2013届高三数学章末综合测试题
2013年江苏高考数学模拟试卷及参考答案【最后一卷
2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（必试部分）注意事项：1.本试卷总分160分，考试用时120分钟。
2.答题前，考生务必将班级、姓名、学号写在答卷纸的密封线内。
选择题答案填涂在．．．．．．．．答题卡对应的题号下，主观题答案写在答卷纸上对应的题号下空格内的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
考试结束后，上交答题卡和答卷纸。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．.1.设复数满足（是虚数单位），则复数的模=___▲____.2.已知，则___▲_____.3.抛物线y2 = 8x的焦点到双曲线x212–y24= 1的渐近线的距离为___▲___.4.阅读下列算法语句:Read S1For I from 1 to 5 step 2 SS+IEnd forPrint SEnd输出的结果是▲．5.设集合，则=____▲_______.6.设等比数列{a n}的公比q = 12，前n项和为S n，则S4a4= ____▲_______.7.在区间内随机地取出一个数，则恰好使1是关于x的不等式的一个解的概率大小为__▲_____.8.已知向量，，则的最大值为▲．9.已知A(2,4)，B(–1,2)，C(1,0)，点P(x,y)在△ABC内部及边界上运动，则z = x–y的最大值与最小值的和为___▲___10.设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的命题是___▲______．（写出所有正确命题的序号）11.设函数，若关于x 的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为___▲_____.12.函数在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边求导数，于是 ．运用此方法可以探求得知的一个单调增区间为____▲_____．13.已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点，，，，则 ▲ ．14.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为_▲__．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知，设，均为锐角. （1）求；（2）求两条向量的数量积的值.16. （本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点. ⑴求证：AF //平面BCE ；⑵求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人．．为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计P A C B A BC D EF算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即；9点20分作为第二个计数人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系： ()()()()()24123612436325363216377207390n n n f n n n n -≤≤⎧⎪⎪⎪⋅≤≤=⎨⎪-+≤≤⎪≤≤⎪⎩， 第个时刻离开园区的人数和时间满足以下关系： .（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？18.（本小题满分16分） 设圆，动圆，（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.19. （本小题满分16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1(n ∈N *). ⑴求数列{a n }的最大项；⑵设b n = a n + pa n– 2，试确定实常数p，使得{b n}为等比数列；⑶设，问：数列{a n}中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.20．（本大题满分16分）已知函数，（1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；（2）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关.试求的取值范围．2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（加试部分）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2= EB·EC.B．矩阵与变换已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A，B两点，求线段ABB C EDA的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD . ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.23．（本小题满分10分）用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为. （1）试用数学归纳法证明：；（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.P B CDA M a b c d n=1 a b c d n=2 a c da b d abc2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10题号 6 7 8 9 10答案15 0.7 6 –2 ④题号11 12 13 14答案815.解（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以，所以.所以，………………………………………2分cos cos()PBCPBPCαβ∠=-===，所以，………………………………………………………………4分，…………………………6分又，所以.………………………………………………………8分（2）…………………………11分……………………………………………14分16. ⑴解:取CE中点P，连结FP,BP,因为F为CD的中点,所以FP//DE,且FP =12DE,…2分又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分 又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分 （该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD .因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD , 又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分 又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE .又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分 又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分17． 解：（1）当且时，，当且时， 所以…××；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是： ×5121152⨯+⨯；………………………4分 所以361216563901266S S T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人. ……………6分 （2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减.(i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当时，令，得出，即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分 (iii)当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当时， 令时，，即在下午点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分 答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人；（2）在下午点整时，园区人数达到最多. 18.解（1）将方程化为，令得或，所以圆2C 过定点和，……………4分将代入，左边=1644012320+--+==右边，故点在圆1C 上，同理可得点也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点和；……………6分（2）设，则，…………………………8分， …………………………………10分 即，整理得（*）………………………………………………12分 存在无穷多个圆2C ，满足的充要条件为有解，解此方程组得ABCDEFP或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分 故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足，点P 的坐标为.