重庆市第八中学2016届高考适应性月考卷(五)文科数学
2016届重庆市第八中学高三上学期第四次月考数学(文)试题 扫描版
重庆市第八中学2016届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{3,4,6}B =，{4,6}A B = ，故选B ．2．分段间隔为4，所以抽取的样本标号为CRH0002，CRH0006，CRH0010，CRH0014，CRH0018，故选B.3．命题p 为真，命题q 为假，故选A ．4．11点到12点，出口车辆数为10，入口车辆数为40，车流动量为50，故选D ． 5．当3111n S T k ====，，，时，13≤，122S T k ===，，；23≤，243S T k ===，，；33≤，8124S T k ===，，；43>，程序结束；输出12T =，故选D ．6．设3()()1cos g x f x x x x =-=+是奇函数，由图象的对称性知，()g x 的最大值与最小值之和为0，即110M m -+-=，所以2M m+=，故选A ． 7．1082844210222520a a a a a a a a a =+==⇒==，，，故选B ． 8．设点00()P x y ，，则000022PM PNy y k k x x λ==+- ，整理得2200144x y λ+=-，由点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，则04410λλ<-<⇒-<<，故选B ． 9．如图1，圆C 和圆D 的面积恰好为π，所以点P 在线段AC 和BD 上时，所得的截面圆面积小于π，所以概率为1，故选D ． 10．1234512312a a a a a =====由，，，，，…，所以数列{}n a 的周期是3，20152016235a a a a +=+=，故选C ．图111．由阳马的体积为12，计算得1111143BC B C A B CC ====，又由，鳖臑的表面积等于27，故选B ．12．设1122()()2||2||OFA OFB A x y B x y S S AF BF =⇒=△△，，，，由，如图2，设11||||||||2BF BB x AF AA x ====，，在Rt ABC △中，||3||AB x AC x ==，，则sin α=A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．2i1i 1i z ==-+-对应的点为(11)-，． 14．由AB AC ∥，所以1221a b ab a b-=-⇒+=．另解：直线AB 的方程为1x ya b+=，点(12)C ，在直线上， 所以121a b+=． 15．如图3，12||||2||||412NA NB PF PF a -=-==． 16．由2(13)AB DC D =⇒，，如图4，作出梯形ABCD ，设22t x y y x t =-⇒=-，作出目标函数线2t x y =-， 在点(22)B ，处t 取得最大值2，在点(13)D ，处t 取得 最小值1-，则t 的取值范围为[12]-，，因为函数 12tz ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以12tz ⎛⎫= ⎪⎝⎭的取值范围为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）图2图4图3解：（Ⅰ）由已知：1cos 4()2cos 2632xf x x x a -=-++ ， ……………（2分）()43cos 4f x x x a =++∴， π()43f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴，………………………………………………（4分） 所以函数()f x 的最小正周期2π2ππ||42T ω===， ………………………………（5分）又πππ2π42π232k x k -++≤≤，所以π5πππ224224k k x k -+∈Z ≤≤，， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，．……………（7分）（Ⅱ）ππ88x -∵≤≤，ππ5π4636x -+∴≤≤，……………………………………………………………（8分）1πsin 4123x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤，……………………………………………………（10分）所以函数()f x 的最大值为a ，最小值为a +．由已知()0a a +++=，a =∴． ………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：一级产品中应抽查100件，二级产品中应抽查50件，得38x =，15y =． 频率分布直方图如图5所示：从直方图可以判断：一级产品中个体间的差异程度更小．……………………（4分）（Ⅱ）质量指标值不低于95的一级产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的一级产品符合“质量指标值不低于95的一级产品至少要占全部产品的80%”的规定． …………………………（8分）（Ⅲ）质量指标值的样本平均数为1800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 2800.2900.21000.31100.21200.198x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，100501009899.3150150x =⨯+⨯=． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图6，取11A E =，11C F =，易得1D E EM ==且1D E FM ∥，所以1D EMF3分）再由1D M = 可得11cos 2D EM ∠=-，1sin D EM ∠=，所以1D EMF S =菱形 …………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）易得整个长方体1111ABCD A B C D -的体积为， 其中1111111112D A B ME D B C FM D A B ME V V V V ---=+=上 …………………………………（9分）1121(12)1132=⨯⨯⨯⨯+⨯=，…………………………………………………（11分）图5图6下半部分为312-=，所以体积比为12． ………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意有22222111,2,c e a a b a b c ==+==+椭圆C ：2212x y +=．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，由方程组2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得：222(12)4220k x kmx m +++-=，则21212224221212km m x x x x k k-+=-=++，， 22221212121222()()()12k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+，……………（8分）因以线段MN 为直径的圆过原点O ，所以OM ON⊥，即12120x x y y +=，即222222222203221212m k m m k k k --++=⇒=+++， …………………………………（10分）因为l ：y kx m =+为圆O ：222x y r +=的切线，所以圆O的半径r ====．…………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当12a =-时，()(1)e 1(1)(e 1)x x f x x x x '=+--=+-，因为0x <时，e 10x -<；0x >时，e 10x ->，所以当1x <-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 即()f x 在(1)-∞-，上单调递增，在(10)-，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增. 所以()f x 的极大值为11(1)e 2f -=-+；()f x 的极小值为(0)0f =. …………………………………………………（4分）（Ⅱ）设2()()()(41)e 21x g x f x f x a x ax ax '=--+=---， 则()e 22()x g x ax a x ϕ'=--=， 则()e 2x x a ϕ'=-， ………………………………………………………………（5分）由于0x ≥时，e 1x ≥．（1）当21a ≤，即12a ≤时，()0x ϕ'≥，()x ϕ在[0)+∞，上单调递增，()(0)120x a ϕϕ=-≥≥，故12a ≤时，满足题意.………………………………（8分）（2）当21a >时，即12a >时，()0ln 2x x a ϕ'>⇒>， 所以()x ϕ在[0ln 2]a ，上单调递减，在(ln 2)a +∞，上单调递增， 所以()()g x x ϕ'=在[0ln 2]a ，上恒有()(0)120g x g a ''=-<≤，即()g x 在[0ln 2]a ，上单调递减，从而()(0)0g x g =≤，这与()0g x ≥恒成立矛盾. 综上所述：a 的取值范围是12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.…………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：如图7，连接12O A O B ，， AB ∵是两圆的外公切线，A B ，为切点， 12O A AB O B AB ⊥⊥∴，，12121122O A O B PAB AO P PBA BO P ∠=∠∠=∠∴∥，，，由12180AO P BO P ∠+∠=︒，知9090PAB PBA APB ∠+∠=︒∠=︒，∴， ABP ∴△是直角三角形．………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：AB AC AP AE PAB CAE =∠=∠ ∵，， PAB ∴△∽CAE △，34CE PB AC AP ==∴， 设34PB x AP x ==，，则5AB x =，由2AB AP AD = ，得26x PB ==，∴，又90BP AP BPD ⊥∠=︒，∴， DB ∴是⊙2O 的一条直径，且152DB =，图7∴⊙2O 的半径为154． …………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由已知点A B C ，，的极坐标分别是π23⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(2π)，，5π23⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴点A ，B ，C 的直角坐标分别是(1,，(2,0)-，(1,． ……………（5分） （Ⅱ）由题意知：(2cos 3sin )P θθ，，222||||||PA PB PC ++∴222222(2cos 1)(3sin (2cos 2)(3sin 0)(2cos 1)(3sin θθθθθθ=-+-+++-+-++ 22227sin 12cos 1215sin 24θθθ=++=+，222||||||[2439]PA PB PC ++∈∴，． ……………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由已知：2()2g x x x =-+，由()+|1|()g x x f x -≥得：22|1|0x x --≤，当1x ≥时，x ∈∅，当1x <时，112x -≤≤， 综上所述，112x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，. …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）对x ∀∈R ，不等式()()|1|g x m f x x +--≤恒成立，得22|1|m x x --≤恒成立，令2()2|1|h x x x =--，则22211()211x x x h x x x x ⎧-+=⎨+-<⎩，≥，，， 由图象知，min 9()8h x =-，98m -∴≤． ………………………………………（10分）。
重庆市第八中学2016届高考适应性月考卷(五)文科数学
重庆市第八中学2016届高考适应性月考卷（五）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．A 为函数y =的定义域，所以[1)A =+∞，，B 为函数2log y x =在A 上的值域，所以[0)B =+∞，，所以[1)A B =+∞ ，，故选A ． 2．OA 所对应的112i z =+，OB 所对应的22i z =+，所以1212i (12i )(2i )2i (2i )(2i )z z ++-==++-222i 4i 2i 43i 43i 4i 555-+-+===+-，故选A ． 3．平行于同一平面的两个平面平行，故选B ．4．该几何体为一个边长为2的正方体紧贴一个边长为1的正方体，表面积为226111523528⨯⨯-+⨯⨯=+=，故选C ．5．因为ABC △为等腰三角形，外心，重心，垂心均在底边BC 的高线上，所以只需求BC 的中垂线方程，BC 中点(32)M ，，12BC k =-，所以2AM k =，故中垂线方程为24y x =-，故选A ．6．依题意，2b a =，2c b =，sin 2sin B bA a ==，222sin 22sin cos 4cos 4sin sin 2B B B a c bB A A ac+-=== 2222413422b b b b +-== ，故选B ．(本题有误) 7．由图可知，A ，B 显然正确；前4天同样多的资金投资乙商品，收益是4.5倍，甲商品是3倍，C 正确；曲线越接近一条直线，则相关系数越大，由图知乙商品的相关系数大于甲商品的相关系数，故选D ．8．作O C a b =+ ，OA a = ，OB b =，则由平行四边形法则，45AOC BCO ∠=∠=︒，90BOC ∠=︒，在OBC △中，由正弦定理得||sin 90sin 45||a b ︒==︒D ． 9．2π12cos 2sin sin )4cos 2(1sin 2),42αααααα⎛⎫=-=-⇒=- ⎪⎝⎭28(1sin 2)1sin 2αα-=-sin 21α⇒=或7sin 28α=-，故选C ．10．方法一：以A 为坐标原点，AB 为x 轴正方向，AC 为y 轴正方向建立直角坐标系，则BC 的方程为168x y +=，设()P a b ，，则168a b +=，00a b >>，，则4868a b ab = 24812682a b ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≤，故选B ．方法二：设()P a b ，，由相似三角形可知，161081010a CP b BP CP ===-，，所以168a b+=，剩下同方法一．11．由定义知函数()f x 的定义域为253x x x x +++⎧⎪⇒∈⎨⎪∈⎩N N≥，≥，且3x ≥，22(2)(1)(1)(2)31()(2)(1)3243(1)(2)2421321x x x x x f x x x x x x x x x ++--⎛⎫==++=++=+- ⎪⨯--⎝⎭⨯⨯⨯ ，又3x ≥且x +∈N ，所以3x =时，min ()20f x =，故选C ．12．在同一坐标系中作出1122xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭和34y x x =-+的图象，分析图象知在[01)[2)m ∈+∞ ，，上时()f x 在R 上有3个零点，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．依题意知02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心Q 在线段FO 的垂直平分线4p x =上．因为抛物线C 的准线方程为2p x =-，所以3344p =，即1p =，因此抛物线C 的方程为22y x =． 14．