1.4一元一次不等式1(下)]111
1.4一元一次不等式(含答案)
一元一次不等式A 卷：基础题一、选择题1．以下不等式中：①x> － 3；② xy ≥1；③ x 2<3 ；④x－x≤1；⑤x 1>1．一元一次不等2 3 x式的个数是（）A ．1 B． 2 C． 3 D． 42 x 2 x 1）2．解不等式的以下过程中错误的选项是（3 5A ．去分母得 5（ 2+x） >3 （ 2x－ 1）B．去括号得 10+5x>6x － 3C．移项，归并同类项得－ x> －13 D ．系数化为 1，得 x>133．不等式 2（ x－ 2）≤x－ 2 的非负整数解的个数为（）A ．1 B． 2 C． 3 D． 44．某车间工人刘伟，接到一项任务，要求10 天里加工完190 个部件，最先 2 天，每日加工 15 个，此后均匀每日起码加工（）个部件，才能在规定的时间内达成任务．A ．18 B． 19 C． 20 D． 21二、填空题5．若不等式（ k－ 1） x k2 +2> 1是一元一次不等式，则k=______ ．36．若不等式 3x－ m≤0的正整数解是 1，2， 3，则 m 的取值范围是 _____．7．不等式 2x－ 7<5 －2x 的正整数解有 ______个．8．不等式 x－ 2≤3（ x+1 ）的解集为 ______．三、解答题9．解以下不等式：（ 1） 2－5x ≥8－2x；（ 2）x 51 3x2 ；2 2x x－1（ x+1 ），并把解集在数轴上表示出来．（ 3） 1+ ≥5－；（ 4） 1－ x≤63 310．已知对于x 的方程3x2m m－1的解为非负数，求m的取值范围．24 311．某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经获取52 环，该项目的纪录是89 环．（ 10 次射击，每次射击环数只取1～ 10 中的正整数）（ 1）假如他要打破纪录，第7 次射击不可以少于多少环？（ 2）假如他第7 次射击成绩为8 环，那么最后 3 次射击中要有几次命中10?环才能打破纪录？（ 3）假如他第7 次射击成绩为10 环，那么最后 3 次射击中能否一定起码有一次命中10 环才可能打破纪录？B卷：提升题一、七彩题1．（一题多解）求不等式3（x－ 1）≥－ 18 的负整数解及最小负整数解是多少？2．（一题多变题）对于x 的一元一次方程4x+m+1=3x －1 的解为负数，求m 的取值范围．（ 1）一变：对于 x 的一元一次方程4x+m+1=3x － 1 的解为非负数，求m的取值范围；（ 2）二变：对于x 的一元一次主程4x+m+1=3x － 1 中实数 m 的取值范围是m>－ 2，求 x?的取值范围．二、知识交错题3．（科内交错题）一次普法知识比赛共有30 道题，规定答对一道题得 4 分， ?答错一道题或不答得－ 1 分，在此次比赛中，小明获取优异（90 分或 90 分以上）， ?则小明起码答对了 _____道题．4．（科外交错题）某电信企业的 A 类手机收费标准：不论通话时间多长，?每部手机一定缴月租费50 元，此外每通话 1 分钟交费0.4 元； B 类手机收费标准：没有月租费，?但每通话 1 分钟收费0.6 元，请依据以上状况说明，你怎样选择手机？三、实质应用题5．某种商品的进价为800 元，销售时标价为1200 元，后出处于该商品积压，商铺准备打折销售，但要保持收益率不低于5%，请你帮忙算一算，该商品至多能够打几折？四、经典中考题6．（ 2008，沈阳， 3 分）不等式 2－ x<x － 6 的解集为 _____．7．（ 2007，广东， 6 分）已知不等式 x+8>4x+m （ m 是常数）的解集是x<3 ，求 m．C卷：课标新式题1．（规律研究题）已知：1 =1－1 ； 1 = 1 －1；1 = 1 － 1 ；1= 1 －1；；1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 51 1 1 (n 1)n n 1 .n请你依据上式中包括的规律，求不等式xx x x ggg(nx >n－1 的解集．2 6 12 20 1)n2．（结论开放题）某车间有20 名工人，每人每日可加工甲种部件5?个或乙种部件 4 个，在这 20 名工人中，派x 人加工甲种部件，其他的人加工乙种部件，?已知每加工一个甲种部件赢利16 元，每加工一个乙种部件赢利24 元．（ 1）写出此车间每日所获收益y（元）与加工甲种部件的人数x（人）之间的关系式．（ 2）自己设计一个问题，用上题中的条件列出不等式，并解答．3．（方案设计题）双蓉服饰店老板到厂家选购A，B 两种型号的服饰，若购进A?种型号服装 9 件，B 种型号服饰 10 件，需要 1810 元；若购进 A 种型号服饰 12 件， B? 种型号服饰 8 件，需要 1880 元．（1）求 A ， B 两种型号的服饰每件分别为多少元？（ 2）若销售 1 件 A 型服饰可赢利18 元，销售 1 件 B 型服饰可赢利30 元，依据市场需求，服饰店老板决定，购进 A 型服饰的数目要比购进 B 型服饰数目的 2 倍还多 4 件，但 A 型服饰最多可购进28 件，这样服饰所有售出后，可使总的赢利许多于699 元，问有几种进货方案？怎样进货？3.有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场上踢足球”．试问这个班共有多少学生？参照答案A 卷一、 1． B点拨：①，④是一元一次不等式，其他的不是．2． D 点拨：系数为负数化为 1 时要改变不等号的方向．3． C 点拨：先求出不等式的解集为x≤2，再求出非负整数解有 0， 1，2，共 3 个．4． C 点拨：设此后均匀每日加工x 个部件，依据题意，得15×2+ （ 10－ 2） x≥190，解这个不等式，得x≥20，应选 C．二、 5．－ 1 点拨：依据一元一次不等式的定义得k2=1， k= ±1，因为 k－ 1≠0，即 k≠1，因此 k=－ 1．m1， 2， 3，6． 9≤ m<12 点拨： 3x ≤m， x≤，因为原不等式的正整数解为3因此 3≤<4，因此 9≤m<12．7． 2 点拨：由2x－ 7<5 － 2x，得 2x+2x<5+7 ，即 4x<12 ，x<3 ，因此不等式2x －7<5－ 2x?的正整数解有 1， 2，共 2 个．5点拨：由 x－ 2≤3（ x+1 ），得 x－ 2≤ 3x+3，即 x－ 3x ≤ 3+2，－ 2x ≤5，8． x≥－2 因此 x≥－5．2三、 9．解：（ 1）移项，得－ 5x+2x≥8－ 2．归并同类项，得－3x ≥6，系数化为1，得 x≤－ 2．（ 2）去分母，得x+5－ 2<3x+21 移项，归并同类项，得－2x<－ 1，系数化为1，得 x>2 （ 3）去分母，得6+2x≥ 30－（ x－ 2）26去括号，移项，归并同类项，得3x ≥ 26，系数化为1，得 x≥．3 （4）去分母，得 6－ 6x ≤ 2x－（ x+1）去括号，移项，归并同类项，得－ 7x ≤－ 7系数化为 1，得 x≥1．把解集在数轴上表示为如下图．点拨：（ 1）不等式的两边同除以一个负数，不等号的方向改变；（ 2） ?