个听上去有点复杂，但其实很有趣的话题——最小二乘估计。
可能你会想：“这是什么鬼？”其实，简单来说，它就是一种统计方法，帮助我们找到一条最能贴合数据的线。
想象一下，你在玩抛沙包，想找到一个最稳的投篮角度，最小二乘估计就能帮你找出最佳的“抛沙包”策略。
不过，嘿，要想玩得开心，得有几个基本的假设在前面，不然就像打麻将没带牌一样，别扭得很。
2. 最小二乘估计的基本假设2.1 线性关系首先，最重要的一点就是，咱们得假设变量之间是线性关系。
也就是说，如果你画个图，数据点大概会在一条直线上上下波动。
举个例子，如果你觉得每天吃的冰淇淋越多，心情就越好，这俩东西之间可能就有线性关系。
但如果你发现，吃冰淇淋过多反而心情糟糕，那就不符合咱们的假设了，可能还得调整一下“吃冰淇淋”的策略呢。
2.2 随机误差接下来，咱们得假设误差是随机的。
这就像你每次去外面吃饭，总有可能遇到服务慢、菜不好之类的意外情况，这些情况是不确定的，也不是你能控制的。
最小二乘估计要求这些误差是独立的、随机的，就像你的朋友突然告诉你今晚的电影没法看，这种意外不能影响你之前的计划。
要是误差有规律，比如总是偏高或偏低，那就会让估计的结果变得不靠谱，简直像开车不看路，肯定得出事故！3. 误差的正态分布3.1 正态分布再来，误差得服从正态分布。
这就像大多数人的身高，通常都是围绕着一个平均值分布的，高矮都有，但大部分人都在平均值附近。
正态分布的好处是，我们可以用一些简单的统计方法来进行推断。
要是数据点像个“波浪”一样，波动得不规则，那估计的效果就像一杯搅拌得太猛的奶昔，难以下咽。
3.2 同方差性最后，咱们还得考虑同方差性。
这听上去有点复杂，但其实就是要求误差的波动幅度在各个地方都差不多。
想象一下，如果你在做菜，调味料的味道在每一口都差不多，那大家都能接受。
可要是有的一口特别咸，有的特别淡，那就容易让人怀疑这菜是谁做的，肯定得有人埋怨“这是什么鬼东西？”所以，保持方差一致是很重要的，只有这样才能保证模型的可靠性。
最小二乘估计量的统计性质
最⼩⼆乘估计量的统计性质最⼩⼆乘估计量的统计性质考察总体的估计量，可从如下⼏个⽅⾯考察其优劣性：（1）线性性，即它是否是另⼀个随机变量的线性函数；（2）⽆偏性，即它的均值或期望是否等于总体的真实值；（3）有效值，即它是否在所有线性⽆偏估计量中具有最⼩⽅差；（4）渐进⽆偏性，即样本容量趋于⽆穷⼤时，它的均值序列是否趋于总体真值；（5）⼀致性，即样本容量趋于⽆穷⼤时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐进有效性，即样本容量趋于⽆穷⼤时，它在所有的⼀致估计量中是否具有最⼩的渐进⽅差。
这⾥，前三个准则也称作估计量的有限样本性质或⼩样本性质（small-sample properties）,因为⼀旦某估计量具有该性最佳线性⽆偏估计量（Best Linear Unbiased质，它是不以样本的⼤⼩⽽改变的。
拥有这类性质的估计量称为最佳线性⽆偏估计量Estimator，BLUE）。
当然，在有限样本情形下，有时很难找到最佳线性⽆偏估计量，这时就需要考察样本容量⽆限增⼤时估计量的渐进性质。
⼤样本渐进性质（large-sample asymptotic properties）。
如果有限样本情况下后三个准则称为估计量的⽆限样本性质或⼤样本渐进性质不能满⾜估计的准则，则应扩⼤样本容量，考虑参数估计量的⼤样本性质。
需要说明的是，从估计量统计性质的⾓度看，⽆偏性与有效性是⼩样本性质中最为重要的两个性质，线性性并不是必须最的；⽽在⼤样本性质中，由于问题较为复杂，⼈们更多地关注⼀致性。
普通最⼩⼆乘法具有线性性、⽆偏性和有效性，是最⾼斯-马尔科夫定理（Gauss-Markov theorem）。
佳线性⽆偏估计量佳线性⽆偏估计量，这就是著名的⾼斯。
最小二乘估计的基本原理
最小二乘估计的基本原理最小二乘估计，这个名字听上去很高深，对吧？但其实它背后的原理并不复杂，只要你能抓住几个核心点，就会发现它其实挺简单的。
今天，我们就来聊聊这个话题，把它讲得清楚明白，希望你听了之后能对它有个直观的理解。
1. 最小二乘估计是什么？最小二乘估计，顾名思义，主要是为了找到一个估计值，使得预测值和实际观测值之间的差距最小。
这就像你在玩一个精准的投篮游戏，目标是把球投得尽可能靠近篮筐。
这里的“最小”就是让误差最小化。
听起来是不是很简单？那就让我们一步步看下去。
1.1 误差的定义首先，我们得搞明白什么是误差。
在最小二乘估计里，误差就是我们预测的值和实际观测值之间的差距。
