三角函数.板块二.三角函数的图像与性质1.学生版
三角函数的图像和性质学生讲义 -
三角函数的图像和性质1.诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππⅣ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 2、三角函数公式1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==3、三角函数的图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 “五点法”描图(1)y ＝sin x 的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为： (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2.周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()+=f x T f x 都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数4．由y ＝sin x 的图像变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图像一般有两个途径利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图像向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图像。
三角函数的图象与性质 - 学生版
三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1]R 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性递增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ， 递减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z 递增区间：[2k π－π，2k π]，k ∈Z ， 递减区间： [2k π，2k π＋π]，k ∈Z递增区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2， k ∈Z 对称性对称中心 (k π，0)，k ∈Z对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z 对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 对称轴 x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称轴 x ＝k π(k ∈Z )[常用结论] 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； ②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． (2)若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则①f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z ； ②f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z . 题型一：三角函数的定义域、值域【例1】 (1)函数y ＝2sin x －3的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z )(2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3(3)(2019·长沙模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．(3)函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为________．题型二：三角函数的单调性【例2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，则ω＝________.(3)(2018·全国卷Ⅱ改编)若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．[拓展探究] 本例(2)中，若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，试求ω的取值范围．(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.题型三：三角函数的周期性、奇偶性、对称性►考法1 三角函数的周期性【例3】 (2019·大连模拟)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③►考法2 三角函数的奇偶性【例4】 函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为________．►考法3 三角函数的对称性【例5】 (1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2(1)(2019·石家庄模拟)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的最小正周期为π，其图象关于直线x ＝π3对称，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.5π6D.5π12(2)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8课后练习：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ( )(2)y ＝sin |x |是偶函数．( )(3)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称． ( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1. ( ) 2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的最小正周期为( )A.2πB.π2 C ．2π D ．2 3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π 5．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________． 6．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．πD ．2π8．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减9．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．。
高中数学教案：三角函数的性质与图像
高中数学教案：三角函数的性质与图像三角函数是高中数学中的重要内容，不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程等领域也起着重要的作用。
掌握三角函数的性质与图像对于学生来说至关重要。
本文将围绕三角函数的性质与图像展开讲解，分为两个部分进行说明。
一、三角函数的性质1. 周期性：正弦函数(sin)和余弦函数(cos)是周期性函数，周期为2π（或360°），即f(x+2π) = f(x)。
这意味着函数曲线在每个周期内会重复出现相同的形态。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，而余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
奇偶性可以通过图像上的对称关系进行判断。
3. 正交关系：正弦和余弦函数之间存在正交关系，即∫sin(x)cos(x)dx = 0。
这意味着两者之间不存在直接的线性相关性。
4. 单调递增与递减：根据定义域内正弦和余弦函数的增减特点可以得知，在某些区间内它们是单调递增或递减的。
5. 平移变换：改变函数的相位(shift)可以使得函数图像水平方向上发生移动，例如sin(x+π/2)与cos(x)的图像是一样的。
二、三角函数的图像1. 正弦函数的图像：正弦函数是一条连续波浪线，它在原点处取得最小值0，在每个周期内起伏变化。
其振幅决定了在y轴上最高点和最低点之间的距离，而周期决定了在x轴上一个完整波浪长度。