去分母时不要漏乘常数项；（ 3）分数线起到括号的作用，因此去分母时，分子需加上括号；（ 4）在数轴上表示 x ≥1的解集时，表示 1 的点应为实点．3x 2mm 1 10．解：4 326（ 3x － 2m ） =3m － 418x － 12m=3m － 418x=15m － 4x= 15m4 ．1815m 44 ．因为方程的解为非负数，因此≥0，即 15m － 4≥0，因此 m ≥18 15 点拨：经过解方程3x 2mm 1 ，可得 x= 15m 4，因方程的解为非负数， 即 x ≥0，24 318因此 15m 4 ≥0，15m － 4≥0， m ≥ 4 ．181511．解：设第 7， 8， 9，10 次射击分别为 x 7 ，x 8， x 9， x 10 环，（ 1） 52+x 7+x 8+x 9+x 10>89，又 x 8≤ 10， x 9≤ 10， x 10≤ 10，因此 x 7>7．因此假如他要打破记录，第7 次射击不可以少于 8 环．（ 2） 52+8+x 8+x 9+x 10>89 ， x 8+x 9+x 10>29 ，又 x 8， x 9， x 10 只取 1～ 10 中的正整数，因此 x 8=x 9=x 10=10，即要有 3 次命中 10 环才能打破纪录．（ 3） 52+10+x 8+x 9+x 10>89 ， x 8+x 9+x 10>27，又 x 8， x 9， x 10 只取 1～ 10 中的正整数，因此 x 8，x 9 ，x 10?中起码有一个为10．即最后三次射击中一定起码有一次命中 10环才能打破纪录．B 卷一、 1．解法一：去括号，得3x － 3≥－ 18， 3x ≥－ 15， x ≥－ 5，因为 x 是负整数，因此x=－ ?5，－ 4，－ 3，－ 2，－ 1，因此最小负整数是－ 5．解法二：两边同除以3，得 x － 1≥－ 6， x ≥－ 6+1 ， x ≥－ 5．因为 x 是负整数，因此x=－ 5，－ 4，－ 3，－ 2，－ 1，因此最小负整数是－ 5．2．解： 4x － 3x= － m － 1－ 1，因此 x= － m － 2，因为方程的解为负数，因此x<0 ，因此－ m － 2<0， ?因此 m>－ 2．（ 1）方程 4x+m+1=3x － 1 的解为 x= － m － 2，因为方程的解为非负数，因此x ≥0，因此－ ?m － 2≥0，因此 m ≤－ 2．（ 2）由 4x+m+1=3x －1 得 m= － x －2，因为 m>－ 2，因此－ x － 2>－ 2，因此－ x>0 ，即 x<0 ．二、 3． 24 点拨：设小明答对了 x 道题，则答错或不答的题目有（30－ x ） ?道，于是 4x+（ 30－x ） ×（－ 1） ≥90，因此 4x+x － 30≥90， 5x ≥120， 因此 x ≥24，即起码答对了 24 道题．4．解：设每个月通话时间为 x 分钟，则两种手机的月缴费分别为y A =0.4x+50 ， y B =0.6x ．当 y A =y B 时， 0.4x+50=0.6x ， x=250 ，两种同样； 当 y A <y B 时， 0.4x+50<0.6x ， x>250 ，选 A 类； 当 y A >y B 时， 0.4x+50>0.6x ， x<250 ，选 B 类．点拨：此题属决议性题目， 选择取决于花费者每个月拨打电话的时间， 而用 y 与 y?的大 小比较，即可确立 x 的取值范围．120x800三、 5．解：设该商品打 x 折，依据题意，得10≥ 5%，解得 x ≥7，即最多打 7800收益．折．点拨：收益 =进价四、 6． x>47．解：不等式变形整理得3x<8－ m ，两边同除以 3，得 x< 8 m ，3因为不等式的解集是x<3， ?因此8 m=3，解得 m=－1．3点拨：先解不等式，依据同一个不等式的解集同样得方程，解方程求m 的值．1． 解：xx x x ggg x 可化为 x[ 1+ 1 + 1 + 1 + + 1] ，26 12 20 (n 1)n2 6 12 20 (n 1)n此中1+1+1+1+ +1 = 1 + 1 + 1 + 1+ + 1261220(n 1)n 1 2 2 3 3 4 4 5( n 1)n=1－1+1－1+1－1+1－1+ +1－1=1－1，2233445n 1 nn因此原不等式可化为 x （1－ 1） >n －1，又11n<1，因此 1－ >0， ?nn1－ 1）得 x>n 1．此中n1 可化简为 n ，因此左右两边同除以（n111 1nn因此原不等式的解集为 x>n ．点拨：在求 1－ 1 + 1 － 1 + 1 － 1 + 1 － 1+ + 1 － 1时，中间的各项归并为 0，2 23344 5n 1n只剩下 1 和－ 1，故结果为1－ 1，化简n 1时，分子，分母能够同乘以n ．nn11n2．解：（ 1） y=5x ×16+4（ 20－x ） ×24，化简得 y=－ 16x+1920 ．（ 2） “若要使车间每日赢利不低于1800 元，起码要派多少人加工乙种部件？ ”由－ 16x+1920 ≥ 1900，得 x ≤ 7.，5 故 x 最大取 7，则起码应派 13 人生产乙种部件． 点拨：第（ 2）问答案不独一，设问要切合题意，并能使已知条件获取应用． 2． 解：（ 1）设 A 种型号服饰每件为x 元， B 种型号的服饰每件为y 元，依据题意，得 9x 10y 1810,x 90,．12x8y解得 y1880.100.答： A ， B 两种型号服饰每件分别为 90 元和 100 元．（ 2）设 B 型服饰购进 m 件，则 A 型服饰购进（2m+4 ）件．依据题意，得12m+4≤28 且 18（ ?2m+4 ） +30m ≥699．可求得 9 ≤ m ≤ 12，2因为 m 为正整数，因此 m=10 ， 11， 12，此时 2m+4=24 ， 26， 28．1.4一元一次不等式(含答案) 11 / 11件， A 型服饰购置 26 件；或 B 型服饰购置 12 件， A 型购置 28 件．3.解：设该班共有学生 x 人，依据题意，得x －（ 1 1 x+ 1x+ 4 x ） <6，解这个不等式，得 x<56 ． 27 因为 1 1x ， 1 x=28． x ， 4 x 都是正整数，因此 2 7答：这个班共有 28 人．11。
1.4一元一次不等式(1)
-1 < x x > -1 . x > -1
不等号的方向 是否改变？
-2 -1 0
1 2 3 4
5 6
7
例 题 解 析
例 2
解: 解不等式 x 2 7 x , 并把它的解集表示在数轴上. 2 3 x2 7 x 6 6 ， 去分母 , 得 2 3
即 去括号 , 得
3(x-2) ≥ 2(7-x) 3x - 6 ≥ 14 - 2x 5x ≥ 20
不等式两边都乘以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向.
2. 要注意区分“大于”、“不大于”、“小于”、“不 小于” 等数学语言的使用，并把这些表示不等关系的语言 用数学符号准确的表达出来。 3. 在数轴上表示解集应注意的问题： 方向、空心或实心.
