有关Stirling数的四个恒等式
wallis公式与stirling公式的推广
wallis公式与stirling公式的推广Wallis公式与Stirling公式是多项式逼近无穷级数发展过程中的重要结果。
它们推广到非整数阶，就有了称为B-L类（Wallis-Stirling）的推广公式。
它们主要用于计算πnil、γ 和ζ函数。
B-L类公式又称为Wallis-Stirling公式，它是Wallis 公式和Stirling公式的推广，可用来计算非整数阶的函数。
具体来说，它可以用来求解某些类型的无穷级数的逼近表达式，也就是Wallis公式和Stirling公式的推广。
B-L类公式的形式如下：
z(n)=(1/n)(1+1/2+1/3+...+1/(n-1))(1+1/2(n-1)+1/3(n-
1)2+...+1/n(n-1)n-1+1/n(n-1)n)。
其中，n是一个正整数，n≥2，z(n)就是我们想要求解的函数，也就是B-L类公式求解的函数。
B-L类的推广公式的准确率要优于Wallis公式和Stirling公式，它也可以拓展到非整数阶，可以做到精确求解类型的函数，被广泛应用于数学计算中。
striling公式
Stirling公式是以苏格兰数学家詹姆斯·斯特灵命名的一种近似公式，它用于估计一个大数的阶乘。
该公式在数学和科学计算中经常用于涉及大数阶乘的问题。
Stirling公式表达式如下：
n! ≈√(2πn) * (n/e)^n
其中：
- n! 表示非负整数n 的阶乘，即从1 到n 的所有正整数的乘积。
- π是数学常数π，约等于3.14159。
- e 是自然对数的底数，约等于2.71828。
- √(2πn) 表示2πn的平方根。
Stirling公式是一种渐近近似公式，随着n 增大，逼近精度越高。
它在计算大数阶乘时特别有用，因为直接计算大数阶乘可能导致溢出或计算困难。
例如，我们使用Stirling公式来近似计算10 的阶乘：
n = 10
10! ≈√(2π* 10) * (10/2.71828)^10
10! ≈√(62.831853) * (3.678794)^10
10! ≈3598695.618741
实际的10! 的值为3,628,800。
从结果中可以看出，使用Stirling公式得到的近似值与实际值相当接近，特别是当n 增大时。
然而，需要记住Stirling公式仍然是一个近似值，在处理非常小的n 或需要高精度计算时可能不够准确。
斯特林数及其应用
斯特林数及其应用
斯特林数（Stirling numbers ）是组合数学中的一类数列，分为两种类型：第一类斯特林数和第二类斯特林数。
它们分别用来表示对一组对象进行排列或划分的方式数目。
斯特林数的应用广泛，包括在排列组合、数学、物理和计算机科学等领域。
第一类斯特林数（Stirling numbers of the first kind ）：
第一类斯特林数，通常表示为{n n
} 或 S(n,k)，表示将 n 个对象排列成 k 个非空循环的方式的数目。
具体应用包括：
● 圆排列问题： 表示将 n 个不同元素排列成 k 个非空圆排列的方式数目。
● 代数学： 与群论中的置换群相关，用于表示置换的乘法表示。
● 计算机科学： 在算法和计算机科学中，用于分析和计数一些特定排列问题的解空间。
第二类斯特林数（Stirling numbers of the second kind ）：
第二类斯特林数，通常表示为{n n
} 或 S(n,k)，表示将 n 个对象划分成 k 个非空子集的方式数目。
具体应用包括：
● 集合分割问题： 描述将 n 个元素分割成 k 个非空子集的方式数目。
● 概率论： 用于描述多项式分布中的多个事件发生的可能情况。
● 组合恒等式： 在组合学等领域中，用于表示一些组合恒等式。
这两类斯特林数在数学和应用科学中有着广泛的应用，它们提供了一种刻画排列和组合方式的有效数学工具。
Stirling 公式
谈Stirling 公式（转）彭宇煦12位粉丝1楼甲、一个机率问题什麽是一个事件(event) 的几率？这是机率论最基本也是争论最多的一个问题。
举最简单的例子来说明：丢一个公正铜板(fair coin)，出现正面(head) 的机率为这是什麽意思呢？常识性的解释大致是，将此铜板独立地丢「很多」次，那麽正面出现的次数「大约」占一半，这是在随机的说不准中很确定的事情。
所谓的「平均律」(the law of averages) 或「大数法则」(the law of large numbers) 隐隐约约就是指着这个解释。
不过，常识往往是含糊的或自相矛盾的，需要加以精炼。
事实上，「数学是精炼的常识」(Mathematics is refined comm on sense)。
常识是我们作观念探险之旅的出发点。