程序在执行过程中S k ，的值依次为：1k =，11lg 3S =+；3k =，1311lg lg 1lg355S =++=+；5k =，13511lg lg lg 1lg 3577S =+++=+；7k =，135711lg lg lg lg 1lg 35799S =++++=+10lg 9=，9k =，退出循环，输出10lg 9S =．15．π()()))2sin 3f x f x ϕϕϕ⎫'+=+++=++⎪⎭，再由()()f x f x '+是偶函数πππ32k ϕ⇔+=+，k ∈Z ，即ππ6k ϕ=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以0k =时π6ϕ=． 16．如图1，连接BD ，则有四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD CDB S S S AB AD A BC CD C =+=+ △△，由180A C +=︒，得sin sin A C =，从而四边形ABCD 的面积4sin S A =．由余弦定理，在ABD △中：2222cos 54cos BD AB AD AB AD A A =+-=- ，在C D B △中：2222cos 1312cos BD CB CD CB CD C C =+-=- ，所以54c o sA -=1312c o C -，及cos cos A C =-，求得1cos 2A =-，120A =︒，所以4sin S A== 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 由题设得：11253182b q a a a a d b q ++=-==，，因为1112a b ==，， 所以2d q ==，所以212n n n a n b =-=，．……………………………………………（6分） （Ⅱ）证明：2(1)log (22)2(1)n n n c a b n n n n =-=-=- ，11111122(1)21n n c n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭当≥时，，……………………………………（8分）所以23111111111111112223122n c c c n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ．………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）222()100(60102010)100= 4.762()()()()7030802021n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，2( 3.841)0.05P K =≥，所以没有0099的把握认为阅读量的丰富度与性别有关.……………………（7分）图1（Ⅱ）5名理科生里，用12a a ，表示阅读量丰富的学生，123b b b ，，表示阅读量不丰富的学生，从5名理科生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间为121122123112113123212={()()()()()()()a a b a a b a a b a b b a b b a b b a b b Ω，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，213223123()()()}a b b a b b b b b ，，，，，，，，，……………………………………（10分）Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．事件A 表示“3人中至多有1人阅读量丰富”，则112113123212213223123{()()()()()()()}A a b b a b b a b b a b b a b b a b b b b b =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，……………………………………………………………………………………（11分）7()10P A =∴． ……………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图2，若OM ∥平面11A BCD ，则由线面平行的性质定理得，线OM 平行于平面1AA C 与平面11A BCD 的交线1A C ，所以1AMO AAC △△∽， 所以113AM AO AD MA OC BC ===． ……………………………………………………（6分）（Ⅱ）因为正方形11ADD A 垂直于底面ABCD ， 所以1AA ⊥平面ABCD ．记点A 到平面11A BCD 的距离为d ，则11111133A A BC A ABC A BC ABC V V d S AA S --=⇒⨯⨯=⨯⨯△△． ………………………………（8分）又由AD =BC =，对角线AC BD ⊥可知图2111134AO OC AC AA AC AB A B =====，，， 所以6ABC S =△，1A BC S =△……………………………………………（11分）代入111133A BC ABC d S AA S d ⨯⨯=⨯⨯⇒=△△． ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意有22222112433c c a a a c b a b c⎧⎪=⎧=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎪=+⎩，，，，椭圆C ：22143y x +=．………（5分）（Ⅱ）解法一：由对称性不妨设12(02)(02)A A -，，，， 易知直线21QA QA ，斜率存在，分别设为12k k ，.设点00(,)Q x y ，有2200221y x a b+=，222000122200043y a y a y a a k k x x x b +--===-=- ∴． ……………………………（7分）由114642y N y k x k =⎛⎫⎧⇒⎨ ⎪=-⎩⎝⎭，，， 同理224242y M y k x k =⎛⎫⎧⇒⎨ ⎪=+⎩⎝⎭，，，……………………………………………（9分）则有1212747431624NH MH k k k k k k --===--- ．【或0NH MH = 】 …………（11分）所以以线段MN 为直径的圆过(07)H ，. …………………………………（12分）解法二：由对称性不妨设12(02)(02)A A -，，，. 设点00()Q x y ，，所以2200143y x +=，2200220012123(4)9444x y y y =-=--- ∴， ………（7分）1QA l ∴：0000222(0)42y x y x M x y ⎛⎫--=-⇒ ⎪-⎝⎭，， 2QA l ：0000262(0)42y x y x N x y ⎛⎫++=-⇒ ⎪+⎝⎭，， ………………………………（9分）2000200026124747+99902+24x x x HM HN y y y ⎛⎫⎛⎫=--==-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，∴，………（11分）所以以线段MN 为直径的圆过(07)H ，． …………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由于0a >，0x >，故1()a f x x x+=+≥，当且仅当x 时取等号．由题可知：4=，从而3a =． ……………………………………（3分）于是3()g x x'=，从而(1)3g '=，又(1)0g =， 所以()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为3(1)y x =-， 即330x y --=.………………………………………………………（5分）（Ⅱ）令1()()()ln a h x f x g x x a x x+=-=+-， 所以221(1)(1)()1a a x x a h x x x x ++--'=--=． （1）当1e a +≥，即e 1a -≥时，()h x 在[1e]，上单调递减， 所以min1()(e)e 0e a h x h a +==+-≤，解得：2e 1e 1a +-≥. （2）当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[1e]，上单调递增， 所以min ()(1)110h x h a ==++≤，则2a -≤． …………………………………（8分）（3）当11e a <+<，即0e 1a <<-时，()h x 在[11]a +，上单调递减，在[1e]a +，上单调递增，所以min ()(1)2ln(1)0h x h a a a a =+=+-+≤，而(1ln(1))2(1lne)22a a a -++>-+=，故上述不等式无解．………………（11分）综上所述，a 的取值范围是2e 1e 1a +-≥或2a -≤．……………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）解：∵弦AC 与EF 交于M ，∴EM MF AM MC = ，又∵4AM =，9MC =，EM M F =，6EM =∴，故12EF =． ………………………………………………………………（3分）∵PA 是圆O 的切线，PEF 为圆O 的割线，∴2PA PE PF = ，∵PA =∴(12)108PE PE += ，故6PE =． ……………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：如图3，连接OA ，OB ，OM ，AB ，∵M 为弦EF 的中点，∴OM EF ⊥，∴90PAO PBO PMO ∠=∠=∠=︒，∴P ，A ，M ，O ，B 共圆（PO 为该圆的直径）， ………………………………………（7分） ∴，∵PB 是圆O 的切线，PBA BCA ∠=∠∴，PMA BCA ∠=∠∴，∴BC EF ∥． ……………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为22(2)9x y ++=，即22450x y y ++-=． ……………………………………………………（2分）又222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=， ……………………………………（4分）∴圆C 的极坐标方程为24sin 50ρρθ+-=．…………………………（5分） （Ⅱ）∵点M 的极坐标为4π3⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴点M的直角坐标为(3)-，且在圆C 内． 设直线l的参数方程为cos 3sin x t y t θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，，（t 为参数）， 代入圆C方程得：22(cos )(1sin )9t t θθ+-+=，整理得：22(sin )50t t θθ--=， ……………………………………（7分）22π4(sin )2016sin 203θθθ⎛⎫∆=++=++ ⎪⎝⎭， PM A PBA ∠=∠图3122(sin )t t θθ+=，125t t =-，12||||AB t t =-= 当π3θ=-时||AB最小，min ||AB = 此时直线l的参数方程为123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，（t 为参数）．………………………（10分）【另解】由平几知识知当直线l CM ⊥时，AB 的长度最小，又圆心(02)C -，，∴CM k ==， …………………………………（7分） 故直线l的斜率k =，倾斜角为2π3， ∴直线l的参数方程为123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，（t 为参数）． …………………………（10分）【注】直线l的普通方程为60y ++=，其参数方程一般形式为：00x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），其中00()x y ，60y ++=上任一点，且b a= 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）由柯西不等式得：2222()(149)(23)a b c a b c ++++++≥， …………（3分）即141S ≥，114S ∴≥， 即S 的取值范围为114⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． …………………………………………（5分）（Ⅱ）231a b c ++=∵，2221a b c ++=，231b c a +=-∴，2221b c a +=-， 由柯西不等式得：222()(49)(23)b c b c +++≥（当且仅当23b c =时取=）， 故2213(1)(1)a a --≥， 即2142120a a --≤，解得617a -≤≤，所以min 6 7a=-．………………………………………………………………（8分）由2312367a b cb ca⎧⎪++=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，，，解得2737bc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，即a取得最小值时，27b=，c37=．…………………………………………（10分）。
重庆市第八中学2016届高考适应性月考(六)语文试卷(word版)
重庆市第八中学2016 届高考适应性检测语文注意事项：1本试卷分第I卷（阅读题）和第n卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（本大题共 3 小题，每小题 3 分，共9 分）阅读下文，完成1〜3题。
中国古代神话的原始状态是十分丰富多彩的，但经过历史潮水的冲刷，如今呈现在我们面前的，大多只是一些零碎的片段。
这是一件非常遗憾的事。
中国古代神话之所以散失，除了它没有受到文人的重视之外，神话的历史化，是一个十分重要的原因。
所谓神话历史化，就是把神话看成是历史传说。
通常的做法是把天神下降为人的祖神，并把神话故事当作史实看待，构成了一些虚幻的始祖以及它的发展谱系。
这一文化现象在世界其他民族的文化史中也或多或少都出现过。
神话历史化，一方面是因为很多神话就是以历史为依据的，这些有关历史的神话、半历史或准历史的神化，很容易被解释为历史；另一方面，神话历史化又可以说是文化发展的必然，因为从原始文化向理性文化的发展，并不是跨过一个鸿沟一蹴而成的，而是一个继承发展的过程，神话历史化正是这一继承发展过程的具体体现。
中国的神话历史化，是史家、思想家们自觉或不自觉的行为。
一般认为，古代神话形象经历了从动物形、半人半兽形到人形这么一个发展过程。
在正统的史家或儒家的典籍中，那种半人半兽形的神性形象被抹杀殆尽了。
因为这种形象很难被纳入历史谱系之中，而且也违背了理性化的原则。
此外，还有其他一些触犯了理性化原则的神话，也都遭到删削。
如司马迁所说：“其文不雅驯，缙绅先生难言之。
”相当一部分神话因此得不到史家的认可，因而没有进入载籍。
这些，我们已无从考察了。
有些有幸被文人笔录，但在此后的流传过程中，又被无情地删削。
如《淮南子》古本载“嫦娥奔月”神话时，说嫦娥“托身于月，是为蟾蜍，而为月精”，今本《淮南子》则不存。
重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷(五)数学-答案