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 + 43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n = 2 + 43n – 1 + p 43n – 1= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列， 则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为，，，若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，所以=，……………12分 化简得（*），因为，所以，，所以，，（*）的 左边，右边，所以（*）式不可能成立， 故数列{a n }中不存在三项，，，使数列，，是等差数列. ……………16分 20．解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即 关于的方程有相异的且均大于1的两根，……………………………………………………2分所以，…………………………………………………………………4分 解得，故实数的取值范围为区间.……………………………6分 (2)①当时， a )时，，，所以 ， b )时，，所以 ……8分 ⅰ当即时，对，，所以 在上递增，所以 ，综合a ) b )有最小值为与a 有关，不符合……10分 ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a ) b ) 有最小值为与a 无关，符合要求．………12分 ②当时， a ) 时，，，所以 b ) 时，，，所以 ，在上递减，所以 ，综合a ) b ) 有最大值为与a 有关，不符合………14分综上所述，实数a 的取值范围是．………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选．做两题．．．，每小题l0分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲证明: 因为EA 是圆的切线,AC 为过切点A 的弦,所以 ∠CAE = ∠CBA . 又因为AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD 所以∠DAE = ∠DAC + ∠EAC = ∠BAD + ∠CBA = ∠ADE所以,△EAD 是等腰三角形,所以EA = ED . ……………………………………………………6分 又EA 2 = EC ·EB ,所以ED 2 = EB ·EC . ……………………………………………………………………………4分 B ．矩阵与变换：解：由题意得，…………………………………………………5分 ，………………………………………10分 C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2 – x +3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2 = 1x 2 + y 2 – x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32)所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2=3即AB = 3.………………………………………………………………………………10分 D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.证明 因为a ,b ,c 为正实数,所以a 3 + b 3 + c 3≥33a 3b 3c 3 = 3abc >0…………………………5分 又3abc + 1abc ≥23abc ·1abc = 2 3.所以a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.…………………………………………………………………10分B C ED A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解 如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ).因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)，BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a ).⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0.即– 12 + a 22 = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分 ⑵由AD → = (0,1,0),M →= (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1).又CP → = ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →> = n ·CP →|n |·|CP →|=22·3= 63. 所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63.……………………………10分 23．解（1）：证明： （ⅰ）当时，因为，33(1)04+-=，所以等式正确. （ⅱ）假设时，等式正确，即， 那么，时，因为， 这说明时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确. ……………………………5分 （2）易知，①当为奇数（）时，，因为，所以，又，所以；②当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以.综上所述，.……………………………10分温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。
2013届高三理科数学综合试卷及答案
2013届高三理科数学综合试卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ）A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i 1i2a +++是实数，则a =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2（3）设a b ∈R ，，集合{}10ba b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（4）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（5）如图，正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45（6）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）A．B ．2C． D ．4（7）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6AB1B1A1D1C C D（8）．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A ．1314 B ．47C ．114D ．37二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分。
9．已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且a ∥b ，则x = 。
10．曲线sin y x =在点（32π）处的切线方程为 ；11．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ．12．已知正方形A B C D ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为_____．从以下三题中选做两题，如有多选，按前两题记分.13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()c o s s i n 2ρθθ+=的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）不等式142x x -<-+的解集是 ．15．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上 一点。
2013年高三数学最后必考题及答案一一
2013年高三数学最后必考题及答案一一本试卷共4页，分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 A ．B ．C ．D ．1·复数31i z i=+复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．在△ABC 中，“30A ∠=”是“1sin 2A =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．集合{}{}|13,|4A x x B y y x =+≤==≤≤．则下列关系正确的是A ．AB R = B ．R A B ⊆餽C ．R B A ⊆餽D ．R R A B ⊆餽餽 4．已知双曲线22221x y a b-=的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是A ．3y x =±B ．3y x =±C ．y =D ．2y x =± 5．已知m ，n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出四个命题：①若,,m n n m αβα=⊂⊥ ，则αβ⊥ ②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ ④若//,////m n m n αβ，则//αβ 其中正确的命题是A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④6．设0(cos sin )xa x x dx =⎰-3x 项的系数为 A ．-20 B ．20 C ．-160 D ．1607．已知函数9()4(1)1f x x x x =-+>-+，当x=a 时，()f x 取得最小值则在直角坐标系 中，函数11()()x g x a+=的大致图象为8．