用“放缩法”证明不等式的基本方法
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.解析:1因为,所以2因为,所以奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案4首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例 4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路:。
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
放缩法技巧全总结
放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析n35 (12) 11)1()1()1)(1(23--+⋅⎪⎪⎭ ⎝+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(21112131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i nin1+例解所以当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n.n++-m k 11]例例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n+++--<++++ΛΛ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ解析例-in i n -取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ例11.求证:e n <+⋅⋅++!11()!311)(!211(Λ和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案题) 例13.证明:)1*,()1(ln 4ln 3ln 2ln >∈-<++++n N n n n n Λ 例解析即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n来放缩：.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=na a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(kg x g ≥而,2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k kk k k f k f k g -=-==-+=即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+令,,b x k a x=-=则.b a k +=例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x)n x +令2)1(n x n +=,有 所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n nn n ∈++>++++++Λ(方法二)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++21114ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(222n n n n n n n n n 所以)2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n Λ 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 和)0,0(>>>++<m b a m a mb a b记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:121211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和121211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得 ⇒例2)21n n > 例{}n B 满足OA . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n +=∴=∈,又直线nnA B 在x 轴上的截距为n a 满足 显然，对于1101nn >>+，有*14,nn a a n N +>>∈(2)证明：设*11,n n nb c n N b +=-∈，则设*12,n n S c c c n N =+++∈L ，则当()*221k n k N =->∈时，212311112222222k k k -->⋅+⋅++⋅=L 。
例谈放缩法证明不等式的基本策略
03
放缩法证明不等式的案例分析
案例一：利用逐步调整法证明不等式
总结词
详细描述
逐步调整法是一种通过逐步调整不等 式的两边，以达到证明不等式目的的 方法。
逐步调整法通常需要找到一个可调整 的不等式，通过逐步调整该不等式的 两边，使不等式的左边逐渐增大，右 边逐渐减小，从而证明原不等式成立 。
实例
例如。要证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} > \ln(n + 1)$。可以先从左边减去 $\frac{1}{n}$。再从右边加上 $\frac{1}{n}$
构造函数法
总结词
构造函数法是一种通过构造满足某种性质的函数或序列，从而证明不等式的方法。
详细描述
构造函数法的核心思想是，根据题目条件和目标形式构造一个满足特定性质的函数或序列。通过对这个函数或序列的分析 和计算，达到证明不等式的目的。构造函数法在函数不等式证明中较为常用。
示例
例如，在证明“当$x > 0$时，$e^{x} > x + 1$”时，可以使用构造函数法进行
• 示例：例如，在证明$\sqrt{2} < 1 + \frac{1}{n}$时，可以通过逐步调整法进行调整 • 首先，我们将不等式的两边同时加上$1 - \sqrt{2}$，得到$1 - \sqrt{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})$。 • 然后，我们将左边的不等式两边平方，得到$(1 - \sqrt{2})^{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})^{2}$。 • 进一步展开$(1 - \sqrt{2})^{2}$，得到$3 - 2\sqrt{2} < \frac{3}{n} - 2\sqrt{2}$。 • 最后，我们将右边的不等式两边除以$n$，得到$\frac{3}{n} < \frac{3}{n} + \frac{2\sqrt{2}}{n}$。 • 整理后，得到$\frac{3}{n} < 3 + 2\sqrt{2}$，从而证明了原不等式。
用“放缩法”证明不等式的基本方法
用“放缩法”证明不等式的基本方法放缩法是一种常用的证明不等式的方法，其基本思想是通过对不等式的各项进行放缩来证明原不等式。
下面我将详细介绍放缩法的基本方法。
首先，我们需要明确放缩法的基本原则：不等式放缩法（缩放法）的基本思想是通过构造一个比原不等式更简单或更明显的不等式，然后再通过适当选择放缩参数的取值来证明原不等式成立。
放缩方法常常被用于求解带有未知参数的不等式。
下面，我将分为三个部分详细介绍放缩法的具体方法。