假设你有一个线性模型来预测某个结果，比如说你根据一个人的年龄预测他们的收入。
你预测的收入可能和实际收入有些出入，这个出入就是误差。
1.2 最小化误差那么，怎么才能让误差最小呢？这就涉及到最小二乘估计的核心：我们希望通过调整模型的参数，使得所有数据点的误差平方和最小。
说白了，就是我们要让所有预测值和真实值之间的距离加起来尽可能小。
把所有误差平方加在一起，找到那个最小的和，这就是我们要做的工作。
2. 为什么使用平方？也许你会问，为什么要用平方？为什么不直接用误差的绝对值呢？平方有几个好处。
首先，平方可以消除正负误差的相互抵消。
比如说，某个点的误差是+2，另一个点的误差是2，如果直接用这些误差的和，那么它们就会相互抵消掉。
但用平方的话，+2和2的平方都是4，这样就可以真实地反映出误差的大小。
其次，平方能更强烈地惩罚大的误差。
想象一下，如果你用一个不合适的模型预测结果，误差可能会很大。
平方后，这些大的误差会被放大，这样就能让模型更注重减少这些大的误差。
2.1 平方和的计算举个例子，假设你有几个数据点，每个点的实际值和预测值分别是（10, 8）、（15, 14）和（20, 25）。
误差分别是2、1和5。
计算这些误差的平方和，就是2² + 1² + (5)² = 4 + 1 + 25 = 30。
最小二乘估计
你知道怎样 来推导这个 公式吗？
.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)的对比表：
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程； (2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯 解 (1)作散点图如图所示
由散点图知两个变量是线 性相关的，计算各种数据 如下表
于是： 则：
分步计算 减少出错
下面的数据给定了两个变量之间的关系
X1 2 3 4 5 6 7 8 Y 1 4 9 16 25 36 49 64
请利用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程
x12345678 Y 1 4 9 16 25 36 49 64
1.制作散点图就是描点，我们可 以做出散点图：
Y=9x-15
如何求得这个 方程？
从而我们利用最小二乘估计时，已经失去 了意义，你认为问题出在哪里呢？
最小二乘估计
前面我们学习了统计活动的最基本的知识。从确定调查对象 都收集数据再到数据呈现，以及最后作出统计结论。
从所有的过程中，分析数据是最难的，事物的发展趋势更 是我们所需要了解的，因为它是我们得出结论的依据。
对于线性相关的一组数据，关键是怎样求这条相关直 线的方程
有一个非常直接的想法，就是利用一条直线来刻画数据的趋 势，这条直线必须保证到所有点的距离最小，最小二乘法就 是基于这种想法。
点到直线的距 离公式如何表
示？
我们可以看到，利用距离公式在计算方面是比较麻烦，因此
我们想将它简化，你知道怎样简化吗？
演
有演示我们知道，我们可以这样来刻画“距离”
示
假设一条直线的方程为:y=a+bx,对于给定的一个样本点(xi,yi), 我们用
来刻画这个样本点与这条直线的距离，用它们表示二者之间的 接近程度
最小二乘估计课件(43张)
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2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
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1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
最小二乘估计方法
最小二乘估计方法最小二乘估计方法数学中的最小二乘估计方法广泛应用于数据分析、统计学和经济学等领域，为研究问题提供了一个可靠的数学手段。
最小二乘估计方法的基本思想是基于数据的统计分布特性，使用最小化误差平方和的方法对数据进行拟合估计。
一、基本概念最小二乘法是一种数据拟合方法，它通过拟合方程与观测值之间的残差平方和，来评估拟合程度。
在进行最小二乘法时，首先需要建立合适的函数模型，然后将实际观测值代入模型，获得拟合值。
最后，将残差平方和最小化，确定拟合值。
