清华大学大学物理-光的衍射-1c

a sin 0
a sin 2k ，k 1,2,3…
2

……中央明纹(中心) ……暗纹(中心) （注意k 0）

a
中央亮纹的边缘对应的衍射角1，称为 中央亮纹的半角宽 sin1

2
而 a sin ( 2k 1) ，k 1,2,3 … ……其他明纹(中心) （注意k 0）
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘 2.定义： 而偏离直线传播的现象叫光的衍射。
3.分类：
障碍物 光源 S
观察屏
*
L
B
D
P
（1）菲涅耳衍射 — 近场衍射 L 和 D中至少有一个是有限值。
（2）夫琅禾费衍射 — 远场衍射 L 和 D皆为无限大（也可用透镜实现）。
圆孔的衍射图样：
L S P1 P2 P4
I
注：若a<, 则sin= /a >1,以上的理论分析不成立
2.干涉和衍射的联系与区别：
从本质上讲，干涉和衍射都是波的相干叠加， 没有区别。 通常：干涉指的是有限多的子波的相干叠加， 衍射指的是无限多的子波的相干叠加，
二者常常同时存在。 例如，不是极细缝情况下的双缝干涉， 就应该既考虑双缝的干涉，又考虑 每个缝的衍射。
l d
a
θ
1
150
【解】将雷达波束看成集中在单缝衍射的0级明纹上，
30m m 0.15 有 si n 1 a 0.20m 1 8.63°

1 8.63°
l d
a

θ
1
150
β
如图 所以 l
15° 1 23.63° 15° 1 6.37°

a
—— 衍射反比定律
2. 其他明纹（次极大）宽度
在 t g sin 时， 有

k xk f sin k f ， a 1 x f x 0 a 2
—— 单缝衍射明纹宽度的特征
前面的实验规律得到了解释：
(1)中央亮纹最亮，其宽度是 3/a 其他亮纹的两倍； 2/a 其他亮纹的宽度相同； 亮度逐级下降（为什么？)。 /a (2) 缝 a 越小，条纹越宽。 (3) 波长 越大，条纹越宽。
又 I E2 p 光强公式
，I 0
2 E0
， 得到
2
sin I I0
光强公式：
sin I I0
π a sin
2
其中

，
1. 主极大（中央明纹中心）位置
0 处， 0
sin
I I0 Imax
屏幕
二 . 半波带法 考虑屏上的 P点 (它是 衍射角 S 平行光的会聚点)。 *
缝平面 透镜L B 观察屏 透镜L
a

p ·

f
Aδ
f
0
当 =0时, P 在 O 点,为中央亮纹的中心； 这些平行光到达 O点是没有相位差的。 当 时,相应P点上升，各条光线 之间产生了相位差，所以光强减小；
sin
单缝衍射图样
演示 单缝衍射
三. 条纹宽度 1.中央明纹宽度
a 时， si n1
衍射屏透镜


观测屏 x2 x x1
1

a
1

a
0
0
x0
I
角宽度 0 2 1 2

a
f
线宽度 x0 2 f tg 1 2 f 1
2f
E0 ( p) cos t ( p)
2 0
p 处波的强度 I p E ( p) 计算 E(p) 相当复杂（超出了本课范围）。
下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法 ……半波带法，
§4.2 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法
一 . 装置和光路
缝平面 透镜L 透镜L B
S
*
f
第4章
光的衍射
§4.1 光的衍射和惠更斯-菲涅耳原理 §4.2 单缝的夫琅禾费衍射 §4.3 光学仪器的分辨本领 §4.4 光栅衍射 §4.5 光栅光谱
§4.6 X射线的衍射
§4.1 光的衍射和惠更斯—菲涅耳原理
一. 光的衍射 1.现象
衍射屏 观察屏 衍射屏 观察屏 L
*
S