有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图 和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为A ．B ．6+C ．30+D ．429．已知1122log (4)log (32)x y x y ++<+-，若x y λ-<恒成立，则λ的取值范围是A ．(],10-∞B ．(),10-∞C ．[)10,+∞D ．()10,+∞ A ．B ．C ．D ．10．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为A ．14t ≥B ．18t ≥ C ．14t ≤ D ．18t ≤11．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，已知(1)f x +是偶函数(1)'()0x f x -<. 若12x x <，且122x x +>，则1()f x 与2()f x 的大小关系是A ．12()()f x f x <B ．12()()f x f x =C ．12()()f x f x >D ．不确定12．某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[x]表示不大于*的最大整数）可表示为 A ．[]10x y = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y +=第Ⅱ卷 （非选择题共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0 5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB=I ，3AC =,60AB AC =，则OA = ______________。
高三数学综合预测题
2013届高三数学章末综合测试题（20） 计数原理、概率、随机变量及其分布一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1．在1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个解析 B 各位数字之和为奇数必须3个数字都是奇数或两个偶数1个奇数，前者有A 33＝6个，后者有C 13·A 33＝18个，共24个． 2．在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项解析 C T r ＋1＝C r 24(x )24－r⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r 24x 12－56r ，当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数，共5项，故选C.3．商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元0.10.4解析 C 设11时至12时销售额为x 万元，由直方图，得＝2.5x，∴x ＝10. 4．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－10 B ．10 C ．－5D ．5解析 B 对于T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，则含x 4的项的系数是C 25(－1)2＝10.5．在四次独立重复试验中事件出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为 ( )A.13B.35 C.34D.56解析 A 由题意1－(1－p )4＝6581，p ＝13.6．已知某批材料的个体强度X 服从正态分布N (200,182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )(参考数据：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A ．0.997 3B ．0.682 6C ．0.841 3D ．0.815 9解析 B P (200－18<X ≤200＋18)＝0.682 6.7．从4名男生3名女生中选出3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中至少有一名女生，则选派方案共有( )A ．108种B ．186种C ．216种D ．270种 解析 B 不受限制的选法有A 37＝210种，其中全为男生的选法有A 34＝24种，故3人中至少有一名女生的选派方案有210－24＝186种．8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是( )A.310 B.25 C.12D.35解析 C 基本事件为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，∴n ＝10，不相克的事件数为m ＝10－5＝5，∴m n ＝510＝12.9．已知C 7n ＝C 711＋C m11，则m ，n 的值为( )A ．m ＝7，n ＝12B ．m ＝7，n ＝11C ．m ＝6，n ＝11D ．m ＝6，n ＝12解析 D ∵C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，∴n ＝12，m ＝6.10．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为( )A.27B.29C.310D.15解析 B 设第一次抽到中奖券为事件A ，第二次抽到中奖券记为事件B ，则两次都 抽到中奖券为事件AB .则P (A )＝310；P (AB )＝3×210×9＝115；P (B |A )＝P (AB )P (A )＝115310＝29.11．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28解析 C 由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个，其选法有C 12·C 27＝42种；另一类是甲乙都去，其选法有C 22·C 17＝7种，所以共有42＋7＝49种选法．12．选择薪水高的职业是人之常情，假如张伟和李强两人大学毕业有甲、乙两个公司可供选择，现从甲、乙两个公司分别随机抽取了50名员工的月工资资料，统计如下：1 000根据以上的统计信息，若张伟想找一个工资比较稳定的工作，而李强想找一个有挑战性的工作，则他俩分别选择的公司是( )A ．甲、乙B ．乙、甲C ．都选择甲D ．都选择乙解析 A 由表中的信息可知，甲公司的工资标准差远小于乙公司的工资标准差，这表示甲公司的工资比较稳定，张伟想找一个工资比较稳定的工作，会选择甲公司；而乙公司的工资最大值和极差远大于甲公司的工资最大值和极差，李强想找一个有挑战性的工作，会选择乙公司．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)． 解析 易知(1＋x )3，(1＋x )3，(1＋3x )3展开式中x 的系数分别是C 13，C 23，C 33，即 所求系数是3＋3＋1＝7. 【答案】 714．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析 数0向上的概率为36＝12，数1向上的概率为26＝13，数2向上的概率为16，设向上的数字之积为ξ，ξ＝0,1,2,4，P (ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋13×12＋16×12＝34；P (ξ＝1)＝13×13＝19； P (ξ＝2)＝13×16＋16×13＝19；P (ξ＝4)＝16×16＝136. ∴Eξ＝34×0＋19×1＋19×2＋136×4＝49.【答案】 4915．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝____，b ＝____.解析 由题意得，a ＋b ＋c ＋112＝1，①∵EX ＝0， ∴－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，即－a ＋c ＋16＝0，② ∵DX ＝1，∴(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，即a ＋c ＝23，③ 联立①②③解得a ＝512，b ＝14.【答案】512 1416．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是________．解析 试验结果共有36种情况．当x ＝6时，y 有5种情况；当x ＝5时，y 有4种情况；当x ＝4时，y 有3种情况；当x ＝3时，y 有2种情况；当x ＝2时，y 有1种情况．所以P ＝5＋4＋3＋2＋136＝512.【答案】512三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(1)在(1＋x )n 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)⎝⎛⎭⎪⎫x x ＋13x n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项．解析 (1)由已知，得C 2n ＝C 5n ⇒n ＝7.(2)由已知，得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝128,2n －1＝128，n ＝8，而展开式中二项式系数最大的项是T 4＋1＝C 48(xx )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 4＝70x 43x 2. 18．(12分)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？ (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？