10
解一元一次不等式 小结
1. 解一元一次不等式的步骤： 去分母 去括号 移项 合并同类项 不等式两边同除以未知数的系数。 2、解一元一次不等式的依据是 不等式的三个性质。 3、不等式的基本性质是
不等号不变 , 把一项从不等式的一边移到另一边后要改变符号.
11
4
一元一次不等式
作
业
P15
习 题 1.4
1、2 ；
12
解一元一次不等式的步骤、依据
2、不等式的基本性质是 不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等式的方向不变。 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等式的方向不变。 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等式的方向改变。
3、解一元一次不等式时，它的移项法则是 不等号不变 , 把一项从等式的一边移到另一边后要改变符号. 填空：(1) 已知 x+5≥3，依据 可得它的解集 ，
移项、合并同类项 , 得 两边都除以 5 , 得
4 元1次不等式的解法 【一等奖教案】 表格版
2.4 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
§1.4一元一次不等式（1）
学习目标：
1.体会一元一次不等式的形成过程；
2.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；
1.初步感知实际问题对不等式解集的影响,积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。
学习重点：明确什么是一元一次不等式，
学习难点：体会建立不等式模型解决实际问题的全过程,体会学习不等式的作用。
预习作业：
1、观察下列不等式：
（1）155.22≥-x ； （2）75.8≤x （3）x ＜4 （4）x 35+＞240
这些不等式有哪些共同特点？
2、（1）.不等式的概念：
左右两边都是________，只含有__________，并且未知数的最高次数是_____的不等式，叫做一元一次不等式
（2）解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：
（1）____________ （2）____________
（3）____________ （4）____________ （5）____________
例1：1、下列不等式中是一元一次不等式的有____________。
(1)3x ＞-9 (2)3(x+2)-4x ＜x-3 (3)1)1(213≥-+x x (4)
2352+≤-x x
例2、解下列不等式，并把解集表示在数轴上。
（1）5x ＜200 (2) 21+-
x ＜3 (3) x-4≥2(x+2) (4)21-x ＜3
54-x。
中考数学中如何求解一元一次不等式
中考数学中如何求解一元一次不等式关键信息项1、一元一次不等式的定义及一般形式名称：＿___________________________解释：＿___________________________2、求解一元一次不等式的基本步骤步骤 1：＿___________________________步骤 2：＿___________________________步骤 3：＿___________________________步骤 4：＿___________________________步骤 5：＿___________________________3、常见的不等式符号及其含义符号 1：＿___________________________含义 1：＿___________________________符号 2：＿___________________________含义 2：＿___________________________符号 3：＿___________________________含义 3：＿___________________________4、不等式的性质性质 1：＿___________________________性质 2：＿___________________________性质 3：＿___________________________11 一元一次不等式的定义一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，不等号两边都是整式的不等式。
其一般形式为：＄ax ＋ b ＞ 0$（或$ax ＋ b ＜ 0$，＄ax ＋ b ＼geq 0$，＄ax ＋ b ＼leq 0$），其中$a$、＄b$为常数，且$a ＼neq 0$。
111 与一元一次方程的区别一元一次方程是等式，而一元一次不等式是用不等号连接的式子。
方程的解是使等式成立的未知数的值，而不等式的解是使不等式成立的未知数的取值范围。
一元一次不等式组的三种求解方法
数学篇数苑纵横解一元一次不等式组的方法是：先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分.怎样找公共部分是同学们求不等式组解集的一个难点.突破这一难点的方法有三种：数轴法、图象法、口诀法.下面结合例题进行分析.同学们在做题时可以灵活选择不同的解答方法.一、数轴法数轴在解一元一次不等式组中有着重要的作用.利用数轴法求解不等式组的解集时，首先确定出每一个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出来.每个一元一次不等式的解集在数轴上的表示都是一条射线，这些射线都通过的部分就是这些不等式的解集的公共部分.如果公共部分不存在，那么不等式组就无解.例1已知m为任意实数，求不等式组{1-x<3，x<m-2，的解集.解析：由不等式1-x<3化简得x>2，先在数轴上表示，如图1所示，接着，在数轴上表示出解集x<m-2.借助数轴可直观地发现，当表示数m-2的点在表示2的点的右边，即m-2>2，解得m>4时，该不等式组的解集为2<x<m-2；当表示数m-2的点在表示2的点的左边，或与2重合，即m-2≤2，解得m≤4时，该不等式组无解.ìíîx>2，x<5，x<m-2，的解集.解析：和例1相比较，该不等式组中不等式的个数增加到3个，需求出这3个不等式解集的公共部分，此时借助数轴更能起到化抽象为直观的作用.先在数轴上表示出第一、二个不等式解集的公共部分，如图2，再借助数轴可直观地发现，当表示数m-2的点在表示2的点上边或左边，即m-2≤2，m≤4时，3个不等式的解集没有公共部分，原不等式组无解；当表示数m-2的点在2和5之间，即2<m-2<5，4<m<7时，原不等式组的解集为2<x<m-2；当表示数m-2的点在表示5的点上边或右边，即m-2≥5，m≥7时，原不等式组的解集为2<x<5.图2说明：利用数轴来确定解集时，要特别注意两个端点处是空心还是实心.同时要牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.二、图象法一元一次不等式与一次函数之间存在着密切联系，因此，可根据一次函数图象确定不等式组的解集，具体步骤如下：（1）在同一直角坐标系中，把每个不等式的解集所确定的一元一次不等式组的三种求解方法山西太原吴雨桐数学篇数苑纵横各解集的交集所确定的区间；（3）写出不等式组的解集.例3如图3，观察图象，可以得出不等式组ìíî3x +1>0,0.5x -1<0,的解集是（）.A ．x <13B ．-13<x <0C ．0<x <3D ．-13<x <2解析：由图象知，函数y =3x +1与x 轴交于点(-13,0)，即当x >13时，函数值y 的范围是y >0；因而当y >0时，x 的取值范围是x >-13；函数y =-0.5x +1与x 轴交于点(2,0)，即当x <2时，-0.5x +1>0，即0.5x -1<0；因而当y >0时，x 的取值范围是x <2；所以，原不等式组的解集是-13<x <2．故选：D 项．例4已知，函数y =kx +m 和y =ax +b 的图象交于点P ，则根据图象可得不等式组{kx +m >0,ax +b >kx +m ,的解集为_____________.图4解析：由图象知，当kx +m ＞0时，x ＞-2.当ax +b ＞kx +m 时，x ＜-1．∴不等式组的解集为：-2＜x ＜-1．说明：利用图象法求解不等式组的解集，关键就要在图象上找到对应的部分，再由图象确定对应的x 的取值范围，即为不等式(组)的解集.三、口诀法由两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组，变换为标准形式后，可分为以下表格所列出的四种基本类型，求不等式的解集即确定它们的公共部分.这时可利用口诀法，根据“同大取大，同小取小；大小小大中间找，大大小小解没了”这四句口诀，快速确定不等式组的解集.例5解不等式组ìíîïïx -32+3≥x ,①1-3(x -1)<8-x ,②解析：解不等式①，得x ≤3；解不等式②，得x >-2.两个不等式一个含有大于号，一个含有小于或等于号，并且是x大于两个数中较小的数-2，小于等于较大的数3.根据“大小小大中间找”，这个不等式组的解集是-2<x ≤3.例6解不等式组ìíî1-2x >4-x ,①3x -4>3,②解析：解不等式①，得x <-3；解不等式②，得x >73.两个不等式的不等号方向相反，并且x 是大于两个数中的较大的数，同时小于较小的数.根据“大大小小解没了”，所以这个不等式组无解.说明：在填空题、选择题中运用口诀法可以提高解题速度；在计算题等大题中口诀法可以起检验的作用.所以，掌握好口诀法对同学们解答一元一次不等式组有着重要作用.图322。