数学参考答案·第1页（共9页）重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（五）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDAACABB【解析】2．1i z=+，22i z =，1023216i 32i 16i z z +=-+=，故选D ．3．向量a b ，满足|||||1a b a b ==-= ，可得221(2)13a a b b -+= ，可得1213a b -+=，所以12a b =-，故选A ．4．设圆柱高为l ，左、右两端半球形半径为r ，其表面积为S ，胶囊的体积为V ．依题意，224π4π2π2πS r r rl S l r -+=⇒=，故32342()πππ323Sr V r r r l r =+=-，将16πS =，r =可得()V r =，故选A ．5．每次抽奖中，总情况数为35C 10=种，获奖的共有(123)，，、(135)，，、(234)，，、(345)，，这4种，所以25p =，设5人中获奖人数为X ，则2~55X B ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以(3)P X ==323523144C 55625⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．6．由(0π)x ∈，得ππ5π2333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，由π5sin 20313x ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭可知12πππ222π332x x -+-=⨯=，故125π6x x +=，所以125π1sin()sin 62x x +==，故选A ．7．()f x 为偶函数，则6781e ln 77p f q f r f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，．又当0x ≥时，数学参考答案·第2页（共9页）()2sin f x x x '=-+，()2cos 0f x x ''=-+<，则()f x '在(0)+∞，上单调递减，()(0)0f x f ''=≤．()f x ∴在(0)+∞，上单调递减．又6761881e1ln 177777->-+=<-=，，667718eln 0e 77f --⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，∴∴18ln 77f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B ．8．如图1，2，在折叠的过程中，四棱锥A BCEF -体积最大，此时二面角A EF B --为90︒，设AM 长为x ，则四棱锥A BCEF -体积111()(26)(3)332V x S h x x x ⎡⎤==+-=⎢⎥⎣⎦313x -3(03)x x +<<，由2()30V x x V ''=-+⇒=，易知()V x在(0上单调递增，在3)上单调递减，即在x =处取到最大值，V =B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ADABCACDBD【解析】9．A 正确；对于B ，截面为平行四边形11D A BC ，故B 错误；对于C ，设正方体棱长为1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，则1(111)AC =-，，，平面1D MN 的法向量为(011)m = ，，，1AC 与(011)m =，，不平行，故C 错误；D 显然正确，故选AD ．10．2()f x x a '=-，当1a =-时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，又21x x <+，2()(1)f x f x <+∴，∴A 正确；此时，2010x a -+=≤，，则21x a -+≤，图1图2数学参考答案·第3页（共9页）2()(1)f x f a -+≤，∴∴B 正确；由33()()233x x f x f x ax b ax b b ⎛⎫⎛⎫-+=-+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当12b =时C 式子成立，∴C 正确；且()f x 的唯一对称中心为(0)b ，，∴D 错误，故选ABC ．11．由题意知b =，222PA PBb k k a == ，故1a =，双曲线的方程为2212y x -=，对于A：c =，故ce a==A 正确；对于B ：因实轴长224a =<，故选项B错误；对于Ｃ：记0T ⎫⎪⎪⎭，由角平分线定理得：1122||||2||||PF TF PF TF ==，又12||||22PF PF a -=±=±，所以12||4||2PF PF ==，，于是2221212||||||16PF PF F F =+=，所以2190PF F ∠=︒，12121||2PF F S F F =⨯△2||PF ⨯=C 正确；对于D ：设00()P x y ，，则切线方程为0012y yx x -=，与渐近线y =联立解得x =故R ；与渐近线y =联立，解得Q，于是1||2OQR Q R R Q S x y x y =-=△===D 正确，故选ACD ．12．令()()g x f x x =-，则()g x 为奇函数，即(00)，为其对称中心，且由(2)(2)4f x f x -++=知：(2)(2)(2)(2)0f x x f x x ---++-+=，即(2)(2)0g x g x -++=，则()g x 关于点(20)，对称，由对称性知()g x 的周期为4T =，又[02]x ∈，时，2()2g x x x =-，最大值(1)1g =，由对称性知min ()1g x =-，方程()lg f x x x =+有几个不同的根等价于lg y x =与()y g x =有几个交点，结合图象，由lg91<，则当10x ≤时共5个交点，当10x >时，lg 1lg ()x x g x >>，，没有交点，所以共5个交点，∴B 正确；(2023)(2023)2023g f =-(1)(1)1g g =-=-=-，(2023)2022f =，∴∴A 错误；若()f x x b >+有解，则max ()1b g x <=，∴C 错误；若()f x x b <+无实数解，则min ()1b g x =-≤，∴D 正确，故选BD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516数学参考答案·第4页（共9页）【解析】13．由7728120a +=，得1a =-．14．因圆2221(3)()1C x y a a -++=-：关于直线0x y +=对称，故圆心1(3)C a-，在直线x y +=上，得30a -=，解得3a =，故221(3)(3)8C x y -++=：，易知两圆外切，公切线有三条，结合图易知公切线的斜率存在，设方程为y kx b =+，于是有：==两式相除得：|33|2||k b b ++=332k b b ⇒++=或332k b b ++=-，当332k b b ++=时，得33b k =+，代回方程组可解得k b ==k b ==；当332k b b ++=-时，1b k =--，代回方程组可解得12k b ==-，，得公切线有三条公切线方程为：2y x =-，y x =y =-（数形结合找一点，再点斜式设切线也可，最特殊的一条为内公切线）15．设公共点为000000()()()()()f x g x P x y f x g x =⎧⇒⎨''=⎩，，，即200000132ln 222x x ax x a x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，消a 得20004ln 10(0)x x x +-=>，令24()4ln 1(0)()20h x x x x h x x x'=+->⇒=+>，()h x ∴在(0)+∞，上单调递增，又0(1)011h x a ===，，∴．16．设内切圆半径为r ，取线段2PF 的中点N ，12220MF MF MP ++= ∵，所以14MF MN =-，数学参考答案·第5页（共9页）则11212||||||4||||||F F PF F M PN F N MN ===，所以1122||||2||PF F F PF ==，故1212||2||||3F F e PF PF ==+，得3a =，由椭圆对称性有12||||F B F A =；1112||||||||26F A F B F A F A a +=+==.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）433cos (4sin 3sin )3sin cos cos cos a c bB AC B C C B-=-=，∵∴，4sin cos 3sin cos 3sin cos A B B C C B =+∴，4sin cos 3sin A B A =∴，3cos 4B =∴．…………………………………………………（5分）（2）由（1）得，3cos 4B =，则sin B =，1sin 2ABC S ac B ==△，16ac =∴，又a b c ，，∵成等比数列，4b =∴，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-得，216()22cos a c ac ac B a c =+--+=，∴，所求周长为4．……………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）由题意，1129(4)45a d a d +=⎧⇒⎨+=⎩，111a d =⎧⎨=⎩，，所以n a n =.……………………………（2分）1122(1)21n n n a b a b a b n +++=-+ ①，当2n ≥时，1112211(2)21n n n a b a b a b n ---+++=-+ ②，①−②可得，12n n b -=(2)n ≥，…………………………………………………………（5分）当1n =时，111a b =，11b =适合12n n b -=，所以1*2()n n b n -=∈N ．……………………………………………………………………（6分）（2）因为n a n =，所以在数列{}n d 中，从项1a 开始到项k a 为止，数学参考答案·第6页（共9页）共有项数为012122221k k k k --++++=+- ．…………………………………………（8分）当11k =时，10112110342023+-=<；当12k =时，11122120592023+-=>，所以数列{}n d 前2023项是项11a 之后还有20231034989-=项为2，所求和为0192023(1211)2(222989)4090T =++++⨯++++= ．………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）经计算得： 3.512x y ==，，由最小二乘法：61621612ˆ7()12ˆ12 3.567i i i ii x y x y b x x a==⎧-⎪⎪==⎪-⎨⎪⎪=-⨯=⎪⎩∑∑，，所以12ˆ67y x =+．…………………………（4分）（2）（ⅰ）805μσ==，，那么758790<<，则该同学能被评为“反诈小能手”.……………………………………………………………………………………………（7分）（ⅱ）设全校参与本次竞赛的人数为n ，反诈小天才的概率为11(2)[1(22](10.9545)0.0227522P P ημσμσημσ>+=--<<+=-=，则300.02275n=，解得1319n ≈，参与本次知识竞赛的学生人数约为1319人．…………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意知抛物线标准方程为24y ax =，14a >∵，M ∴在抛物线开口内，过P 点作准线l 垂线交l 于H ，则||||||||PF PM PH PM +=+，当M ，P ，H 三点共线时，||||PH PM +最小，数学参考答案·第7页（共9页）min (||||)12PH PM a +=+=∴，即1a =，所以抛物线的方程为24y x =．…………………………………………………………（4分）（2）根据题意，可得||22BC r ==，222||||||18AB BC CD ++=∵，22(||||)4(||||)18AF BF DF CF -++-=∴，化简得22||||2||12AF DF AD +-=，……………………………………………………………………………………………（6分）设1(A x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由焦半径公式可得1||1AF x =+，2||1DF x =+，12||2AD x x =++，代入上式得221214x x +=，………………………………………………………………（8分）设直线l 的方程为1x my =+，若0m =，则121x x ==，不满足上式；由214y x my x=+⎧⎨=⎩，联立，整理得：2440y my --=，0∆>恒成立，则124y y m +=，124y y =- ，所以2212121212()()242116y y x x m y y m x x +=++=+==，，……………………………（10分）∴22222121212()2(42)214x x x x x x m +=+-=+-=，解得m =所以直线AD的方程为1x y =+，即1)y x =-．…………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）证明：∵平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB 平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊥∴平面PAB ，BC PA ⊥∴，AP PB BP BC B ⊥= ，∵，BP ⊂∵平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，AP ⊥∴平面PBC ，AP ⊂∵平面APC ，∴平面APC ⊥平面PBC ．………………………………………（5分）（2）解：因为AB BC ⊥，过点B 作BZ 垂直于平面ABC ，数学参考答案·第8页（共9页）以B 为原点，BC 为x 轴正方向，BA 为y 轴正方向，BZ 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，所以011020()()()000P A B ，，，，，，，，，200(200)3Q C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，设()PE PA λλλ==-，，0，(011)E λλ+-，，，(01)λ∈，，2113EQ λλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，，因为异面直线EQ 与PB 所成30︒角，||cos30||||PB EQ PB EQ ︒==，2482293λ++=，13λ=，………………………………………………………………（8分）由题意知，平面ABC 的一个法向量为1(001)n =，，，420(200)33BE BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，，，，，，设平面EBC 的一个法向量为2()n x y z = ，，，则4203320y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，所以2(012)n =-，，，所以121212||cos ||||n n n n n n 〈〉==，，平面EBC 和平面ABC．………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）（1）解：21()x kx f x x-+'=，令2()1x x kx ϕ=-+，……………………………………（1分）注意到(0)1ϕ=，对称轴2k x =对，故2min ()124k k x ϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，（ⅰ）当02kx =对≤时，即0k ≤，此时()x ϕ在(0)+∞，上单调递增，即()(0)1x ϕϕ>=，从而()0f x '>，即()f x 在(0)+∞，上单调递增；数学参考答案·第9页（共9页）（ⅱ）当02kx =>对时，即0k >，若21024k k ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即02k <≤时，()0x ϕ≥恒成立，从而()0f x '>，即()f x 在(0)+∞，上单调递增；若21024k k ϕ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，即2k >时，存在102k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，22k x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，有12()()0x x ϕϕ==，从而()f x 在1(0)x ，上单调递增，12()x x ，上单调递减，2()x +∞，上单调递增.……………………………………………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）可知，要使()f x 有两个极值点12x x ，，则2k >，此时满足12x x k +=，121x x =，不妨设12x x <，此时有12()()f x f x >，从而原不等式转化为：222121221121()()()()ln ln 222k f x f x x x k x x x x -=-+-+-<-，……………………………………………………………………………………………（7分）将211x x =及111k x x =+代入有：2211111************ln 222x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+<+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………………………（9分）化简即得：2112ln 1x x -<-，即证2211ln 1x x <-，由21211x x x =>，可得11x <，令21ln 1(01)t x t t t =⇔<-<<，设()ln (1)(01)g t t t t =--<<，则1()0tg t t-'=>，故()g t 在(01)t ∈，上单调递增，()(1)0g t g <=，故原不等式成立.…………………………………………………………………………（12分）。