解析 (1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类计数原理，有10＋12＝22(种)取法．(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：先从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理，有10×12＝120(种)取法．19．(12分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P (ξ>0)＝710.(1)求文娱队的人数；(2)写出ξ的概率分布并计算Eξ.解析 设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队共有(7－x )人，那么只会一项的人数是(7－2x )人．(1)∵P (ξ>0)＝P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝710，∴P (ξ＝0)＝310，即C 27－2xC 27－x ＝310，∴(7－2x )(6－2x )(7－x )(6－x )＝310，∴x ＝2.故文娱队共有5人．(2)P (ξ＝1)＝C 12·C 13C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，ξ的概率分布为：∴Eξ＝0×310＋1×35＋2×110＝45.20．(12分)一台机器由于使用时间较长，生产零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：(1)(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？解析 (1)根据表中的数据画出散点图，如图：(2)设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x ＝12.5，y＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，∴b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.729，a ^＝8.25－0.729×12.5＝－0.863.∴y ∧＝0.729x －0.863.(3)令0.729x －0.863≤10，解得x ≤14.9≈15. 故机器的运转速度应控制在15转/秒内．21．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋中的概率P (A )；(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求ξ＝3的概率和ξ的数学期望Eξ.解析 (1)记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故：P (B )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.(2)显然，随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，34， 故P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫343×14＝2764. ξ的分布列如下：∴Eξ＝0×1256＋1×364＋2×27128＋3×2764＋4×81256＝3.22．(12分)在2012年春运期间，一名大学生要从广州回到济南老家有两种选择，即坐火车或汽车．已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到．若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票．(1)求这名大学生先去买火车票的概率；(2)若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，求ξ的期望值．解析 (1)设先去买火车票的概率为P (A )，先去买汽车票的概率为P (B )，则由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧P (A )＝3P (B )，P (A )＋P (B )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )＝0.75，P (B )＝0.25.即先去买火车票的概率为0.75.(2)该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为0.75×0.6＝0.45， ∴该大学生买汽车票的概率为1－0.45＝0.55.设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：Eξ＝120×0.45＋280×0.55＝208.。
2013届高三理科数学综合测试
高三理科数 学综合测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}{}2,4,5,1,3,5,7A B ==，则()U A C B ⋂=.A {}5 .B {}2,4 .C {}2,4,5,6 .D {}1,2,3,4,5,7 2．下面是关于复数21z i=- 的四个命题:1p :2z =, 2:p 22z i =3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1 其中真命题为 .A 23,p p .B 12,p p .C 24,p p .D 34,p p 3．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是.A 3y x =- .B cos y x = .C y x x = .D x y e =4．要得到函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A 向右平行移动6π个长度单位 .B 向左平行移动6π.C 向右平行移动3π个长度单位 .D 向左平行移动3π个长度单位5．执行如图1所示的程序框图,输出的i 值为.A 5 .B 6 .C 7 .D 86．已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>> 2,双曲线22x y -= 渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个 交点为顶点的四边形的面积为1 椭圆C 的方程为.A 22184xy+= .B 221126xy+= .C221168xy+= .D 221205xy+=7．在长为10cm 的线段A B 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于 线段,AC CB 的长，则该矩形面积大于29cm 的概率为.A 110.B 15.C 310.D 45图18.已知函数()()()22,20,fx x x g x ax a =-=+>对任意的[]11,2x ∈-都存在[]01,2x ∈-,使得()()10,g x f x =则实数a 的取值范围是 .A 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ .B 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .C [)3,+∞ .D (]0,3 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9． 在()7a x +展开式中4x 的系数为35,则实数a 的值为 .10．设,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =-的最大值是 .11．一个几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积为 .12．不等式211x -<的解集为(),a b ,计算定积分)2baxd x=⎰ . 13．将石子摆成如图3的梯形形状.称数列5,9,14,20, 为“梯形数”.根据图形的构成,数列第6项6a =;第n 项n a = .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）图3侧视图图214．（坐标系与参数方程选做题） 已知直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)，圆C 的参数方程为c o s 2s i nx y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C 到直线l 的距离为 .15．（几何证明选讲选做题）如图4，在ABC ∆中， DE //BC ， EF //CD ，若4,2,1BC DE DF ===，则A B 的长为__________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分)在锐角A B C ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、,c 向量()()3,sin ,cos ,1-==B n B m ,且m n ⊥ .(1)求角B 的大小; (2)若ABC ∆22253b ac -=,求,a c 的值.17．(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,如图5是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中收看时间分组区间是:[)[)[)0,10,10,20,20,30,[)30,40,[)40,50,[]50,60.将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）求图中x 的值;（2）从“体育迷”中随机抽取2人，该2人中日均收看该类体育节目时间在区间[]50,60内的人数记为X ，求X 的数学期望()E X .F EDCB A 图4分图518．