八年级数学下册 1.4一元一次不等式(第1课时)学案(无答案) 北师大版
1.4 一元一次不等式（第 1 课时）
1.掌握一元一次不等式的概念; 2 会解一元一次不等式. 3、能在数轴上表示一元一次不等式的解集．
合并同类项，得 两边都加上 ，得 3-6<3x+6—6． 合并同类项，得一 3<3x． 两边都除以 3．得 即 x>一 1． 这个不等式的解集在数轴上表示如图：
1、本节课你有哪些收获？ 2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？ 3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方
1
学 习 研 讨
活动一：阅读课本 14 页“想一想”上面部分，回答问题： 1.观察下列不等式： (1)40+15x>130 (5)5+3x>240 这些不等式有哪些共同点？ 2.想一想：2x+y>3·2x -3x-2<0,5x+1>x，这些不等式含有几个未知数?未 知数的最高次数几? 总结： 一元一次不等式： 不等式的左右两边都是 知数．并且未知数的最高次数是 次不等式． 学习一元一次不等式要注意三个要点：(1)只含有一个未知数： (2)含有未知数的式子是整式；(3)未知数的次数是 1． 活动二： 合作探究 1·根据不等式的基本性质解不等式 3-x<2x+6，并把它的解集表示在数轴 上． 解：两边都加上 x，得:
掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。 一元一次不等式的解法． 学习内容 补充调整
x-2 7-x 2.解不等式 2 ≥ 3 ，并把它的解集表示在数轴上。
(1)2x 一 1=4x+13；(2)2(5x +3)=一 3(1-X)． 3 小组讨论：你是怎样解不等式的? 2．说出不等式的 3 条基本性质． 当 1． 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上； （1）5x＜200 (2)
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中常见的题型，也是学习代数的基础内容之一。
它是由一个一次式与一个数的关系构成的，其中包含了未知数x的不等式。
本文将介绍一元一次不等式的基本概念、解法和应用。
一、一元一次不等式的基本概念一元一次不等式的一般形式为ax + b < c（或ax + b > c），其中a、b、c为给定的实数，且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时，需要找出使不等式成立的x的取值范围。
二、一元一次不等式的解法1. 移项法通过移项可以将一元一次不等式转化为形如x < d（或x > d）的不等式，其中d为一个实数。
移项的过程如下：（1）如果不等式中含有加法或减法运算，可以通过加减法逆元的变换，将不等式转化为x < d或x > d的形式。
（2）如果不等式中含有乘法或除法运算，可以通过乘除法的变换，将不等式转化为形如ax < b（或ax > b）的形式。
注意乘除的时候需要考虑a的正负性。
2. 分情况讨论法当一元一次不等式中存在绝对值、分数等特殊情况时，可以采用分情况讨论法来求解。
需要根据不同情况的实际意义，分别列出对应的不等式并求解。
三、一元一次不等式的应用一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。
下面以两个典型问题为例，介绍一元一次不等式的应用。
1. 生活中的应用假设某市公交车票价为2元，同时发行了一种优惠卡，每次乘车只需支付1元。
现假设一人每月乘坐公交车次数不少于12次，求这人每月乘坐公交车所需的费用范围。
解：设这人每月乘坐公交车的次数为x次，则有不等式x ≥ 12。
因为每次乘车需支付的费用范围为1元至2元，所以还可得出不等式1 ≤ x ≤ 2。
因此，这人每月乘坐公交车的费用范围为12元至24元。
2. 经济学中的应用某的家庭年收入I万元，每年花费C万元。
已知为了正常生活，家庭应至少储蓄S万元。
写出家庭年收入与花费的不等关系，并求解I的范围。
解：根据题目可以得出不等式 I - C ≥ S。
一元一次不等式
第四节一元一次不等式—目标导引1.掌握一元一次不等式的定义.2.会解简单的一元一次不等式.3.培养学生分析、归纳、总结、类比的数学思维能力.4.会利用一元一次不等式解决简单的实际问题.5.感知一元一次不等式、函数、方程的不同作用与内在联系一元一次不等式—内容全解1.一元一次不等式的定义不等式的左右两边都是整式.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.2.一元一次不等式须具备的三个条件①不等式左、右两边都是整式；②只有一个未知数；③未知数的最高次数是1第四课时●课题§1.4.1 一元一次不等式（一）●教学目标（一）教学知识点1.知道什么是一元一次不等式？2.会解一元一次不等式.（二）能力训练要求1.归纳一元一次不等式的定义.2.通过具体实例，归纳解一元一次不等式的基本步骤.（三）情感与价值观要求通过观察一元一次不等式的解法，对比解一元一次方程的步骤，让学生自己归纳解一元一次不等式的基本步骤.●教学重点1.一元一次不等式的概念及判断.2.会解一元一次不等式.●教学难点当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变.●教学方法自觉发现——归纳法教师通过具体实例让学生观察、归纳、独立发现解一元一次不等式的步骤.并针对常见错误进行指导，使他们在以后的解题中能引起注意，自觉改正错误.●教具准备投影片两张第一张：（记作§1.4.1 A）第二张：（记作§1.4.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了不等式的基本性质，不等式的解，不等式的解集，解不等式的内容.并且知道根据不等式的基本性质，可以把一些不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.那么，什么样的不等式才可以运用不等式的基本性质而被化成“x＞a”或“x＜a”的形式呢？又需要哪些步骤呢？本节课我们将进行这方面的研究.Ⅱ.讲授新课1.一元一次不等式的定义.［师］大家已经学习过一元一次方程的定义，你们还记得吗？［生］记得.只含有一个未知数，未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.［师］很好.我们知道一元指的是一个未知数，一次指的是未知数的指数是一次，由此大家可以类推出一元一次不等式的定义，可以吗？［生］只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式.［师］好.下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式.请大家讨论. 投影片（§1.4.1 A ）下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）2x －2.5≥15;（2）5+3x ＞240; （3）x ＜－4;（4）x1＞1. ［师］（4）为什么不是呢？ ［生］因为x 在分母中，x1不是整式. ［师］好，从上面的讨论中，我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个，即未知数的个数，未知数的次数，且不等式的两边都是整式.请大家总结出一元一次不等式的定义.［生］不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown ）.2.一元一次不等式的解法.［师］在前面我们接触过的不等式中，如2x －2.5≥15,5+3x ＞240都可以通过不等式的基本性质化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，请大家来试一试.［例1］解不等式3－x ＜2x +6，并把它的解集表示在数轴上.