问1：丢2n 次铜板，正面恰好出现n 次的机率有多大？根据组合学，丢2n 次铜板，共有22n 种可能结果，假设每一种结果发生的机会均等，那麼2n 次中有n 次为正面的结果共有2nCn 种，故得机率为我们更有兴趣的问题是，当n 趋近时，p2n 会趋近於多少？上述常识性的解释似乎是说，，这成立吗？这需要对(1)式作精确的估算，於是引出了下面的问2：当n 很大时，如何估算？更明确地说：当n 趋近时，n! 的渐近相等式(Asymptotically equal formula) 是什麼？即要找一个「好用」(an) 使得我们希望找到这样的(an)，然后代入(1)式中计算出极限值，就可以检验上述常识性的机率解释是否正确。
n! 的渐近相等式存在吗？如何找？这就来到了Stirling 公式的大门口。
在文献上，有许多文章论述Stirling 公式的简化证明或机率式的证明，不过都只是在已经知道公式后，给出证明而已，并没有说出如何「看出」或「猜出」公式的追寻、探险过程。
因此令人有「美中不足」或「未尽妙理」的感觉。
本文我们就试著来补上这个缺憾，展示一种推测式的猜想过程。
组合数学中的Stirling数性质
组合数学中的Stirling数性质Stirling数是组合数学中一系列重要的数学对象，它们在许多领域都有广泛的应用，包括代数学、离散数学、概率论等。
Stirling数分为第一类Stirling数和第二类Stirling数，它们都有一些重要的性质和应用。
一、第一类Stirling数第一类Stirling数，通常用符号${{S(n,k)}}$表示，表示将一个n个元素的集合划分成k个非空的环排列的方法数。
具体来说，${{S(n,k)}}$表示n个元素的集合被划分成k个环排列的方法数。
第一类Stirling数有一些基本的性质。
首先，当n等于k时，${{S(n,k)}}$等于1。
其次，当n大于k时，${{S(n,k)}}$即等于将n个元素划分成k个环排列的方法数。
第一类Stirling数还满足递推关系，即${{S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1) \cdot S(n-1,k)}}$这个递推关系可以用来计算第一类Stirling数，并且可以用来证明第一类Stirling数的一些性质。
二、第二类Stirling数第二类Stirling数，通常用符号${{S(n,k)}}$表示，表示将一个n个元素的集合划分成k个非空的子集的方法数。
具体来说，${{S(n,k)}}$表示n个元素的集合被划分成k个非空的子集的方法数。
第二类Stirling数也有一些基本的性质。
首先，当n等于k时，${{S(n,k)}}$等于1。
其次，当n小于k时，${{S(n,k)}}$等于0，因为无法将n个元素划分成k个非空的子集。
第二类Stirling数也满足递推关系，即${{S(n,k) = k \cdot S(n-1,k) + S(n-1,k-1)}}$这个递推关系可以用来计算第二类Stirling数，并且可以用来证明第二类Stirling数的一些性质。
三、Stirling数的应用Stirling数在组合数学中具有广泛的应用。
斯特林数（Stirlingnumber）
斯特林数（Stirlingnumber ）在组合数学，Stirling 数可指两类数，第⼀类Stirling 数和第⼆类 Stirling 数，都是由18世纪数学家 James Stirling 提出的。
Stirling 数有两种，第⼀类和第⼆类Stirling 数第⼀类斯特林数：形如n m，也写作 s (n ,k )组合意义：s (n ,k ) 表⽰吧n 个数分成k 组，每组是⼀个环，求分成的⽅案数。
也就是⼀个轮⼦，怎么转都是⼀样的，如：1,2,3,4 和 4,1,2,3 只算⼀种⽅案。
递推式：s (n +1,2)=s (n ,1)+s (n ,2)⋅n即要么⾃成⼀个环，要么加⼊其它k 个环，可以插⼊n −1个位置。
（每两个数之间）当然边界条件00=1性质：1. s (n ,1)=(n −1)!2. s (n ,2)=(n −1)!×∑n −1i =11i3. ∑n i =0s (n ,k )=n !证明：1. 显然，我们把n 个元素排列起来，有n !种可能，⾸尾相接即可得到⼀个环。
这⾥⾯每种情况重复了n 次，因为可以旋转n 次，所以除以n ，得到s (n ,1)=(n −1)!。
2. 通过数学归纳法可以证明。
s (n +1,2)=s (n ,1)+s (n ,2)⋅n=(n −1)!+n (n −1)!n −1∑i =11i=(n −1)!+n !n −1∑i =11i =n !n +n !n −1∑i =11i =n !n∑i =11i3. 这⾥有⼀个巧妙地“算两次”⽅法。
⾸先构造⼀个问题，求n 个数的所有排列。
⾸先⽤乘法原理直接得出结论，ans =n !。