(本小题满分14分)如图6,在三棱柱ABC -111A B C 中,侧棱与底面垂直,090BAC ∠=,1AB AC AA ==2=,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.（1）证明:1A M ⊥M C ; （2）证明://M N 平面11A AC C ; （3）求二面角N M C A --的正弦值.19．(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 满足,32,5253=-=a a a 又数列{}n b 中,31=b 且()130n n b b n N*+-=∈.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别是n n T S ,,且()23.n n n S T c n+=求数列{}n c 的前n 项和n M ;(3)若n M ()39log 0,14m m m >>≠且对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.20．(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线A M ,A N ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线A M ,A N 的斜率都存在,证明:直线M N 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.21．(本小题满分14分)已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值; (2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+ 都成立.B 1A 1M ABCNC 1图高三理科数学综合测试参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
高三数学 章末综合测试题(18)统计与统计案例、算法初步(2)
2013届高三数学章末综合测试题（18）统计、统计案例一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学月考中，某班有12人在100分以上，30人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会工作人员为参加4×100 m 接力的6支队安排跑道．就这三个事件，恰当的抽样方法分别为( )A ．分层抽样、分层抽样、简单随机抽样B ．分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样C ．分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样D ．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样D 解析：事件①中总人数较多，适合用系统抽样；事件②中有明显的层次差异，适合用分层抽样；事件③中总体的个体数较少，适合用简单随机抽样.2．已知下列各组对应变量：①产品的成本与质量； ②学生的数学成绩与总成绩；③人的身高与脚的长度．其中具有相关关系的组数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0A 解析：由两个变量具有相关关系的含义知，题中三组变量都具有相关关系. 3．对于样本中的频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是( ) A ．频率分布直方图与总体密度曲线无关B ．频率分布直方图就是总体密度曲线C ．样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线D ．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线D 解析：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布直方图就会越来越接近于总体密度曲线.4．在样本的频率分布直方图中，共有n 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于另外n －1个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．35B ．34C ．33D ．32D 解析：由已知设中间小长方形的频率为x ，则5x ＝1，∴x ＝15，∴中间一组频数为15×160＝32.5．某校有高一学生300人，高二学生270人，高三学生210人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取26名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是( )A ．高一学生被抽到的概率最大B ．高三学生被抽到的概率最大C ．高三学生被抽到的概率最小D ．每名学生被抽到的概率相等D 解析：用分层抽样法抽样，总体中每个个体被抽到的概率相等，它与每一层的个体数的多少无关.6．在第29届奥运会上，中国运动员取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力( )A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率C 解析：根据题意，可以列出列联表，计算K 2的值，说明金牌数与体育强国的关系，故用独立性检验最有说服力.7．从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为( )A ．25,60,15B ．15,60,25C ．15,25,60D ．25,15,60A 解析：∵该社区共有家庭150＋360＋90＝600(户)，∴每一户被抽到的概率为100600＝16， ∴三种家庭应分别抽取的户数为150×16＝25,360×16＝60,90×16＝15.8．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64解析：由表知数据在[10,40)上的频数为13＋24＋15＝52，∴其相应的频率为52100＝0.52.答案：C9．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”．利用2×2列联表计算，得K2的观测值k≈3.918.经查对临界值表，知P(k2≥3.841)≈0.05.给出下列结论：①在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.其中正确结论的序号是( )A．①③ B．②④C．① D．③解析：由独立性检验的意义知，当k＞3.841时，就有95%的把握认为所研究的两个事件X与Y之间有关系.答案：C10．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过60 km/h 的汽车数量为( )A．65辆B．76辆C．88辆D．95辆解析：由频率分布直方图可得：设车速为v，当v≥60 km/h时，频率为(0.028＋0.010)×10＝0.038×10＝0.38.∴汽车数量为n＝0.38×200＝76辆.答案：B11．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数是x，方差是s2，则3x1＋5,3x2＋5,3x3＋5，…，3x n＋5的平均数和方差分别是( )A.x，s2B．3x＋5,9s2C ．3x ＋5，s 2D ．3x ＋5,9s 2＋30s ＋25B 解析：∵x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )，s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，∴x ′＝1n [(3x 1＋5)＋(3x 2＋5)＋…＋(3x n ＋5)]3n(x 1＋x 2＋…＋x n )＋5＝3x ＋5，s ′2＝1n[(3x 1＋5－3x －5)2＋(3x 2＋5－3x －5)2＋…＋(3x n ＋5－3x －5)2]＝9n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝9s 2.12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力从4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为( )A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．27,83A 解析：∵频率＝频数100，∴由题意知，前4组的频率成等比数列，后6组的频率成等差数列． 设前4组的频率分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则a 1＝0.1×0.1＝0.01，a 2＝0.3×0.1＝0.03， ∴公比q ＝3， ∴a ＝a 4＝a 1q 3＝0.01×33＝0.27，设后6组的频数分别为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，公差为d ， 则b 1＝0.27×100＝27，∴b 1＋b 2＋…＋b 6＝6b 1＋6×52d ＝6×27＋15d ＝162＋15d .又∵b 1＋b 2＋…＋b 6＝100－(0.01＋0.03＋0.09)×100＝87， ∴162＋15d ＝87，d ＝－5，∴b ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝4×27＋4×32×(－5)＝78.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．某学校有初中一1 080人，高中生900人，教师120人，现对学校的师生进行样本容量为n 的分层抽样调查，已知抽取的高中生为60人，则样本容量n ＝__________.解析：由题意，得60900＝n 1 080＋900＋120，故n ＝140.答案：14014．