通过控制振幅和周期，可以改变正弦函数在坐标平面上的形态。
2. 余弦函数的图像：余弦函数类似于正弦函数，也是一条连续波浪线。
它与正弦函数之间存在相位差π/2，即cos(x)=sin(x+π/2)，所以他们图像上只有水平方向发生了移动。
除此之外，余弦函数具有与正弦函数相似的性质和特点。
3. 正切函数的图像：正切函数(tan)是一个无界且周期为π（或180°）的曲线。
它在定义域内有无数个渐近线（垂直或水平），并且存在奇点(pi/2 + k*pi, k为整数)，奇点处不能成立该点的函数值。
三角函数的基本性质和图像
三角函数的基本性质和图像三角函数是数学中的重要概念，它们具有许多基本性质和特点，同时它们的图像也是我们学习和理解三角函数的关键。
本文将介绍三角函数的基本性质和图像，并对其进行详细解析。
1. 正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)。
它的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]。
正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，沿着x轴振荡，且在x = 0、π、2π等处取得极值。
当x为0、π、2π等整数倍时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2等半整数倍时，正弦函数取得最大或最小值。
正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是另一种基本的三角函数，表示为cos(x)。
它的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像也是一个周期为2π的曲线，与正弦函数的图像关于y轴对称。
当x为0、π/2、π、3π/2等半整数倍时，余弦函数的值为1或-1；当x为π、2π等整数倍时，余弦函数的值为0。
余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中的另一个常见函数，表示为tan(x)。
它的定义域为所有实数，但在一些特殊点上未定义，比如x = π/2、3π/2等。
正切函数的值域为(-∞, +∞)，没有明确的上下界。
正切函数的图像是一个在每个π/2的区间内无限增大或无限减小的曲线。
正切函数是奇函数，即满足tan(-x) = -tan(x)。
4. 反三角函数除了正弦、余弦、正切函数外，还存在其它一些与之相关的反函数，如反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）和反正切函数（arctan）。
这些函数的定义域和值域与对应的三角函数范围相反，并且它们的图像与原函数进行镜像。
以上就是三角函数的基本性质和图像的介绍。
通过对这些性质的了解和图像的观察，我们可以更好地理解和应用三角函数。
三角函数的图像及性质(学生版)
三角函数的图像及性质【知识要点】y ＝sin xy ＝cos x y ＝tan x{ π2.求周期：()sin y A x k ωα=++，2T πω=【课前小练】 1. 函数tan 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域是____________ 2. 函数()sin 10y A x A =+>的最大值是3，则它的最小值是____________3. 函数2cos y x =在区间[],0π-上是________函数，在区间[]0,π上是_________函数。
4. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A. cos 2y x =B. sin 2y x =C. tan 2y x =D. sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【例题解析】考点一 三角函数的定义域与值域 例1：函数()2sin 2-=x x f 的定义域（以下Z k ∈）是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22,42ππππk k B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-22,42ππππk kC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++432,42ππππk k D. R 例2：求下列函数的值域： 1）2sin 3y x =- 2）()sin ,,;36f x x x ππ⎡⎤=∈--⎢⎥⎣⎦ 3）()()2sin 2,,;63f x x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦ 4）sin 2sin xy x =+变式1： 求下列函数的定义域1）函数x x y tan 1)1sin 2lg(-++=的定义域为____________2）函数()lg sin y x =____________ 3）函数()sin tan f x x x =++的定义域为____________变式2：求下列函数的值域 1）()3sin ,,;44f x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦2）()311113sin 21,,;2128f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=-+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3）()2cos sin ,44f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.考点二 周期性例3：求下列函数的最小正周期(1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；(3)sin y x =．例4：设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π 的函数，若cos (0)()2sin (0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则15()4f π-的值等于 （） A ．1 BC ．0 D． 变式3：1）求下列三角函数的周期：；；；2）函数的最小正周期为（） A.2πB.πC.π2D.无最小正周期 3）函数xxx y cos 1sin tan ++=的最小正周期是___________s in2y x =|c o s2|y x =3sin ()25x y π=+x y tan =考点三 函数的单调性 例5： (1)函数)32sin(π+=x y 的单调递减区间为_____________.(2)函数()2sin f x x ω=在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，那么ω的取值范围是（） A. 120,5⎛⎤⎥⎝⎦B. (]0,2C. (]3,2-D. []2,2- 变式4: 1）已知函数)23sin()(x x f -=π，则函数在[]0-，π上的单调递减区间为__________.2）函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ．A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈B ．11(2,2)()6k k k Z ππππ++∈ C ．(2,2)()6k k k Z πππ-∈D ．(2,2)()6k k k Z πππ+∈3）若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减,则ω=（）A ．8B ．2C ．32D ．234）已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2]考点四 三角函数的奇偶性与对称性 例6：1）求cos(3)5y x π=+的对称中心和对称轴.2）函数|tan |x y =的周期和对称轴分别为（ ） A ．)(2,Z k k x ∈=ππB ．)(,2Z k k x ∈=ππC ．)(,Z k k x ∈=ππD ．)(2,2Z k k x ∈=ππ例7：已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（ ）A ．