数学---广东省揭阳市普宁一中2016-2017学年高二(上)期末试卷(文)(解析版)

2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.在所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）cos600°=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）设集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则A∩B=（）A．B．C．D．3．（5分）复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣2，2）4．（5分）已知数列，则a2016=（）A．1 B．4 C．﹣4 D．55．（5分）取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段长度都不小于1.5m的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知==2，且它们的夹角为，则=（）A．B．C．1 D．27．（5分）给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③|a|＞b⇒a2＞b2；④a＞b⇒a3＞b3其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．②④8．（5分）如图所示的程序的输出结果为S=1320，则判断框中应填（）A．i≥9 B．i≤9 C．i≤10 D．i≥109．（5分）定义在R上的函数f（x）在（6，+∞）上为增函数，且函数y=f（x+6）为偶函数，则（）A．f（4）＜f（7）B．f（4）＞f（7）C．f（5）＞f（7）D．f（5）＜f（7）10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．11．（5分）气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，现在甲、乙、丙三地连续五天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：甲地：五个数据的中位数是24，众数为22；乙地：五个数据的中位数是27，平均数为24；丙地：五个数据中有一个数据是30，平均数是24，方差为10．则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．（5分）已知圆O的半径为2，P A、PB为圆O的两条切线，A、B为切点（A与B不重合），则的最小值为（）A．﹣12+4B．﹣16+4C．﹣12+8D．﹣16+8二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=．14．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是．15．（5分）若平面向量，满足||≤1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是．16．（5分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．三、解答题（70分）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．（1）求bc的最大值；（2）求函数的值域．18．（12分）已知函数的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在，使f（x0）=0，求λ的取值范围．19．（12分）向量与的夹角为θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t），||在t0时取得最小值，当0＜t0＜时，求夹角θ的取值范围．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB ∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．22．（12分）设函数f（x）=ln x，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．B【解析】cos600°=cos（360°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，故选：B．2．C【解析】由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，3），故选：C．3．B【解析】==2﹣2i（i是虚数单位）的共轭复数2+2i在复平面内对应的点（2，2）．故选：B．4．C【解析】数列，∴a3=a2﹣a1=4，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣5，a6=﹣4，a7=1，a8=5，…，可得a n+6=a n．则a2016=a335×6+6=a6=﹣4．故选：C．5．A【解析】记“两段的长都不小于1.5m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1.5，所以事件A发生的概率P（A）=．故选：A．6．A【解析】根据条件：==12；∴．故选A．7．D【解析】①a＞b⇒ac2＞bc2在c=0时不成立，故①错误；②a＞|b|⇒|a|＞|b|⇒a2＞b2，故②正确；③a=﹣2，b=1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故③错误；④y=x3在R上为增函数，故a＞b⇒a3＞b3，故④正确；故选：D8．D【解析】首先给循环变量i和累积变量S赋值12和1，判断12≥10，执行S=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10，执行S=12×11=132，i=11﹣1=10；判断10≥10，执行S=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9＜10，输出S的值为1320．故判断框中应填i≥10．故选：D．9．B【解析】根据题意，y=f（x+6）为偶函数，则函数f（x）的图象关于x=6对称，f（4）=f（8），f（5）=f（7）；故C、D错误；又由函数在（6，+∞）上为增函数，则有f（8）＞f（7）；又由f（4）=f（8），故有f（4）＞f（7）；故选：B．10．C【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=×2=，故体积V==，故选：C．11．B【解析】气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，由此得到：甲地肯定进入夏季，∵五个数据的中位数是24，众数为22，∴22℃至少出现两次，若有一天低于22℃，中位数就不是24℃，故甲地进入夏季；乙地不一定进处夏季，如13，23，27，28，29，故乙地不一定进入夏季；丙地不一定进入夏季，10×5﹣（30﹣24）2≥（24﹣x）2，∴（24﹣x）2≤14，x=21时，成立，故丙地不一定进入夏季．故选：B．12．C【解析】设P A与PO的夹角为α，则|P A|=|PB|=，y=•=||||cos2α=•cos2α=•cos2α=4记cos2α=μ．则y=4=4[（﹣μ﹣2）+]=﹣12+4（1﹣μ）+≥﹣12+8．当且仅当μ=1﹣时，y取得最小值：8．即•的最小值为8﹣12．故选：C．二.填空题13．0【解析】∵f（x）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）恒成立即x2﹣|x+a|=x2﹣|x﹣a|恒成立即|x+a|=|x﹣a|恒成立所以a=0故答案为：0．14．5【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43b=34第二圈k=4 a=44b=44第三圈k=5 a=45b=54此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．15．【解析】∵以向量，为邻边的平行四边形的面积为，∴．∵平面向量，满足||≤1，||≤1，∴，∵θ∈（0，π），∴．∴与的夹角θ的取值范围是．故答案为：．16．【解析】由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：三、解答题17．解：（1）∵=bc•cosθ=8，由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc•cosθ=b2+c2﹣16，∴b2+c2=32，又b2+c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16，当且仅当b=c=4，θ=时取得最大值；（2）结合（1）得，=bc≤16，∴cosθ≥，又0＜θ＜π，∴0＜θ≤，∴=2sin（2θ+）﹣1∵0＜θ≤，∴＜2θ+≤，∴sin（2θ+）≤1，当2θ+=，即θ=时，f（θ）min=2×，当2θ+=，即θ=时，f（θ）max=2×1﹣1=1，∴函数f（θ）的值域为[0，1]18．解：（1）=sin2ωx﹣cos2ωx﹣λ=2sin（2ωx﹣）﹣λ，∵函数f（x）的图象关于直线x=π对称，∴解得：2ωx﹣=kπ+，可得：ω=+（k∈Z），∵ω∈（，1）．可得k=1时，ω=，∴函数f（x）的最小正周期T==（2）令f（x0）=0，则λ=2sin（﹣），由0≤x0≤，可得：﹣≤﹣≤，则﹣≤sin（﹣）≤1，根据题意，方程λ=2sin（﹣）在[0，]内有解，∴λ的取值范围为：[﹣1，2]19．解：由题意可得=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t）﹣t，∴||2==（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜20．（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PDC，图1所示．∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD．∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．21．解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．22．解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•ln x0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•ln x+ln x﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣ln x），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣ln x）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•ln x+ln x﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣ln x），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣ln x）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．。