一个高中研究性学习小组对本地区2002年到2004年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如下图)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭__________万盒．解析：由题意得这三年中该地区每年平均销售盒饭为(30×1.0+45×2.0+90×1.5)=10+30+45=85(万盒)．答案：8515．已知一个样本中各个个体的值由小到大依次为：4,6,8,9，x ，y,11,12,14,16，且其中位数为10，要使该样本的方差最小，则x ，y 的取值分别为__________．解析：由题意，样本容量为10，其中位数为x ＋y2＝10，即x ＋y ＝20，∴样本平均数为x ＝110(4＋6＋8＋9＋x ＋y ＋11＋12＋14＋16)＝10.∵s 2＝110[(4－x )2＋(6－x )2＋…＋(x －x )2＋(y －x )2＋(11－x )2＋…＋(16－x )2]，∴要使方差最小，x ＝y ＝x ＝10. 答案：10,10 16．给出下列命题：①样本标准差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度，标准差越大，偏离程度越大； ②在散点图中，若点的分布是从左下角到右上角，则相应的两个为量正相关；③回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中截距a ^＝b ^y －x ；④第11届全运动会前夕，政府在调查居民收入与来济观看全运会的关系时，抽查了3 000人．经济计算发展K 2的观测值k ＝6.023，则根据这一数据查阅下表，说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为居民收入与来济观看全运会存在关系.解析：①由样本标准差的定义可知正确； ②根据两个变量正相关的概念知正确；③由回归地线主程b ^与a ^的关系知③不正确；④经过计算发现k ＝6.023，则根据这一数据查阅上表，k ＝6.023＞5.024，说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为居民收入与来济观看全运会存在关系．答案：①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)吸烟有害健康，现在很多公共场所都明令禁止吸烟．为研究是否喜欢吸烟与性别之间的关系，在某地随机抽取400人调研，得到列联表：(参考公式及数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，P (K 2＞3.841)＝0.05，P (K 2＞6.635)＝0.010， P (K 2＞10.828)＝0.001)解析：由列联表中的数据得k ＝400×(120×180－20×80)2140×260×200×200≈109.890＞10.828.∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否喜欢吸烟与性别有关”． 18．(12分)为备战2010年广州第十六届亚运会，某教练对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得它们的最大速度(m/s)的数据如下：解析：x ＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，x 乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.他们的平均速度相同，再看方差及标准差：s 甲2＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473， s 乙2＝16[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383.则s 甲2＞s 乙2，即s 甲＞s 乙．故乙的成绩比甲稳定．所以，应选乙参加亚运会．19．(12分)我国是世界上缺水严重的国家之一，如北京、天津等大城市缺水尤其严重，所以国家积极倡导节约用水．某公司为了解一年内用水情况，抽查了10天的用水量如下表：(1)这10天中，该公司用水的平均数是多少？ (2)这10天中，该公司每天用水的中位数是多少？(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每天的用水量？ 解析：(1)x ＝22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×9510＝51(t)．(2)中位数＝41＋442＝42.5(t)．(3)用中位数42.5 t 来描述该公司的每天用水量较合适， 因为平均数受极端数据22、95的影响较大．20．(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如右图．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解析：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～179之间．因此乙班平均身高高于甲班；(2)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A ，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学们有：(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178,173)、(178,176)、(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件：(181,176)、(179,176)、(178,176)、(176,173)． ∴P (A )＝410＝25.21．(12分)某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应关系：(1)假定y 与x (2)若实际销售额不少于60百万元，则广告费支出应不少于多少？ 解析：(1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.∑5i ＝1x i 2＝145，∑5i ＝1x i y i ＝1 380. 设所求回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )∑5i ＝1 (x i －x )2＝∑5i ＝1x i y i －5xy ∑5i ＝1x i 2－5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5. a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5.(2)由回归方程，得y ^≥60，即6.5x ＋17.5≥60，解得x ≥8513，故广告费支出应不少于8513百万元．22．(12分)为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：(1)求出表中m ，n ，M ，N 所表示的数分别是多少？ (2)画出频率分布直方图；(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5以上的概率．解析：(1)M ＝10.02＝50，m ＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N ＝1，n ＝m M ＝250＝0.04. (2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示频率/组距，横轴表示身高，画出直方图如下图所示．(3)身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多，估计身高在161.5以上的概率为。
2013届高三数学 章末综合测试题(4)三角函数、解三角形(1)
2013届高三数学章末综合测试题（4）三角函数、解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35解析 B 由⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜α＜π2＋2k πk ∈Z ，sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35.2．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析 A sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1， 又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形． 3．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49解析 D 由S △ABC ＝12·AB ·AC sin 60°＝43AB ＝2203，得AB ＝55，再由余弦定理，有BC 2＝162＋552－2×16×55×cos 60°＝2 401，得BC ＝49. 4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( )A ．sin(α＋β)>sin α＋sin βB ．cos(α＋β)>cos αcos βC ．sin(α＋β)>sin(α－β)D ．cos(α＋β)>cos(α－β) 解析 C ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcosβ－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)． 5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电 视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析 B 如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝AB sin 30°sin 45°＝3 2.