［分析］要化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，首先要把不等式两边的x 或常数项转移到同一侧，变成“ax ＞b ”或“ax ＜b ”的形式，再根据不等式的基本性质求得.［解］两边都加上x ，得 3－x +x ＜2x +6+x 合并同类项，得 3＜3x +6两边都加上－6,得 3－6＜3x +6－6 合并同类项，得 －3＜3x两边都除以3，得－1＜x 即x ＞－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：图1－9［师］观察上面的步骤，大家可以看出，两边都加上x ，就相当于把左边的－x 改变符号后移到了右边，这种变形叫什么呢？［生］叫移项.［师］由此可知，移项法则在解不等式中同样适用，同理可知两边都加上－6，可以看作把6改变符号后从右边移到了左边.因此，可以把这两步合起来，通过移项求得.两边都除以3，就是把x 的系数化成1.现在请大家按刚才分析的过程重新写一次步骤. ［生］移项，得 3－6＜2x +x合并同类项，得 －3＜3x两边都除以3，得 －1＜x 即x ＞－1.［师］从刚才的步骤中，我们可以感觉到解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的过程有什么关系？［生］有相似之处.［师］大家还记得解一元一次方程的步骤吗？［生］记得.有去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1. ［师］下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.［例2］解不等式22-x ≥37x-，并把它的解集在数轴上表示出来. ［生］解：去分母，得3（x －2）≥2（7－x ）去括号，得3x －6≥14－2x 移项，合并同类项，得5x ≥20 两边都除以5，得x ≥4.这个不等式的解集在数轴上表示如下：图1－10［师］这位同学做得很好.看来大家已经对解一元一次不等式的步骤掌握得很好了，请大家判断以下解法是否正确.若不正确，请改正.投影片（§1.4.1 B ）解不等式：312-+-x ≥5 解：去分母，得－2x +1≥－15 移项、合并同类项，得－2x ≥－16 两边同时除以－2，得x ≥8.［生］有两处错误.第一，在去分母时，两边同时乘以－3，根据不等式的基本性质3，不等号的方向要改变，第二，在最后一步，两边同时除以－2时，不等号的方向也应改变.［师］回答非常精彩.这也就是我们在解一元一次不等式时常犯的错误，希望大家要引起注意.3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. ［师］请大家讨论后发表小组的意见. ［生］联系：两种解法的步骤相似. 区别：（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变.（2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解. Ⅲ.课堂练习解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）5x ＞－10;（2）－3x +12≤0;（3）21-x ＜354-x ; （4）27+x －1＜223+x .解：（1）两边同时除以5，得x ＞－2.这个不等式的解集在数轴上表示如下：图1－11（2）移项，得－3x ≤－12, 两边都除以－3，得x ≥4,这个不等式的解集在数轴上表示为：图1－12（3）去分母，得3（x －1）＜2（4x －5）, 去括号，得3x －3＜8x －10, 移项、合并同类项，得5x ＞7, 两边都除以5，得x ＞57, 不等式的解集在数轴上表示为：图1－13（4）去分母，得x +7－2＜3x +2, 移项、合并同类项，得2x ＞3,两边都除以2，得x ＞23, 不等式的解集在数轴上表示如下：图1－14Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容： 1.一元一次不等式的定义. 2.一元一次不等式的解法.3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. Ⅴ.课后作业 习题1.4Ⅵ.活动与探究求下列不等式的正整数解：（1）－4x ＞－12;（2）3x －9≤0. 解：（1）解不等式－4x ＞－12,得x ＜3,因为小于3的正整数有1，2两个，所以不等式－4x ＞－12的正整数解是1，2. （2）解不等式3x －9≤0,得x ≤3.因为不大于3的正整数有1，2，3三个，所以不等式3x －9≤0的正整数解是1，2，3.●板书设计§1.4.1 一元一次不等式（一） 一、1.一元一次不等式的定义. 2.一元一次不等式的解法. 例1 例2 判断题3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 ●备课资料同解不等式看下面两个等式 x +3＜6 （1） x +9＜12 （2）可以知道，不等式（1）的解集是x ＜3,不等式（2）的解集也是x ＜3，就是说，不等式（1）与（2）的解集相同.如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.从上面知道，（1）与（2）是同解不等式.因为不等式（2）实际上就是x+3+6＜6+6所以不等式（1）的两边都加上6，所得不等式（即不等式x+9＜12）与不等式（1）同解.一般地，有不等式同解原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式.不等式同解原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式.不等式同解原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式.我们在前面解不等式所作的变形都符合不等式的同解原理（特别要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数后，改变不等号的方向），这就保证最后得出的解集就是原不等式的解集.第五课时●课题§1.4.2 一元一次不等式（二）●教学目标（一）教学知识点1.进一步巩固求一元一次不等式的解集.2.能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.（二）能力训练要求通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力.（三）情感与价值观要求通过学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，使他们能积极参与数学学习活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心.●教学重点1.求一元一次不等式的解集.2.用数学知识去解决简单的实际问题.●教学难点能结合具体问题发现并提出数学问题.●教学方法在教师的引导下，学生探索的方法.●教具准备投影片两张第一张：（记作§1.4.2 A ） 第二张：（记作§1.4.2 B ） ●教学过程Ⅰ.提出问题，引入新课［师］上节课，我们学习了什么叫一元一次不等式，以及如何解一些简单的一元一次不等式，下面大家先回忆一下.［生］不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式.解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似，大致有：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化成1.［师］很好.在解不等式的过程中，有需要注意的问题吗？［生］有.在去分母和系数化成1这两步中，如果两边同时乘以或除以同一个负数，要注意改变不等号的方向.［师］非常棒.下面我们做一个练习检查一下，看大家的动手能力如何.1.解不等式：51（x +15）≥21－31（x －7） ［生］解：去分母，得6（x +15）≥15－10（x －7）,去括号，得6x +90≥15－10x +70, 移项、合并同类项，得16x ≥－15， 两边同除以16，得x ≥－1615. ［师］做得很好.请看第2题. 2.判断下面解法的对错. 解不等式：312+x －615-x ＜2 解：去分母，得2（2x +1）－5x －1＜2,去括号，得4x +2－5x －1＜2 移项、合并同类项，得－x ＜1 两边都乘以－1，得x ＞－1.［师］请大家先独立思考、再互相讨论，指出上面的解法有无错误，若有请指出来. ［生］第一，在去分母时，分子应作为一个整体，应加括号，是（5x －1）,而非－5x －1，第二，整数2也应乘以公分母.［师］这位同学的分析很精彩.请大家改正.