a
S
L
一般a ≯ 103
a

观察屏 p
·
0
S：单色线光源
AB a（缝宽）

Aδ
f
： 衍射角
▲
A→p和B→p 的光程差为
a sin
单缝衍射图样的主要规律：
(1)中央亮纹最亮； 中央亮纹宽度是其他亮纹 宽度的两倍； 其他亮纹的宽度相同； 亮度逐级下降。 (2)缝 a 越小，条纹越宽。 （即衍射越厉害） (3)波长 越大，条纹越宽。 （即有色散现象)
所以两个“半波带”上发的光，在 P 点处 干涉相消，就形成第一条暗纹。
当 再 ， =3/2时，可将缝分成三个“半波带”，
B a A θ a B θ
λ / 2
A
λ / 2
其中两个相邻的半波带发的光在 P 点处干涉相消， 剩一个“半波带”发的光在 P 点处叠加，P点 处即为 中央亮纹旁边的那条亮纹的中心。 当 = 2 时，可将缝分成四个“半波带”， 它们发的光在 P 处两两相消，又形成暗纹…… 一般情况：
0 -/a
-2/a
sin
屏幕
-3/a
思考：从衍射角度分析, 广场上的音柱为何竖放而不横放？
杨氏双缝干涉实验 …比奥 …拉普拉斯 …盖·吕萨克 …泊松
菲涅耳
又出现单缝衍射实验。
1818年巴黎科学院征文，“如何解释单缝衍射实验”
…泊松 …阿喇果
泊松点
分析与讨论：
1. 极限情形：
当缝极宽（ 0 ）时，各级明纹向中央靠拢， a 密集得无法分辨，只显出单一的亮条纹， 这就是单缝的几何光学像。 此时光线遵从直线传播规律。
次为0.0472I0 ， 0.0165I0， 0.0083I0 …
1 I / I0
相对光强曲线
0.017 0.047
2
I次极大 << I主极大
sin
0.047 0.017 0
a
2

a


a

a
例题。 已知：一雷达位于路边 d =15m 处, 射束与公路成 150 角，天线宽度 a = 0.20m， 射束波长 = 30mm。 求：该雷达监视范围内公路的长度 l = ?
Ep
圆弧对应的圆心角为 。 E0 a sin Φ N 2π EP Φ E p 2 R sin ， E0 RΦ R 2 E0 E0 Φ Ep sin Φ 2 2
Φ π a sin 令 ， 2 si n E0 Φ E0 ， 有 Ep sin Φ 2 2
四. 用振幅矢量法推导光强公式 将缝等分成 缝平面 透镜 观测屏 x

缝宽a B x
C A
p

xsin
f 0
每个 N个窄带， 窄带宽为： a x N
各窄带发的子波在p点振幅近似相等,设为E0， 相邻窄带发的子波到 p点的相位差为： x sin a sin 2 π 2π （ N 很大） N
1
2. 极小（暗纹）位置
当
k π（k 1,2,3）时，
sin 0 I 0
由

π a sin

kπΒιβλιοθήκη 此时应有a sin k
这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
dI 0 tg 3. 次极大位置： 满足 d y y1 = tg y2 =

所以几何光学是波动光学在 /a 0时的极限情形。
如果照相机的光圈非常非常小， 我们照出的照片将是……
当缝极细（ a ）时，sin 11，1 /2 衍射中央亮纹的两端延伸到很远很远的地方, 屏上只接到中央亮纹的一小部分(较均匀), 当然就看不到单缝衍射的条纹了。
回忆：在讲杨氏 双缝干涉时,我们 并不考虑每个缝 的衍射影响， 当时一再申明： “缝非常非常的细” ， 就是这个缘故。
第一暗纹的 是多大呢?
当 光程差 = a sin = 2×/2 时, 如图所示，可将缝分成了两个“半波带”：
-----衍射角. B 半波带 θ
1 2 1′ 2′
a
半波带
A
1 2 1′ 2′
半波带 半波带
λ /2
两个“半波带”上相应的光线1与1’在P点的相位差为 两个“半波带”上相应的光线2与2’在P点的相位差为
d (ctg ctg )
15(ctg6.37° ctg 23.63° ) 100m
B
屏上图形：
P3
孔的投影
菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射
刀片边缘的衍射
圆屏衍射 （泊松点）
二. 惠更斯—菲涅耳原理 波传到的任何一 点都是子波的波 源， 各子波在空间某点
的相干叠加，就决 定了该点波的强度
A.J.菲涅耳
二. 惠更斯—菲涅耳原理 该点波的强度
a(Q ) K ( ) d E ( p) dS r
p点处是多个同方向、同频率、同振幅、 初相依次差一个恒量 的简谐振动的合成，
合成的结果仍为简谐振动。 p点合振幅Ep 就是各子波的振幅矢量和的模。 对于中心点：
= 0， = 0，E0 = N E0 。
E0 E0
…
对于其他点 p： ≠ 0， Ep < E0 。 当N 时， N个相接 的折线将变为一个圆弧，