二、实际应用最小二乘法在实际应用中非常广泛，例如我们可以通过最小二乘法来解决以下问题：1. 数据拟合问题：通过最小化残差平方和来拟合一组数据，可以得到最优解，同时可以帮助我们探索数据之间的关系。
2. 函数拟合问题：对于一些复杂的函数，我们可以使用最小二乘法来确定其参数，从而得到最优的函数拟合。
3. 数据处理问题：在处理实际数据时，我们可以使用最小二乘法来去除数据中的误差，从而得到更准确的结果。
三、特点优势最小二乘法有着广泛的应用和优势，其中一些重要的特点包括：1. 精度高：通过最小二乘法，我们可以在一定程度上排除测量误差，从而得到更精确的估计结果。
2. 建模灵活：最小二乘法的建模过程相对较灵活，可以适应不同的数据分布和模型建立。
3. 稳定性好：对于数据分布存在小波动情况的数据，最小二乘估计方法也有较好的稳定性。
四、总结在科学研究和实际应用中，最小二乘法是一种强大的工具，可以用来拟合数据、解决函数拟合问题以及处理数据中的误差。
它具有精度高、建模灵活和稳定性好等优点，成为了数据科学领域的重要方法之一。
最小二乘估计
最小二乘估计随着空间技术的发展,人类的活动开始进入了太空,对航天器(包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等)的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。
在计算技术高速发展的推动下,各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。
大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。
最小二乘法就成了估计理论的奠基石。
最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性,它的原理不复杂,数学模型和计算方法也比较简单,编制程序不难,所以它颇受人们的重视,应用相当广泛。
对于严格的正态分布数据,最小二乘估值具有最优一致无偏且方差最小的特性。
实践证明,在没有粗差的情况下,大部分测量数据基本上符合正态分布。
这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。
最早的轨道确定就是利用最小二乘法,用全部观测数据确定某一历元时刻的轨道状态的“最佳”估值,即所谓的批处理算法定轨。
长期以来,在整个天体力学领域之中,各种天体的定轨问题,几乎都是采用这一方法。
卫星精密定轨的基本原理为：利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型,通过建立观测量与卫星状态之间的数学关系，参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。
参数估计的基本问题就是对一个微分方程并不精确知道的动力学过程，用不精确的初始状态*0X 和带有误差的观测资料，求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值0ˆX 。
常用的参数估计方法有两种，最小二乘法和卡尔曼滤波方法。
最小二乘法是在得到所有的观测数据之后，利用这些数据来估计初始时刻状态量的值，由于用到的观测数据多、计算方法具有统计特性，因此该方法精度高。
卡尔曼滤波在观测数据更新后，利用新的观测数据对状态量进行改进得到这一观测时刻的状态量，卡尔曼滤波适用于实时处理。
卫星精密定轨输运高精度的事后数据处理，通常采用最小二乘法进行参数估计。
记观测量的权阵为 P 。
利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程0y Hx ε=+，得1()T T x H PH H Py -=卫星的参考状态为**000ˆX X x =+ 在精密定轨的过程中，由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差，上式的解算需要通过不断的迭代。
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[y n (a bx n )]2
…………………①
2 2 2 2 3 a - 2（ a y - bx) ( y1 - bx1) ( y2 - bx2 ) ( y3 - bx3 )
利用配方法可得
同样使用配方法可以得到，当
从而得到直线y=ɑ+bx的系数ɑ，b，且称直线y=ɑ+bx 为这3个样本点的线性回归方程.