重庆市第八中学高三上学期适应性月考(三)数学文试卷Word版含解析
2016-2017学年重庆市第八中学高三上学期适应性月考（三）文数一、选择题：共12题1．已知集合,则A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查集合的交集和不等式的解法.由已知得,集合,所以.【备注】分式不等式的一般解法是:第一步移项,第二部通分,第三步是转化为整式不等式(注意分母不为)2．复数的实部与虚部相等,且在复平面上对应的点在第三象限,则A.1B.2C.1或2D.【答案】A【解析】考查复数的基本概念,属于基础题.由题意,解得它在复平面上对应的点在第一象限,不符合题意,舍去,所以,故选A.【备注】在计算过程中产生增根,要注意取舍.3．函数的部分图象如图所示,则A. B.C. D.【答案】C【解析】考查已知三角函数图象求三角函数的解析式问题.由图象可得又因为所以函数的解析式可以写成因为,即.因为,所以,从而得出函数的解析式是.【备注】求三角函数的解析式的一般顺序是先求A,即振幅,再求,最后求,注意题目中的取值范围.4．直三棱柱中,,则该三棱柱的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】考查几何体外接球的表面积.由题意得,所给的直三棱柱各个边长均相等,接上下底面为等腰直角三角形,若将该几何体补上它的本身,可以得出边长为2的正方体,如下图所示.因为正方体的外接球的球心在正方体体对角线的中点,所以外接球的半径是所以外接球的表面积是.【备注】割补法是求几何体表面积或者体积一中非常好的方法.5．已知直线被圆所截得弦长为2,则实数的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】考查直线与圆的位置关系中的相交关系,点到直线的距离公式的应用,勾股定理等知识,属基础题.首先将直线方程化成标准形式为:,圆心为.圆心到直线的距离为,因为直线被圆所截得弦长为2,一半弦长为1.如图所示:由勾股定理得:,解得.【备注】求解直线与圆的位置关系问题时,一般的方法是利用圆心到直线的距离,弦长的一半和半径构成的直角三角形,利用勾股定理求解相关量.求解时,可画一个草图,帮助求解,不用在直角坐标系中精确作图.6．已知直线与两坐标轴围成的区域为,不等式组所形成的区域为,现在区域中随机放置一点,则该点落在区域的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查线性规划和几何概型,属基础题.由题意得,在平面直角坐标系中,分别做出区域和,如图所示,面积为,面积为,所以该点落在区域的概率是.【备注】线性规划问题的关键是准确做出可行域,注意边界是实线还是虚线. 7．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查三视图和几何体的体积.由题目所给的三个三视图可知,该几何体是由一个圆柱和半个圆锥构成,如图所示圆柱的体积是,半个圆锥的体积是,所以该几何体的体积为【备注】要熟悉常见几何体的三视图,熟记常见几何体的体积公式.8．已知直线过点,且倾斜角为,当此直线与抛物线交于时,A. B.16 C.8 D.【答案】A【解析】本题考查的是直线与抛物线的位置关系,借助弦长公式求焦点弦.由题意得:直线的方程为,与抛物线线方程联立得:,由弦长公式,计算的.【备注】过抛物线 (p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A、B两点结论1:结论2:若直线L的倾斜角为,则弦长证: (1)若时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,,∴结论得证(2)若时,设直线L的方程为:即代入抛物线方程得由韦达定理由弦长公式得9．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】本题考查程序款图,注意循环结构退出的条件,属基础题.当时,;当时,;当时,…当时,,故输出,故选B.【备注】程序框图问题要按照运算流程,写出每次运行的结果,多运行两遍,或者验证,减少失误.10．已知函数且,则A. B. C. D.【答案】D【解析】考查分段函数和对数函数性质问题,属基础题.由题意得:当时,若,即,解得(舍去)或;当,即,解得.所以.则.【备注】分段函数问题要分段求解,注意自变量的取值范围.11．设当时,函数取得最小值,则A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查三角恒等变换,属基础题.由题意得:.当,函数取得最小值,则即. 所以.【备注】此类题目需要注意的意义.12．设函数,则使得成立的的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】考查函数的性质和不等式解法,注意函数的等价变形,有一定的难度.由题意得:函数为偶函数,所以.当时,为减函数,所以得等价于,即,解得.【备注】在选择题中函数问题主要考查函数的图象和性质,注意挖掘题目的隐含条件,用好树形结合和等价转化的数学思想.二、填空题：共4题13．已知向量,且,则实数 .【答案】【解析】考查向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示.由题意得:,若,则,解得.【备注】若.14．若双曲线的一条渐近线过点,则 .【答案】4【解析】考查双曲线的渐近线的定义,属基础题.由题意得:双曲线的渐近线为,因为渐近线过点,解得【备注】注意双曲线渐近线的形式,若双曲线方程为双曲线,则渐近线方程为15．的内角的对边分别为,若,则的面积为 .【答案】【解析】考查解三角形的知识,考查正弦定理和三角形的面积公式.由题意得:角A为钝角有正弦定理得.由.得,在中,的面积为【备注】解三角形问题注意正弦定理和余弦定理的运用,特别需要注意的是边角的互化.16．重庆好食寨鱼火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料,由乙车间加工麻辣鱼火锅底料.甲车间加工1吨原材料需耗费工时10小时,可加工出14箱水煮鱼火锅底料,每箱可获利80元;乙车间加工1吨原材料需耗费工时6小时,可加工出8箱麻辣鱼火锅底料,每箱可获利100元.甲、乙两车间每天总获利最大值为元.【答案】60 800【解析】本题考查线性规划问题.设甲车间加工原材料吨,乙车间加工原材料吨,甲、乙两车间每天获利为元,则,目标函数,作出可行域,如图所示.当对应的直线过直线与的交点A时,目标函数取得最大值.由,得,故,即甲、乙两车间每天总获利最大值为60 800元.【备注】线性规划问题相当于一个应用题,需要认真读题,准确写出目标函数和限制条件,做出可行域,找到最值.三、解答题：共7题17．已知是递增的等差数列,是函数的两个零点.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.【答案】(1)函数的两个零点为3,7,由题意得.设数列的公差为,则故所以的通项公式为(2)由(1)知则,,两式相减得==,所以.【解析】考查数列的通项公式和错位相减法求数列的前项和,属中低档题.(1)由题意,是函数的两个零点,且是递增的等差数列,解得.从而求出数列的通项公式;(2)由第一问的结论,得出所以数列的前项和的求法使用错位相减法.【备注】数列求和的常用方法有公式法,错位相减法,裂项相消法,倒序相加法,分组求和法等.求和方法的选用要看通项公式的特点.18．发改委10月19日印发了<中国足球中长期发展规划(2016-2050年)重点任务分工>通知,其中“十三五”校园足球普及行动排名第三,为了调查重庆八中高一高二两个年级对改政策的落实情况,在每个年级随机选取20名足球爱好者,记录改政策发布后他们周平均增加的足球运动时间(单位:),所得数据如下:高一年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间:1.6 3.4 3.7 3.3 3.8 3.22.8 4.2 2.5 4.53.5 2.5 3.3 3.74.0 3.9 4.1 3.6 2.2 2.2高二年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间:4.2 2.8 2.9 3.1 3.6 3.4 2.2 1.8 2.3 2.72.6 2.4 1.53.5 2.1 1.9 2.2 3.7 1.5 1.6(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个年级政策落实得更好?(2)根据两组数据完成上图的茎叶图,从茎叶图简单分析哪个年级政策落实得更好?【答案】(1)设高一年级所得数据的平均数为,高二年级所得数据的平均数为.由记录数据可得=3.73.23.53.73.6=,=3.12.31.52.2=,由以上计算结果可得,因此可看出高一年级政策落实得更好.(2)由记录结果可绘制如图所示的茎叶图:从以上茎叶图可以看出,高一年级的数据有的叶集中在茎3,4上,而高二年级的数据有的叶集中在茎1,2上,由此可看出高一年级政策落实得更好.【解析】考查数字的基本特征和茎叶图的基础知识,属基础题.(1)由题意得,利用公式,分别求出高一年级和高二年级的平均数,比较得出得,因此可看出高一年级政策落实得更好;(2)第二问考查茎叶图的画法,并通过茎叶图的数据分布情况,分析两个年级的落实情况,通过分析可以看出高一年级的大部分数据集中在茎3,4上;而高二年级的数据集中在茎1,2上.【备注】认真计算,规范作图是解决这种题目的关键.19．如图所示,四边形是边长为2的正方形,四边形是平行四边形,点分别是的中点.(1)求证:平面;(2)若是等边三角形且平面平面,记三棱锥的体积为,四棱锥的体积为,求的值.【答案】(1)证明:如图4,取的中点,连接,点分别是的中点,.是平行四边形,且点是的中点,,又=,,所以平面平面,又平面,平面.(2)平面平面,平面,==,又平面平面,平面,===,.【解析】本题考查立体几何的证明和锥体体积的比值,属中档题.(1)要证平面,这是证明线面平行,一般有两种方法,一是证明线线平行,二是证明面面平行,通过分析图形可以看出,直线所在的平面,平行于平面,从而得出结论;(2)利用等积法分析三棱锥的体积和四棱锥的体积之间的关系,因为, 且平面平面,所以点F到平面的距离等于点D平面的距离,所以==,而四棱锥底面的面积是三角形ABD面积的二倍,且两个锥体同高,所以【备注】解决立体几何证明问题,要注意平行、垂直的判定定理和性质定理的使用,注意定理成立的条件缺一不可;等积法是求解几何体体积一中非常好的方法,本题的等价转化的思想非常好,值得反思.20．已知椭圆的长轴是圆的一条直径,且右焦点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在直线与椭圆交于两点,使得成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)由已知,解得,所以,椭圆的标准方程为.(2)假设存在这样的直线.由得,=设,则=,,===,由得,即,故,代入式得或.【解析】本题考查椭圆的标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系,属于难题.第一问可以利用椭圆焦点到直线的距离公式,以及椭圆的长轴长轴是圆的一条直径,求解出,从而得出椭圆方程;第二问要注意将题目的向量表达式合理运算,即将=两边平方在化简可以得出,在利用韦达定理,得出直线方程中的关系,因为要求的取值范围,所以需要保证直线与椭圆有两个交点,即将直线与椭圆联立之后的一元二次不等式方程的,从而求出的取值范围.【备注】圆锥曲线题目一般有两问,第一问是求曲线方程,第二问是直线与圆锥曲线的位置关系,需要学生用好设而不求的方法,分析出量与量之间的关系,再使用韦达定理求解.需要注意的是计算能力的培养.21．设函数.(1)当时,求在处的切线方程;(2)若对任意恒成立,求整数的最大值.【答案】(1)当时,,则,所以在处的切线方程为,即.(2)对任意恒成立对任意恒成立,令,则.令,则,在上单调递增,又,存在使得,其中在上单调递减,在上单调递增,,又,即,,,,,的最大值为2.【解析】本题考查切线方程,函数的恒成立问题,考查学生的等价转化能力和运算求解能力,属于难题.第一问,先利用导数的运算法则,求出函数,当时的导数,即,从而得出在处的切线方程;第二问将不等式变形,利用分离参数的方法,得出对任意恒成立,即需要求函数的最小值.对函数求导得:.再构造函数,对函数求导发现是增函数,且,,从而得出存在使得,即在上单调递减,在上单调递增,且,在通过运算求出的值.【备注】导数题目注重考查学生的分析能力和等价转化的数学思想.平时学习时,要注意积累方法,比如恒成立问题的解题思路一般是转化为最值问题,含有参数函数最值问题的问题一般用分类讨论或者分离参数.22．已知圆和圆的极坐标方程分别为和,点为圆上任意一点.(1)若射线交圆于点,且其方程为,求的长;(2)已知,若圆和圆的交点为,求证:为定值.【答案】(1)把代入得到点的极径,而点的极径为,所以.(2)证明:联立和解得,其直角坐标为,圆的直角坐标方程为.则==.【解析】本题考查圆的极坐标方程,定值问题. (1)利用,根据条件分别求出,即可. (2)利用圆和圆的极坐标方程解出,,转换成直角坐标系上的点,直接计算出.即证命题成立.23．若且.(1)求的最小值;(2)是否存在使得?并说明理由.【答案】(1)由条件知.所以,.当且仅当,即时取等,所以的最小值为6.(2)因为,当且仅当时取等,所以,故不存在使得.【解析】本题考查均值不等式,注意均值不等式的灵活变形和等号成立的条件,属于中档题. 第一问由题意可得,所以=,从而得出答案;第二问要用到第一问的结论,和均值不等式的变式:,即,从而得证.【备注】均值不等式的应用非常灵活,要掌握它常见的几种变形,同时要注意使用均值不等式时注意的三点:一正二定三相等.。
重庆市2016届高考适应性数学试卷(文科)(解析版)(解析版)
