《2.2.1对数与对数的运算(3)》导学案2
《2.2.1对数与对数运算(3)》导学案
《2.2.1对数与对数运算（3）》导学案班次 姓名【学习目标】其中2、3是重点和难点1、能较熟练地运用对数运算性质推导对数换底公式。
2、掌握对数换底公式的应用，加强数学应用意识的训练。
3、将实践问题如何转化为数学问题。
【课前导学】预习教材第66-67页，找出疑惑之处，完成新知学习。
1、根据对数的定义可推导换底公式log a b = 。
2、换底公式的2个推论：log log m n a a n b b m=；1log log a b b a = 3、对数运算、对数换底公式的应用，阅读教材P66、67页例5、6题。
【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示。
探究1：你能推导对数换底公式吗？log log log c a c b b a=（0a >且1a ≠；0c >且1c ≠；0b >） 探究2：运用对数换底公式推导下列结论：log log m n a a n b b m =；1log log a b b a = 例1．已知lg 2,lg3a b ==，求下列各式的值：（1）lg 6； （2）3log 4； （3）2log 12； （4）3lg 2探究3：初步建模思想，用数学结果解释现象。
例2、 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。
这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差） （Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）例3、生物机体内碳14的按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（Ⅰ）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？结论：P 和t 之间的对应关系是一一对应，P 关于t的指数函数(t P =。
对数与对数运算教案2
对数与对数运算教案2中鸿智业2.2 对数函数“对数”一节主要介绍对数的概念、对数式与指数式的相互转化、对数的运算法则和性质以及换底公式.对数概念的理解是本节教学的重点和难点.在式子aN=b中，知道底数a和指数N求幂值b，是上节内容中的指数问题，知道底数a和幂值b求指数N，就是本节研究的对数问题.教学中要抓住指数和对数的关系这一关键，同时结合实际问题引入，有利于培养学生应用数学解决实际问题的意识.其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明、验证.对数作为一种运算，除了认识运算符号“log”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，因此对数法则的推导可以借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了对指数式和对数式的关系的认识，自然应成为本节的重点，应特别予以关注.换底公式是我们进行对数式的化简与求值过程中一个很重要的角色，教学中首先应明确它的推导过程以及公式存在的合理性，同时也应该认清这一公式的结构特征，为灵活运用公式打下坚实的基础.有了学习指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成.对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受.在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为（0，+∞）的理解.在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响（即对对数函数单调性的影响）是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解.为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y=log2x和y=logx的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y=logax的图象，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质.研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作一些准备.2.2.1 对数与对数运算（1）从容说课本课是对数学习的第一课时，首先从人口问题中引出对数的概念，让学生感受到对数的现实背景，使学生认识引进对数的必要性，激发学生学习的兴趣.本课主要学习对数的概念、指对数式的相互转化，同时，让学生了解常用对数以及自然对数的概念和记法，并尝试推导两个对数恒等式.本课的教学重点是理解对数式和指数式之间的关系以及对数式和指数式的相互转化.本课的教学难点是对数概念的理解以及对数符号的理解.对于对数概念的学习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别.结合指数式理解对数式的底数a和真数N的限制条件，对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明、验证，同时还可借助计算器或计算机计算真数为负数的情况，计算器或计算机会提示出错信息，以加深学生对“负数和零没有对数”的理解.对数首先作为一种运算，是由ab=N引出的，在这个式子中已知一个数a和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂值求指数就是对数运算（已知指数和幂值求这个数的运算就是开方运算），从方程角度来看，这个式子中有三个量，知二求一，恰好可以构成以上三种运算，这样引入对数运算是很自然，也是很重要的，这就完成了对ab=N的全面认识.此外，对数作为一种运算，除了认识运算符号“log”以外，更重要的是把握其运算法则.由于对数与指数在概念上相通，因此对数运算法则的推导可以借助指数运算法则来完成，在推导过程中可加深对指数式和对数式之间的关系的认识.对于对数运算符号的认识与理解是同学们认识对数的一个障碍，教学中可以将“log”与其他符号如“+”“”等符号进行比较，指出“log”和“+”“”等符号一样都表示一种运算，不过对数运算的符号写在有关数的前面而已.一开始学生会不习惯，在认识上感到有些困难，教学中可以多次组织学生使用这一运算符号，帮助学生突破这一障碍.三维目标一、知识与技能1.理解对数的概念.2.理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.3.了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.二、过程与方法1.通过探究对数的概念以及对数式和指数式之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性，感受化归的数学思想，使学生能用相互转化的观点辩证地看问题.2.通过计算器或计算机的演示，使学生加深对“N＞0”的理解，培养学生数学地分析问题的意识.3.通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力.三、情感态度与价值观1.通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.3.通过指导学生阅读“对数的发展史”不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.教学重点1.对数式和指数式之间的关系.2.对数的概念以及对数式和指数式的相互转化.教学难点对数概念的理解以及对数符号的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、计算器或计算机、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体投影我国人口增长情况分析图，并显示如下材料）截止到底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）师：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则y=13×1.01x.