4.6探索三角形相似的条件 Microsoft PowerPoint 演示文稿

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根据下列条件判断△ABC和△A’B’C’ 是否相似. (1)∠B＝∠B’＝75°, ∠C＝50°,∠A’＝55°
相似.根据两角对应相等的两个三角形相似。
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
相似.根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似。
AD AB AB AD
解题后的反思与拓展
如图4-17,D,E分别是△ABC边AB, AC上的点, A DE∥BC。 解: (1)由上面(3)题可知:
D E
△ ADE∽△ABC
C
B 图4-17
AD AE AB AC
AD ∙ AC=AE ∙ AB。
还是在上面例 题的条件下, 求证: AD ∙ AC=AE ∙ AB。
△ABC∽△MAN △ADE∽△BAE
△ADE∽△CDA △CDA∽△BAE
B M
D
E
C N
P134
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D, （1）图中有哪几对相似三角形？ A （2）你能得出AD2=BD· DC吗？ (1)△BAC∽△BDA ∽△ADC ┓ B C (2) ∵△BDA ∽△ADC D BD DA ∴ = AD DC ∴ AD2 = BD · DC
(3) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
不相似.因为三边不对应成比例。
P138
下面两个三角形是否相似?为什么?
P138
解:△ABC∽△AEF。理由如下：
AB 2 3 1 2. E AE 1 1 AC 6 B 2. AF 3 AB AC . 又∠A= ∠A AE AF
A′ A
50° 60°
B
C
B′
60°
70°
C′
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在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°, 根据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，
(1)∠A=35°，∠B’=55°； Rt△ABC∽Rt△B′A′C′ (2)AC=4，BC=5，A′C′=8，B′C′=10； Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ (3)AB=5，BC=4，A′C′=6， B′C′=8． Rt△ABC∽Rt△A′B′C′
AB AC BC
B
C
解题后的反思与拓展
如图4-17,D,E分别是△ABC边AB, AC上的点, A DE∥BC。 解: (1)由上面(3)题可知: △ ADE∽△ABC D E
B 图4-17 C
还是在上面例 题的条件下,
BD CE AB AC 吗? 吗? AD AE AD AE
AE AC AC 反过来比. AE AB AC (2) 由 AD AE AB AD AC AE 合比. AD AE BD CE 即 . AD AE
A D 2 E B 1 C B 1 D 2 1 C B 1 C B A E 2 A D E 2 D A
①
②
③
④
C
△ADE∽ △ACB △ADC∽ △ACB
△ADE∽ △ABC △ADE∽ △ACB
P135 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子 （图中的所有点、线都在同一平面内），图中有相似三 角形吗？如果有，请写出来，并说明理由。 A
这两个三角形相似吗？
演示
三角形相似的判定方法2： 三边对应成比例的两个三角形相似.
A
A'
用数学 AB BC AC = = ∵ A'B' B'C' A'C' 符号表 示： ∴ ΔABC∽ΔA'B'C' B
B' C
C'
探索&新知
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如果△ABC与△A’B’C’有一个角相等,且两边对应成比例, 那么它们相似吗? (1) 如果这个角是这两边中其中一条边的对角 小明和小颖分别画出了下面的△ABC与△A’B’C’
例题解析
认识 “A字型”
如图：D 、 E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC. A (1) 图中有哪些相等的角？ (2) 找出图中的相似三角形，并说明理由。 (3) 写出三组成比例线段。 D E 解:(1) ∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C;
(2) ∵ DE∥BC,
∴ ∠ADE=∠B, ∠AED= ∠C , ∴ △ ADE ∽ △ ABC . (3) ∵ △ ADE ∽ △ AED ∴ AD AE DE ;
三角对应相等、三边对应边成比例的两个三角 C 形是相似三角形。 ' ∵ ∠A= ∠ A' 、∠B= ∠ B'、∠C= ∠ C'
C
BC CA A' B' B' C' C' A'
B
A' B' ∴
A
△ABC∽△A'B'C'
7、全等三角形的判定方法有哪些？
SAS; ASA; AAS; SSS; HL 相似比等于1的两个三角形是全等三角形.
