三种方法求解血液中酒精含量

3. 2 符号说明:
Xo( t) - x1(t ) : 吸收室, 中心室酒精量; K01 : 由吸收室到中心室的酒精转移系数;
K: 由 吸收室 分解 排放的 究竟 转移系
数;
C1( t ) : 体液中的酒精浓度;
v1: 体液的体积( ml ) ; D0: 饮入酒精量 ( ml ) ; f 0: 酒精由吸收室转移到中心室的 速率.
3 模型建立
首先我们对吸收室建立微分方程
接下来我们用Mat hemat i ca 来拟和表一
的数据得 K01=2. 6853，k =0. 1474
所以函数
4 模型求解
( 1) 给出快速喝一瓶啤酒时血液中的酒
精浓 度的 函数
通过
Mat hemat i ca的计算, 体液中酒精浓度达到最
大的时间在 1. 015h.
( 2) 给出快速喝三瓶啤酒后的血液究竟
浓度随时 间变化的函 数经
过计算, 在饮酒1. 0115h时酒精浓度达到最
大, 同时在 饮酒 13 . 1 62 9h 血液浓度大于
210- 4g/ ml .
五、第三个 模型的建立和 求解
1 模型的假设 （ 1 ）正 常人 在不 喝酒 的 情况 下，血 液中 酒精的 含量 为零 ；（ 2 ）酒 在短 时间 内喝 完； （ 3 ）喝 每一 瓶时 摄入 到血 液中 的酒 精 含量 是 相等 的 。
利用 Ma t he ma t i ca 软件，求得 a =20. 4488，b=- 11. 368，c =180. 065，d=- 4. 5299 6。为了使函数更加精确，由 y=2 0. 4488t 2—111. 368t 2+180. 065—4. 52996， （0 . 2 5 2 . 5 ）。将 不同的 t 值代入计算 可 知，当 t = 0 . 5 时，误 差较大 ，所以排 除这 一 点， 对其 他 六个 点再 次 利用 最小 二乘法，求得 a =1 7. 7671 ，b=- 101 . 51， c =172. 811，d =- 6. 65055。故在[ 0. 25， 2. 5 ] 内， 第一段函数为 y= 17 . 7 67 1t 2 — 101. 51t 2+172. 811t — 6. 65055。
酒 精 进入 血 液需 要 有 一个 吸 收的 过 程, 故可以认为是一个吸收室. 把人体分成 两个机体, 分别是血液较丰富的中心室, 和 血 液较贫乏的 周边室. 假设 每一个健康 的 人对酒精吸收能力是相同作者 简介: 李杰, ( 1984- ) , 男, 湖北襄樊人. 华中师范大学数 学 与统计学 学院, 所学专 业信息与计算 科 学.
[ 4] 蔡建平, 邢益冰. 酒后血液中酒精含 量的数学模型[ J ] . 浙江水利水电专科学校 学报, 2005( 3) .
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三种方法求解血液中酒精含量
李杰 （华中师范大学数学与统计学学院 武汉 430079）
摘 要： 本文通过微分方程，La pl a c e 变换, 最小二乘法等有关知识, 建立不同的数学模型对饮酒后血液中酒精含量进行计算, 给出人 在喝酒后不同时间内酒精含量的函数表达式. 同时给出了司机在饮酒后多长时间才符合驾车标准. 关键词： 房室模型 时间分割 常微分方程 拉普拉斯变换 最小二乘法
2 符号说明 yi 第 i 个时间血液中酒精含量；t i 第 i 次测量血液中酒精的含量的时间; y酒精的 含量 3 模型建立 （1 ） 由给 出的 参考 数据 ，通 过数 值 分析和对表格的观察，在[ 0. 25，2. 5] 的 时间内，图 形近似于抛 物线, 假设在 该段 时间内函数为y=at 3+bt 2+c t +d , 利用最小二 乘估计法求出a , b , c , d
( 2) 在[ 0. 25，9] 这段时间 内，近似 为一 个 常数 ，故 函 数图 形可 看 作是 反比 例函 数 图 象 ，设 函 数 表达 式 为
， 设 ，运 用 最 小 二 乘 法，目 标 函数：m i n ，解方 程 组：
利用 Ma t he ma t i c a 软件，求 解得到 m=158. 755 , n =10. 688。现在对 m , n 的值进行验证，由 y = 158. 755/ t +10. 68 8 计 算发现，t =2 . 5，3 ，4 . 5 三个时 刻误差较大 。排除这三个 时间点， 对其 他七个点最次运用最小二乘法求得m=179. 139，n=6. 63 712，根据以 上讨论求得第 二段函数为 y=179. 139 / t +6. 63712（2. 5 t 9 ）。
三、第一个数学模型的建立, 求解 和分析