第一部分：确定放缩参数1.首先，我们需要确定一个或多个放缩参数，这些参数通常是未知数或表达式，我们需要通过合理地选择参数的取值范围来达到证明不等式的目的。
2.选择放缩参数时需要考虑以下因素：-参数的变化范围是否与不等式的条件相符。
例如，如果不等式的条件是x>0，那么我们需要选择的放缩参数在x>0的范围内变化。
-参数的取值是否能够使得不等式的其中一项更加简化，或者使得整个不等式更加明显。
第二部分：构造放缩不等式1.通过放缩参数我们可以构造一个新的不等式，这个不等式通常比原不等式更简单或更明显。
2.构造方法有多种，常见的有：- 使用平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2>=0，可以得到a^2+b^2>=2ab。
这个放缩方法常用于证明关于平方的不等式，例如证明a^2+b^2>=2ab的形式不等式。
- 使用柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
这个放缩方法常用于证明关于多个变量的不等式，例如证明(x1^2+x2^2+...+xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=(x1y1+x2y2+...+xnyn)^2的形式不等式。
第三部分：选择放缩参数取值1.在得到放缩不等式之后，我们需要通过适当选择放缩参数的取值来证明原不等式。
用“放缩法”证明不等式的基本方法
用“放缩法”证明不等式的基本方法近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。
“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了22k-，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+. 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-Λ)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
利用数学归纳法证明不等式的基本技巧
利用数学归纳法证明不等式的基本技巧利用数学归纳法证明不等式的基本技巧：1、比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差（作商）—变形—判断—结论．作差法：差与“0”比较。
为了判断作差后的符号，经常需要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，判断其正负．作商法：商与“1”相比较。
作商时，需要满足两者均为正数。
2、综合法（顺推）：综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点是“执因索果”，即由“已知”，利用已经证明过的不等式或不等式的性质逐步推向“未知”。
综合法证明不等式的逻辑关系是：A B1B2…Bn B，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 B.3、分析法（逆推）：从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
4、放缩法：要证明不等式A<B 成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．放缩法证明不等式的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．常用的放缩技巧有：①应用均值不等式进行放缩；②舍掉(或加进)一些项；③在分式中放大或缩小分子或分母。
5、反证法：即从正难则反的角度去思考，要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等词语时，可以考虑用反证法．6、常数代换法常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，以到达化繁为简的目的。
常用的带有常数项的恒等式，可由题目中的条件变形得到，也可用常用的公式或公式变形。
7、几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法。
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23、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）na =n ，求证：k=1例3、已知a kn证明：苕1V (k — 1)k(k + 1) _________二［+£莖壬匹^/(k — 1)(k + 1) ( >/k + 1 +寸 k — 1 ) k z2 (二学习必备欢迎下载用放缩法”证明不等式的基本方法近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用 放缩法”证明不等式的频率很高，,对它的运用往往能体现出创造性。
放缩法”它可以和很而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察， 例谈若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的 需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩k时就舍去了 2 -2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f (x )=一，求证：f (1)+f (2) + …+f (n )1 +4xf(n)=二=1--^A 1-丄1 +4n1+4 2 *21 1 1 +f (2) + …+f (n ) >1—+1屮"+1—2 212 222 2n+1 +1 +…=n + 丄一1(n 迂 N *). 2 4 2n2n'12此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数， 再对分母进行放缩，从而对左边可以进行 求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
女口它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 ，有极大的迁移性 多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标,放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题,1、添加或舍弃一些正项（或负项）放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
例1、已知a n =2“ -1(n 亡 N ）.求证:n 12—3 a 2 a 3+a n证明：，—ak +2k-1=2^12 "2(22-1)_ 1"2"3.2k +2k -2>1-1.l^,k=1,2,..., n,2 3 2k玉+更+ +旦a 2 a 3「-1(1+-+...+丄)」-丄(1二)「-1,2 3 2 222n2 3 2n2 32 3 a 2 a 3+<-(n 迂 N *).an +2证明：由需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可; 如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