我们能从这个关系式中算出任意一个年头x的人口总数.反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”该如何解决？（生思考，师组织学生讨论得出）由y=1.01x的图象可求出当y=、、时，相应的x的值，实际上就是从1.01x=，1.01x=，1.01x=……中分别求出x.师：根据指数的有关知识，在关系式1.01x=中，要我们求解的量在什么位置？生：在等式左边的指数位置上.师：那么，要求x的值，也就是让我们求指数式中的哪一个量？生：求指数x.师：这样，就出现了与前面学习指数时不同的一类问题——已知指数式的底数和幂值，求指数式的指数，这就是我们本节课所要研究的对数问题.（引入新课，书写课题——对数）二、讲解新课（一）介绍对数的概念合作探究：若1.01x=，则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？（生合作探究，师适时归纳总结，引出对数的定义并板书）一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.合作探究：根据对数的概念写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确.师：你如何理解“log”和logaN？（生探讨，得出如下结论）知识拓展：符号“log”与“+，”等符号一样表示一种运算，logaN是一个整体，表示以a为底N的对数，不表示log、a、N三者的乘积.读作以a为底N的对数，注意a应写在右下方.（二）概念理解合作探究：对数和指数幂之间有何关系？（生交流探讨得出如下结论）aNb指数式ab=N（底数）（幂）（指数）对数式logaN=b（对数的底数）（真数）（对数）说明：括号内属填空、选择的题目.合作探究：是不是所有的实数都有对数呢？在对数式logaN=b 中，真数N可以取哪些值？为什么？（生讨论，结合指数式加以解释）∵在指数式中幂N=ab＞0，∴在对数式中，真数N＞0.（师借助计算器或计算机进行示范）可以发现真数为负数时，计算器会提示出错信息.师：条件N＞0说明了什么？生：负数与零没有对数.合作探究：根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，试求loga1和logaa（a＞0，且a≠1）的值.（生根据对数式和指数式之间的关系，得出如下结论）∵对任意a＞0且a≠1，都有a0=1，∴loga1=0.同样，∵对任意a＞0且a≠1，都有a1=a，∴logaa=1.合作探究：a=N、logaab=b是否成立？（师生共同讨论，给出如下解释）（1）设a=x，则logaN=logax，所以x=N，即a=N.（2）∵ab=ab，∴logaab=b（对数恒等式）.师：对数运算在研究科学和了解自然中起了巨大的作用，其中有两类对数贡献最大，它们就是自然对数和常用对数.（师指导学生阅读课本第57页常用对数和自然对数的概念和记法，然后板书）（三）常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，如log102、log1012等，并把对数log10N简记为lgN，如lg2、lg12等.（四）自然对数在科学技术中，常常使用以e（e=2.71828…是一个无理数）为底的对数，这种对数称为自然对数.正数N的自然对数logeN一般简记为lnN，如ln2、ln15等.（五）例题讲解师：我们已经对对数的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面练习吗？（投影显示如下例题）【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625；（2）2－6=；（3）（）m=5.73；（4）log16=－4；（5）lg0.01=－2；（6）ln10=2.303.方法引导：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.（生口答，师板书）解：（1）log5625=4；（2）log2=－6；（3）log5.73=m；（4）（）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e2.303=10.【例2】求下列各式中的x的值：（1）log64x=－；（2）logx8=6；（3）lg100=x；（4）－lne2=x.（师生共同讨论，师板书）（1）因为log64x=－，所以x=64=（43）=4－2=；（2）因为logx8=6，所以x6=8，x=8=（23）=2=；（3）因为lg100=x，所以10x=100，10x=102，于是x=2；（4）因为－lne2=x，所以lne2=－x，e2=e－x，于是x=－2.方法小结：在解决对数式求值问题时，若不能一下子看出结果，根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质求出结果.（六）目标检测课本P74练习第1，2，3，4题.（生完成，师组织学生进行课堂评价）解答：1.（1）log28=3；（2）log232=5；（3）log2=－1；（4）log27=－.2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=；（4）3－4=.3.（1）设x=log525，则5x=25=52，所以x=2；（2）设x=log2，则2x==2－4，所以x=－4；（3）设x=lg1000，则10x=1000=103，所以x=3；（4）设x=lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x=－3.4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.三、课堂小结师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得哪些知识你已经掌握？哪些东西你还没有掌握？（生总结，并互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）1.对数的定义及其记法；2.对数式和指数式的关系；3.自然对数和常用对数的概念.四、布置作业课本P86习题2.2A组第1、2题.板书设计1.对数的定义2.对数式和指数式的关系3.自然对数和常用对数的概念一、例题解析及学生练习例1例2。
对数与对数运算教案三课时
2.2.1 对数与对数运算（三课时）教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 4．对数的初步应用.教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导第一课时 对数的概念教学过程：（一）、自学引导让学生自学课本62、63页，并完成以下练习① 一般地，若(0,1)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的______ 记作log a x N =，a 叫做对数的_____，N 叫做______.称xa N =为_______，称log a x N =为________.②<=>N ax=________________________________.③指数式化为对数式：114433==0010141==41010000=（二）、教师精讲（1）（说一说）对数的文化意义对数发明是17世纪数学史上的重大事件，为什么呢？大家一起来看一下 投影：恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世 纪数学史上的3大成就。
伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。
布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。
对数的发明让天文学家欣喜若狂，这是为什么？ 我们将会发现，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数的运算。
这些都非常有趣。