2016年重庆市高考适应性数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={0，1，2}，B={x∈R|（x+1）（x+2）＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知（1﹣i）z=2+i，则z的共轭复数=（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i3．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，a2=5，则{a n}的前4项和为（）A．9 B．22 C．24 D．324．已知非零向量，的夹角为，且||=1，|﹣2|=1，则||=（）A．B．1 C．D．25．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则下列说法正确的是（）A．有95%的把握认为“X和Y有关系”B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”C．有99%的把握认为“X和Y有关系”D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2截y轴所得线段与截直线y=2x+b所得线段的长度相等，则b=（）A．B．±C．D．±8．执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A．﹣7 B．﹣5 C．2 D．99．设等比数列{a n}的前6项和S6=6，且1﹣为a1，a3的等差中项，则a7+a8+a9=（）A．﹣2 B．8 C．10 D．1410．设x0为函数f（x）=sinπx的零点，且满足|x0|+|f（x0+）|＜33，则这样的零点有（）A．61个B．63个C．65个D．67个11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在半径为1的球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，则该三棱锥的底面ABC上的高为（）A．B． C． D．12．设曲线y=f（x）与曲线y=x2+a（x＞0）关于直线y=﹣x对称，且f（﹣2）=2f（﹣1），则a=（）A．0 B．C．D．1二、填空题13．若f（x）=2x+a•2﹣x为奇函数，则a=．14．若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．15．若以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为．16．若f（x）=x3﹣3x+m有且只有一个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos（B+C）=﹣sin2A．（1）求A；（2）设a=7，b=5，求△ABC的面积．18．从甲、乙两部分中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示．（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度（只需给出结论）；（Ⅱ）甲组数据频率分别直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅲ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．20．如图，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|=，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若过点M（﹣，0）的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|=2|MQ|，求直线l 的方程．21．设f（x）=（ax+b）e﹣2x，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+xlnx，证明：当0＜x＜1时，2e﹣2﹣e﹣1＜g（x）＜1．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多选，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
重庆市第八中学2022届高三下学期高考适应性月考卷(五)数学试题-及答案
重庆市第八中学2022届高三下学期高考适应性月考卷（五）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合(){}ln 3A x N y x =∈=-，{}12B x x =-≤<，则A B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,22．设向量()2,0a =，()1,1b =，则a 与a b -夹角的余弦值为（ ）A ．0B C ．2-D ．13．()622x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．640-B ．320-C ．640D ．3204．五声音阶（汉族古代音律）就是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫，商，角，徵，羽，若宫的频率为f ，则宫，商，角，徵，羽的频率分别是f 、98f 、8164f 、32f 、2716f .定义音比（大于1）是相邻两个音的频率比，上述音比只有两个不同的值，记为(),αβαβ>，则下列关系式不成立．．．的是（ ）（参考数据：lg 20.301≈、lg30.477≈）A ．3227α= B ．lg 2lg33lg 2β=- C ．10lg lg 9αβ⋅=D ．lg lg 0.2αβ-<5．函数()()()cos 0,xf x e x x π-=∈的递增区间为（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭6．设2log a π=，6log b π=，则（ ） A ．0a b ab -<< B ．0ab a b <<- C ．0ab a b <<-D ．0a b ab <-<7．已知点()3,3A 在动直线350mx ny m n +--=上的射影为点B ，O 为坐标原点，那么OB 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 的交点00(,)P x y 在第一象限内.若π3sin 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x =（ ）ABCD二、多选题9．在复平面内，已知复数()()202120221i 1i a a ++-对应的点在第四象限，则实数a 的可能取值有（ ） A ．3-B ．2-C ．1-D ．010.已知H 为线段BF 的中点，动点P 在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）A ．BM 与AN 是异面直线B ．AF 与BM 所成角为60C ．平面CDEF ⊥平面ABMND ．若AM HP ⊥，则点P 的运动轨迹长度为611．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()20f x f x ++=，且函数()1f x +的图象关于()1,0-对称.当[]1,1x ∈-时，()sin f x x =.则下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 中心对称B ．函数()y f x =的最小正周期为2C ．当[]2,3x ∈时，()()sin 2f x x =-D ．函数()y f x =在[]()2,21k k k +∈Z 上单调递减12．已知双曲线C ：221916x y -=和点()0,12A ，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上在第一象限内的点，点I 为12PF F △的内心，则下列说法正确的是（ ） A ．1PA PF +的最小值为25 B ．121253IF F PIF PIF S S S =-△△△ C ．()120,20F IF S ∈△D ．若1232PF PF =，12PI xPF yPF =+，则29y x -=三、填空题 13．若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 14．袋中装有编号为1,2,,10⋅⋅⋅的10个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，2号球被取出的概率为_______________.15．在四面体ABCD 中，ABD △，BCD △均为边长为ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_______________.16．设x ∈R ，用[]x 表示不小于x 的最小整数，例如[]0.31=，[]1.62=，[]22=，则称()[]f x x =为向上取整函数.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()21n n n S a a =+，n *∈N .则[]20221lg nn a ==∑_______________.四、解答题17．如图，四边形ABCD 内接于一个圆中，其中BD 为直径，4AB =，3BC =，3ABC π∠=.(1)求BD 的长； (2)求ACD △的面积.18．已知数列{}n a 满足12a =，()()2*11220n n na n a n n n N +-+--=∈.(1)求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)令()242n n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有34n T <. 19．随着人们节能减排意识的提高以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时愿意选择共享单车.为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了200名用户进行调查，得到如下数据：(1)如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请你判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关?(2)每周使用共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，用频率估计概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户.①求抽取的4名用户中，没有男性“骑行达人”的概率；①为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女性“骑行达人”每人奖励200元，记奖励总金额为X ，求X 的数学期望及方差. 附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12CA CB CC ===，160ACC ACB ∠=∠=.,D E 分别是1,AC CC 的中点，平面11AA C C ⊥平面ABC .(1)求证：1A C BE ⊥；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围.21．已知点()0,2M ，()0,2N -，动点P 满足直线PM 与直线PN 的斜率之积为4-.(1)求动点P 的轨迹的方程；(2)如图，当动点P 位于y 轴左侧时，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点,A B 满足线段,PA PB 的中点均在C 上.①设AB 的中点为Q ，证明：直线PQ 垂直于y 轴； ①求PQ 的取值范围. 22．已知函数()()11e 12x af x x a -=--，其中a R ∈且0a ≠. (1)当1a =时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为yg x ．求证：()()f x g x ≥；(2)若()f x a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】由对数函数定义域可求得集合A ，由交集定义可得结果. 【详解】由30x ->得：3x <，(){}{}ln 30,1,2A x N y x ∴=∈=-=，{}0,1A B ∴⋂=. 故选：C. 2．B 【解析】 【分析】由向量夹角的坐标运算可直接求得结果. 【详解】()1,1a b -=-，()2cos ,22a a ba ab a a b⋅-∴<->===⋅- 故选：B. 3．B 【解析】 【分析】由二项式定理可得62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式，令620r -=可得常数项33622C -⨯.【详解】62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：66216622rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭； 令620r -=，解得：3r =，∴展开式中的常数项为336221620320C -⨯=-⨯=-.故选：B. 4．C 【解析】 【分析】依题意首先求出音比，即可得到α、β，再根据对数的运算法则计算可得； 【详解】解：因为9988f f =，99886481f f =，3322812764f f =，83227916f f =，因为αβ>，所以3227α=，98β=，故A 正确，所以239lg lg lg9lg8lg3lg 22lg33lg 28β==-=-=-，故B 正确；5332lg lg32lg 27lg 2lg35lg 23lg327=-=-=- ()()32lg lg lg lg 5lg 23lg32lg33lg 22987αβ⋅=⋅=--()()50.30130.47720.47730.3010.003774≈⨯-⨯⨯-⨯=，故C 错误；853*******lg lg lg lg lg lg lg 272739988243αβ⎛⎫-=-=÷== ⎪⎝⎭85lg 2lg38lg 25lg380.30150.4770.0230.2=-=-≈⨯-⨯=<，故D 正确；故选：C 5．D 【解析】 【分析】求导后，结合三角函数知识可确定当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，由此可得结果.【详解】()()cos sin cos sin sin 4x x x x f x e x e x e x x x π----⎛⎫'=--=-+=+ ⎪⎝⎭，当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0x e ->，sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则()0f x '<；当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0x e ->，sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则()0f x '>；()f x ∴在()0,π上的单调递增区间为3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D. 6．D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得>0>0a b ab -，，111b a-<，由此可判断得选项.【详解】解：因为22log >log 21a π==，6660log 1log log 61b π=<=<=，所以>1,01a b <<，所以>0>0a b ab -，，故排除A 、B 选项；又11log 6log 2log 3log 1a bb a abπππππ--==-=<<，且>0ab ，所以0a b ab <-<， 故选：D. 7．B 【解析】 【分析】首先求出动直线恒过定点()3,5Q ，依题意可知90ABQ ∠=︒，则点B 的轨迹是以AQ 为直径的圆，求出圆心M 坐标与半径，即可得到轨迹方程，再求出OM ，即可求出OB 的最小值； 【详解】解：动直线350mx ny m n +--=，即()()350x m y n -+-=，令3050x y -=⎧⎨-=⎩，解得35x y =⎧⎨=⎩，即动直线恒过定点()3,5Q ，又因为点()3,3A 在动直线350mx ny m n +--=上的射影为点B ，所以90ABQ ∠=︒，所以点B 的轨迹是以AQ 为直径的圆，故圆心为AQ 的中点()3,4M ，半径112r AQ ==，所以点B 的轨迹方程为()()22341x y -+-=，又5OM ==，所以4OB OM r ≥-=，即OB 的最小值为4；故选：B 8．C 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式展开，与22sin +cos =1αα联立得到关于cos α、sin α的方程组，再利用任意角的三角函数定义即可求0x ，要注意0cos 0x α=>，0sin 0y α=>. 【详解】因为角α的终边与单位圆O 的交点00(,)P x y 在第一象限内，所以0cos 0x α=>，0sin 0y α=>.