例6、求证:1 1< ------- = ------- - —n(n T) n T n1丄1丄1丄m 丄1 “丄1丄,1 1丄HI 丄1 1、 5丄,1 1、 7•r +石 +〒 + 川<1 +=+(— —— +1丨1 +——) = —. 122232n 2222 3 n-1 n 4 2 n 4此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不 能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩至-丄-2 拆 V (n +1)本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩, =1 +1 +< 2+渥 < 3 •2 有的放矢，直达目标4、放大或缩小因式”;例4、已知数列｛a n ｝满足an+ =a ：,0 c a j <1,求证:n1送(ak -akH4)a心 V 為.7 3211 1 证明 To< — 耳半=a 2，”・. a^a 12<—,a^——….二当k 31时,0 c a24 16 n1 n1二 Z (ak - ak 十)ak 临兰一Z (ak - ak 十)=—(a1 -an 』 k =116 kz1161 < 一.本题通过对因式a k 书放大，而得到一个容易求和的式子 nZ (a k -a k + ),最终得出证明.krn5、逐项放大或缩小例 5、设 an = J 1X 2 + J 2X 3 + J 3x 4 十…+ J n(n +1)求证: 2n(n +1) 一「(n +1)V an 证明：+1)〉J n 2=nJ n(n +1) c J (n +i)22n +1______ 2n +1••• n < J n(n +1) < 1+2 +3 +…+n <a n <2 1 + 3+…+(2n +1)2n(n +1)a n € (n +1)22本题利用n < J n(n +1) <_- 2对a n 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。
6、固定一部分项, 放缩另外的项；-1)如 1)例7、已知a n =5n -4，证明：不等式^5石-禹嵩>1对任何正整数m,n都成立.证明：要证 J 5a mn - J a m a n >1，只要证 5a mn > Vh a m a=5mn -4 , a m a n =(5m —4)(5n -4) =25mn -20(m + n) +16 ,5(5mn -4) >1 +25mn _20(m + n) +16 +2J a m a n因为 2 J a m a n <a m +a n =5m +5 n — ^<5m +5n -8 + (15 m +15n - 29) =20m +20n -37, 所以命题得证.8、先适当组合,排序，再逐项比较或放缩例8、.已知i , m 、n 是正整数，且1< i < m < n.(1)证明：n A m < m A n ; (2)证明：(1+ n )n>(1+ n )m证明：（1）对于 1 <i <m ,且 A m =m ••因为a mn故只要证 即只要证 20 m + 20n 一37 >2丽花7本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2乔m a ?兰a m +a n 放大即可.A m—心1同理A m J m mmn nn —1n-i +1由于 m < n ,对于整数k=1, 2,…,i - 1,m -k > ------m所以 A n inA in m 口仃 I A II A I>—，即m A n >n A m m（2）由二项式定理有:― 、n “x^1 _2 2 x^nn (1 + m) =1+C n m+C n m + …+C n，-_22m m(1 + n) =1+C m n+C m n +…+C m由(1)知 m i A n > n iA im (1 < i < m < n ），而 A1P 丨-ilm P 1C m = .1 , C n 二 m i c i n > n i c im (1 < m < n )二 m 0c 0= n 0c n =1, mC Ji = nC m = m -2 2 2 2n , m C n >nC m m_ m 、.m^ m _m+1 _ m +、cm C n >n C m , m C n >0," m nc n > 0,1+C n m+c n m 2+ …+C n m n> 1+C 1m2 2 m mn+C m n + …+C m n即(1 + m)n> (1 + n)m成立.以上介绍了用 放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需 要几种方法融为一体。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。
但放缩的 范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。
因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据(m - i+1),学习必备 欢迎下载不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题 和解决问题的能力。
希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。
求证 111 ”7证明1 1十尹+歹1+…广―<7 *严偌眾-kn 4「•1+&+32+川+卡）<1+F + G-1）+（1 -4）+川+（占-寿说明：若本题从第二项起放大，则左边<1 + 1- <2 ,这使的证明失败.+ bx +c,当 I X <1 时，总有 I f (x)| <1,<7.注意到 f(1)=a+b+c 若I f (2)1 =|4a +2b + c T (a +b +c)+3a + b | f ⑴+3|a | +|b | =8，也不符合要求. 又注意到f(-1)=a-b+c若f ⑵ =(a +b +c)(a-b +c) +2a +2b + c 勻a +b +c | 中|a -b +c | +2|a | +2|b | +|c <1 +1 +4+1 =7,符合要求.求证"y + i+养 III +7??吒 3证明• • 1<11-,( • k !1X 2XI UX22 k」■. 1 + 1厂+ 112! 3!+ H 1十< 1+ 1厂+1 + 12 + 22+ Ht +1.1=1 +一？^1=3 —1 C n 1<例 1 4设 f(X) = ax 求证：I f (2) I分析当X <1时，总有72b二 2b72af(X)<1,「. f (0) = c <1,=f (1) - f (T),f (1) — f (—1)1 <1 f (1)1 + | f ( —1)1 < 2,「.|b | <1.=f (1) + f (—1) -2c,f (1) + f ( —1) +2 c < 4,二 a < 2. = 4a +2b +c <4a +2b + c= 11,不符合要求=4a +2b +c3k A 2)1 n !2n」浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。
常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小 （大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母” ，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证 题目的。