那么，什么是对数？对数真的有用吗？对数如何发现？我们带着这些问题，一起来探究对数。
（对数的导入）为了研究对数，我们先来研究下面这个问题： （P62思考）根据上一节的例8我们能从13 1.01x y =⨯中，算出任意一个年头x 的人口总数，那么哪一年的人口达到18亿，20亿，30亿？（停顿让学生思考） 即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？（2）（讲一讲）对数概念在这三个式子中，都是已知（停顿）底数和幂，求指数x 。
高中数学第二章对数函数2.2.1对数与对数运算第2课时对数的运算学案(含解析)新人教版
第2课时 对数的运算学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重点).2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重点).知识点1 对数的运算性质 若a >0且a ≠1，M >0，N >0，则有： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a M N＝log a M －log a N . (3)log a M n＝n log a M (n ∈R ).【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差.( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log a (－2)3＝3log a (－2).( )提示 (1)√ 根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)× 根据对数的运算性质可知log a (xy )＝log a x ＋log a y ； (3)× 公式log a M n＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数. 知识点2 换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0).【预习评价】(1)log 35·log 56·log 69＝________.(2)若log 34×log 48×log 8m ＝log 416，则m ＝________. 解析 (1)原式＝lg 5lg 3·lg 6lg 5·lg 9lg 6＝lg 9lg 3＝2lg 3lg 3＝2.(2)原方程可化为lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg mlg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.答案 (1)2 (2)9题型一 利用对数的运算性质化简、求值 【例1】 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解 (1)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10 ＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 规律方法 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法 (1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 【训练1】 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3（4－3）lg 3＝115. 题型二 利用换底公式化简、求值【例2】 (1)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________； (2)已知log 189＝a ，18b＝5，用a ，b 表示log 3645的值. (1)解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝5lg 36lg 2×3lg 22lg 3＝54. 答案 54(2)解 法一 ∵log 189＝a ，18b＝5，∴log 185＝b . 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 法二 ∵log 189＝a ，18b＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a . 法三 ∵log 189＝a ，18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18. ∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.规律方法 利用换底公式化简与求值的思路【训练2】 (1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值. 解 (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2alg 3.∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a ＝4（3－a ）3＋a.(2)法一 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28· ⎝⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52) ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·3log 52＝133×3＝13.题型三 利用对数式与指数式的互化解题 【例3】 (1)设3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值；(2)已知2x ＝3y ＝5z，且1x ＋1y ＋1z＝1，求x ，y ，z .解 (1)法一 由3a ＝4b＝36， 得a ＝log 336，b ＝log 436，由换底公式得1a ＝log 363，1b＝log 364，∴2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1.法二 由3a ＝4b＝36， 两边取以6为底数的对数，得a log 63＝b log 64＝log 636＝2，∴2a ＝log 63，1b ＝12log 64＝log 62， ∴2a ＋1b＝log 63＋log 62＝log 66＝1.(2)令2x ＝3y ＝5z＝k (k >0)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 5，由1x ＋1y ＋1z＝1，得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1，∴k ＝30，∴x ＝log 230＝1＋log 215，y ＝log 330＝1＋log 310，z ＝log 530＝1＋log 56. 规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k (k >0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.【训练3】 已知3a ＝5b＝M ，且1a ＋1b＝2，则M ＝________.解析 由3a ＝5b＝M ，得a ＝log 3M ，b ＝log 5M ，故1a ＋1b＝log M 3＋log M 5＝log M 15＝2，∴M ＝15. 答案15课堂达标1.lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( )A.lg 2B.lg 3C.lg 4D.lg 5解析 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A. 答案 A2.已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A.a －2 B.5a －2 C.3a －(1＋a )2D.3a －a 2解析 原式＝log 323－2log 32－2log 33＝log 32－2＝a －2. 