因为π3sin 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以13sin 24αα=，即23sin αα=，将23sin αα=代入22sin +cos =1αα，得223()+cos =12αα，即254cos =04αα-+，解得cos α=当cos α=时，sin 0α=<（舍）；当cos α=时，sin 0α=>；所以0cos x α== 故选：C. 9．AB 【解析】 【分析】由i 的幂指数运算的周期性可化简复数得其对应的点为()1,1a a -+，根据点在第四象限可构造不等式组求得1a <-，由此可确定结果. 【详解】202145051i i i ⨯+==，2022450522i i i 1⨯+===-，()()()()()()202120221i 111i i 11i a a a a a a ∴=+--=-+-+++，则()()202120221i1i a a ++-对应的点为()1,1a a -+，()1,1a a -+对应的点在第四象限，1010a a ->⎧∴⎨+<⎩，解得：1a <-，∴实数a 的可能取值为3-，2-.故选：AB. 10．BCD【解析】 【分析】由展开图还原正方体，根据//AN BM 可知A 错误；由//BM AN 可知异面直线AF 与BM 所成角为NAF ∠，由此可求得B 正确；由线面垂直的判定可证得CF ⊥平面ABMN ，由面面垂直的判定可知C 正确；根据AM ⊥平面CFN ，平面//SRHGQT 平面CFN 可得P 点轨迹，进而求得D 正确. 【详解】由展开图还原正方体如下图所示，对于A ，//MN AB ，∴四边形MNAB 为平行四边形，//AN BM ∴，BM ∴与AN 是共面直线，A 错误；对于B ，//BM AN ，AF ∴与BM 所成角即为NAF ∠，AN NF AF ==，ANF ∴为等边三角形，60NAF ∴∠=，即AF 与BM 所成角为60，B 正确；对于C ，AB ⊥平面BCMF ，CF ⊂平面BCMF ，AB CF ∴⊥；又CF BM ⊥，=AB BM B ，,AB BM ⊂平面ABMN ，CF ∴⊥平面ABMN ， 又CF ⊂平面CDEF ，∴平面CDEF ⊥平面ABMN ，C 正确； 对于D ，由正方体性质可知AM ⊥平面CFN ，取,,,,BC CD DN NS EF 中点,,,,G Q T S R ，连接,,,,,HG GQ QT ST SR RH ， 则平面//SRHGQT 平面CFN ，∴点P 的轨迹为正六边形SRHGQT 的边，∴点P 的轨迹长度为6=，D 正确.故选：BCD. 11．BC 【解析】【分析】先求出()y f x =周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证： 对于A ：由图像可判断函数()y f x =的中心对称；对于B ：利用图像变换作出函数()y f x =的图象，即可判断； 对于C ：直接求出解析式即可判断；对于D ：利用图像变换作出()y f x =的图像，即可判断； 【详解】因为函数()f x 对任意x ∈R 都有()()20f x f x ++=，所以()()2220f x f x -++-=，即()()20f x f x +-=，所以()()22f x f x +=- 所以()()2222f x f x ++=+-，即()()4f x f x =+恒成立，所以()f x 的周期为4. 因为函数()1f x +的图象关于()1,0-对称，所以将()1y f x =+的图象向右平移一个单位，得到()y f x =的图象，所以()y f x =关于()0,0对称. 任取[]1,3x ∈，则()[]21,1x -∈-，因为函数()f x 对任意x ∈R 都有()()20f x f x ++=，即()()20f x f x +-=，所以()()()2sin 2f x f x x =--=--.所以()()sin ,11sin 2,13x x f x x x -≤≤⎧=⎨--≤≤⎩，作出()y f x =的图象如图所示：对于A ：由图象可知：函数()y f x =的图象关于点()()2,0k k ∈Z 中心对称，故A 错误； 对于B ：函数()y f x =的图象可以看成()y f x =的图象x 轴上方的图象保留，把x 轴上方的图象轴下方的图象翻折到x 轴上方，所以函数()y f x =的最小正周期为2.故B 正确；对于C ：由前面的推导可得：当[]1,3x ∈，()()()sin 2sin 2f x x x =--=-.故C 正确； 对于D ：作出()y f x =的图像如图所示，在[]2,1--上函数()y f x =单调递增.故D 错误.故选：BC 12．BC 【解析】 【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A ，设12PF F △的内切圆的半径为r ，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B ，设()11,I x y 在12F F 上的垂足为H ，根据切线长定理可得1HF a c =+，即可得到H 的坐标，记渐近线43y x =的倾斜角为θ，则4tan 3θ=，记2IF H α∠=则()20,απθ∈-，利用临界值求出()tan 0,2α∈，即可求出1y 的取值范围，即可判断C ，延长PI 交12F F 于点M ，由角平分线定理得到2213PF PI MF MI==，即可求出x 、y ，即可判断D ； 【详解】解：因为双曲线C ：221916x y -=，所以3a =，4b =，5c ，则()15,0F -、()25,0F ，双曲线的渐近线为43y x =±，因为()0,12A ，所以213AF =，所以1222219PA PF PA PF a AF a +=++≥+=，当且仅当A 、P 、2F 在同一直线且P 在2AF 之间时取等号，故A 错误； 设12PF F △的内切圆的半径为r ，则1212121212121252112322IF F PIF PIF F F r S F F c S S PF PF a PF r PF r ====---△△△，故B 正确； 设()11,I x y 在12F F 上的垂足为H ，根据双曲线的定义及切线长定理可得12122PF PF a HF HF -==-，又121222a HF HF c HF HF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，所以1HF a c =+，所以(),0H a ，记渐近线43y x =的倾斜角为θ，则4tan 3θ=，记2IF H α∠=，则()20,απθ∈-，当()tan 2tan απθ=-，即242tan 31tan αα-=-，解得tan 2α=，所以()tan 0,2α∈，则()12tan 0,4y HF α=∈，所以()121210,2012IF F S F F y =⋅∈△，故C 正确； 延长PI 交12F F 于点M ，由1212326PF PF PF PF ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得121812PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由角平分线定理可知112232PF MF PF MF ==，所以24MF =，又由角平分线定理知2213PF PI MF MI ==，过点I 作12//NG F F 交1PF 、2PF 分别于点N 、G 点，则32PN PG =，所以32NI IG =，所以2355PI PN PG =+，因为12PI xPF yPF =+，所以34x y +=又23x y =，解得310920x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以320y x -=，故D 错误；故选：BC 13．12##0.5.【解析】 【分析】利用基本不等式可直接求得结果. 【详解】,R a b +∈，10a ∴>，0b >，11b a ∴+=≥即14b a ≤（当且仅当1b a=，即2a =，12b =时取等号）， 212b a ∴≤，即2b a 的最大值为12.故答案为：12. 14．15##0.2【解析】 【分析】根据条件概率公式计算可得结果. 【详解】记事件A 为“取出的两个球编号之和为偶数”，事件B 为“2号球被取出”，则()2255210204459C C P A C +===，()14210445C P AB C ==，()()()4145459P AB P B A P A ∴===，即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，2号球被取出的概率为15.故答案为：15.15．20π 【解析】 【分析】取BD 中点M ，13MG CM =，13HM AM =，作//OG AM ，//OH CM ，由面面垂直性质和球的性质可确定O 为四面体ABCD 的外接球球心，由长度关系可求得外接球半径OC ，由球的表面积公式可得结果. 【详解】取BD 中点M ，连接,CM AM ，,ABD BCD 均为正三角形，AM BD ∴⊥，CM BD ⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AM ∴⊥平面BCD ，CM ⊥平面ABD ；取13MG CM =，13HM AM =，作//OG AM ，//OH CM ，,ABD BCD 均为正三角形，,H G ∴分别为,ABD BCD 的外心， 又OG ⊥平面BCD ，OH ⊥平面ABD ，O ∴即为四面体ABCD 的外接球球心，3AM CM ==，113OG HM AM ∴===，223CG CM ==，OC ∴=∴四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S OC ππ=⋅=.故答案为：20π. 16．6977 【解析】【分析】利用n a 与n S 关系可证得数列{}n a 为等差数列，由此得到n a n =；分类讨论得到[]lg n a 在每段区间上的取值，加和可得最终结果. 【详解】当1n =时，()11121S a a =+，又0n a >，11a ∴=；当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，则22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，即()()()22111110n n n n n n n n a a a a a a a a ------+=+--=，11n n a a -∴-=，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，n a n ∴=；当1n =时，[]1lg 0a =；当(]1,10n ∈时，[]lg 1n a =；当(]10,100n ∈时，[]lg 2n a =； 当(]100,1000n ∈时，[]lg 3n a =；当(]1000,2022n ∈时，[]lg 4n a =； []20221lg 0192903900410226977n n a =∴=+⨯+⨯+⨯+⨯=∑.故答案为：6977. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列和函数的综合应用问题的求解，解题关键是能够通过n a 与n S 关系证得数列为等差数列，得到n a 的通项公式，进而根据向上取整函数的定义得到分段函数的函数值.17．(1)BD =(2)ACDS=【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得AC ，利用正弦定理可求得结果； （2）利用勾股定理可求得,AD CD ，利用三角形面积公式可得结果. (1)在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2524cos133AC AB BC AB BC ABC π=+-⋅∠=-=，解得：AC =设R 为ABC外接圆半径，由正弦定理得：2sin sin 3AC R ABC ===∠即BD = (2)BD 为直径，2DAB DCB π∴∠=∠=，AD ∴==CD ==233ADC πππ∠=-=，11sin 22ACDSAD CD ADC ∴=⋅∠==18．(1)证明见解析；22n a n =； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由递推关系式可得121n na a n n+-=+，由此证得结论；利用等差数列通项公式可求得na n，进而得到n a ； （2）由（1）可得n b ，采用裂项相消法可求得n T ，结合101n >+，102n >+可证得结论. (1)由()211220n n na n a n n +-+--=得：121n n a a n n +-=+，又121a=， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公差的等差数列，()2212n a n n n ∴=+-=，22n a n ∴=；(2)由（1）得：()()()22421111222222n n n b n n n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭⋅+，11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭， 101n >+，102n >+，133224n T ∴<⨯=. 19．(1)在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关，理由见解析； (2)①16625；①数学期望为320，方差为38400 【解析】 【分析】（1）列出列联表，求出卡方，和6.635进行比较得出答案；（2）①求出频率，相应的得到概率，结合独立性重复试验事件的概率公式进行求解，①利用二项分布期望公式和方差公式进行求解. (1)填写列联表：()()()()()()22220012002700 6.061 6.6355015011090n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯故在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关 (2)①抽取的200人中，男性“骑行达人”的频率为6031005=，女性“骑行达人”的频率为4021005=，则从我市所有“骑行达人”中，随机抽取，抽到男性的概率为35，抽到女性的概率为25，设抽取的4名用户中，没有男性“骑行达人”为事件A ，则()4442165625p A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭； ①记Y 为抽出的女性“骑行达人”人数，则()4,0.4YB ，则()40.4 1.6E Y =⨯=，()40.40.60.96D Y =⨯⨯=，而200X Y =，故()()200200 1.6320E X E Y ==⨯=元，()400000.9638400D X =⨯=，即数学期望为320，方差为38400.20．