0 B. 1 C. －1 D. ±1变式5：1）函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为（ ） A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x 2）设函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 4πx x f ()R x ∈，如果有1x 与2x 满足()()021==x f x f ，那么21x x -与π的关系是_________________.3）如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点)0,34(π中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π24）已知函数3()sin ,(1,1)f x x x x =+∈-，如果2(1)(1)0f m f m -+-<，则m 的取值范围是.【课后练习】1、判断下列说法是否正确： 1）()sin f x x =在()2,232k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上是增函数（ ）； 2）()sin f x x =在[]()22,42k k k Z ππ++∈上是增函数（ ）； 3）()sin f x x =函数图像上相邻两个对称中心横坐标的差是2π（ ）； 4）20132x π=-是()sin f x x =函数图像的对称轴之一（ ）. 2.方程cos x x =在(),-∞+∞内（ ）A.没有根B. 有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根3.直线y m =与曲线()()cos 0,2y x x π=∈的图像有两个交点()1,x m 和()2,x m ，则m 的取值范围是_________，12x x +=_________.4.已知函数()cos f x x =定义域为[]0,π，求解不等式：()()22f x f x >+5.函数()2sin ||2f x x π=-的部分图象是（ ）6.对于函数⎩⎨⎧≥<=x x x x x x x f cos sin cos cos sin sin )(，，，则下列说法正确的是（ ）A. 该函数的值域是[]1,1-.B. 当且仅当()Z k k x k ∈+<<222πππ时，0)(>x f .C. 当且仅当()Z k k x ∈+=22ππ时，该函数取得最大值1.D.该函数是以π为最小正周期的周期函数.。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的一类特殊函数，以其图像的周期性和性质的多样性而被广泛研究和应用。
本文将介绍三角函数的图像特点和基本性质。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
其图像为周期性曲线，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的值在[-1,1]之间变化。
图像在x轴上的零点是正弦函数的特殊点，记为x=kπ，其中k为整数。
正弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
正弦函数的性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。
余弦函数的图像也是周期性曲线，其周期同样为2π。
在一个周期内，余弦函数的值同样在[-1,1]之间变化。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
余弦函数的性质：1. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中另一个常见的函数，用tan(x)表示。
正切函数的图像为周期性曲线，其周期为π。
正切函数的图像在x=kπ+π/2时会出现无穷大的间断点，即tan(x)在这些点是无界的。
正切函数的性质：1. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数在过一个周期后会重复。
2. 奇偶性：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他与它们密切相关的三角函数。
1. 反正弦函数：用arcsin(x)表示，表示一个角的正弦值等于x，返回值在[-π/2, π/2]之间。
三角函数图像与性质
三角函数图像与性质
三角函数是基本的初等函数之一，它以角度为自变量，以任意角度的终边与单位圆或其比值的交点坐标为因变量。
接下来看看常见三角函数的图像和性质。
三角函数的图像
三角函数的性质
1.正弦函数
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。
正弦值在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。
图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
2.余弦函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°(如图所示)，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为
cosa=AC/AB。
余弦函数：f(x)=cosx(x∈R)。
余弦值在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。
图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
3.正切函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是
tanB=b/a，即tanB=AC/BC。
正切值在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)。
图像：右图平面直角坐标系反映
定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：实数集R。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型一：三角函数的单调性与值域【例1】 函数1()tan 44y x x ππ=-<<的值域是（ ） A [1,1]- B (,1)(1,)-∞-+∞ C (,1]-∞D [1,)-+∞【例2】 利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小：（1）tan(138)- 与tan125 ；（2）12tan()5π与16tan()3π-。
【例3】 函数cos(sin )y x =的值域为_______ 【例4】 若函数cos y a b x =-的最大值是32，最小值是12-，求函数4sin y a bx =-的最大值与最小值及周期。
【例5】 函数12sin y x =-的值域是（ ）。
A [2,1]- B [1,3]-C [0,1]D [2,2]-【例6】 下列说法①sin1sin 2<②sin 2cos 2<③sin 4cos 4<④1913sincos()1010ππ<-，其中正确的是（ ）A ①②B ①③C ②③D ③④【例7】根据正弦函数的图像得使不等式2sin 0,R x x ≤∈成立的x 的取值集合为（ ）A 3[,]44ππ--B 3[,]44ππC 3[2,2]44k k ππππ-+-+ D 3[2,2]44k k ππππ++ 【例8】 比较大小：sin 510 ___________sin142 ；cos 750 ___________cos(760)- 。
典例分析板块二.三角函数的图像与性质【例9】 函数3sin(3),[,]622y x x πππ=-∈-的单调递增区间是_________。
【例10】 利用图像解不等式tan()6x π+≤【例11】 比较tan 3与tan 8的大小。
【例12】 已知()sin (0)363f x x ff ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________.【例13】 函数s i n 3πy x =在区间[0]t ，上恰好取得最大值，则实数t 的取值范围是 .【例14】 设函数()2sin()25ππf x x =+,若对任意R x ∈,都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小值( )A.4B.2C.1D.12【例15】 求下列不等式x 的取值范围.⑴2sin 10x +≥；⑵2cos(3)106πx +-≤.【例16】 设1(0)2x ∈-，，1cos(sin )πa x =，23sin(cos cos π),π(1)a x a x ==+,比较123a a a ，，的大小.【例17】 求使1cos 1ax a+=-有意义的a 的取值范围.【例18】 求函数22sec tan sec tan x xy x x-=+的值域.【例19】 求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.【例20】 函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值_____________________.【例21】 设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =图像的一条对称轴是直线8x π=，（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调增区间。