答案 A3.若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________.解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg b lg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81.答案 814.已知2m ＝5n＝10，则1m ＋1n＝________.解析 因为m ＝log 210，n ＝log 510， 所以1m ＋1n＝log 102＋log 105＝lg 10＝1.答案 15.求下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2. 解 (1)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二 原式＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18 ＝lg14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32（lg 2＋lg 3）＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12.课堂小结1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数.换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).基础过关1.若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则ab 的值等于( ) A.2 B.12 C.100D.10解析 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得：lg a ＋lgb ＝－－42＝2，∴ab ＝100.故选C. 答案 C2.化简12log 612－2log 62的结果为( )A.6 2B.12 2C.log 6 3D.12解析 原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 答案 C3.已知2a＝3b＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( ) A.6 B.9 C.12D.18解析 ∵2a ＝3b＝k (k ≠1)，∴a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，∴1a ＝log k 2，1b＝log k 3.∵2a ＋b ＝ab ，∴2b ＋1a＝2log k 3＋log k 2＝log k 9＋log k 2＝log k 18＝1，∴k ＝18.答案 D4.计算10012lg 9－lg 2－log 98·log 433＝________.解析 10012lg 9－lg 2－log 98·log 433＝10lg 9÷10lg 4－lg 8lg 9·13lg 3lg 4＝94－3lg 22lg 3·13lg 32lg 2＝94－14＝2. 答案 25.已知3a ＝2，3b＝15，则2a －b ＝________.解析 ∵3a ＝2，3b＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35，∴2a －b ＝2log 32＋log 35＝log 320.故答案为log 320. 答案 log 3206.计算下列各式的值：(1)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72； (2)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53.解 (1)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.(2)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7. 7.设3x ＝4y ＝6z＝t >1，求证：1z －1x ＝12y .证明 法一 ∵3x＝4y＝6z ＝t >1， ∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg t lg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y . 法二 ∵3x＝4y＝6z ＝t >1， 两边同时取以t 为底的对数， 得x log t 3＝y log t 4＝z log t 6＝1， ∴1z ＝log t 6，1x ＝log t 3，1y＝log t 4，∴1z －1x ＝log t 6－log t 3＝log t 2＝12log t 4＝12y. 能力提升8.已知x ，y 为正实数，则( )A.2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB.2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD.2lg(xy )＝2lg x·2lg y解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy ).故选D.答案 D9.已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( )A.3B.8C.4D.log 48解析 由2x＝3得：x ＝log 23，∴x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2log 283log 24＝log 23＋(3log 22－log 23)＝3. 答案 A10.已知x 3＝3，则3log 3x －log x 23＝________.解析 3log 3x ＝log 3x 3＝log 33＝1，而log x 23＝log3233＝log 3332＝32，∴3log 3x －log x 23＝1－32＝－12. 答案 －1211.已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝4，则f (2 016)＝________.解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫12 016＝a log 212 016＋b log 312 016＋2＝4，得－a log 22 016－b log 32 016＝2.∴a log 22 016＋b log 32 016＝－2.∴f (2 016)＝a log 22 016＋b log 32 016＋2＝－2＋2＝0. 答案 012.求值：(1)lg 5＋lg 20； (2)log 89·log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57.解 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. (2)log 89·log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109.13.(选做题)2016年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2016年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年).解 设经过x 年国民生产总值为2016年的2倍. 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， ∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x ·lg 1.08＝lg 2. ∴x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9.故约经过9年，国民生产总值是2016年的2倍.。
2.2.1 对数与对数运算导学案
推论3： ＝__________(a＞0，a≠1，b＞0).