相似比是有顺序性的
5、相似三角形有什么性质?如何用数学符号表示?
相似三角形的对应角相等、对应边成比例。
知识& 回顾
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A
B C
用数学符号表示：
∵△ABC∽△DEF
∴∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
D
F E
AB AC BC DE DF EF
知识&回顾 ☞ 6、已学过的相似三角形的判定方法是什么？ 如何用数学符号表示？
AB AC AB AC
又∠A=∠A′=450, ∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似.)
解法3:如图,设小 正方形的边长为1, 由勾股定理可得:
AB 2, AC 4; BC 32 12 10
AB 22 22 2 2, AC 8, C 62 22 40 2 10 B
A
F
3 C
∴△ABC∽△AEF. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
想想&议议 ☞
如图，ΔABC与ΔABC相似吗？你有哪些判定 方法？
解法1
解法2:如图,设小 正方形的边长为1, 由勾股定理可得:
AB 2, AC 4; AB 2 2, AC 8;
AB 2 1 AB 2 2 2 AC 4 1 = AC 8 2
方法与规 律 E D
A
C
见平行想相似。
P134
1、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 吗?为什么? 答：相似. 因为有两个角对应相等. 2、顶角相等的两个等腰三角形是否相似?为什么? 答：相似. 因为顶角相等,两个底角也对应相等.
P134
1.如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知 ∠A＝50°,∠B＝∠B′＝60°, ∠C′＝70°,△ABC与△A′B′C′相似吗？
平行于三角形一边直线截其它两边, 结论2: 所得的对应线段成比例. 如图: 在△ABC中, 如果DE∥BC。
A
AD AE AD AE DB EC DB EC 那么 ;或 ;或 ;或 . DB EC AB AC AD AE AB AC
解题后的反思与拓展
X型图
如图，DE∥BC，分别交BA、CA的延长线于点D、 E，△ADE与△ABC相似吗？为什么？ 平行于三角形一边的直 线与其他两边（或两边 的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形 B 相似。
知识象一艘船, 让它载着我们驶 向理想的彼岸！
知识&回顾
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1、什么叫做相似三角形？
三角对应相等、三边对应边成比例的两个三角 形叫做相似三角形。
2、什么叫做相似三角形的相似比？
相似三角形对应边的比,叫做相似比(或相似系数).
3、用符号表示三角形相似时注意什么？
对应角顶点的字母写在对应的位置上
4、求相似比时注意什么？
10 1 AC 4 1 BC = AC 8 2 BC 2 10 2
AB 2 1 AB 2 2 2
AB AC BC AB AC BC
∴△ABC∽△A′B′C′
(三边对应成比例的两个 三角形相似.)
想想&说说 ☞
如图,已知点D，E分别在AB,AC或它们的延长 线上,且∠1=∠2,分别指出图中的相似三角形.
夯实&基础 ☞
1.梯形ABCD的两条对角线相交于 点O,找出图中的相似三角形,并 说明理由. △AOB∽△COD
A
D O B C
如果梯形ABCD是等腰梯形呢？
△AOB∽△COD △ABD∽△BAC △ACD∽△BDC △AOD∽△BOC
夯实&基础 ☞
2.如图，四边形ABCD是平行四边 形，图中有几对相似三角形？一一 写出来。 D 6对，分别是 △ABE∽△DFE ∽△CFB △ABC∽△CDA △AOB∽△COF △AOE∽△COB
A
A’
B’
归纳与对比
三角形全等判定：
三角形全等与相似的判定方法
•角边角 •角角边 •边边边 •边角边
三角对应相等, 判定方法 三边对应相等
三角形相似判定：
1. 两角对应相等（判定１）
三角对应相等, 判定 2. 三边对应成比例(判定２) 三边对应成比例 方法 3. 两边对应成比例且夹角 相等（判定３） 两边对应成比例且其中一边的对角相等(不能判定)
类比全等三角形的判定方法你能猜测相似三 角形的判定方法吗？
探索&新知
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三角形相似的判定方法1： 两角对应相等的两个三角形相似. 用数学符号表示：