题型二：三角函数的周期与对称【例22】 求下列三角函数的周期：（1）sin()3y x π=+；（2）3sin()25x y π=+。
【例23】 函数2sin(4)3y x π=-的最小正周期是（ ）。
A πB 2π C2πD 4π【例24】 函数5sin(2)2y x π=+图像的一条对称轴方程是（ ） A 4x π=-B 2x π=-C 8x π=D 54x π=【例25】 如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π【例26】 函数()s i n ()(0,f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如下图所示，则(1)(2)(3)f f f +++…(11)f =【例27】 函数tan()(0)4y ax a π=+≠的最小正周期为（ ）。
A 2a πB 2||a πC ||a πD aπ【例28】 下列函数中，不是奇函数的是（ ） A sin tan y x x =+ B tan 1y x x =- C sin tan 1cos x x y x -=+ D tan lg 1tan xy x-=+【例29】 若函数2tan(2)(0)6y ax a π=+≠的最小正周期是3，则a =___________。
【例30】 求函数tan(3)4y x π=-的周期和单调区间。
【例31】 求函数1cos sin (1tan )sin xy x x x-=+的最小正周期。
【例32】 已知函数15()sin(2)264f x x π=++，（1）求()f x 的最小正周期及单调区间； （2）求()f x 的图像的对称轴和对称中心。
【例33】 已知函数()2s i n 26πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，R x ∈，若有10个互不相等的正数i x 满足()2i f x =，且10πi x <(12310),,,i =⋅⋅⋅，求1210x x x ++⋅⋅⋅+的值【例34】 设函数()f x 的图象与直线x a =，x b =及x 轴围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数sin y nx =在0π,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为2n (N )n *∈，⑴sin 3y x =在203π,⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为 ； ⑵sin(3)1πy x =-+在433ππ,⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为 ．【例35】 设()f x 是定义在R 上且最小正周期为3π2的函数，在某一周期内，cos2,0,()sin ,0,π2πx x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪<⎩≤≤ 则154πf ⎛⎫- ⎪⎝⎭= .【例36】 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当[0]2π,x ∈时，()sin f x x =，则5()3πf 的值为（ ） A . 12- BC. D .12【例37】 函数()cos(3)R f x x x ϕ=+∈，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ）Ａ.3πＢ.2ππk +，Z k ∈ Ｃ.Z πk k ∈，Ｄ.2Z 2ππk k -∈，【例38】 已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立.⑴函数()f x x =是否属于集合M .说明理由.⑵设函数()x f x a =(0a >且1a ≠)的图象与y x =的图象有公共点，证明()x f x a M =∈⑶若函数()sin f x kx M =∈，求实数k 的取值范围.【例39】 若函数()2cos(2)f x x ϕ=+对任意实数x 都有()()66f x f x ππ-=+．（１） 求()6f π的值；（２） 求ϕ的最小正值；（３） 当ϕ取最小正值时，求()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【例40】 求20082007()(sin )(cos )f x x x =+的最小正周期【例41】 设()sin (0)53πkf x x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭⑴求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．⑵求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值m ．【例42】 求函数()f x =题型三：三角函数的平移伸缩变换【例43】 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行称动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是A ．πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．1πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【例44】 要得到函数y x 的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的（ ）A 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度C 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度D 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度【例45】 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,2x 和()03,2x π+-．（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象．写出函数()y g x =的解析式并用“五点法”画出()y g x =在长度为一个周期的闭区间上的图象．【例46】 画出函数3sin(2),3y x x R π=+∈的简图，并说明此函数图形怎样由sin y x =的图像变化而来。
【例47】 把函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的12，所得函数的解析式为（ ）。
A sin 4y x = B cos 4y x = C sin(4)8y x π=+D sin(4)32y x π=+【例48】 要得到cos(2)4y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像（ ）A 向左平移8π个单位 B 向右平移8π个单位 C 向左平移4π个单位D 向右平移4π个单位【例49】 把函数4cos()3y x π=+的图像向右平移φ个单位，所得到的图像正好关于y 轴对称，则φ的最小正值是___________。
【例50】 已知函数()sin 4πf x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()R 0x ω∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度【例51】 设0ω>，函数πsin 23y x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．3【例52】 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位【例53】 试述如何由1sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到sin y x =的图象。