我们知道，对于⼀个排列对应⼀个置换，即：12...n a 1a 2...a n把这个置换中的上下对应位置连边，可以得到许多的环。
由于排列和置换是⼀⼀对应的，所以我们要求排列的个数，就是求⽤n 个元素组成环的⽅案数，所以我们枚举环的个数:[][]()n!=n∑k=1s(n,k)由于我们有s(n,0)=0，所以也可以写成：n∑k=0s(n,k)=n !第⼆类斯特林数：形如nk，也写作S(n,k)组合意义：S(n,k) 表⽰吧n个数分成k组，组内⽆序，每组没有区别。
浅谈Stirling数极其简单应用
浅谈Stirling数极其简单应用摘要组合数学中的许多问题是数学中的精华，组合数学的应用也涉及到自然科学的许多领域。
本文对Stirling数进行了研究。
本文的工作分为三部分：第一部分，介绍了Stirling数的概念和性质；第二部分列举了关于两类Stirling数之间的几个关系式。
重点介绍了两类Stirling阵之间的关系，并分别用Stirling阵和Stirling展开式证明了两类Stirling数的反演和互逆关系;第三部分则简单介绍了两类Stirling数的简单应用。
关键词：Stirling数；基本性质；关系；简单应用AbstractThe problems in combination of mathematics is the essence of mathematics.the application of combination of mathematics relates to many fields of natural science.This paper is divided into three parts: the first part,introduces the concept and the characteristics of Stirling number ; the second part lists several relations which is about two Stirling number . It focuses on the relations between the two types of Stirling array, using the Stirling matrix and Stirling expansion to proved the inversion and reciprocal relationship of the two kinds of Stirling numbers; the third part introduces the simple application of the two kinds of the Stirling numbers.Keywords Stirling number; basic characteristics; relations; simple application目录引言 (4)第一章 Stirling数的概念及其性质 (2)1.1 第一类、第二类Stirling函数的概念 (2)1.2 两类Stirling函数的性质 (3)1.3 两类Stirling数的解析表达式 (5)第二章两类Stirling数之间的关系式 (7)2.1 两类Stirling数之间的反演关系 (7)2.2 两类Stirling阵之间的关系 (8)第三章 Stirling数的推广和简单应用 (11)3.1 第一类Stirling数简单应用 (11)3.2 利用第二类Stirling数分配计数 (11)总结 (13)参考文献 (14)谢辞 (15)引言组合数学是既古老又年轻的数学分支，她的渊源可以追溯到公元前2200年中国的大禹治水时代，中外历史上许多著名的数学游戏是她古典部分的主要内容。
斯特林公式Stirling Formular
题目：关于阶乘的近似公式1.相关历史与进程历史上对阶乘的估计在数学上有着重要的作用，首先是它在概率论与数理统计中，最早可以追溯到1733年一位法国的数学家de Moivre 的工作，同时也是第一次遇到对整数阶乘的估计问题。
在他研究Gauss 分布和中心极限定理时发现了如下公式：!constant nn n e ⎛⎫≈ ⎪⎝⎭然后，瑞典数学家Stirling在试图给出二项分布的一般的近似值时，发现了未知的常数：constant =Stirling 公式：!nn n n e σ⎫≈=⎪⎭紧接着他就得到如下的结果，并发表在了Miscellaneis Analyticis Supplementum 中：221111ln[(1)!]~ln()ln(2)222(21)k k k B n n n n k k nπ-≥⎛⎫---++ ⎪-⎝⎭∑ (1)公式(1)也被称为Stirling 级数，其中的2k B 称为Bernoulli 数，定义如下：0011,0kj j k B B j =+⎛⎫== ⎪⎝⎭∑其中1k ≥。