(1)证明见解析；(2)12⎛ ⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）连接1AC ，由菱形和三角形中位线性质可得1A C DE ⊥；由面面垂直和线面垂直性质可得1BD A C ⊥；由线面垂直的判定可得1A C ⊥平面BDE ，由线面垂直性质可证得结论； （2）以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，()11101C P C B λλ=<<，利用二面角的向量求法可表示出1cos ,2m n <>=；令()32,3t λ-=∈，利用二次函数的值域求法可求得cos ,m n <>的范围，进而得到结果. (1) 连接1AC ，1CA CB CC ==，160ACC ACB ∠=∠=，∴四边形11AAC C 为菱形，ABC 为等边三角形，11AC AC ∴⊥， ,D E 分别为1,AC CC 中点，1//DE AC ∴，1AC DE ∴⊥； 又D 为AC 中点，BD AC ∴⊥， 平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，BD ∴⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面11AAC C ，1BD AC ∴⊥； 又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，1A C ∴⊥平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，1A C BE ∴⊥；(2)12CA CC ==，160ACC ∠=，1ACC ∴△为等边三角形，1C A D C ∴⊥， 平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1C D ⊂平面11ACC A ，1C D ∴⊥平面ABC ，则以D 为坐标原点，1,,DB DA DC 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D，)B，10,2E ⎛- ⎝⎭，(1C，1B ，()0,1,0C -，(10,A ，()3,0,0DB ∴=，10,2DE ⎛=- ⎝⎭，()113,1,0CB =，(1CA =，设(),,P x y z ，()11101C P C B λλ=<<，则(),,,,0x y z λ=，x ∴=，y λ=，z =,Pλ∴，(3,DP λλ∴=；由（1）知：1A C⊥平面BDE ，∴平面BDE 的一个法向量(1m CA ==； 设平面PBD 的法向量(),,n a b c =，则3030DB na DP n ab λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令b =0a =，c λ=-，()0,3,n λ∴=-；3cos ,23m n m n m n ⋅∴<>==⋅令()32,3t λ-=∈，则3t λ=-，1cos ,2m n ∴<>=111,32t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，212611,13t t ⎛⎫∴-+∈ ⎪⎝⎭，1cos ,2mn ⎛∴<>∈ ⎝⎭， 即锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围为12⎛ ⎝⎭.21．(1)()22104y x x +=≠；(2)①证明见解析；①153,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设()(),0P x y x ≠，利用4PM PN k k ⋅=-可整理得到结果； （2）①根据,PA PB 中点均在C 上，可知12,y y 为方程22014422y x y y ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的两个不等实根，由此可确定Q 点纵坐标与P 点纵坐标相同，由此可得结论；①由韦达定理可知221212,82y y y y Q ⎛⎫++⎪⎝⎭，结合韦达定理和P 点轨迹可化简得到20115324PQ x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合010x -≤<可得结果.(1)设()(),0P x y x ≠，则224PM PN y y k k x x-+⋅=⋅=-， 整理可得：()22104y x x +=≠，即动点P 的轨迹方程为：()22104y x x +=≠；(2)①设()()000,10P x y x -≤<，2111,4A y y ⎛⎫⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,PA PB 中点均在抛物线C 上，12,y y ∴为方程22014422y x y y ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的两个不等实根， 方程可化为：22000280y y y x y -+-=，由韦达定理知：1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，又Q 为AB 中点，1202Q y y y y +∴==，与P 点纵坐标相同， ∴直线PQ 垂直于y 轴；①由（1）知：点P 的轨迹方程为：()22104y x x +=≠，220014y x ∴+=，220044y x ∴=-，又Q 为AB 中点，221212,82y y y y Q ⎛⎫++∴ ⎪⎝⎭；由①知：1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩； PQ y ⊥轴，()222120121201288y y PQ x y y y y x +⎡⎤∴=-=+--⎣⎦()220000013616384y x x y x =--=-，()2220000011533331324PQ x x x x x ⎛⎫∴=--+=-+-=-++ ⎪⎝⎭，又010x -≤<，1534PQ ∴≤≤，即PQ 的取值范围为153,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆、直线与抛物线的综合应用问题，求解PQ 取值范围的关键是能够将其表示为关于变量0x 的函数的形式，从而结合0x 的范围，利用二次函数值域的求解方法求得结果. 22．(1)证明见解析； (2)(]0,1. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得()g x ，令()()()h x f x g x =-，利用导数可求得()()min 10h x h ==，由此可证得结论； （2）令()()11e 12x am x x a -=--0a <和1a >时，可通过反例确定不符合题意；当01a <≤时，由1e x x -≥可放缩得到()21112221e e ln e x x x m x a a ---⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭；令12e x t -=，则可得到()1221ln e s t t t a t t a -⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，可分别在120e a -<≤和12e 1a -<≤两种情况下，结合()s t '的正负确定()s t 的单调性，从而得到()0s t ≥，由此可得a 的取值范围.(1)当1a =时，()()11e 12x f x x -=--，则()11e 2x f x -'=-， ()11f ∴=，()112f '=，y f x 在()()1,1f 处的切线为：()1112y x -=-， 即()()112g x x =+； 令()()()1e x h x f x g x x -=-=-，则()1e 1x h x -'=-，令()0h x '=，解得：1x =；∴当(),1x ∈-∞时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 10h x h ∴==， ()0h x ∴≥，即()()f x g x ≥；(2) 令()()11e 12x am x x a -=--()0m x ≥； ①当0a <时，()100e 2am a =+<，不合题意； ①当1a >时，()1110m a=-<，不合题意； ①当01a <≤时，由（1）知：1e x x -≥，12ex -∴≥1x =时取等号）， ()()21111222111e 1e e e 22x x x x a x m x x a a a ----⎛⎫-∴≥---=--⋅⎪⎝⎭21112221e e ln e x x x a a ---⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令12ex t -=，则12e ,t -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()1221ln e s t t t a t t a -⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，则()()()222221t a t a a t at a s t t a t at at-+--'=--==，①当120e a -<≤时，()0s t '>，()s t ∴在12e ,-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，()121e 02a s t s ae -⎛⎫∴≥=≥=> ⎪⎝⎭；①当12e1a -<≤时，()s t 在12e ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),a +∞上单调递增， ()()ln 0s t s a a a ∴≥=-≥；综上所述：若()f x a 的取值范围为(]0,1. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数证明不等式、由不等式恒成立求解参数范围的问题；求解参数范围的关键是能够通过放缩的方式将恒成立的不等式转化为()1221ln e s t t t a t t a -⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭的最小值()min 0s t ≥的问题.。
重庆市第八中学2016届高考适应性月考卷(五)文数-答案
重庆市第八中学2016届高考适应性月考卷（五）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B C A B D D C B C D 【解析】1．为函数的定义域，所以，为函数在上的值域，所以，所以，故选A．2．所对应的，所对应的，所以，故选A．3．平行于同一平面的两个平面平行，故选B．4．该几何体为一个边长为2的正方体紧贴一个边长为1的正方体，表面积为，故选C．5．因为为等腰三角形，外心，重心，垂心均在底边的高线上，所以只需求的中垂线方程，中点，，所以，故中垂线方程为，故选A．6．依题意，，，，，故选B．(本题有误)7．由图可知，A，B显然正确；前4天同样多的资金投资乙商品，收益是4.5倍，甲商品是3倍，C正确；曲线越接近一条直线，则相关系数越大，由图知乙商品的相关系数大于甲商品的相关系数，故选D．1 / 98．作，，，则由平行四边形法则，，，在中，由正弦定理得，故选D．9．或，故选C．10．方法一：以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立直角坐标系，则的方程为，设，则，，则，故选B．方法二：设，由相似三角形可知，，所以，剩下同方法一．11．由定义知函数的定义域为且，，又且，所以时，，故选C．12．在同一坐标系中作出和的图象，分析图象知在上时在上有个零点，故选D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16答案2 / 9【解析】13．依题意知，圆心在线段的垂直平分线上．因为抛物线C的准线方程为，所以，即，因此抛物线的方程为．14．程序在执行过程中的值依次为：，；，；，；，，，退出循环，输出．15．，再由是偶函数，，即，，又，所以时．16．如图1，连接，则有四边形的面积，由，得，从而四边形的面积．由余弦定理，在图1 中：，在中：，所以，及，求得，，所以．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题设得：，因为所以，所以．……………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：，3 / 9，……………………………………（8分）所以．………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ），，所以没有的把握认为阅读量的丰富度与性别有关. ……………………（7分）（Ⅱ）5名理科生里，用表示阅读量丰富的学生，表示阅读量不丰富的学生，从5名理科生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间为，……………………………………（10分）由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．事件A表示“3人中至多有1人阅读量丰富”，则……………………………………………………………………………………（11分）．……………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图2，若平面，则由线面平行的性质定理得，线平行于平面与平面的交线，所以，图24 / 9所以．……………………………………………………（6分）（Ⅱ）因为正方形垂直于底面，所以平面．记点到平面的距离为，则．………………………………（8分）又由，，对角线可知，所以，，……………………………………………（11分）代入．………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意有椭圆C ：．………（5分）（Ⅱ）解法一：由对称性不妨设，易知直线斜率存在，分别设为.设点，有，．……………………………（7分）由，同理，……………………………………………（9分）则有．【或】…………（11分）5 / 9所以以线段为直径的圆过. …………………………………（12分）解法二：由对称性不妨设.设点，所以，，………（7分）：，：，………………………………（9分），………（11分）所以以线段为直径的圆过．…………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由于，，故，当且仅当时取等号．由题可知：，从而．……………………………………（3分）于是，从而，又，所以在点处的切线方程为，即. ………………………………………………………（5分）（Ⅱ）令，所以．（1）当，即时，在上单调递减，所以，解得：.（2）当，即时，在上单调递增，所以，则．…………………………………（8分）（3）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，6 / 9所以，而，故上述不等式无解．………………（11分）综上所述，的取值范围是或．……………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）解：弦与交于，，又，，，，故．………………………………………………………………（3分）是圆的切线，为圆的割线，，，，故．……………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：如图3，连接OA，OB，OM ，，为弦的中点，，，P，A，M，O，B 共圆（为该圆的直径），………………………………………（7分）图3，是圆的切线，，，．……………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆的直角坐标方程为，即．……………………………………………………（2分）又，，，……………………………………（4分）圆的极坐标方程为．…………………………（5分）（Ⅱ）点的极坐标为，点的直角坐标为，且在圆内．7 / 9设直线的参数方程为（），代入圆C 方程得：，整理得：，……………………………………（7分），，，，当时最小，，此时直线的参数方程为（）．………………………（10分）【另解】由平几知识知当直线时，的长度最小，又圆心，，…………………………………（7分）故直线的斜率，倾斜角为，直线的参数方程为（）．…………………………（10分）【注】直线的普通方程为，其参数方程一般形式为：（），其中为直线上任一点，且即可．24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由柯西不等式得：，…………（3分）8 / 9即，，即的取值范围为．…………………………………………（5分）（Ⅱ），，，，由柯西不等式得：（当且仅当时取=），故，即，解得，所以．………………………………………………………………（8分）由解得即取得最小值时，，．…………………………………………（10分）9 / 9。