故选B.(2011·威海一模)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析 D ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，m ＝2.∵T ＝π2，∴ω＝2πT ＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.∵x ＝π3是其对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3＋φ＝±1.∴4π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)．∴φ＝k π－5π6(k ∈Z)． 当k ＝1时，φ＝π6，故选D.7．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A ．0 B.π4 C.π2D ．π解析 C 当φ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，而y ＝cos 2x 是偶函数．8．在△ABC 中“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“C ＝90°”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 B C ＝90°时，A 与B 互余，sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ，有cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B 成立；但当A ＝B 时，也有cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B 成立，故“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“C ＝90°”的必要不充分条件．9．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 D ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，又∵b 2＝ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴2b ＝a ＋c ＝2a ， ∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .10．f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝1处取最大值，则( ) A ．f (x －1)一定是奇函数 B ．f (x －1)一定是偶函数 C ．f (x ＋1)一定是奇函数D ．f (x ＋1)一定是偶函数解析 D ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝1处取最大值，∴f (x ＋1)在x ＝0处取最大值，即y 轴是函数f (x ＋1)的对称轴，∴函数f (x ＋1)是偶函数． 11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除解析 A 令x ＝0B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.12．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或10解析 C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg10a ＋lg1a1－lg 10a ·l g1a＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2011·黄冈模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所 示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________. 解析 由图象可得最小正周期为2π3. 所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，故f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】 2314．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为________．解析 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，得a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴2cos C ＝1.∴C ＝60°. 又∵ab ＝4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin 60°＝ 3.【答案】315．在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的 高度为________m.解析 轴截面如图，则光源高度h ＝15tan 60°＝53(m)．【答案】 5 316. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝________.解析 记相应的三个圆的圆心分别是O 1，O 2，O 3，半径为r ，依题意知，可考虑特殊情 形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知 有α1＝α2＝α3＝2π－2π3＝4π3，此时cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 【答案】 －12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lg sin B ＝lg 22，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解析 ∵lg sin B ＝lg 22，∴sin B ＝22， ∵B 为锐角，∴B ＝45°. 又∵lg a －lg c ＝lg22，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22，∴2sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )，即sin C ＝sin C ＋cos C ，∴cos C ＝0，∴C ＝90°， 故△ABC 为等腰直角三角形．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期是π2. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合． 解析 (1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋sin 2ωx ＋1 ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2，此时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos Cc.(1)求角C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．解析 (1)因为a sin A ＝c sin C ，sin A a ＝3cos Cc，所以sin C ＝3cos C ．所以tan C ＝ 3. 因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12ab ＝4，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12.所以c 的值为2 3.20．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m∥n . (1)求角A 的大小；(2)求y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域．解析 (1)由m∥n 得(2b －c )·cos A －a cos C ＝0. 由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0. 所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， 即2sin B cos A －sin B ＝0.因为A ，B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)y ＝2sin 2B ＋cos π3cos 2B ＋sin π3sin 2B＝1－12cos 2B ＋32sin 2B＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1.由(1)得0<B <2π3，所以－π6<2B －π6<7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 21．(12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的周期和单调增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解析 (1)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1， ∴－1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ，∴φ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z)，又φ∈(－π，0)，∴φ＝－3π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4.(2)由题意，T ＝2π2＝π，由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．(3)f (x )在[0，π]上的图象如图：22．(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，π4<α<3π4.(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)求sin α的值．解析 (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且π4<α<3π4，∴0<α－π4<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝7210.。