［生］解：去分母，得2（2x +1）－（5x －1）＜12 去括号，得4x +2－5x +1＜12, 移项、合并同类项，得－x ＜9, 两边都乘以－1，得x ＞－9.［师］刚才这位同学提出的改正方案也正是解此类不等式需要注意的问题，本节课我们要加以巩固.Ⅱ.新课讲授［例1］解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： （1）2x －3x ＜1;（2）5x ≥3+22 x . ［师］经过刚才的改错，我们现在不进行讲解，而是要大家自觉完成，再互相改正，注意一定不要犯刚才的错误哟.［生］解：（1）去分母，得3x －2x ＜6, 合并同类项，得x ＜6,不等式的解集在数轴上表示如下：图1－15（2）去分母，得2x ≥30+5（x －2）, 去括号，得2x ≥30+5x －10,移项、合并同类项，得3x ≤－20, 两边都除以3，得x ≤－320. 不等式的解集在数轴上表示如下：图1－16［师］这类题型我们掌握得已很好了，下面我们来学习有关不等式的应用题. 投影片（§1.4.2 B ）［例2］一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？［例3］小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？［师］解不等式应用题也和解方程应用题类似，我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行.［生］先审题，弄清题中的等量关系；设未知数，用未知数表示有关的代数式；列出方程，解方程；最后写出答案.［师］分析：总的题量有25题.答对一题得4分，答错或不答扣1分，最后得分在85分或85分以上，所以关系式应为：4×答对题数－1×答错题数≥85 请大家自己写步骤.［生］解：设小明答对了x 道题，则他答错和不答的共有（25－x ）道题，根据题意，得4x －1×（25－x ）≥85 解这个不等式，得x ≥22.所以，小明至少答对了22道题，他可能答对了22，23，24，25道题.［师］大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流.［生］第一步：审题，找不等关系；第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式； 第三步：列不等式； 第四步：解不等式；第五步：根据实际情况写出答案.［师］非常好.请大家按照刚才的步骤解答例3. ［生］解：设她还可以买n 支笔，根据题意得 3n +2.2×2≤21解这个不等式，得n ≤36.16 因为在这一问题中n 只能取正整数，所以，小颖还可以买1支，2支，3支，4支或5支笔. Ⅲ.课堂练习 1.解：（1）去分母，得x +5＜5x , 移项、合并同类项，得－4x ＜－5, 两边都除以－4，得x ＞45, 这个不等式的解集在数轴上表示如下：图1－17（2）去分母，得x +3＞7x －35 移项、合并同类项，得6x ＜38 两边都除以6，得x ＜319， 不等式的解集在数轴上表示如下：图1－18（3）去分母，得 3x +12≤2x －6移项、合并同类项，得x ≤－18, 不等式的解集在数轴上表示如下：图1－19（4）去括号，得6x －6≥3+4x移项、合并同类项，得2x ≥9, 两边都除以2，得x ≥29, 不等式的解集在数轴上表示如下：图1－202.解：设他还可以买x 根火腿肠，根据题意，得 2x +3×5≤26解这个不等式，得x ≤5.5所以小明还可以买1根，2根，3根，4根或5根火腿肠. Ⅳ.课时小结根据前面我们做的练习和例题，我们来总结一下解不等式的一般步骤，理论依据及注意事项，和解一元一次不等式应用题的一般步骤.1.解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母根据等式性质2或3注意：①勿漏乘不含分母的项；②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号；③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变. （1）去括号根据去括号法则和分配律注意：①勿漏乘括号内每一项；②括号前面是“－”号，括号内各项要变号. （2）移项根据移项法则（不等式性质1）注意：移项要变号. （4）合并同类项根据合并同类项法则.（5）系数化成1根据不等式基本性质2或性质3.注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变.. 2.解一元一次不等式应用题的步骤： （1）审题，找不等关系；（2）设未知数； （3）列不等关系； （4）解不等式；（5）根据实际情况，写出全部答案. Ⅴ.课后作业 P 17习题1.5 Ⅵ.活动与探究x 取什么值时，代数式2x －5的值： （1）大于0？（2）不大于0？ 解：（1）根据题意，得 2x －5＞0解得x ＞25 所以当x ＞25时，2x －5的值大于0.（2）根据题意，得2x －5≤0解得x ≤25. 所以当x ≤25时，2x －5的值不大于0.●板书设计●备课资料 参考练习解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）2（2x －3）＜5（x －1）; （2）10－3（x +6）≤1;（3）21（3－x ）≥3; （4）1+3x ＞5－22x ;（5）23-x ＞56+x ; （6）312-x ≤643-x ;（7）25+x －1＜223+x ;（8）31+y －21-y ≥61-y .参考答案：（1）x ＞－1;（2）x ≥－3; （3）x ≤－3;（4）x ＞6; （5）x ＞9;（6）x ≤－2; （7）x ＞21;（8）y ≤3. 在数轴上表示略.●迁移发散 迁移1.方程3x +a =x －7的根是正数，求实数a 的取值范围. 点拨：先解方程，后转化为解不等式. 解：3x +a =x －73x －x =－7－a ，2x =－7－a∴x =27a-- 又∵x ＞0，∴27a--＞0 －7－a ＞0，－a ＞7，∴a ＜－72.三个连续的自然数的和不大于12，试写出这样的所有自然数. 解：设中间一个数为x .由题意得： (x －1)+x +(x +1)≤12，3x ≤12 ∴x ≤4这样的数有0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6.共五组.3.要使3个连续的奇数的和不小于100.那么3个奇数中最小的应当不小于什么数. 解：设最小数为x .由题意得：x +(x +2)+(x +4)≥100 3x ≥94，x ≥394，x ≥3131∵x 为奇数，∴x 最小取33.∴x ≥33答：最小的奇数应当不小于33. 4.已知y 1=－x +3.y 2=3x －4.当x 取何值时，y 1＞y 2?当x 取何值时，y 1＜y 2? 解：当y 1＞y 2，则－x +3＞3x －4，－4x ＞－7，x ＜47 ∴当x ＜47时，y 1＞y 2. 当y 1＜y 2，则－x +3＜3x －4，－4x ＜－7，x ＞47 ∴当x ＞47时，y 1＜y 2. 5.甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球.乒乓球拍每付定价20元.乒乓球每盒定价5元.现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠，某班级需购球拍4付、乒乓球若干盒(不少于4盒).请你用学过的知识说明怎样选购合算？点拨：借助函数关系式，建立不等式. 解：设购买x 盒乒乓球(x ≥4)， 到甲店购买的付款数为y 甲(元)， 到乙店购买的付款数为y 乙(元). 由题意得：y 甲=20×4+(x －4)·5(x ≥4) y 乙=(20×4+5·x )·0.9(x ≥4)当y 甲=y 乙时，20×4+(x －4)·5=(20×4+5x )·0.9 解得x =24；当y 甲＜y 乙时，20×4+(x －4)·5＜(20×4+5x )·0.9 解得x ＜24；当y 甲＞y 乙时，20×4+(x －4)·5＞(20×4+5x )·0.9 解得：x ＞24.所以，当购买24盒乒乓球时，两家商店都行； 当购买4≤x ＜24盒时，去甲店购买合算； 当购买超过24盒时，去乙店购买合算. 发散本节知识我们用到了如下知识： 一元一次方程的解法：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化未知数系数为1.●方法点拨［例1］判断下列不等式，哪些是一元一次不等式：(1)x +y ＞5 (2)x1+3＜2. (3)2x (3x +1)＞3x (2x －2)(4)3－2x ＜5+6x .解：(1)∵不等式中含有2个未知数.∴不是一元一次不等式. (2)∵不等式的左边有x1，它不是含未知数的整式. ∴不是一元一次不等式. (3)是一元一次不等式. (4)是一元一次不等式.3.