1 模型假设 ( 1) 酒精从胃部向体液的转移速率, 向 外排出的速率分别与胃部和体液中的酒精 浓度成正比; ( 2) 啤酒的度数假设为5度; ( 3) 一瓶 啤酒为500ml ; 2 符号说明 D－饮入酒精量( mg) ; K12，K21，K01- 吸 收室, 中心室, 周边室之 间转移速率常 数; K 1 3 － 肝对 酒 精 的 分 解 速 率 常 数 ; V1，V2 －中心室, 周边室的体 积; C1( t ) ，C2( t ) －中心室和周边室平均酒 精浓度岁时间变化的函数; X0( t) X1( t ) X2(t ) －吸收室, 中心室, 周边 室内酒精的量 3. 3 模型建立及求解
六． 对三个 模型 总结
（1 ）从 以 上三 个模 型可 以看 出， 不 管喝 酒多少，酒精含量最高是在酒后 1~ 2 小 时 ，这 个 时间 是 大脑 最 迷糊 的 时间 ；
（2 ） 提 醒 司 机 朋 友 ， 饮 酒 不 要 过 量， 酒后 1. 5 小时 左右，最好不 要驾驶， 如果 是在短时间内喝完 2 瓶啤酒，那么大 约 1 0 小时以后 驾驶是安全 的。
人求C1( t ) 的最大值, 根据微分知识, 令 C1（t ） =0 解得 t =1. 30. 即人在饮酒后 1. 3h, 血液中的酒精浓度达到最大值.
四、第二个数学模型的建立, 求解
和分析
1 模型假设:
( 1) 酒精转移速率与酒精的浓度成正
比; ( 2) 酒精只是通过胃部进入体液;
( 4) 酒精只会通过体液排出体外.
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对于 公 式 D=50025%=50g=50000mg
其中
根据表一提供的数据, 利用Mat l ab中的 Lspc ur vef i t 优化函数进行回归拟和得到:
K01=1. 3866 A=2. 052 B=0. 7258 a=1. 1453 B=0. 1717
参考文献
[ 1] 赵东方. 数学实验与数学模型[ M] . 武 汉: 华中师范大学出版社, 2003.
[ 2] 李淳廉. 酒精如何被人体吸收[ DB/ OL] . www. ni co. com.
[ 3] 王 磊. 酒精在人体内分布的数学模 型探讨[ J] . 武汉船舶职业学院学报, 2005, ( 2)
（3 ）在 t [ 9 ，1 6] 时间段 内，由参 考数据分析，可用指数函数 y=he - k 来描 述。根 据最小二乘法求得 h=136. 68811，
k =0. 20 223 3，所以 y= 136 . 68 81 1e - 0. 2 223 3. 求得函数 为：
4 模型求解 通 过所 给 的 参考 数 据分 析 ，可 知酒 精含量最高时间在 2. 5 小时以前。下 面求 在[ 0. 25，2. 5] 内函数最大值，f ( t ) =17. 7671t 2 — 101. 51t 2+172. 811t — 6. 65055 f ` （t ）= 5 3. 3 0 1 3 t 2 — 20 3 . 02t +172. 811=0 得到 t =1 . 2 813 ，即血液中酒精含 量 最高 是在酒后 1. 28413 小时达到 最高。
2 体重约70kg的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后, 隔一定时间测量他的血液中酒 精含量( mg/ 100ml ) , 得到数据如下.
表一饮酒后人体内酒精含量与时间的 关系
3 《车辆 驾驶人员 血液，呼 气酒精含 量 阈值 与 检验 》规 定 ，血 液中 的 酒精 含
量大于或等于 20mg/ 100ml ，小于 80 mg/ 100ml 属于饮酒驾车，大于或等于 80 mg/ 100ml 属于醉酒驾车.
一、 问题的提出
人 们在 喝 完酒 以 后 ，酒 精会 随 着 血 液 流入 身 体的 各个 器 官和 组织 中 ，血 液 中酒精含量的高低直接影响人的反应能力 及清醒程度. 因此研究酒后血液中酒精含 量的动态变化过程, 对于指导人们( 特别是 司机朋友) 安全饮酒有重要意义
二、 给出参考数据
1 人的 体液 占人 的体 重的 6 5 %至 7 0%, 其 中血液占体重的 7%; 药物( 包括酒 精) 在血液中的含量与在体液中的含量大体 一样.
的, 吸收速率与酒精浓度成正比. V1， V2 不变, 可得:
-
由 Lapl含量
V1=
（人 体质量 体液 的密度 ）7 0 %
其中 A B a B是常数 K13 K12 K21 K01 的函 数。
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