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方
程的系数：
x y
i 1 n i i 1
n
i
nx y
2
x i nx
2
牢记公 式
特别提醒：在回归直线方程中，b是回归直线方程
的斜率，a是截距；b的含义容易理解成增加的单
1.已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性
回归方程y=a+bx必经过点 ( D
x y 0 1 1 3 2 5
)
3 7
A.（2，2）
B.（1.5，0）
C.（1，2）
D.（1.5，4）
2.(2014·湖北高考)根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 ( A ) y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 得到的回归方程为 y=bx+a,则 A.a>0,b<0 B.a>0,b>0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0
d
bx i y i a b2 1
x ,a bx
i i
y a bx
方法二:
yi a bxi
2
0
x
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而
且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者之 间的接近程度.
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示： 例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，
y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直线 y=a+bx的接近程度：
y1 a bx1 y2 a bx2 y3 a bx3 2 2 y4 a bx4 y5 a bx5
2
i 1 2 3 4
xi
1 2 3 4
yi
1 4 9 16
2 xi
xi yi
1 8 27 64
1 4 9
16
5
6 7
5
6 7
25
36 49
25
36 49
125
216 343
8
合计
8
36
64
204
64
204
512
1 296
，
y=-15+9x.
思考：哪一个对呢？
所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散 点图.如果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这 个规律性进行拟合.如果散点图呈现出线性关系,我 们可以用最小二乘法估计出线性回归方程;如果散 点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利用其他的 工具进行拟合.
位数，而实际上，它代表x每增加一个单位，y的
平均增加单位数.一般地说，当回归系数b＞0时，
说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每 增加一个单位时，y就增加b个单位；当b＜0时， 说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x每 增加一个单位时，y就减少b个单位.
思考4:如果样本点只有两个，用最小二乘法得 到的直线与用两点式求出的直线一致吗？ 提示:是一致的.
出热茶多少杯.
解：（1）由散点图可以看出，两个变量 是线性相关的.
由表格得： 35 115 x ， y = 由表格可得： 3 3
35 115 ， y 所以 x 3 3 所以 1 910 6 35 115
b
3 3 35 115 1.648 1910 6 35 3 35 3 b 1 286 6 35 35 1.648 1286 6 3 3 3 3
2
若有n个样本点：（x1，y1）,… ,（xn，yn），可以用下 面的表达式来刻画这些点与直线y＝a+bx的接近程度:
[y1 (a bx1 )]
2
[y n (a bx n )]
2
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
思考3：怎样使 [y1 (a bx1 )]2
利用散点图观察数据是否具有线性关系. 2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公式求出
方程.
3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的
规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合.
例2 下面是两个变量的一组数据：
x
y
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程. 解 根据上表数据，可以计算出： x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
3.（2014·重庆高考）已知变量 x 与 y 正相关,且 由观测数据算得样本平均数 x 3,y 3.5 ,则由 该观测数据测算的线性回归方程可能是( A ) A. y 0.4x 2.3 C. y 2x 9.5 B. y 2x 2.4 D. y 0.3x 4.4
详细学习！
1.了解最小二乘法的思想.
2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性
回归方程.(重点)
3.会用线性回归方程对总体进行估计.(难点）
思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方 便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi） 方法一:点到直线的距离公式
y
A x
i
, yi
§8 最小二乘估计
在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量
和年龄之间近似存在着线性关系，这种线性关系可
以有多种方法来进行刻画.但是这些方法都缺少数学
思想依据.
问题1.用什么样的线性关系刻画会更好一些？
想法：保证这条直线与所有点都接近（也就是距离 最小）.
最小二乘法就是基于这种想法.本节课我们来进行
a 57.557 57.557 a 于是，线性回归方程为 y 57.557 - 1.648 x .
（2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方
程知，当某天的气温是－3℃时，卖出热茶的杯数
估计为：
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）.
【说明】
1.利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图，
与用两点式相同.
例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖
部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是
线性相关的.数据如下表:
气温（xi）／ ℃ 杯数（yi）／杯 26 18 13 10 4 -1
20
24
34
38
50
64
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程.
(2)如果某天的气温是－3℃，请预测这天可能会卖