一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似. 其基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化未知数的系数为1.(即化为“x ＞a ”或“x ＜a ”)4.解一元一次不等式时，一定要记住：在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号变向.5.会把一元一次不等式的解集用数轴表示.［例2］解不等式2x≤－3，并把它的解集在数轴上表示出来. 解：化未知数系数为1，不等式两边都乘以2(或除以21)得x ≤－6.图1－20［例3］解不等式8x －1≥6x +5，并把它的解集在数轴上表示出来. 解：移项8x －6x ≥5+1 合并同类项：2x ≥6.化系数为1，即两边都除以2得：x ≥3.图1－21［例4］解不等式5(x +2)＜2(x +7)，并把解集在数轴上表示出来. 解：去括号：5x +10＜2x +14 移项：5x －2x ＜14－10 合并同类项：3x ＜4.化系数为1，即两边都除以3得：x ＜34.图1－22［例5］解不等式245231->+--x x .并在数轴上表示它的解集. 解：去分母：4(x －1)－3(2x +5)＞－24去括号：4x －4－6x －15＞－24， 移项：4x －6x ＞－24+4+15， 合并同类项：－2x ＞－5， 化系数为1得：x ＜25.图1－23［例6］求不等式3x －10≤0的正整数解.点拨：先求出不等式的解集，再在解集中找出其正整数解. 解：3x －10≤0，3x ≤10，x ≤310 其中正整数解为1、2、3. ［例7］x 取哪些数时，代数式23x －8的值不大于7－x 的值？ 点拨：由文字语言转化为数学语言，列出不等关系式，求出解集. 解：由题意得：23x －8≤7－x 23x +x ≤15， 25x ≤15，x ≤6 ∴当x ≤10时，代数式23x －8的值不大于7－x 的值. ［例 8］小明准备用28元钱买火腿肠和面包，已知一根火腿肠8元钱，面包每个1元钱.他买了3根火腿肠，他还可以买多少个面包？点拨：买火腿肠与面包的总价不能超过28元. 解：设买x 个面包，由题意知： 3×8+1·x ≤28，∴x ≤4 ∴x =1，2，3，4.答：他还可以买1个或2个或3个或4个面包.［例9］某种商品的进价800元，出售时标价1200元，后来该商品积压，商品准备打折出售.但要保持利润不低于5%.你认为该商品可以打几折？点拨：利润率=进价进价折标价-⨯解：设至多可以打x 折. 由题意得：8008001200-⋅x ≥5%1200x －800≥40，1200x ≥840 x ≥0.7，x ≥70/100 答：该商品至多可以打7折.［例10］小明上午8：00步行出发郊游.10：00小亮在同一地点出发.已知小明的速度是4千米/小时，小亮要在10：40追上小明，小亮的速度至少是多少千米/小时？点拨：小亮所走路程要大于等于小明所走路程. 解：设小亮的速度至少是x 千米/小时.由题意得：32·x ≥232×4 32x ≥332，x ≥16 答：小亮的速度至少是16千米/小时.［例11］某学校需刻录一批光盘，若电脑公司每张需8元(包括空白光盘)；若学校自制，除租用刻录机需120元以外，每张还需成本4元(包括空白光盘费)，问刻录这批电脑光盘到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请你说明理由.点拨：需要借助函数关系，建立不等式.解：设需刻录x 张光盘，学校自刻的总费用为y 1(元)，电脑公司的刻录的总费用为y 2元.由题意得y 1=4x +120 y 2=8x .当y 1＞y 2时，4x +120＞8x ，解得x ＜30； 当y 1=y 2时，4x +120=8x ，解得x =30； 当y 1＜y 2时，4x +120＜8x ，解得x ＞30；所以，当刻录光盘小于30张时，到电脑公司省费；当刻录光盘等于30张时，两个地方都行；当刻录光盘小于30张时，学校自刻省费.4.一元一次不等式作业导航理解什么是一元一次不等式，会解一元一次不等式，会列一元一次不等式解简单应用题.一、选择题1.不等式53263-<-x x 的解集是( ) A.x ＞9 B.x ＜9 C.x ＞32D.x ＜322.下列不等式中，与523x-≤－1同解的不等式是( ) A.3－2x ≥5 B.2x －3≥5 C.3－2x ≤5D.x ≤43.解不等式51232->+x x ，下列过程中，错误的是( ) A.5(2+x )＞3(2x －1)B.10+5x ＞6x －3C.5x －6x ＞－3－10D.x ＞134.代数式231x-与x －2的差是负数，那么x 的取值范围是( ) A.x ＞1 B.x ＞－53C.x ＞－43D.x ＜15.若代数式2x +1的值大于x +3的值，则x 应取( ) A.x ＞2 B.x ＞－2 C.x ＜2 D.x ＜－2 二、填空题6.不等式－5x +15≥0的解集为________.7.不等式3(x +2)≥4+2x 的负整数解为________. 8.当x ________时，代数式－3x +2的值为正数.9.方程x +2m =4(x +m )+1的解为非负数，则m 的取值应为________. 10.当k ＜5时，不等式kx ＞5x +2的解集是________. 三、解答题11.解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： (1)2x －9＜7x +11 (2)125-+x ≤223+x 12.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-ky x ky x 5132的解x 与y 的和为负数，求k 的取值范围.13.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成多少土方？14.在一次“人与自然”知识竞赛中，共有25道选择题，要求学生把正确答案选出，每道选对得10分，选错或不选倒扣5分.如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于200分，那么他至少要选对多少道题？参考答案一、1.A 2.B 3.D 4.A 5.A二、6.x ≤3 7.－2，－1 8.x ＜32 9.m ≤－21 10.x ＜52-k 三、11.(1)x ＞－4 (2)x ≥2112.k ＞3113.80 14.22●作业指导 P 15随堂练习1.解：(1)5x ＜200，x ＜40图1－24(2)－21+x ＜3，－(x +1)＜6，x +1＞－6，x ＞－7图1－25(3)x －4≥2x +4，－x ≥8，x ≤－8图1－26(4)3(x －1)＜2(4x －5)3x －3＜8x －10，－5x ＜－7，x ＞57图1－27习题1.41.解：(1)－2x ＞－6，x ＜3图1－28 (2)2－6x＞3x+20，－9x＞18，x＜－2图1－29 (3)2x－1＜x，2x－x＜1，x＜1图1－30 (4)2(1－2x)≥4－3x，－x≥2，x≤－2图1－312.解：设中间一个正偶数为x.19由题意得：(x－2)+x+(x+2)＜19，3x＜19，x＜3∵x为正偶数，∴x=4或6∴这样的正偶数有两组，分别是2，4，6或4，6，8 做一做解：(1)3x－2x＜6，x＜6图1－3220(2)2x≥30+5x－10，－3x≥20，x≤－3图1－33P17随堂练习51.解：(1)x+5＜5x，－4x＜－5，x＞4图1－3419(2)x+3＞7x－35，－6x＞－38，x＜3图1－35(3)3x+12≤2x－6，x≤－18图1－369(4)6x－6≥3+4x，2x≥9，x≥2图1－372.解：设他还可以买x根火腿肠.11由题意得：3×5+2x≤26，2x≤11，x≤2∵火腿肠按“根”买.∴x=1，2，3，4，5(即取正整数).答：他还可以买1根、2根、3根、4根或5根火腿肠. 习题1.51.解：(1)x－5+2＞x－6－3＞－6由此得到“绝对不等式”，∴x为任意实数.15(2)－3x+x≤－15，－2x≤－15，x≥22.解：4x+4≤64，4x≤60，x≤15∵x为正整数.∴x取1到15的正整数.3.解：设参加合影的同学至少有x人.由题意得：0.6+0.4x≤0.5x，0.1x≥0.6，x≥6.答：参加合影的同学至少有6人.§1.4 一元一次不等式●温故知新 想一想，做一做填空1.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向__________.2.只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________.像这样的整式方程叫做一元一次方程.3.解一元一次方程的基本步骤：①__________；②__________；③__________； ④__________；⑤__________.