【对应练习】(4)已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝__________.
(5) log23·log35·log58＝_________.
【对应练习】(2)已知对数式log(4－a)(2a－1)，求a的取值范围_____________.
3.把指数式a0＝1，a1＝a，ar＝ar(其中a＞0，且a≠1)写成对数式的结果是什么？可以得出什么结论？
【知识归纳】1的对数为0；底数的对数为1，底数的r次幂的对数为r，进一步说明了求对数就是求指数的运算.
5.对数式log10b，logeb(e≈2.71828)可以写成什么形式？
【知识归纳】通常以10为底的对数叫做____________，记作lgb；将以e为底的对数称为___________，记作lnN，其中e为无理数，且e＝2.718 28….
【拓展知识】e是一个极限， .
【对应练习】(6)已知－lne2＝x，则x＝______；lg100＝______，100lge＝_______.
2.对数运算性质1：loga(M·N)＝logaM＋logaN，你能证明这个式子成立吗？式子成立的前提又是什么？
【知识归纳】积的对数等于对数的和：loga(M·N)＝logaM＋logaN(________________).
【对应练习】(1)log36＋log3＝________；lg2＋lg5＝_______.
二、例题精讲
1.计算下列各式：
(1) log210－log25＝________；(2) log73＋log7＝________；
探究式导学案3：2.2.1第2课时 对数的运算
2.2.1 第二课时 对数与对数运算自主学习1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学引导1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝______________；(2)log a M N ＝____________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________________.1.正确理解对数运算性质【例1】 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x ＋ log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④2.对数运算性质的应用【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 22－lg 2＋1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.3.换底公式的应用【例3】 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.课后作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b b C.a a ＋b D.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝______________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝____________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.参考答案1．(1)log a M＋log a N(2)log a M－log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a对点讲练 【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．]变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有 M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]【例2】 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋lg 2－12＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.【例3】 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a－1)＝21－a a . 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 75 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b,又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 1818×2＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋1－log 189＝b 2－a.。
2.2.1对数与对数运算导学案
2.2.1 对数与对数运算导学案【学习目标】理解对数的含义及对数的运算.【教学重点】：（1）对数的定义；（2）指数式与对数式的互化【教学难点】：推导对数性质一、问题引入：（1）32= (2) 83=a ,则a = (3)2002年我国GDP 为a 亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年GDP 是2002年的2倍？二、辅导自学阅读课本62页内容，完成下列内容：1、对数的概念：一般地，如果那么数x 叫做以 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 。
注意：底数的限制： ;真数的限制：2、两个重要对数（1）常用对数：以 为底的对数，简记为 ；（2）自然对数：以 为底的对数，简记为 ；3、对数与指数的互化：三、例题分析例1：将下列对数式写成指数式。
（1）532log 2= （2）4811log 3-= （3）31000lg = （4）381log 2-=()10≠>=a a N a x 且N 10log N e log例2：将下列指数式写成对数数式。