2013届高三综合试卷数学(理科)
贺兰一中2013届高三年级综合测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. ）1． 300cos 的值是( ) A ．21B ．21- C ．23 D ．23-2．已知集合}121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A且≠B φ，若A B A =⋃则( ) A ．43≤≤-m B ．43<<-m C ．42<<mD ．42≤<m3．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于( )A ．17B. 7C. 17- D. 7-4. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm5. 已知a>0,b>0，则ab ba 211++的最小值为( )A ．2 B. 22 C. 4 D. 256. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=,)31(x那么)21(f 的值是( )A ．33 B ．－33 C ．3 D ．－37. 设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A ．4)11)((≥++bab a B ．b a b a 22222+≥++C ．3223b ab b a a +≥+D ．b a b a -≥-8．凸多边形各内角依次成等差数列，其中最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于（ ）A ．16B ．9C ．16或9D ．129．已知函数a x x x f ++=2sin 3cos 2)(2（a 为常数）的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，)(x f 的最大值为6，则a 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610. 已知向量)4,(),2,1(x b a ==，若向量a∥b，则x=( )A. 21-B.21 D. -2 D. 211. 不等式a a x x 3|1||3|2-≤--+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．),4[]1,(+∞⋃--∞ B ．),5[]2,(+∞⋃--∞C ．]2,1[D ．),2[]1,(+∞⋃-∞12. 已知0,1||,1||=⋅==OB OA OB OA ，点C 在AOC ∠30o =的边AC 上，设),(+∈+=R n m OB n OA m OC ，则m n等于( )A.13B. 3C.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 132=2=，a 与b 的夹角为 45，要使λ-b a 与a 垂直，则λ=14. 如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角为15． 已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 。
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2013届高三数学章末综合测试题
导数及其应用
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．曲线y ＝13
x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23
2．函数y ＝4x 2＋1x
的单调增区间为( ) A ．(0，＋∞)
B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭
⎫－∞，－12 3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2
处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2
，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－12
5．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( )
A ．a ＞3
B ．a ≥3
C ．a ＜3
D ．a ≤3 6．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )
A ．f (1)与f (－1)
B ．f (－1)与f (1)
C ．f (2)与f (－2)
D ．f (－2)与f (2)
7．若函数f (x )＝13x 3＋12
f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )
A.π4
B.π3
C.2π3
D.3π4
8．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )
9．若函数f(x)在R上满足f(x)＝e x＋x2－x＋sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是()
A．y＝2x－1 B．y＝3x－2 C．y＝x＋1 D．y＝－2x＋3
10．如图，函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是()
A．在(－2,1)内f(x)是增函数
B．在(1,3)内f(x)是减函数
C．在(4,5)内f(x)是增函数
D．在x＝2时，f(x)取到极小值
11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()
A.4
27
、0 B．0、
4
27
C．－
4
27
、0 D．0、－
4
27
12．如右图，若函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝()
A．1 B．2
C．3 D．4
第Ⅱ卷(非选择共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．设P 为曲线C ：y ＝x 2
－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．
14．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．
16．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．(填写正确命题的序号)
①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减；
②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减；
③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值；
④当x ＝7时，函数f (x )有极小值．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )．
(1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；
(2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值．
18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12
x 2＋bx ＋c . (1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；
(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．
19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1
(x ∈R )． (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值．
20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12
)x 2＋ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．
21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x
，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线．
(1)求a ，b 的值；
(2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．
22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x
＝1时，f (x )取极小值－23
. (1)求a ，b ，c ，d 的值；
(2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43
.。