你答对了吗？我们一起来对对答案：1.变向2.1 13.去分母 去括号 移项 合并同类项 化未知数的系数为1 看看书，动动脑填空1.不等式的左右两边都是整式，只含有__________个未知数，且未知数的最高次数都是__________，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的基本步骤：①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________.§1.4 一元一次不等式（一）班级：_______ 姓名：_______一、认真选一选1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x1+1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5D.21(x －3)<0 2.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6 D.无数个 3.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1B.0C.－1D.不存在4.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－6二、请你填一填1.当x ________时，代数式61523--+x x 的值是非负数. 2.当代数式2x－3x 的值大于10时，x 的取值范围是________. 3.若代数式2)52(3+k 的值不大于代数式5k －1的值，则k 的取值范围是________.4.不等式|x |<1的解集是________. 三、请你与小明、小华一起研究小明在学习时，遇到以下两题，被难住了，于是就和小华一起研究起来…… 题目1：不等式a (x －1)>x +1－2a 的解集是x <－1,请确定a 是怎样的值.题目2：如果不等式4x －3a >－1与不等式2(x －1)+3>5的解集相同，请确定a 的值.参 考 答 案一、1.D 2.C 3.B 4.D 二、1.x ≤5 2.x ＜－4 3.k ≥4174.－1＜x ＜1 三、1.解：不等式a (x －1)＞x +1－2a 可变形为 ax －a ＞x +1－2a (a －1)x ＞1－a ∵原不等式的解集为x ＜－1 ∴a －1＜0,即a ＜12.解：解2(x －1)+3＞5得：x ＞2 解不等式4x －3a ＞－1得：x ＞413-a ∵以上两个不等式的解集相同 ∴413-a =2,解得a =3§1.4 一元一次不等式（二）班级：_______ 姓名：_______一、认真选一选1.不等式ax +b >0(a <0)的解集是（ ） A.x >－ab B.x <－ab C.x >a bD.x <ab 2.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（ ） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠23.若关于x 的方程3x +2m =2的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A.m >1 B.m <1 C.m ≥1 D.m ≤14.已知(y －3)2+|2y －4x －a |=0，若x 为负数，则a 的取值范围是（ ） A.a >3 B.a >4 C.a >5 D.a >6二、好好想一想如果方程组，⎩⎨⎧-=++=+m y x m y x 13313的解满足x +y >0,求m 的取值范围，并把m 的值表示在数轴上.三、用数学眼光看世界1.小明一家10点10分离家赶11点整的火车去某地旅游，他们家离火车站10千米.他们先以3千米/时的速度走了5分钟到达汽车站，然后乘公共汽车去火车站.公共汽车每小时至少走多少千米他们才能不误当次火车？2.某校校长带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：如果买一张全票则其余学生可享受半价优惠.乙旅行社说：包括校长在内全部按票价的6折优惠（即按全价的60%收费）.已知全票价为240元.(1)设学生人数为x，甲、乙旅行社收费分别用y甲、y乙表示，分别写出y甲、y乙与x的函数关系式.(2)当学生是多少时，两家旅行社收费相同？(3)当x>4时，选择哪家旅行社较合算？。
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像这样的不等式叫做一元一次不等式。
一定是整式哦！
下列不等式,哪些是一元一次不等式? (1) 2x-3>1 (4) y≥0 判断条件: (2) 5x+2>5x-3 (5) x+y<1 (3) x2+1<x+2
(6)
1 +x>5 x
1.未知数的个数.
2.未知数的次数. 3.不等式两边都是整式.
判断下列各式是否是一元一次不等式？ 是 (1)－x≥5； (2) y－3x＜0；
这些不等式有哪些共同特点？
这些不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是１．像这样的不等式，叫做一元一 次不等式（linearinequality with one unknown).
在前几节课中，你列出了哪些一元
一次不等式？试举两例，并与同伴交流．
只含有一个未知数，
并且未知数的最高次数是1， 系数不等于0，
两边都加上-6,得
合并同类项,得 两边都除以3,得 即
3-6<3x+6-6
-3<3x -1<x x>-1
这个不等式的解集在数轴上表示如下图:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x2 7 x 例2解不等式 , 并把它的解表示在数轴 。 上 2 3
解去分母， 得3( x 2) 2(7 x )
回忆：不等式的性质
不等式的性质1：
如果a>b，那么a＋c>b＋c，a－c>b－c
不等式的性质2：
a b 如果a>b，并且c>0，那么ac>bc， c c a b 如果a>b，并且c<0，那么ac<bc, c c
观察下列不等式 (1)2x-2.5≥1.5 (3)x<4 (2)x≤8.75 (4)5+3x>240
解: (1)解不等式,得x<3;
因为小于3的正整数有1、2两个,所以-4x>-12 的正 整数解是1、2.
(2)解不等式,得x≤3. 因为不在于3的正整数有1、2、3三个,
所以3x-9≤0的正整数解是非曲直、2、3. 解题思路: 先求不等式的解集,再求特殊解.
1.一元一次不等式的定义. 2.一元一次不等式的解法. 3.一元一次不等式特殊解的解法. 作业:P14的习题1.4
作业:P14的习题1.4
1 (3) x＋1＜0； 3 2 ＋2≥2x； (4) x2
否 是 否 否
(5)
x ＞2；
x x (6) 4 2 ＋x＞1． 是
(2) 2（5x＋3）≤x－3（1－2x）
解: 2（5x＋3）≤x－3（1－2x）， 10x＋6 ≤x－3＋6x， 3x ≤－9， x≤－3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如下.
(4)合并同类项:系数相加,字母及字母的指数不变;
(5)系数化为1:不等式两边同除以未知数的系数.(或 同乘以未知数系数的倒数)
注意:第(1)步和第(5)步,不等式两边都乘以(或除 以)同一个负数时,不等号的方向改变.
解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上
(1) 5x<200
x +1 ( 2) － <3 2 x－ 1 4 x－ 5 ( 4) < 2 3
去括号， 得 3 x 6 14 2 x
移项 全并同类项， 得5 x 20 两边都除1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
通过上面的解题,你能得出解一元一次不等式的一般 步骤吗? (1) 去分母:各项都乘以分母的最小公倍数; (2) 去括号:注意符号问题; (3) 移项:移项要变号;
例1 解下列不等式，并将解集在数轴上表示 出来： (1)2x－1<4x＋13
2x－4x<13＋1， －2x<14， x>－7. 这个不等式的解集在数轴上的表示如下.
解:
例1 解不等式３－ｘ＜２ｘ＋６并把它的解集表示 在数轴上． 解：两边都加上ｘ，得 3<2x+6+x
合并同类项,得 3<3x+6 解方程的移项 变形对于解不 等式同样适用.
(3) x－4≥2(x+2)
解(1)：x<40 -40 0
解(2)：x>-7
40
80
-7
0
7
14
7 5
解(3)：x≤-8
解 (4)： x >
-16
-8
0
8
-1
0
1
2
用数轴表示解集的口诀：
大于往右画，
小于往左画， 大于小于空心圈，
若有等于实心点。
求下列不等式的正整数解 (1) -4x>-12 (2) 3x-9≤0