（1）62554= （2）64126-= （3）73.531=m ）（例3：求下列各式x 的值：（1）32log 64-=x (2)68log =x (3)x =100lg四、探究活动（对数的性质））探究1：求下列各式的值：（1） （2） （3）探究2：求下列各式的值：（1） （2） （3）探究3：1、求下列各式的值：（1） （2）1log 33log 36.0log 772、求下列各式的值：（1）； （2）； （3）思考：你发现了什么？归纳：1、“1”的对数等于 ，即=1log a，类比 2、底数的对数等于“1”，即=a a log 3、对数恒等式：4、对数恒等式：5、 和 没有对数。
【巩固训练】1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16; （2）30=1; （3）4x ＝2 （4）2x ＝0.5;(5)54=625 (6)3-2= (7)()-2=16. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)x ＝log 527 (2)x ＝log 87 (3)x ＝log 43(4)x ＝log 7; (5)log 216=4; (6)log27=-3;433log 410lg 10=a 9141313.求下列各式中x的值:(1)log8x=(2)logx27=3(3)log2（log5x）=1 (4)log3（lgx）=0 32。
高中数学《对数与对数运算》导学案
第二章 基本初等函数§2.2.1对数与对数运算一、【学习目标】1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化；2. 熟练运用对数的运算性质，掌握化简,求值的技巧。
【重点、难点】对数的概念和指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用；对数概念的理解，对数运算化简、求值技巧。
二、学习过程【情景创设】1. 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质；2. 结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质。
【导入新课】1. 对数的概念一般地，若 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2. 指数式与对数式的互化 log x a a N N x =⇔=3. 两种特殊的对数（1） 对数10log lg N N 记为（2） 对数e log ln N N 记为(e=2.71828…)4. 结论（1） 没有对数（2）1的对数为 ，同底的对数为 ，即log 10,log 1.a a a ==5. 对数的运算性质（1）log log log a a a M N MN += （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠）（2）log log log a a a M M N N-= （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠） （3）log log n a a n M M = （0M >， 0N > ， 0a >且1a ≠ ， n N +∈）三、典例分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m =(4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12log 164=-例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式。
（1）log a xy z （2）log a例3 求下列各式的值。
（1）752log (42)⨯ （2）【变式拓展】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：2(1)416= 21(2)39-= 1(3)()53m =255(4)log 2= 412(5)log 2=- 11000(6)log 3=-2．计算下列各式的值（1）23log (279)⨯ （2）7log （3）7lg142lg lg 7lg183---（4）lg 243lg9 （5四、总结反思1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互。
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《2.2.1对数与对数的运算（3）》导学案2
学习目标
1.了解对数的换底公式及其推导；
2.能应用对数的相关公式进行化简、求值、证明；
学习重点
应用对数运算性质，公式化简求值
学习难点
换底公式，N a N a =log 公式的证明
学习过程
一．自主复习
1.指数式与对数式的互化：⇔=N a x
2.对数的性质：(1) 和 没有对数.
(2)=1log a ；=a a log .
3. 对数恒等式： =n a a log ； =n a a log ．
4.对数的运算法则：如果 a ＞0，a ≠ 1，M ＞0， N ＞0 有： =)(log MN a ，=N M a
log ，=n a M log ． 二．新课
1．对数的换底公式：a
N N b b a log log log =
； 证明：
换底公式的口诀： 换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子. 2.对数的倒数公式：a b b a log 1log =
3．对数恒等式：
(1)N N a n a n log log =； (2)N N a m n n a m log log =
；
(3)1log log =⋅a b b a ．
反思：如何证明对数的倒数公式和对数恒等式？(利用换底公式)
计算：
=355log 2 ；=10log 10
1 ；=•2log 3log 34
三．典型例题：
例1．计算.(1);25log 20lg 100+ (2) 3log 12.05+； (3)4log 16log 327.
例2．已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用b a ，表示42log 56.
四．练习：求下列各式的值
(1)3log 33
3558log 932log -2log 2-+
(2)5lg 2
15lg 2lg )2(lg 2+
+
(3) 375754log 3
1log 9
log 2log ••(4)112lg 1000lg 8lg 27lg --+
(5)2)2(lg 20lg 5lg 8lg 3225lg +•++。