将(1)式的前m 项记为2211exp 2(21)nm k m k k B n e k k x τ-=⎛⎫⎫= ⎪⎪-⎭⎝⎭∑同时Euler 提出了一个函数，它可以作为整数的阶乘在正实数中的拟合。
这函数便是Γ-函数：10()t z z e t dt +∞-Γ=⎰，也可以定义为极限的形式：!()lim(1)()zn n n z z z z n →∞Γ=++而且显然有(1)!n n Γ+=，而且目前对阶乘的估计也或多或少的用Γ-函数来描述，甚至利用Γ-函数的性质来发现新的更好的渐进函数。
之后，关于!n 的渐进公式的探索逐渐缓慢下来。
直到最近才有了新的突破。
2.第一种有关!n 的渐进形式——含有幂级数的渐进公式依靠幂级数来求数值解的思想一直是较好的方法。
其中在Stirling 所处的时期便已经有了一个幂级数展开，而且拥有着各种相似的形式，如在Abramowitz 和Stegun [1]的书中记载着：3571111!exp 1236012601680nn n e n n n n ⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭但是在1763年Bayes [5]在给Canton 的信中说：Stirling 给出的这个幂级数展开并不是一个收敛级数。
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（） ２
二 （二 ！ ２
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显 然有 Ｓ ｎｎ （ ， ）＝ １ Ｓ ｎ ｎ一１ ，（ ， ）： 凡 ， （ ｚ一１ ／ ． ）２ 因此， 我们可以计算 ． ｎ —Ｊ 的值 ， 中 后＝２３４５ 若 ｓ ， （ ｉ ｝ ） 其 ， ，．
中图分 类号 ： １７ ０ ５ 文献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ １ ８ ６ ２ １ ） １ ０ ５０ １７ 。 ７ （ ００ ０ — ０ —６ ６ ０
０ 引言
令 Ｚ， Ｃ分别 为 整数集 ， 整数 集 和复数 集 ． … 证 明了如下 结果 ： Ｎ， 正 孙 引理 １ 令 ， 变量 ， ｎ∈ Ｎ． ＿ １ ｄ是 ｍ， １ 若 ≤ ， ） 则
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本文就是利用上述工具 ， 得到 了四个与 Ｓｉｉ 数有关的恒等式 ． ｔｌ ｇ ｒｎ 为了证明这几个恒等式 ， 我们需要 引入 如下 的引理 ．
第 ９卷第 ｌ 期
２１ ００年 ２月
淮阴师范学院学报 （ 自然科学 ）
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收 稿 日期 ： ０９１．８ ２０ ．２２
基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目（０ ７０８ １９ １７ ） 作者简介 ： 王林林 （９６） １８ ．，女 ， 江苏涟水人 ，硕士研究生 ， 研究方 向为 图论
骞 ）１（ ｄ十的等 ，中， 复 ｐ ｛，｝， 正数 得 （（ ｏ 二）一 恒 式其 为 数 ∈２４，凡 整使 一 － ， Ｐ ｒ ｄ ，，ｍ 是 ３５
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有关 Ｓ ｒｎ 数 的四个恒等式（ 州师 范大学 数学科学学院 ，江苏 徐 州 徐 ２ １１ ） ２ １６
摘 要 ：利用 组合 变换研 究 了一些特 殊形 式 的和 式 并揭 示 了其 与 Ｓｄｎ 之 间 的关 系 ， ｔｉ ｉ ｇ数 得到 几 个 与 Ｓｉｉｇ数有 关 的恒等 式 ． ｔｌ ｒｎ 关键 词 ： ｔｌｇ数 ；恒 等式 ；组合 和 Ｓｉｉ ｒｎ
１ 主 要 引 理
引理 ２ 令 ， ｕ ｄ为变 量 ， ∈ Ｎ， ∈ Ｚ， ≥ Ｏ则 有 ｍ， ｉ ｉ ，
塞： ・ ＝！（ （ ｍｍ） ．＋ｎ． （（ 二 ｍｋｊ － ， ｓ ） ） （ 一 ｎ ＝） ｋ （ ， ｆ 一 （ ） ｊ 后
引理 ３ 令 ｍ， … ｎ∈ Ｎ， ｎ≥ ｍ， 则
６
淮阴师范学院学报（ 自然科学 ）
第９ 卷
１ （一）ｎ｝： ｆｍ』Ｌ， 、 ｎ Ｓ ， ∑ ， ， ｍ （｜ ｉ ） １ ｎ ）
＋１ ｍ≤ ｎ、 ≤ 一
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由上面 式 子 和 ｓ ｎ 一 ）及 － ｎ， — Ｉ （， ｓ ｎ ｉ （ ｝ ）的值 ＝ １２３凡 ，） 在 第 ２节 ， 给 出几 个 关 于 和 式 （ ｋ ，， ５ ， ４ 将