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重庆市第八中学2016届高考适应性月考卷（五）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．A 为函数y =的定义域，所以[1)A =+∞，，B 为函数2log y x =在A 上的值域，所以[0)B =+∞，，所以[1)A B =+∞ ，，故选A ． 2．OA 所对应的112i z =+，OB 所对应的22i z =+，所以1212i (12i )(2i )2i (2i )(2i )z z ++-==++-222i 4i 2i 43i 43i 4i 555-+-+===+-，故选A ． 3．平行于同一平面的两个平面平行，故选B ．4．该几何体为一个边长为2的正方体紧贴一个边长为1的正方体，表面积为226111523528⨯⨯-+⨯⨯=+=，故选C ．5．因为ABC △为等腰三角形，外心，重心，垂心均在底边BC 的高线上，所以只需求BC 的中垂线方程，BC 中点(32)M ，，12BC k =-，所以2AM k =，故中垂线方程为24y x =-，故选A ．6．依题意，2b a =，2c b =，sin 2sin B bA a ==，222sin 22sin cos 4cos 4sin sin 2B B B a c bB A A ac+-=== 2222413422b b b b +-== ，故选B ．(本题有误) 7．由图可知，A ，B 显然正确；前4天同样多的资金投资乙商品，收益是4.5倍，甲商品是3倍，C 正确；曲线越接近一条直线，则相关系数越大，由图知乙商品的相关系数大于甲商品的相关系数，故选D ．8．作O C a b =+ ，OA a = ，OB b =，则由平行四边形法则，45AOC BCO ∠=∠=︒，90BOC ∠=︒，在OBC △中，由正弦定理得||sin 90sin 45||a b ︒==︒D ． 9．2π12cos 2sin sin )4cos 2(1sin 2),42αααααα⎛⎫=-=-⇒=- ⎪⎝⎭28(1sin 2)1sin 2αα-=-sin 21α⇒=或7sin 28α=-，故选C ．10．方法一：以A 为坐标原点，AB 为x 轴正方向，AC 为y 轴正方向建立直角坐标系，则BC 的方程为168x y +=，设()P a b ，，则168a b +=，00a b >>，，则4868a b ab = 24812682a b ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≤，故选B ．方法二：设()P a b ，，由相似三角形可知，161081010a CP b BP CP ===-，，所以168a b+=，剩下同方法一．11．由定义知函数()f x 的定义域为253x x x x +++⎧⎪⇒∈⎨⎪∈⎩N N≥，≥，且3x ≥，22(2)(1)(1)(2)31()(2)(1)3243(1)(2)2421321x x x x x f x x x x x x x x x ++--⎛⎫==++=++=+- ⎪⨯--⎝⎭⨯⨯⨯ ，又3x ≥且x +∈N ，所以3x =时，min ()20f x =，故选C ．12．在同一坐标系中作出1122xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭和34y x x =-+的图象，分析图象知在[01)[2)m ∈+∞ ，，上时()f x 在R 上有3个零点，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．依题意知02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心Q 在线段FO 的垂直平分线4p x =上．因为抛物线C 的准线方程为2p x =-，所以3344p =，即1p =，因此抛物线C 的方程为22y x =． 14．程序在执行过程中S k ，的值依次为：1k =，11lg 3S =+；3k =，1311lg lg 1lg355S =++=+；5k =，13511lg lg lg 1lg 3577S =+++=+；7k =，135711lg lg lg lg 1lg 35799S =++++=+10lg 9=，9k =，退出循环，输出10lg 9S =．15．π()()))2sin 3f x f x ϕϕϕ⎫'+=+++=++⎪⎭，再由()()f x f x '+是偶函数πππ32k ϕ⇔+=+，k ∈Z ，即ππ6k ϕ=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以0k =时π6ϕ=． 16．如图1，连接BD ，则有四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD CDB S S S AB AD A BC CD C =+=+ △△，由180A C +=︒，得sin sin A C =，从而四边形ABCD 的面积4sin S A =．由余弦定理，在ABD △中：2222cos 54cos BD AB AD AB AD A A =+-=- ，在C D B △中：2222cos 1312cos BD CB CD CB CD C C =+-=- ，所以54c o sA -=1312c o C -，及cos cos A C =-，求得1cos 2A =-，120A =︒，所以4sin S A== 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 由题设得：11253182b q a a a a d b q ++=-==，，因为1112a b ==，， 所以2d q ==，所以212n n n a n b =-=，．……………………………………………（6分） （Ⅱ）证明：2(1)log (22)2(1)n n n c a b n n n n =-=-=- ，11111122(1)21n n c n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭当≥时，，……………………………………（8分）所以23111111111111112223122n c c c n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ．………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）222()100(60102010)100= 4.762()()()()7030802021n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，2( 3.841)0.05P K =≥，所以没有0099的把握认为阅读量的丰富度与性别有关.……………………（7分）图1（Ⅱ）5名理科生里，用12a a ，表示阅读量丰富的学生，123b b b ，，表示阅读量不丰富的学生，从5名理科生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间为121122123112113123212={()()()()()()()a a b a a b a a b a b b a b b a b b a b b Ω，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，213223123()()()}a b b a b b b b b ，，，，，，，，，……………………………………（10分）Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．事件A 表示“3人中至多有1人阅读量丰富”，则112113123212213223123{()()()()()()()}A a b b a b b a b b a b b a b b a b b b b b =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，……………………………………………………………………………………（11分）7()10P A =∴． ……………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图2，若OM ∥平面11A BCD ，则由线面平行的性质定理得，线OM 平行于平面1AA C 与平面11A BCD 的交线1A C ，所以1AMO AAC △△∽， 所以113AM AO AD MA OC BC ===． ……………………………………………………（6分）（Ⅱ）因为正方形11ADD A 垂直于底面ABCD ， 所以1AA ⊥平面ABCD ．记点A 到平面11A BCD 的距离为d ，则11111133A A BC A ABC A BC ABC V V d S AA S --=⇒⨯⨯=⨯⨯△△． ………………………………（8分）又由AD =BC =，对角线AC BD ⊥可知图2111134AO OC AC AA AC AB A B =====，，， 所以6ABC S =△，1A BC S =△……………………………………………（11分）代入111133A BC ABC d S AA S d ⨯⨯=⨯⨯⇒=△△． ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意有22222112433c c a a a c b a b c⎧⎪=⎧=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎪=+⎩，，，，椭圆C ：22143y x +=．………（5分）（Ⅱ）解法一：由对称性不妨设12(02)(02)A A -，，，， 易知直线21QA QA ，斜率存在，分别设为12k k ，.设点00(,)Q x y ，有2200221y x a b+=，222000122200043y a y a y a a k k x x x b +--===-=- ∴． ……………………………（7分）由114642y N y k x k =⎛⎫⎧⇒⎨ ⎪=-⎩⎝⎭，，， 同理224242y M y k x k =⎛⎫⎧⇒⎨ ⎪=+⎩⎝⎭，，，……………………………………………（9分）则有1212747431624NH MH k k k k k k --===--- ．【或0NH MH = 】 …………（11分）所以以线段MN 为直径的圆过(07)H ，. …………………………………（12分）解法二：由对称性不妨设12(02)(02)A A -，，，. 设点00()Q x y ，，所以2200143y x +=，2200220012123(4)9444x y y y =-=--- ∴， ………（7分）1QA l ∴：0000222(0)42y x y x M x y ⎛⎫--=-⇒ ⎪-⎝⎭，， 2QA l ：0000262(0)42y x y x N x y ⎛⎫++=-⇒ ⎪+⎝⎭，， ………………………………（9分）2000200026124747+99902+24x x x HM HN y y y ⎛⎫⎛⎫=--==-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，∴，………（11分）所以以线段MN 为直径的圆过(07)H ，． …………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由于0a >，0x >，故1()a f x x x+=+≥，当且仅当x 时取等号．由题可知：4=，从而3a =． ……………………………………（3分）于是3()g x x'=，从而(1)3g '=，又(1)0g =， 所以()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为3(1)y x =-， 即330x y --=.………………………………………………………（5分）（Ⅱ）令1()()()ln a h x f x g x x a x x+=-=+-， 所以221(1)(1)()1a a x x a h x x x x ++--'=--=． （1）当1e a +≥，即e 1a -≥时，()h x 在[1e]，上单调递减， 所以min1()(e)e 0e a h x h a +==+-≤，解得：2e 1e 1a +-≥. （2）当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[1e]，上单调递增， 所以min ()(1)110h x h a ==++≤，则2a -≤． …………………………………（8分）（3）当11e a <+<，即0e 1a <<-时，()h x 在[11]a +，上单调递减，在[1e]a +，上单调递增，所以min ()(1)2ln(1)0h x h a a a a =+=+-+≤，而(1ln(1))2(1lne)22a a a -++>-+=，故上述不等式无解．………………（11分）综上所述，a 的取值范围是2e 1e 1a +-≥或2a -≤．……………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）解：∵弦AC 与EF 交于M ，∴EM MF AM MC = ，又∵4AM =，9MC =，EM M F =，6EM =∴，故12EF =． ………………………………………………………………（3分）∵PA 是圆O 的切线，PEF 为圆O 的割线，∴2PA PE PF = ，∵PA =∴(12)108PE PE += ，故6PE =． ……………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：如图3，连接OA ，OB ，OM ，AB ，∵M 为弦EF 的中点，∴OM EF ⊥，∴90PAO PBO PMO ∠=∠=∠=︒，∴P ，A ，M ，O ，B 共圆（PO 为该圆的直径）， ………………………………………（7分） ∴，∵PB 是圆O 的切线，PBA BCA ∠=∠∴，PMA BCA ∠=∠∴，∴BC EF ∥． ……………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为22(2)9x y ++=，即22450x y y ++-=． ……………………………………………………（2分）又222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=， ……………………………………（4分）∴圆C 的极坐标方程为24sin 50ρρθ+-=．…………………………（5分） （Ⅱ）∵点M 的极坐标为4π3⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴点M的直角坐标为(3)-，且在圆C 内． 设直线l的参数方程为cos 3sin x t y t θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，，（t 为参数）， 代入圆C方程得：22(cos )(1sin )9t t θθ+-+=，整理得：22(sin )50t t θθ--=， ……………………………………（7分）22π4(sin )2016sin 203θθθ⎛⎫∆=++=++ ⎪⎝⎭， PM A PBA ∠=∠图3122(sin )t t θθ+=，125t t =-，12||||AB t t =-= 当π3θ=-时||AB最小，min ||AB = 此时直线l的参数方程为123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，（t 为参数）．………………………（10分）【另解】由平几知识知当直线l CM ⊥时，AB 的长度最小，又圆心(02)C -，，∴CM k ==， …………………………………（7分） 故直线l的斜率k =，倾斜角为2π3， ∴直线l的参数方程为123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，（t 为参数）． …………………………（10分）【注】直线l的普通方程为60y ++=，其参数方程一般形式为：00x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），其中00()x y ，60y ++=上任一点，且b a= 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）由柯西不等式得：2222()(149)(23)a b c a b c ++++++≥， …………（3分）即141S ≥，114S ∴≥， 即S 的取值范围为114⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． …………………………………………（5分）（Ⅱ）231a b c ++=∵，2221a b c ++=，231b c a +=-∴，2221b c a +=-， 由柯西不等式得：222()(49)(23)b c b c +++≥（当且仅当23b c =时取=）， 故2213(1)(1)a a --≥， 即2142120a a --≤，解得617a -≤≤，所以min 6 7a=-．………………………………………………………………（8分）由2312367a b cb ca⎧⎪++=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，，，解得2737bc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，即a取得最小值时，27b=，c37=．…………………………………………（10分）。